Voir la source de Fraction continue

{{Confusion|texte=Ne pas confondre avec la notion de [[fonction continue]].}}
{| style="width:180px;border:1px solid #d0d0d0; margin:0 2px 1em 1em;float:right"  cellspacing="3" cellpadding="5"
| align=center border=1px solid #d0d0d0 | <math> \sqrt 2 = 1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2+\,\cdots}}}</math>
|-
|<small>Exemple de développement infini en fraction continue.</small>
|}

En [[mathématiques]], une '''fraction continue''' ou '''fraction continue simple''' ou plus rarement '''fraction continuée'''<ref>Pour [[Jean Dieudonné]], {{Citation|le terme traditionnel en français est « fraction continue », ce qui risque d'entraîner des confusions fâcheuses lorsque la fraction dépend d'un paramètre variable ; l'anglais évite cette confusion en disant ''continued'' et non ''continuous''}} ({{Dieudonné (dir.)}}), d'où la traduction littérale de « fraction continuée ». Selon {{Ouvrage |auteur1=Alain Faisant |titre=L'équation diophantienne du second degré |éditeur=[[Hermann (éditions)|Hermann]] |année=1991 |pages totales=237 |passage=47 |isbn=978-2-7056-1430-0 |numéro chapitre=2 |titre chapitre=Les fractions continuées}}, {{Citation|on dit souvent, à tort, fractions continues}}.</ref> est une expression de la forme :
<center><math>a_0+\cfrac{1}{a_1+\cfrac{1}{a_2+\cfrac{1}{a_3+\dots}}}</math></center>

comportant un nombre fini ou infini d'étages.

On montre qu'on peut « représenter » {{Incise|en un sens qui sera précisé}} tout [[nombre réel]] sous forme d'une fraction continue, finie ou infinie, dans laquelle ''a''<sub>0</sub> est un [[entier relatif]] et les autres ''a<sub>j</sub>'' sont des entiers strictement positifs.

Comme dans la notation décimale usuelle, où chaque réel est approché par des [[nombre décimal|nombres décimaux]] de plus en plus précisément au fur et à mesure de la donnée des décimales successives, de même chaque réel est approché par des fractions étagées de la forme ci-dessus de plus en plus précisément au fur et à mesure qu'on rajoute des étages. En outre, s'il faut une infinité de décimales pour décrire exactement un nombre non décimal, il faut un développement infini en fraction continue pour décrire exactement un [[nombre irrationnel]].

Les fractions continues sont utiles en [[approximation diophantienne]], notamment parce qu'elles fournissent, en un certain sens, les « meilleures » approximations des réels par des [[nombre rationnel|rationnels]]. Cette propriété est à l'origine d'[[algorithme]]s pour l'[[fraction continue et approximation diophantienne|approximation]] de racines carrées, mais aussi de démonstrations d'irrationalité voire de [[nombre transcendant|transcendance]] pour certains nombres comme [[Pi|{{math|π}}]] ou ''[[Base des logarithmes naturels|e]]''. La [[fraction continue d'un irrationnel quadratique|périodicité des fractions continues]] des [[racine carrée|racines carrées]] d'entiers strictement supérieurs à 1 et [[Entier sans facteur carré|sans facteur carré]] a des conséquences utiles pour l'étude de l'[[équation de Pell-Fermat]].

Déjà usitées chez les [[Mathématiques indiennes|mathématiciens indiens]] au [[Moyen Âge]], les fractions continues sont étudiées en Europe dès le {{s-|XVII}}. Elles sont maintenant généralisées à d'autres expressions, appliquées aux approximations de [[série entière|séries entières]] appelées [[approximant de Padé]], ou encore adaptées aux [[application linéaire|applications linéaires]].
[[Fichier:John Wallis by Sir Godfrey Kneller, Bt.jpg|vignette|[[John Wallis]], à la suite des travaux de [[William Brouncker]], utilise pour la première fois l'expression « fraction continue ».]]

== Tour d'horizon ==
La notion de fraction continue est vaste et se retrouve dans de nombreuses branches des mathématiques. Les concepts associés peuvent être relativement simples comme l'[[algorithme d'Euclide]], ou beaucoup plus subtils comme celui de [[fonction méromorphe]]<ref group=note>L'association à l'algorithme d'Euclide est traité dans cet article. Celui avec les fonctions méromorphes se trouve, par exemple, dans l'étude des [[approximant de Padé|approximants de Padé]], développée dans {{Article|auteur=[[Henri Padé]]|périodique=[[Annales scientifiques de l'École normale supérieure|ASENS]]|titre=Recherches sur la convergence des développements en fractions continues d'une certaine catégorie de fonction|série=3|volume=24|année=1907|pages=341-400|url=http://archive.numdam.org/ARCHIVE/ASENS/ASENS_1907_3_24_/ASENS_1907_3_24__341_0/ASENS_1907_3_24__341_0.pdf}}, qui valut à son auteur le Grand prix de l'[[Académie des sciences de Paris]] en [[1906 en science|1906]].</ref>.

Il est possible, dans un premier temps, de voir une fraction continue comme une [[suite d'entiers]]  qui « représente » un réel. Cette situation est un peu la même que celle du [[système décimal]] qui représente {{math|π}} par la suite d'entiers 3, 1, 4, 1, 5, 9… Sous forme de fraction continue, la [[Suite (mathématiques)|suite]] est 3, 7, 15, 1, 292, 1, 1… Un premier champ d'étude consiste à étudier la relation entre la suite 3, 7, 15, 1, 292, 1, 1… et celle des nombres rationnels que propose la fraction continue, en l'occurrence 3, 22/7, 333/106, etc., il permet de savoir comment passer de la première suite à la deuxième, comment la deuxième [[Limite d'une suite|converge]] et répond à d'autres questions de cette nature. Tel est essentiellement l'objet de cet article.

