Voir la source de Fraction (mathématiques)

{{Voir homonymes|Fraction}}
[[Fichier:Cake quarters.svg|thumb|Trois quarts de gâteau, un quart ayant été retiré.]]
En [[mathématiques]], une '''fraction''' est un moyen d'écrire un [[nombre rationnel]] sous la forme d'un [[quotient]] de deux entiers. Ainsi la fraction {{sfrac|{{mvar|a}}|{{mvar|b}}}} désigne le quotient de {{mvar|a}} par {{mvar|b}} ({{math|b≠0}}). Dans cette fraction, {{mvar|a}} est appelé le [[numérateur]] et {{mvar|b}} le [[dénominateur]]. 

Une '''fraction''' représente un [[partage]] d’une entité unique : le dénominateur de la fraction représente le nombre de parts (nécessairement égales) faites dans cette entité, tandis que son numérateur représente le nombre de parts prises ou mobilisées. Pour le dire autrement, le dénominateur d’une fraction est le « tout » tandis que son numérateur est une « partie du tout », autrement dit une fraction de l’entité complète. 

{{exemple|nom=Exemple de fraction|La fraction {{sfrac|3|4}} indique qu’une entité à été partagée en 4 parts égales, puis que trois de ces quatre parts ont été mobilisées. Numériquement, cette fraction vaut 0,75 (à comparer avec l’entité qui vaut, par principe, 1). En pratique, on peut imaginer le partage d’un gâteau en quatre parts égales, puis la distribution de trois de ces parts aux convives.

Contre intuitivement, le numérateur peut être plus grand que le dénominateur. Ainsi, la fraction {{sfrac|56|8}} indique qu’une entité à été partagée en 8 parts égales, mais que 56 telles parts ont été mobilisées. Cette fraction est équivalente au nombre 7 car {{formule|§=7 × 8 {{=}} 56}}, donc le quotient de 56 par 8 est 7. En pratique, on peut imaginer un gâteau partagé en 8 parts égales. Pour servir équitablement 56 convives (une part par convive), il faudra donc prévoir 7 gâteaux ainsi découpés.}}

Une fraction est donc différente d’un [[Rapport (mathématiques)|rapport]], ce dernier se limitant à comparer deux quantités arbitraires, et non deux quantités d’une même entité avec l’une des quantités égale au tout et l’autre égale à une partie de ce tout, comme le ferait une fraction.

{{exemple|nom=Exemple de rapport et lien avec la notion de fraction|1=Le rapport A/B = 56:8 indique que pour 56 unités d’une entité A, on met en vis-à-vis 8 unités d’une entité B distincte.

Il y a donc {{sfrac|56|8}} = 7x plus d’entités A que d’entités B, la fraction {{sfrac|56|8}} permettant de calculer l’importance du déséquilibre exprimé par le rapport, qui pourrait s’écrire également A/B = 7:1 ou simplement A/B = 7 (d’où des confusions possibles, liées aux notations parfois similaires entre fraction et rapport).}}Un nombre qu’on peut représenter par des fractions de [[entier relatif|nombres entiers]] est appelé [[nombre rationnel]]. L'ensemble des rationnels est noté ℚ.

Il existe une définition plus générale et plus abstraite des fractions. Si <math>(A,+,\cdot)</math> est un [[anneau intègre]], on peut créer le [[corps des fractions]] de ''A''. Ses éléments se notent (par analogie aux fractions d'[[entiers relatifs]]) <math>\frac{a}{b}</math> et possèdent les mêmes propriétés opératoires (somme, produit, simplification…) que les fractions de ℚ.