[[Fichier:Joseph Louis Lagrange.jpg|vignette|[[Joseph-Louis Lagrange]] établit de manière rigoureuse les propriétés des [[Fraction continue d'un irrationnel quadratique|fractions continues des irrationnels quadratiques]].]]
Les fractions continues ont une relation particulière avec les [[racine carrée|racines carrées]] ou plus généralement les nombres, dits [[irrationnel quadratique|irrationnels quadratiques]], de la forme <math>a + b \sqrt{d}</math> où <math>a</math> et <math>b</math> sont des [[nombre rationnel|nombres rationnels]], <math>b</math> non nul, et <math>d > 1</math> un [[entier sans facteur carré]]. Les fractions continues associées sont périodiques, à partir d'un certain rang, c'est-à-dire que la suite des entiers formant la fraction continue se répète à partir d'un certain rang et jusqu'à l'infini<ref>{{Article|id=Couchouron2003|prénom1=M. |nom1 = Couchouron|url=http://agreg-maths.univ-rennes1.fr/documentation/docs/fraccont.pdf|titre=Développement d'un réel en fractions continues|périodique=Préparation à l'[[agrégation de mathématiques]]|éditeur=[[université de Rennes I]]|année=2003}}.</ref>. Cette situation est à l'image des représentations décimales infinies de nombres rationnels. Ces fractions continues permettent de résoudre un célèbre problème d'[[arithmétique]] appelé [[équation de Pell-Fermat]]<ref>La résolution historique par [[Joseph-Louis Lagrange]] figure dans : {{Ouvrage |auteur1=[[Joseph-Alfred Serret]] |titre=Œuvres de Lagrange |tome=1 |éditeur=[[Gauthier-Villars]] |année=1867 |passage=671-731 |lire en ligne=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/dms/load/img/?IDDOC=41029 |titre chapitre=Solution d'un Problème d'arithmétique}} (original {{Ouvrage |auteurs=Bruyset (Lyon) et Desaint (Paris) |titre=L. Euler et J. L. Lagrange, Éléments d'algèbre |année=1774 |id=Bruyset et Desaint}}).</ref>. Cette question fait l'objet de l'article « [[Fraction continue d'un irrationnel quadratique]] ».

À l'image du système décimal, la fraction continue offre des nombres rationnels de plus en plus approchés de leur cible. Ces approximations sont bien meilleures que celles décimales. La deuxième approximation décimale de {{math|π}}, égale à 31/10 possède un dénominateur relativement proche de celui de la deuxième approximation de la fraction continue 22/7, en revanche 22/7 est plus de 30 fois plus précis que 31/10. Ce type d'approche d'un nombre réel par un nombre rationnel est appelé [[approximation diophantienne]]. Les fractions continues y jouent un grand rôle. Elles ont permis de construire les premiers [[nombre transcendant|nombres transcendants]] connus : les [[Nombre de Liouville|nombres de Liouville]]<ref name=Liouville>[[Joseph Liouville|Liouville]] utilise cet ingrédient en 1844, mais montre en 1851 qu'il était superflu : voir l'article « [[Théorème de Liouville (approximation diophantienne)]] ».</ref> ou de montrer que le [[e (nombre)|nombre {{math|e}}]] est irrationnel<ref>{{la}} [[Leonhard Euler|L. Euler]], ''[http://eulerarchive.maa.org/pages/E071.html De fractionibus continuis dissertatio]'', présenté en 1737 et publié en 1744. Une analyse historique est proposée par : {{Lien web|langue=en|auteur=Ed Sandifer |url=http://vanilla47.com/PDFs/Leonhard%20Euler/How%20Euler%20Did%20It%20by%20Ed%20Sandifer/Who%20proved%20e%20is%20irrational.pdf|titre=How Euler did it — Who proved ''e'' is irrational?|année=2006}}.</ref>. À condition de [[#Fraction continue généralisée|généraliser la définition d'une fraction continue]], il devient possible de montrer que {{math|π}} est aussi irrationnel — cette approche est traitée dans l'article « [[Fraction continue et approximation diophantienne]] ». (En fait, {{math|e}} et {{math|π}} sont même [[nombre transcendant|transcendants]], d'après le [[théorème d'Hermite-Lindemann]].)

Une fraction continue ne concerne pas uniquement les nombres mais aussi les fonctions. On [[#Fraction continue généralisée|généralise encore plus les fractions continues]] en remplaçant les coefficients par des [[polynôme]]s<ref>Un exemple introductif est fourni par l'auteur de la théorie dans {{Harvsp|Padé|1907}}.</ref>. Une motivation provient de l'[[analyse complexe]], qui a pour objet l'étude des fonctions de la variable [[nombre complexe|complexe]] à valeurs complexes, [[Fonction holomorphe#Définition|dérivables en tant que telles]]. L'approche classique consiste à les définir comme [[série entière|séries entières]] donc comme limites de polynômes. Une spécificité fréquente de ce type de fonction est de posséder des [[Pôle (mathématiques)|pôles]]. Si, au lieu d'approcher la fonction par des polynômes, on utilise des [[fonction rationnelle|quotients]], on construit une suite d'[[approximant de Padé|approximants de Padé]] qui ne possède pas nécessairement cette faiblesse<ref>En 1894, [[Thomas Joannes Stieltjes#Notes et références|T.-J. Stieltjes, dans ses « Recherches sur les fractions continues »]], étudie la convergence de telles fractions continues.</ref>.

D'autres propriétés ont été étudiées. À la différence du système décimal, un entier apparaissant dans une fraction continue n'est en général pas borné par 9, il peut devenir arbitrairement grand. [[Alexandre Khintchine]] s'est intéressé à la moyenne, au sens de limite des [[moyenne géométrique|moyennes géométriques]] de tous ces dénominateurs. Pour [[Ensemble négligeable|presque]] tous les nombres, cette moyenne est la même (le mot « presque » possède ici le sens technique de la [[théorie de la mesure]]) ; cette moyenne est appelée [[constante de Khintchine]].

Il est aussi possible de construire des développements en fractions en plaçant les barres de fraction sur le [[numérateur]] et non en dessous : on obtient un [[développement en série de Engel]] :
<center><math>x_0=\frac1{a_0}+\frac1{a_0a_1}+\frac1{a_0a_1a_2}+\cdots+\frac1{a_0a_1\ldots a_n}+\cdots=\cfrac{1+\cfrac{1+\cfrac{1+\cdots}{a_2}}{a_1}}{a_0}.</math></center>

== Repères chronologiques ==
[[Fichier:2064 aryabhata-crp.jpg|vignette|gauche|[[Aryabhata]], un mathématicien [[mathématiques indiennes|indien]], fait usage des '''fractions continues''' dès le {{s|V}}.]]
L'usage des fractions continues est ancien. [[Aryabhata]] (476-550), un mathématicien [[mathématiques indiennes|indien]] les utilise pour résoudre des [[équation diophantienne|équations diophantiennes]] ainsi que pour approximer précisément des nombres irrationnels<ref>[[Georges Ifrah]], ''Histoire universelle des chiffres : L'intelligence des hommes racontée par les nombres et le calcul'', Robert Laffont, 1994 {{ISBN|978-2-70284212-6}}.</ref>{{refinc}}. [[Brahmagupta]] (598-668) étudie plus en profondeur l'équation maintenant dite [[équation de Pell-Fermat|de Pell-Fermat]], en utilisant [[Identité de Brahmagupta|une identité remarquable]]. Il cherche à résoudre l'équation {{nobr|1=''x''<sup>2</sup> – 61''y''<sup>2</sup> = 1}} et trouve la plus petite solution : ''x ''= {{formatnum:1766319049}} et ''y ''= {{formatnum:226153980}}.

Au {{s-|XII}}, la méthode est enrichie par [[Bhāskara II]]. Un [[algorithme]], la [[méthode chakravala]], analogue à celui des fractions continues, permet de résoudre le cas général<ref>{{Stillwell}}, 2010, {{p.|75-80}}.</ref>. La différence la plus marquante avec la méthode européenne ultérieure est qu'il autorise les [[Nombre négatif|nombres négatifs]] dans la fraction, permettant une convergence plus rapide<ref>[[Bhāskara II]], ''Bijaganita'', 1150, d'après {{MacTutor|class=~history/HistTopics|id=Pell|title=Pell's equation}}.</ref>.

L'apparition en Europe est plus tardive et italienne. [[Raphaël Bombelli]] (1526-1572) fait usage d'un ancêtre des fractions continues pour le calcul d'approximations de la [[racine carrée]] de 13<ref>{{Article|lang=it|prénom=M. T.|nom=Rivolo|prénom2=A.|nom2=Simi|titre=Il calcolo delle radici quadrate e cubiche in Italia da Fibonacci a Bombelli|revue=[[Archive for History of Exact Sciences|Arch. Hist. Exact Sci.]]|vol=52|numéro=2|année=1998|p.=161-193}}.</ref>. [[Pietro Cataldi]] (1548-1626) comprend que la méthode de Bombelli s'applique pour toutes les racines carrées, il l'utilise pour la valeur 18 et écrit un petit opuscule à ce sujet<ref>{{it}} S. Maracchia, ''Estrazione di radice quadrata secondo Cataldi'', Archimede '''28''' (2), 1976, {{p.|124-127}}.</ref>. Il remarque que les approximations obtenues sont alternativement supérieures et inférieures à la racine carrée cherchée.

Un progrès décisif a lieu en [[Angleterre]]. Le 3 janvier [[1657]], [[Pierre de Fermat]] défie les mathématiciens européens avec plusieurs questions dont l'équation déjà résolue par Brahmagupta<ref>Laurent Hua et Jean Rousseau, ''Fermat a-t-il démontré son grand théorème ? l'hypothèse "Pascal"'', L'Harmattan, 2002 {{ISBN|978-2-74752836-8}}, {{p.|113}}.</ref>. La réaction des anglais, piqués au vif<ref>[[John Wallis]], un mathématicien anglais, rétorqua : ''il ne trouvera pas mauvais, je crois, que nous lui rendions la pareille, et cela, non pas sur une bagatelle''. Ces informations sont extraites de la page [http://www.cdg82.fr/beaumont/fermat/lettre.php Pierre de Fermat] sur le site de la commune de [[Beaumont-de-Lomagne]].</ref>, est rapide. [[William Brouncker]] (1620-1684) trouve la relation entre l'équation et la fraction continue, ainsi qu'une méthode algorithmique équivalente à celle des indiens pour le calcul de la solution. Il produit la première [[#Fraction continue généralisée|fraction continue généralisée]], pour le nombre {{math|4/π}}<ref group=note name=Brouncker>Voir [[William Brouncker#Formule de Brouncker|Formule de Brouncker]].</ref>. Ces résultats sont publiés par [[John Wallis]] qui en profite pour démontrer les relations de récurrence utilisées par Brouncker et Bhāskara II. Il donne le nom de '''fraction continue''' dans la phrase : {{citation|Nempe si unitati adjungatur fractio, quae denominatorem habeat '''continue fractum'''<ref name="Wallis">{{la}} [[John Wallis|J. Wallis]], ''{{lang|la|Arithmetica infinitorum}}'' (trad. : l'arithmétique des infinitésimaux), 1655.</ref>}}. À cette époque, [[Christian Huygens]] (1629-1695) utilise les approximations rationnelles données par le développement en fractions continues pour déterminer le nombre de dents des [[engrenage]]s d'un automate planétaire<ref>Ces informations, comme l'essentiel de ce paragraphe proviennent de {{Article|prénom=Claude|nom=Brezinski|année=2005|mois=octobre|titre=Ces étranges fractions qui n'en finissent pas|éditeur=[[Université de La Réunion]], |périodique=Conférence à l'[[IREM]]|url=http://www.irem.univ-mrs.fr/IMG/pdf/Brezinski_fractions_continues.pdf|titre numéro=diaporama}}.</ref>.