== Sens usuel de la fraction ==
=== Définition d'une fraction ===

Une '''fraction''' est {{refnec|une [[division]] non effectuée entre deux nombres [[entier relatif|entiers relatifs]] ''n'' et ''d'' ≠ 0}}. Elle est représentée comme suit :

<center><math>n/d~</math>  ou  <math>{}^{\textstyle n}\!\!\diagup\!\!{}_{\textstyle d}</math> ou <math>\frac{n}{d}</math>.</center>

* Le nombre du haut, noté ''n'', s'appelle le '''[[numérateur]]'''.
* Le nombre du bas, noté ''d'', s'appelle le '''[[dénominateur]]'''.
* La '''[[Barre oblique#En mathématiques|barre oblique]]''' ou la barre de fraction signifient que l'on divise le numérateur par le dénominateur.

'''Exemple''' : {{sfrac|3|7}} signifie que l'on divise 3 par 7 ; on prononce cette fraction « '''trois septièmes''' ».
* 3 est appelé numérateur parce qu'il indique un '''nombre''' de trois unités (les septièmes)
* 7 est appelé dénominateur parce qu'il '''dénomme''' l'unité (le septième) avec laquelle on opère.

Si on mange les {{sfrac|3|7}} d'une tarte, le numérateur 3 indique le nombre de parts que l'on mange alors que 7 indique le nombre total de parts, donc l'unité considérée.

On trouve aussi les notations
:''n'' [[Deux points|:]] ''d''
où les [[Deux-points#Autres utilisations|deux-points]] montrent l'intention d'exprimer un rapport, ou encore
:''n'' [[Obélus|÷]] ''d''
où l'[[obélus]] remplace la barre de fraction, mais exprimant l'opération de division elle-même (bien que cet usage soit déconseillé<ref>{{Lien web |langue=fr |nom=14:00-17:00 |titre=ISO 80000-2:2019 |url=https://www.iso.org/fr/standard/64973.html |site=ISO |date=2020-05-19 |consulté le=2023-12-07}}</ref>{{,}}<ref>{{Lien web |langue=fr |titre=NF EN ISO 80000-2 |url=https://www.boutique.afnor.org/fr-fr/norme/nf-en-iso-800002/grandeurs-et-unites-partie-2-signes-et-symboles-mathematiques-a-employer-da/fa180173/1349 |site=Afnor EDITIONS |consulté le=2023-12-07}}</ref>).

La notation utilisant la [[barre de fraction]] serait due à [[Abu Bakr al-Hassar]]<ref>{{ouvrage|auteur=Florian Cajori|titre=A History of Mathematical Notations, Two Volumes Bound as One|éditeur=Dover Publications|année=1993|page=269|url=https://archive.org/details/historyofmathema00cajo_0/mode/2up}}</ref>, mais aurait été introduite en occident par [[Leonardo Fibonacci|Fibonacci]]<ref>{{article|auteur=Marc Moyon/Maryvonne Spiesser|titre=L'arithmétique des fractions dans l'œuvre de Fibonacci: fondements & usages|journal=Archive for History of Exact Sciences|volume=69|numéro=4|mois=juillet|année=2015|pages=391-427|url=https://www.jstor.org/stable/24569566}}</ref>. C'est le Suisse [[Johann Heinrich Rahn|Rahn]] qui introduit l'[[obélus]] en 1659.

{{boîte déroulante|titre=Définitions alternatives|contenu=
Si la notion de fraction est une étape importante de la compréhension mathématique à un niveau élémentaire, elle n'a guère d'usage dans une théorie générale.

Le ''Dictionnaire des mathématiques'' définit la fraction comme {{citation|synonyme de nombre rationnel}}<ref>{{ouvrage|prénom1=Alain |nom1=Bouvier |lien auteur1=Alain Bouvier  |prénom2=Michel |nom2=George |prénom3=François |nom3=Le Lionnais |lien auteur3=François Le Lionnais |titre=Dictionnaire des mathématiques |année première édition=1979|année=2001|éditeur=[[Presses universitaires de France]]}}.</ref>.

Cette définition présente plusieurs inconvénients. Chacun convient que {{sfrac|3|4}} est une fraction, et que {{sfrac|6|8}} est une ''autre'' fraction, qui désigne cependant le même nombre rationnel. L'égalité du rationnel que désigne la fraction ne saute pas toujours aux yeux, comme pour {{nobr|57 ÷ 437}} et {{nobr|3 ÷ 23}}. La définition limite aussi au cas où numérateur et dénominateur sont des entiers. Mais on emploie couramment la même notation avec des nombres réels, comme {{sfrac|π|2}} ou {{sfrac|√3|2}} ; ces expressions obéissent aux mêmes règles de combinaison et de simplification que les fractions.

En France, les autorités de l'enseignement définissent ainsi la fraction : {{citation|si {{mvar|a}} et {{mvar|b}} désignent deux entiers ({{mvar|a}} ∈ <math>\Z</math>, {{mvar|b}} ∈ <math>\Z\star</math>), la fraction {{mvar|a}}/{{mvar|b}} est l'écriture d'un être mathématique appelé ''rationnel'', mais n'est pas un être mathématique ; l'écriture {{mvar|a}} s'appelle « numérateur », l'écriture {{mvar|b}} « dénominateur » ; la barre, horizontale ou oblique, s'appelle un « trait de fraction » et équivaut à un signe de division}}<ref>{{Baruk|Fraction}}, II.2.</ref>.

Cette définition soulève aussi quelques difficultés pédagogiques. Si la fraction était une simple écriture, on ne pourrait en faire un des termes d'une opération sur des nombres. On doit pourtant comprendre l'expression {{nobr|{{sfrac|1|2}} + {{sfrac|1|4}} {{=}} {{sfrac|3|4}}}}<ref>{{Baruk|Fraction}}, {{p.|514}}.</ref>.

[[Stella Baruk]] propose de diminuer ces difficultés en prenant soin de parler de fractions ''équivalentes'' quand elles désignent le même nombre rationnel et d'''écriture fractionnelle'' quand le numérateur ou le dénominateur n'est pas un nombre entier, et que par conséquent, il ne s'agit pas d'une fraction<ref>{{Baruk|Fraction}}, {{p.|516-517}}.</ref>.
}}

=== Modélisation d'une fraction ===
Pour comprendre et établir les règles de maniement des fractions, il existe deux méthodes différentes. La première consiste à faire usage de la [[géométrie]]. La fraction représente une portion d'[[Superficie|aire]] d'une figure [[géométrique]] ou d'une longueur d'un côté d'un [[polygone]], souvent un [[triangle]]. Démontrer les lois régissant les fractions revient à faire de la géométrie et à mesurer des aires ou des longueurs. Cette démarche est décrite dans l'article [[Algèbre géométrique]].

Une autre démarche est de nature purement [[Algèbre|algébrique]]. Les [[Construction des nombres rationnels|nombres rationnels]] sont construits de manière abstraite à partir de [[Relation d'équivalence|classes d'équivalence]] d'[[entier relatif|entiers]]. L'addition et la multiplication issues des nombres entiers sont compatibles avec la classe d'équivalence, ce qui équipe l'ensemble des fractions d'une addition et d'une multiplication naturelles. Cette construction permet d'établir les lois régissant le comportement des fractions.

La démarche choisie ici correspond à la première décrite et est purement géométrique. Les méthodes utilisées s'appliquent pour les fractions d'entiers. La géométrie offre une autre méthode, permettant de généraliser les résultats au cas de fractions de deux [[Nombre réel|nombres réels]] positifs. Elle est décrite dans l'article [[Algèbre géométrique]].

=== Représentation d'une fraction ===
Le but ici est de visualiser une fraction ''n''/''d''.

La fraction peut être représentée par un dessin. Bien souvent une forme géométrique que l'on divise en plusieurs parties.

==== Fractions dont ''n'' < ''d'' ====
[[File:Fractions3 4 violet.svg|thumb|Deux représentations graphique de la fraction 3/4]]
Le dénominateur {{mvar|d}} indique le nombre de parties égales à découper dans la forme géométrique et le numérateur {{mvar|n}} indique le nombre de parties égales utilisées.




Par exemple, pour représenter la fraction  {{Fraction|3|4}}, le dénominateur étant 4, on divise le rectangle en 4 parties égales, puis, le numérateur étant 3, on colore seulement trois des quatre parties.