[[Fichier:Henri Padé.jpeg|vignette|[[Henri Padé]] étudie en 1892 le cas des fractions continues construites à l'aide de [[polynôme]]s.]]

Quelques questions théoriques sont résolues au siècle suivant. L'usage montre que l'algorithme des fractions continues permet de résoudre l'équation de Pell-Fermat en utilisant le fait que la fraction est périodique à partir d'un certain rang. [[Leonhard Euler]] (1707-1783) montre que si un nombre possède une fraction continue périodique, alors il est solution d'une [[équation du second degré]] à coefficients entiers<ref>{{la}} [[Leonhard Euler|L. Euler]], ''[[Introductio in analysin infinitorum]]'', 1748, [http://www.math.dartmouth.edu/~euler/docs/originals/E101capitel16.18.pdf vol. I, chap. 18].</ref>. La réciproque, plus subtile<ref>Ces résultats furent édités par {{harvsp|Bruyset et Desaint}}. Ce livre contient les ''Additions aux Éléments d'Algèbre d'Euler'' par Lagrange, rééditées dans {{Ouvrage |auteur1=[[Joseph-Alfred Serret]] |titre=Œuvres de Lagrange |volume=VII |éditeur=[[Gauthier-Villars]] |année=1877 |passage=5-180 |lire en ligne=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k2299428/f7}}. Elles contiennent les deux preuves citées et résument l'essentiel du savoir sur les fractions continues à la fin du {{s-|XVIII}}.</ref>, est l'œuvre de [[Joseph-Louis Lagrange]] (1736-1813). Durant ce siècle, [[Jean-Henri Lambert]] (1728-1777) trouve une nouvelle utilité aux fractions continues. Il les utilise pour montrer l'irrationalité de {{math|π}}.

Cet usage devient fréquent au {{s-|XIX}}. [[Évariste Galois]] (1811-1832) trouve la condition nécessaire et suffisante pour qu'une fraction continue soit ''immédiatement'' périodique<ref group=note>Voir le [[fraction continue d'un irrationnel quadratique#Développement purement périodique|§ « Développement purement périodique » de l'article sur la fraction continue d'un irrationnel quadratique]].</ref>. [[Joseph Liouville]] utilise le développement en fraction continue pour exhiber des [[nombre transcendant|nombres transcendants]] : les [[Nombre de Liouville|nombres de Liouville]]<ref name=Liouville/>. En [[1873 en science|1873]], [[Charles Hermite]] [[Théorème d'Hermite-Lindemann|prouve la transcendance de {{math|e}}]]. Un [[sous-produit]] de sa preuve est une nouvelle démonstration de l'expression de la [[#Fraction continue de e|fraction continue simple de {{math|e}}]] trouvée par Euler<ref>{{Article|lang=en|titre=The simple continued fraction expansion of e|auteur=[[Carl D. Olds]]|revue=[[The American Mathematical Monthly]]|vol=77|année=1970|p.=968-974|url=http://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Chauvenet/Olds.pdf}} ([[prix Chauvenet]] 1973).</ref>. À la fin du siècle, [[Henri Padé]] (1863-1953) développe la théorie<ref>H. Padé, ''Sur la représentation approchée d'une fonction par des fractions rationnelles'', Thèse de Doctorat présentée à l'[[Faculté des sciences de Paris|université de la Sorbonne]], 1892.</ref> des [[Approximant de Padé|approximants qui portent maintenant son nom]] et qui sont des fractions continues de [[polynôme]]s. Cette technique est utilisée par [[Henri Poincaré]] (1854-1912) pour démontrer la stabilité du système solaire<ref>Voir par exemple [[Henri Poincaré|H. Poincaré]], ''Méthodes nouvelles de la mécanique céleste'', [[Gauthier-Villars]], 1892-1899. [[s:Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste|Sur Wikisource]].</ref>. [[Georg Cantor]] (1845-1918) prouve à l'aide des fractions continues que les points d'un segment et ceux situés à l'intérieur d'un carré [[Puissance du continu#Exemples d'ensembles ayant la puissance du continu|sont en bijection]]<ref>{{Article|lang=en|auteur=Julian F. Fleron|titre=A note on the history of the Cantor set and Cantor function|revue=[[Mathematics Magazine]]|volume=67|pages=136-140|année=1994|url={{Google Livres|WwFMjsym9JwC|page=137}}}}.</ref>. Les fonctions de cette nature sont étudiées dans le cadre de la [[théorie du chaos]] ; elles sont discontinues sur chaque point rationnel de l'intervalle [0, 1]<ref>{{en}} {{Lien|trad=Manfred R. Schroeder|Manfred Schroeder|texte=M. Schroeder}}, ''{{Lang|en|Fractals, Chaos, Power Laws}}'', Freeman, 1991 {{ISBN|978-0-71672136-9}}.</ref>.