==== Fractions dont ''n'' > ''d'' ====
Cette fraction sera équivalente au quotient entier de {{mvar|n}} par {{mvar|d}}, (qui représentera le nombre d'unités) suivi d'une fraction constituée par le reste de la division pour numérateur et d pour dénominateur.
[[File:Fraction7 3 violet.svg|thumb|upright=1.4]]
[[File:Camemberts pourpres fraction 7-3.svg|thumb|upright=1.4]]
Par exemple, pour la fraction 7/3, la division entière donne 2, il reste 1.
Le quotient est 2 donc 2 unités, le reste 1 donc la fraction est équivalente à {{formule|2 {{frac|1|3}}}}. Il est impossible de représenter ce genre de fraction par un unique rectangle, on présente donc deux rectangles pleins suivi d'un rectangle plein seulement au tiers :

=== Prendre une fraction d'une quantité ===
Pour prendre les {{Fraction|2|3}} de 750, on divise 750 par 3, puis on multiplie le résultat par 2 :

:750÷3 = 250 ;  250 × 2 = 500. Donc {{Fraction|2|3}} de 750 = 500

Prendre {{fraction|a|b}} de c revient à diviser c par b et à multiplier le tout par a.
Ou plus simplement, quand on connaît les règles de calcul sur les fractions, prendre {{fraction|a|b}} de c revient à multiplier {{fraction|a|b}} par c.
Plus généralement, on constate que le « de » est remplacé par une multiplication.
Il en est de même quand on calcule 75 % de c, on doit juste calculer 75 % multiplié par c. En effet, 75 % est une fraction : 75 % = {{fraction|75|100}} = 0,75.

=== Fractions équivalentes ===
[[Fichier:fraction2 3.svg|thumb|On obtient la même surface en divisant le rectangle en 3 parties et en colorant 2, qu'en divisant le rectangle en 6 parties et en colorant 4|upright=1.4]]
Si on multiplie, ou divise, le numérateur et le dénominateur d'une fraction par un même nombre, on obtient une fraction '''équivalente'''. Par exemple, dans la représentation ci-contre, on a multiplié le numérateur et le dénominateur de la première fraction par 2 pour obtenir la seconde fraction.
{{clr}}

[[Fichier:fraction6 9.svg|thumb|Deux représentations équivalentes de la fraction 2/3|upright=1.4]]
De manière générale, les fractions {{formule|''n''/''d''}} et {{formule|''n′''/''d′''}} sont équivalentes dès que {{formule|''n'' × ''d′''{{=}} ''d'' × ''n′''}}. Par exemple, dans la représentation ci-contre, on sait que les fractions 4/6 et 6/9 sont équivalentes car {{formule|4 × 9 {{=}} 6 × 6}}

Certaines fractions peuvent être simplifiées, c'est-à-dire que {{mvar|n}} et {{mvar|d}} peuvent être divisés par un même nombre. Si on prend, pour la simplification, le plus grand nombre possible {{incise|ce nombre s'appelle le PGCD ([[PGCD de nombres entiers|plus grand commun diviseur]]) de {{mvar|n}} et {{mvar|d}}}} on obtient une '''[[fraction irréductible]]''', dont le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux.

Pour effectuer certaines opérations entre fractions, tous les dénominateurs des fractions doivent être égaux. Pour ce faire, il faut remplacer chaque fraction par une fraction équivalente, en s'arrangeant pour que tous les dénominateurs soient identiques. On cherche, en général, à ce que ce dénominateur soit le plus petit possible, en prenant le plus petit nombre qui soit divisible par chaque dénominateur. Ce nombre s'appelle le PPCM ([[plus petit commun multiple]]) des dénominateurs. L'opération s'appelle '''réduire au même dénominateur'''.<br />
Exemple pour réduire au même dénominateur les fractions 3/4, 1/6, 5/9 et 14/15, on cherche le plus petit multiple commun de 4, 6, 9, 15  qui est {{formule|2 × 2 × 3 × 3 × 5}}, et on a :
*<math>\frac{3}{4}=\frac{3 \times 3\times 3\times 5}{4 \times 3\times 3\times 5}= \frac{135}{180}</math>
*<math>\frac{1}{6}=\frac{1 \times 2\times 3\times 5}{6 \times 2\times 3\times 5}= \frac{30}{180}</math>
*<math>\frac{5}{9}=\frac{5 \times 2\times 2\times 5}{9 \times 2\times 2\times 5}= \frac{100}{180}</math>
*<math>\frac{14}{15}=\frac{14 \times 2\times 2\times 3}{15 \times 2\times 2\times 3}= \frac{168}{180}</math>

=== Comparaison de fractions ===
[[Fichier:fraction comp1.svg|thumb|upright=1.4|La seconde fraction est plus petite car on a pris le même nombre de parts mais les parts sont plus petites]]
* Pour un même numérateur, plus le dénominateur est petit plus la fraction est grande.			
*:Dans la représentation ci-contre <math>\frac{2}{3} > \frac{2}{5}</math>	car					
** Le numérateur 2 est le même pour chaque fraction.		
** La comparaison des dénominateurs donne 3 < 5

[[Fichier:fraction comp2.svg|thumb|upright=1.4|La seconde fraction est plus grande car les parts ont même taille mais on en a pris davantage]]
* Pour un même dénominateur, plus le numérateur est grand, plus la fraction est grande :
*: dans la représentation ci-contre, on a  <math>\frac{2}{7} < \frac{5}{7}</math> car
**Le dénominateur 7 est le même pour chaque fraction.		
** La comparaison des numérateurs donne 2 < 5

* Si les numérateurs et les dénominateurs sont différents, on peut toujours réduire les fractions au même dénominateur et comparer alors les numérateurs 
*: Comparaison de 1/4 et 2/5
** 1/4 = 5/20
** 2/5 = 8/20
** Or 5 < 8 donc 5/20 < 8/20 donc 1/4 < 2/5

Remarque : on peut aussi utiliser l'écriture décimale. Comme 1/4 = 0,25 et 2/5 = 0,4 et que l'on sait que 0,25 < 0,4 on a  1/4 < 2/5.

== Écriture décimale, écriture fractionnaire ==

Un '''[[nombre décimal]]''' peut s'écrire comme une fraction qui a pour dénominateur une [[Puissance d'un nombre|puissance]] de 10.
{{exemple|nom=Exemple|12,345 est l'écriture abrégée de <math>\frac{12345}{1000}</math>. La virgule marque l'extension de la [[numération positionnelle]] vers les puissances négatives de la base 10.}}
=== Développement décimal ===
Toute fraction possède un [[développement décimal]] fini ou infini périodique qui s'obtient en posant la division de ''n'' par ''d''.

:1/4 = 0,25
:2/3 = 0,'''6'''66...(période 6)
:17/7 = 2,'''428571'''428571...(période 428571)

=== Écriture fractionnaire ===
Inversement, tout nombre décimal ou possédant un [[développement décimal périodique]] peut s'écrire sous forme de fraction.

==== Cas du nombre décimal ====
Il suffit de prendre comme numérateur le nombre décimal privé de sa virgule et comme dénominateur 10<sup>''n''</sup> où ''n'' est le nombre de chiffres après la virgule :
 
:<math>0{,}256 = \frac{256}{1000}=\frac{32}{125}</math>

:<math>15{,}16 = \frac{1516}{100}=\frac{379}{25}</math>

==== Cas du développement décimal illimité ====
{{Article détaillé|Développement décimal périodique}}
On commence par s'occuper de la [[Partie entière et partie fractionnaire|partie entière]] :
3,'''45'''45... = 3 + 0,'''45'''45...

===== Cas du développement décimal périodique simple =====
Un nombre périodique simple est un nombre décimal dans lequel la période commence immédiatement après la virgule.
0,666... ou 0,4545... ou 0,108108...