== Approche intuitive ==
=== De l'algorithme d'Euclide aux fractions continues ===
{{Article détaillé|Algorithme d'Euclide}}

On commence par rappeler le déroulement de l'algorithme dû à [[Euclide]] de recherche du [[Plus grand commun diviseur|PGCD]], en analysant l'exemple des deux nombres entiers {{formatnum:15625}} et {{formatnum:6842}}. On procède à une suite de [[division euclidienne|divisions euclidiennes]] avec reste :
<center><math>
\begin{matrix}
15\;625 &= &2 \times &6\;842 &+&1\;941,&\\
6\;842  &= &3 \times &1\;941 &+&1\;019,&\\
1\;941  &= &1 \times &1\;019 &+&922,&\\
1\;019  &= &1 \times &922    &+&97,&\\
922     &= &9 \times &97     &+&49,&\\
97      &= &1 \times &49     &+&48,&\\
49      &=&1  \times &48     &+&1.&
\end{matrix}
</math></center>
Une autre manière d'interpréter cet algorithme consiste à approcher par étapes le quotient 15&nbsp;625&nbsp;/&nbsp;6&nbsp;842. La [[partie entière]] de ce quotient est 2, ce qui permet d'écrire :
<center><math>
\frac{15\;625}{6\;842}=2+\frac{1\;941}{6\;842}.</math></center>

Que peut-on dire de la fraction 1&nbsp;941&nbsp;/6&nbsp;842, à part qu'elle est plus petite que 1 ? Elle est comprise entre 1/4 et 1/3, son inverse, 6&nbsp;842&nbsp;/&nbsp;1&nbsp;941, possède comme partie entière : 3 ; et plus précisément, si l'on utilise les résultats de la deuxième division euclidienne :
<center><math>
\frac{1\;941}{6\;842}=\cfrac{1}{3+\cfrac{1\;019}{1\;941}}.
</math></center>
Ainsi de proche en proche :
<center><math>\cfrac{15\;625}{6\;842}=2+\cfrac{1}{3+\frac{1\;019}{1\;941}}=2+\cfrac{1}{3+\cfrac{1}{1+\cfrac{922}{1\;019}}}=\dots=
2+\cfrac{1}{3+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{9+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{48}}}}}}} </math></center>

qui est bien une fraction continue. On utilise parfois la notation suivante, plus commode :
<center><math>\frac{15\;625}{6\;842}=[2,3,1,1,9,1,1,48].</math></center>

On peut comparer 15&nbsp;625&nbsp;/&nbsp;6&nbsp;842 à ses réduites obtenues en tronquant successivement le nombre d'étages de la fraction continue. Le tableau suivant donne les troncatures en notation fractionnelle puis décimale, et la différence entre la réduite et le nombre 15&nbsp;625&nbsp;/&nbsp;6&nbsp;842.

{| class="wikitable centre" cellpadding="20" style="width:60%;"
|+ <center>'''Réduites successives de {{formatnum:15625}} / {{formatnum:6842}} et évolution de l'erreur'''</center>
|-
! scope=col | Fraction 
! scope=col | Développement décimal
! scope=col | Erreur
|-
| width="33%" |
2
| width="34%|
2
| width="33%" |
–0,28...
|-
| width="33%" |
7/3 = 2 + 1/3
| width="34%"|
2,333...
|width="33%" |
+0,049...
|-
| width="33%" |
9/4 = 2 + 1/(3 + 1/1)
| width="34%|
2,25
|width="33%" |
–0,033...
|-
| width="33%"|
16/7
| width="34%"|
2,285 7...
|width="33%" |
+0,002 0...
|-
| width="33%" |
153/67
| width="34%"|
2,283 58...
|width="33%" |
–0,000 10...
|-
| width="33%" |
169/74
| width="34%|
2,283 783...
|width="33%" |
+0,000 094...
|-
| width="33%" |
322/141
| width="34%|
2,283 687 9...
|width="33%" |
–0,000 001 0...
|-
| width="33%" |
15 625/6 842
| width="34%|
2,283 688 979 83...
|width="33%" |
0
|}

La suite des erreurs est décroissante en [[valeur absolue]] et de signes alternés.

=== Développement en fraction continue d'un rationnel ===
Soit ''r'' = ''p''/''q'' un [[nombre rationnel]] (avec ''p'' et ''q'' entiers et ''q'' > 0). On cherche pour ''r'' un ''développement fini en fraction continue'', c'est-à-dire une écriture de ''r'' sous la forme [''a''{{ind|0}}, … , ''a{{ind|n}}''] avec ''n'' [[entier naturel]], ''a''{{ind|0}} entier relatif et {{nobr|''a''{{ind|1}}, … , ''a{{ind|n}}''}} entiers > 0. On applique pour cela l'algorithme d'Euclide :

On pose ''p''<sub>0</sub> = ''p'', ''p''<sub>1</sub> = ''q'', et l'on construit les entiers ''a''{{ind|0}} et ''p''{{ind|2}} par [[Division euclidienne#Division euclidienne dans les entiers relatifs|division euclidienne]] :
<center><math>p_0=a_0p_1+p_2, \quad a_0\in\Z, 0\le p_2<p_1.</math></center>

Puis, tant que ''p<sub>j</sub> ''n'est pas nul, on définit les entiers ''a''{{ind|''j''–1}} et ''p''{{ind|''j''+1}} par :
<center><math>p_{j-1}=a_{j-1}p_j +p_{j+1},</math></center>

avec ''a''<sub>''j''–1</sub> entier au moins égal à 1 (pour ''j ''> 1) et 0 ≤ ''p''<sub>''j''+1</sub> < ''p<sub>j</sub>''. L'algorithme d'Euclide s'arrête. On note ''n'' le plus grand entier pour lequel ''p''<sub>''n''+1</sub> n'est pas nul. On sait donc que ''p<sub>n</sub>''/''p''<sub>''n''+1</sub> est égal à l'entier ''a<sub>n</sub>''. On a alors :
<center><math>\frac{p_0}{p_1}=[a_0,a_1,\dots,a_n].</math></center>
En effet :
<center><math>p_0/p_1=[a_0,p_1/p_2]=[a_0,a_1,p_2/p_3]=\dots=[a_0,a_1,\dots,a_n],</math></center>
ou encore :
<center><math>p_n/p_{n+1}=[a_n]\text{ et pour }j=n-1,n-2,\ldots,0~:\quad p_j/p_{j+1}=[a_j,p_{j+1}/p_{j+2}]=[a_j,a_{j+1},\dots,a_n].</math></center>