Pour le numérateur, il suffit d'utiliser la période tandis que le dénominateur sera composé d'autant de 9 qu'il y a de chiffres composant la période.

Par exemple, pour 0,4545... la période est 45 et est composée de deux chiffres, on obtient la fraction 45/99 = 5/11.

Par conséquent : 3,4545... = 3 + 5/11 = 38/11.

Sinon, posons ''x'' = 0,4545454545...

100''x'' = 45,4545454545... = 45 + ''x'' donc 100''x'' – ''x'' = 45,4545454545... – 0,4545454545... = 45 donc
99''x'' = 45 donc 
''x'' = 45/99.

===== Cas du développement décimal périodique mixte =====
Un nombre décimal périodique mixte est un nombre décimal dans lequel la période ne commence pas immédiatement après la virgule, par exemple :
0,8333... ou 0,14666...

Pour trouver le numérateur de la fraction, il faut soustraire la valeur mixte de la valeur mixte suivie de la première période.
Quant au dénominateur, il sera composé d'autant de 9 qu'il y a de chiffres composant la période, suivis d'autant de zéros qu'il y a de chiffres après la virgule composant la valeur mixte.

Exemple : 0,36981981...<br />
valeur mixte : 36<br />
Valeur mixte suivie de la première période : 36981<br />
Numérateur = 36981 – 36 = 36945

Dans la valeur 0,36981981..., la période 981 est constituée de 3 chiffres donc le dénominateur sera constitué d'une série de trois 9 suivis de deux zéros puisque la valeur mixte 36 est composée de deux chiffres. Finalement on obtient 0,36981981... = 36945/99900 = 821/2220.

Exemple 2 : <math>1,24545...= \frac{1245-12}{990}=137/110</math>.

== Nombre mixte ==
[[Fichier:Fraction Representation.jpg|vignette|Une grandeur peut s'exprimer par unité et fractions simples associées, souvent le demi (½), le quart (¼) et le huitième (⅛), etc.]]
Dans l'enseignement français depuis la fin du {{s-|XIX|e}}, la fraction est définie comme le quotient de deux nombres entiers sans contrainte sur la taille du numérateur et du dénominateur, mais ce n'a pas toujours été le cas et ne l'est pas non plus dans d'autres pays.

Au {{s|XVI|e}}, la fraction était appelée ''nombre rompu'' et correspondait à une fraction de l'unité comme 1/2, 2/3, 3/4, 5/9{{etc}} L'encyclopédie de Diderot et d'Alembert définissait  la fraction comme une ''division indiquée'' et distinguait la ''fraction pure'', où le numérateur est plus petit que le dénominateur, la ''fraction mixte'' quand le numérateur est plus grand que le dénominateur et le ''nombre rationnel mixte'', composé d'un entier et d'un fraction de l'unité, qui était d'un usage courant avec les unités de mesure usuelles, comme de nos jours dans les pays anglo-saxons. En Belgique au {{s-|XIX}} ces concepts s’appelaient ''fraction ordinaire'', ''fraction figurée'' ou ''fraction impropre'' ou ''nombre fractionnaire'' et ''nombre mixte'' ou ''nombre composé''<ref>{{ouvrage|auteur1=J. Pietersz|auteur2=A. Mauvy|titre=Arithmétique théorique et pratique à l'usage des écoles primaires et moyennes|tome=2|année=1845|lire en ligne=https://www.google.fr/books/edition/Arithm_C3_A9tique_th_C3_A9orique_et_prat/EkZAAAAAcAAJ}}, pp. 2-3</ref>.

Dans les pays anglo-saxons, on considère qu'une fraction dont le numérateur est plus grand que le dénominateur est « impropre » (''{{langue|en|improper fraction}}''). On utilise couramment le nombre mixte (au Québec, ''nombre fractionnaire''), de la forme {{formule|a {{frac|b|c}}}} avec {{formule|b < c }}{{sfn|Poisard|Barton|2007|p=4}}. Cette écriture se lit {{formule|a + {{frac|b|c}}}} et non pas {{formule|a × {{frac|b|c}}}} comme ce serait le cas si le deuxième terme n'était pas une fraction.