{{Démonstration/début|titre=Représentation géométrique<ref>{{article|auteur1=Jean-Pierre Friedelmeyer|titre=Dallage de rectangles et fractions continues|périodique=Bulletin de l'[[APMEP]]|numéro=450|année=2004|pages=91-122|lire en ligne=https://www.apmep.fr/IMG/pdf/AAA04010.pdf}}</ref>|déroulante=non}}
[[Fichier:fractioncontinue1.png|vignette|Un pavage d'un [[rectangle]] de longueur 30 et de largeur 13 permet de déterminer l'expression de 30/13 en fraction continue : <center>30/13=[2, 3, 4].</center>]]

L'algorithme d'Euclide permet de calculer une fraction continue dans le cas des nombres rationnels. Cet algorithme admet dans ce cadre une interprétation géométrique. Soit ''r'' = ''p''/''q'' un nombre rationnel, on considère un rectangle de longueur ''p'' et de largeur ''q'', et on le pave par des carrés de côté ''q''.

Si ''r'' est un entier, le pavage comporte exactement ''r'' carrés. Sinon, soit ''a''<sub>0</sub> le nombre de carrés insérés dans le rectangle, ou encore, le premier terme de la fraction continue. Il reste une bande non pavée de dimension ''q'' × ''b''<sub>1</sub> avec ''b''<sub>1</sub> égal à ''p'' – ''a''<sub>0</sub>''q'' ; on pave cette bande avec des carrés de dimension maximale, c'est-à-dire de côté ''b''<sub>1</sub>. Le nombre de carrés est égal au deuxième terme ''a''<sub>1</sub> de la fraction continue. En réitérant la méthode, on obtient l'intégralité des coefficients ''a<sub>p</sub>''.

Dans l'image ci-contre, on pave le rectangle 30 × 13 par deux carrés de côtés 13. Il reste une bande de longueur 13 et de largeur 4. En termes de fraction continue, on obtient l'égalité :
<center><math>\frac {30}{13} = 2 + \frac 4{13} = {\color{Red}2} + \cfrac 1{\left(\cfrac {13}4\right)}</math>.</center>

[[Fichier:fractioncontinue2.png|vignette|gauche|La même démarche s'applique pour déterminer un rationnel connaissant sa fraction continue. <center>[1, 1, 2, 3] = 17/10</center>]]
Ensuite, on remarque qu'il est possible de remplir la bande restante de 3 carrés de côté 4 et il reste une bande de longueur 4 et de largeur 1, ce qui permet de terminer le calcul de la fraction continue :
<center><math>13 = 3\times4 + 1 \;\Rightarrow \; \frac {30}{13} = {\color{Red}2} + \cfrac 1{\left(\cfrac {3\times 4 + 1 }4\right)} = {\color{Red}2} + \cfrac 1{{\color{Red}3} + \cfrac 1{\color{Red}4}}= [2,3,4]</math>.</center>

[[Fichier:fractioncontinue3.png|vignette|La technique du pavage conduit à une fraction continue infinie si la longueur et la largeur du rectangle sont [[commensurabilité (mathématiques)|incommensurables]].]]
La même construction permet de trouver le rationnel dont on connait le développement en fraction continue. Dans l'image de gauche on peut retrouver le rationnel dont le développement est [1, 1, 2, 3]. Le dernier coefficient est égal à 3, on trouve donc 3 petits carrés de côté 1, qui donnent la taille du carré suivant (3). L'avant dernier coefficient 2 indique qu'il existe deux carrés moyens de côté 3. Ces deux côtés et le petit carré donnent la taille du carré plus grand (7). Le coefficient associé est égal à 1, il n'en existe donc qu'un unique de cette nature. Le carré plus grand (7) et le carré moyen (3) donnent le côté du dernier carré (10). Les deux derniers carrés donnent la longueur totale du rectangle (17). La fraction recherchée est égale à 17/10.

Le processus s'arrête car ''p'' et ''q'' sont [[commensurabilité (mathématiques)|commensurables]] c'est-à-dire qu'il existe une longueur ''l'' et deux entiers ''a'' et ''b'' tels que ''p'' = ''la'' et ''q'' = ''lb''.

Considérons maintenant un rectangle de longueur ''L'' et de largeur ''l''. Si le quotient ''L''/''l'' n'est pas rationnel, c'est-à-dire si les longueurs ''L'' et ''l'' sont incommensurables, le processus ne s'arrête pas.

Tel est le cas pour la figure de droite représentant un rectangle d'or, c'est-à-dire un rectangle dont le rapport de la longueur sur la largeur est égal à φ le [[nombre d'or]]. On ne peut placer qu'un carré dans chaque bande ce qui amène à la représentation : <center><math>\varphi = [1, 1, 1, \cdots]</math>.</center>

La suite des numérateurs et celle des dénominateurs sont [[suite de Fibonacci|de Fibonacci]].
{{Démonstration/fin}}

On a donc montré que pour tout rationnel ''r'', l'algorithme d'Euclide fournit un développement fini en fraction continue de ''r'' (réciproquement, tout nombre qui possède un développement fini en fraction continue est évidemment rationnel). Le développement [''a''{{ind|0}}, … , ''a''{{ind|''n''}}] obtenu ainsi a la particularité que si ''n'' est non nul, alors ''a{{ind|n}}'' > 1. On en déduit un second développement : ''r'' = [''a''{{ind|0}}, … , ''a''{{ind|''n''}} – 1, 1]. Ce sont les deux seuls<ref>{{Harvsp|Hardy|Wright|2007|p=174}}, th. 162.</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage|lang=en|titre=Approximation by Algebraic Numbers|prénom=Yann|nom1=Bugeaud|lien éditeur=Cambridge University Press|éditeur=CUP|année=2004|isbn=978-0-521-82329-6<!--|url={{Google Livres|iAg8FL5jKSgC|page=5}} aperçu non disponible-->|page=5-6}}.</ref>.