Un nombre mixte a l'avantage de résumer le résultat d'une [[division euclidienne]]{{sfn|Poisard|Barton|2007|p=4}}.
{{exemple|nom=Exemple de nombre composé|
En écrivant {{formule|2 {{frac|7|9}}}} plutôt que 25/9, on indique que le quotient de la division entière de 25 par 9 est bien 2 le reste 7.}}

Cette différence d'usage est due à la place prépondérante, en [[Europe continentale]], du système décimal{{sfn|Poisard|Barton|2007|p=3}} à tel point que la maîtrise des fractions succède à celle des nombres décimaux dans l'enseignement français alors que c'est l'inverse par exemple en Nouvelle-Zélande{{sfn|Poisard|Barton|2007|p=6}}.

Alors que les Européens continentaux utilisent volontiers les nombres à virgule, les Anglo-saxons préfèrent souvent exprimer les parties non entières par des fractions. Par exemple, ils diront d'une feuille au format ''{{langue|en|Executive}}'' mesure {{dunité|10½|7¼|pouces}}, et non pas {{dunité|10.5|7.25|pouces}}.

== Opérations sur les fractions ==
=== Addition et soustraction ===
==== Pour un dénominateur commun ====
Il suffit d'additionner ou de soustraire le numérateur de chaque fraction et de conserver le dénominateur commun.

Exemple d'une somme : 
: [[Fichier:Fraction sum1.svg]]
:[[Fichier:fraction sum2.svg]]

Exemple d'une différence :
: [[Fichier:Fraction diff.svg]]

==== Pour un dénominateur différent ====
Avant d'effectuer l'opération, chaque fraction doit être transformée en une fraction équivalente dont le dénominateur leur soit commun.<br />
Exemple : [[Fichier:fraction sum3.svg]]

: <math>A = \frac{1}{6} + \frac{4}{9}</math>

: <math>A = \frac{3}{18} + \frac{8}{18}</math>

: <math>A = \frac{11}{18}</math>

=== Multiplication ===
[[File:Fractions - 2 sur 3 fois 4 sur 5.svg|thumb|center|upright=2|Multiplication des fractions 2/3 et 4/5. À la droite, le petit rectangle comprend 2×4 cases bleu foncé, alors que le grand rectangle comprend 3×5 cases toutes couleurs confondues, d'où la fraction 8/15.]]

La multiplication de deux fractions est simple à effectuer mais il n'est pas simple de comprendre pourquoi elle fonctionne ainsi. Par exemple, 

<center><math>\frac {2}{3} \times \frac {4} {5} = \frac {2 \times 4} {3 \times 5} = \frac {8} {15}</math></center>

Voici une explication basée sur une compréhension intuitive des fractions. On peut comprendre quatre cinquièmes comme quatre fois un cinquième (voir les représentations graphiques ci-dessus) soit <math>\frac {4} {5}</math> comme <math>{4} \times \frac {1}{5}</math>. Ainsi multiplier <math>\frac {2}{3}</math> par <math>\frac {4} {5}</math> revient à effectuer <math>\frac {2}{3} \times 4 \times \frac {1} {5} = \frac {2 \times 4}{3} \times \frac {1}{5}</math>.

Mais multiplier par un cinquième revient à diviser par 5, c'est-à-dire à multiplier le dénominateur par 5 (les parts sont 5 fois plus petites), soit : <math>\frac {2 \times 4} {3 \times 5} </math>.