Quand on adjoint, au calcul des ''a{{ind|j}}'' de ce développement, le calcul des numérateurs ''h{{ind|j}}'' et dénominateurs ''k{{ind|j}}'' des différentes réduites :
<center><math>\frac{h_0}{k_0}=[a_0]=\frac{a_0}1,\quad \frac{h_1}{k_1}=[a_0,a_1]=a_0+\frac1{a_1}=\frac{a_0a_1+1}{a_1},\quad\ldots</math></center>
cet algorithme d'Euclide devient l'[[algorithme d'Euclide étendu]]<ref>{{Chapitre|lang=en|prénom=Josep|nom=Rifà Coma|titre=Decoding a bit more than the BCH bound|titre ouvrage=Algebraic Coding: First French-Israeli Workshop, Paris, France, July 19 - 21, 1993. Proceedings|auteur ouvrage=Gérard Cohen|lien éditeur=Springer Verlag|éditeur=Springer|année=1994|isbn=978-3-540-57843-7|url={{Google Livres|cY625kzJ-aEC|page=288}}|page=287-303}}, {{p.|288}} 
: {{Citation étrangère|langue=en|It is known that there exists an equivalence between the Extended Euclidean algorithm, {{Lien|trad=Berlekamp–Massey algorithm|algorithme de Berlekamp-Massey|texte=Berlekamp-Massey algorithm}} and the computation of convergents of the continued fraction expansion of a rational fraction [{{Article|prénom=L. R.|nom=Welch|prénom2=R. A.|nom2=Scholtx|titre={{Lang|en|Continued fractions and Berlekamp's algorithm}}|revue=[[IEEE Transactions on Information Theory|IEEE Trans. Inform. Theory]]|vol=25|p.=18-27|année=1979}}]}}.</ref>{{Source détournée}}. Plus précisément, la [[Algorithme d'Euclide étendu#L'algorithme|suite des couples d'entiers (''u{{ind|i}}'', ''v{{ind|i}}'')]], fournie par l'algorithme étendu appliqué à (''p'', ''q''), coïncide avec la suite des (''k{{ind|j}}'', ''h{{ind|j}}''), aux signes près et à un décalage près des indices : ''k{{ind|j}}'' = (–1){{exp|''j''}}''u''{{ind|''j''+2}} et ''h{{ind|j}}'' = (–1){{exp|''j''+1}}''v''{{ind|''j''+2}}. Pour tout ''j'', les entiers ''k{{ind|j}}'' et ''h{{ind|j}}'' sont donc [[premiers entre eux]] et ''p''{{ind|''j''+1}} = (–1){{exp|''j''}}(''qh''{{ind|''j''–1}} – ''pk''{{ind|''j''–1}}). En particulier : la dernière réduite, ''h{{ind|n}}''/''k{{ind|n}}'', est la fraction ''p''/''q'' mise sous [[Fraction irréductible|forme irréductible]] et l'avant-dernière correspond à la solution particulière de l'[[Théorème de Bachet-Bézout|identité de Bézout]] fournie par l'algorithme d'Euclide étendu : [[PGCD]](''p'', ''q'') = ''p''{{ind|''n''+1}} = (–1){{exp|''n''}}(''qh''{{ind|''n''–1}} – ''pk''{{ind|''n''–1}}).

{{Démonstration|
D'après le § « L'algorithme » de l'article sur l'algorithme d'Euclide étendu, les (''u{{ind|i}}'', ''v{{ind|i}}'') sont définis par la [[relation de récurrence]]
<center><math>u_{i+1}=-a_{i-1}u_i+u_{i-1},\quad v_{i+1}=-a_{i-1}v_i+v_{i-1}</math></center>
et l'initialisation
<center><math>u_0=1,\quad u_1=0,\quad v_0=0,\quad v_1=1.</math></center>

D'après le § « Réduites d'une fraction continue » [[#Réduites d'une fraction continue|ci-dessous]], les (''k{{ind|j}}'', ''h{{ind|j}}'') suivent la relation de récurrence
<center><math>k_j=a_jk_{j-1}+k_{j-2},\quad h_j=a_jh_{j-1}+h_{j-2},</math></center>
même en leur affectant les valeurs supplémentaires
<center><math>k_{-2}=1,\quad k_{-1}=0,\quad h_{-2}=0,\quad h_{-1}=1.</math></center>

Le lien annoncé entre ces deux suites de couples d'entiers s'en déduit, par une [[Raisonnement par récurrence#Récurrence d’ordre 2|récurrence d'ordre 2]].
}}

=== Développement en fraction continue du nombre {{math|π}} ===
Une remarque permet de généraliser la méthode précédente à un réel quelconque. Pour l'illustrer, appliquons-la sur le nombre {{math|[[pi|π]]}}. La première étape, dans le cas d'un rationnel, était le calcul du quotient de la division euclidienne du numérateur par le dénominateur, ce qui n'a plus de sens pour un réel, en revanche le résultat était égal à la [[partie entière]] du rationnel, or la partie entière d'un réel a un sens. La [[partie fractionnaire]], nécessairement plus petite que 1, était inversée, ce qui est encore possible ici. On obtient :
<center><math>\pi = 3 + \cfrac 1{\left(\cfrac 1{\pi-3}\right)}\approx 3 + \frac 1{7,062\;513\;305\;931}</math>.</center>