=== Division ===
La division est l'opération inverse de la multiplication. De façon algorithmique, lorsqu'on divise par une fraction, on remplace la division par la multiplication tout en inversant la fraction qui suit. Par exemple :

<center><math>\frac {2}{3} \div \frac {4} {5} = \frac {2}{3} \times \frac {5} {4} = \frac {2 \times 5} {3 \times 4} = \frac {10} {12} = \frac {5}{6}</math></center>

== Fractions particulières ==

* '''[[fraction unitaire]]''' : fraction dont le numérateur est égal à 1 et le dénominateur est un [[Entier naturel|entier positif]].
* '''[[fraction dyadique]]''' : fraction dont le dénominateur est une [[Puissance de deux|puissance de 2]].
* '''[[fraction continue]]''' : fraction constituée à partir d'une [[suite d'entiers]] naturels <math> (a_0, a_1, a_2, a_3, ..., a_k, ...)</math> de la manière suivante <math>a_0 + \frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{a_3+\frac{1}{...}}}}</math>
* '''[[fraction rationnelle]]''' : quotient de deux [[polynôme]]s.
* '''[[corps des fractions]]''' : [[corps commutatif]] construit à partir d'un [[anneau intègre]] et dans lequel on pourra effectuer des divisions.
Pour les fractions rationnelles, ou plus généralement pour le corps des fractions d'un [[anneau commutatif]], la notion de dénominateur et de numérateur garde le même sens.

== Problèmes historiques ==
# J’ai trouvé une pierre mais je ne l’ai pas pesée. Après lui avoir ajouté un septième de son poids et avoir ajouté un onzième du résultat, j’ai pesé le tout et j’ai trouvé : 1 ma-na [unité de masse]. Quel était à l’origine le poids de la pierre ? (problème babylonien, tablette YBC 4652, problème 7)
# Un nombre augmenté de son septième donne 19. Quel est ce nombre ? ([[papyrus Rhind]], problème 24)
# Un nombre augmenté de son quart donne 15. Quel est ce nombre ? (papyrus Rhind, problème 26)
# Supposons que l’on ait 9 tiges d’or jaune et 11 tiges d’argent blanc qui, à la pesée, ont des poids tout juste égaux. Si l’on échange entre elles une de leurs tiges, l’or devient plus léger de 13 ''liang'' [unité de masse]. On demande combien pèsent respectivement une tige d’or et une tige d’argent. (''[[Les Neuf Chapitres sur l'art mathématique]]'', problème 7.17)
# Une lance a la moitié et le tiers dans l’eau et neuf paumes à l’extérieur. Je te demande combien elle a de long. (problème médiéval)

== Annexes ==
=== Étymologie ===
Le terme ''fraction'', apparu en français à la fin du {{s-|XII|e}}, est un dérivé du [[bas latin]] ''fractio'' - « action de briser » - utilisé dans la terminologie mathématique médiévale pour désigner la « division ». Ce terme lui-même provient du [[latin classique]] ''frangere'' - « briser » - qui provient de la racine indo-européenne ''°bhreg'' qui a la même signification et dont dérive la racine [[gotique]] ''brikan'' qui donne ''break'' en anglais et ''brechen'' en allemand<ref>[[Alain Rey]] (dir.), ''[[Dictionnaire historique de la langue française]]'', [[Dictionnaires Le Robert|Le Robert]], 1998, tome II, {{p.|1478}}.</ref>.

Les fractions furent autrefois nommées ''nombres rompus'', terme encore utilisé au {{s-|18}}, par exemple dans l'''[[Encyclopédie ou Dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers]]''<ref>{{Note autre projet|wikisource||L’Encyclopédie/1re_édition/WOLSTROPE|L’Encyclopédie/1re édition/WOLSTROPE}}</ref>.

=== Bibliographie ===
* {{lien web|auteur1=Caroline Poisard|auteur2=Bill Barton|titre=L'enseignement des fractions en France et Nouvelle-Zélande|année=2007|hal=01086478|url=https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01086478/document}}

=== Articles connexes ===
{{Autres projets
  | wikiversity = Fraction
  | wikiversity titre = Fraction
}}
* [[Nombre rationnel]]
* [[Rapport (mathématiques)]]

== Notes et références ==
{{Références}}

{{Palette|Notion de nombre}}
{{Portail|arithmétique}}

[[Catégorie:Fraction|*]]