Comme {{math|π – 3}} est plus petit que 1 (c'est une partie fractionnaire) son inverse est plus grand que 1, et n'est pas entier puisque {{math|π}} est [[nombre irrationnel|irrationnel]]. On peut donc lui appliquer la même démarche :
<center><math>\frac 1{\pi-3} \approx 7 + 0,062\;513\;305\;931 \approx 7 + \frac 1{15,996\;594\;41}\quad\text{et}\quad \pi \approx 3 + \cfrac 1{7+\cfrac 1{15,996\;594\;41}}.</math></center>

La nouvelle valeur, approximativement égale à 15,997, est encore un irrationnel strictement supérieur à 1, d'où la possibilité d'une nouvelle étape, puis d'une nouvelle :
<center><math>\pi \approx 3+ \cfrac 1{7+\cfrac 1{15 + \cfrac 1{1 + 0,003\;417}}} \approx 3+ \cfrac 1{7+\cfrac 1{15 + \cfrac 1{1 + \cfrac 1{292 + 0,6}}}}.
</math></center>

Puisque que {{math|π}} est irrationnel, le processus ne s'arrête jamais (en imaginant que le calcul est réalisé avec une infinité de décimales). On obtient comme suite de fractions 3 puis 22/7&nbsp;≈&nbsp;3,1428 puis 333/106&nbsp;≈&nbsp;3,14150 puis 355/113&nbsp;≈&nbsp;3,1415929 et enfin 103&nbsp;993&nbsp;/&nbsp;33&nbsp;102, proche de {{math|π}} avec une précision meilleure que le milliardième. Une fois encore, la suite des erreurs est décroissante en valeur absolue et de signes alternés.

== Approche théorique ==
=== Notations et terminologie ===
* {{refsou|Nous appellerons '''fraction continue''' ou '''fraction continue simple'''<ref group=note>L'usage des deux mots dépend du contexte. Dans certains cas, la majorité des expressions sont du type étudié jusqu'à présent. Pour plus de simplicité on parle de ''fraction continue''. Les expressions différentes, par exemple parce que ''a<sub>n</sub> ''devient négatif ou réel quelconque, sont appelées [[#Fraction continue généralisée|fractions continues généralisées]]. Dans d'autres situations, l'expression générale n'est pas celle où ''a<sub>n</sub> ''est un entier — il peut être, par exemple, une fonction complexe ou une [[matrice (mathématiques)|matrice]] — le terme de fraction continue désigne alors l'objet mathématique principal étudié et les fractions dont il est question ici prennent le nom de fraction continue simple.</ref> toute suite non vide (''a<sub>p</sub>'') dont le premier terme ''a''<sub>0</sub> est un entier relatif et tous les termes suivants sont des entiers strictement positifs.}}
* L'ensemble de ses '''indices''' est soit de la forme {0, 1, … , ''n''} pour un certain entier naturel ''n'' s'il s'agit d'une suite finie, soit égal à [[Entier naturel|ℕ]] pour une suite infinie.
* Sa '''réduite''' d'indice ''p'' est le rationnel [''a''<sub>0</sub>, ''a''<sub>1</sub>, … , ''a<sub>p</sub>''], défini par<center><math> [a_0]=a_0,\quad [a_0,a_1]=a_0+\frac{1}{a_1},\quad \dots [a_0,\dots,a_p] =a_0+\frac{1}{[a_1,\dots,a_p]}.</math></center>

=== Réduites d'une fraction continue ===
Soit (''a<sub>p</sub>'') une fraction continue. On lui associe deux suites d'entiers (''h<sub>p</sub>'') et (''k<sub>p</sub>''), définies par récurrence par :

<center><math>\begin{align} h_{-2} = 0,\quad & h_{-1} = 1,\quad & h_p = a_ph_{p-1}+h_{p-2} \\ k_{-2} = 1,\quad & k_{-1} = 0,\quad & k_p =  a_pk_{p-1}+k_{p-2}.\end{align}</math></center>

Alors, pour tout indice ''p'' de la fraction continue :

<center><math>\begin{matrix}[a_0,a_1,\ldots,a_p]=\frac{h_p}{k_p}&\quad&(1)\\
a_p=-\frac{h_pk_{p-2}-h_{p-2}k_p}{h_pk_{p-1}-h_{p-1}k_p}&&(2)\\
h_{p-1}k_p-h_pk_{p-1}=(-1)^p.&&(3)\end{matrix}</math></center>

La propriété (3) montre, par application du [[Théorème de Bachet-Bézout#Résultat réciproque|théorème de Bézout]], que les entiers ''h<sub>p</sub>'' et ''k<sub>p</sub>'' sont premiers entre eux.

Ces trois propriétés se démontrent directement<ref name=Wikiversité/> mais sont aussi des cas particuliers de celles des [[Fraction continue généralisée|fractions continues généralisées]], démontrées dans l'article correspondant. On y donne également une interprétation [[Matrice (mathématiques)|matricielle]] de la définition des ''h<sub>p</sub>'' et ''k<sub>p</sub>'', dont résulte immédiatement, par [[Matrice transposée|transposition]], une propriété [[Relation d'ordre#Ordre dual|duale]] de (1)<ref>{{Article|lang=en|nom=[[Alfred van der Poorten]]|titre=Symmetry and folding of continued fractions|revue=[[Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux]]|vol=14|numéro=2|p.=603-611|année=2002|url=http://maths.mq.edu.au/~alf/SomeRecentPapers/157.pdf}}.</ref> :
<center><math>[a_p,a_{p-1},\ldots,a_0]=\frac{h_p}{h_{p-1}}\text{ (si }a_0>0\text{) et }[a_p,a_{p-1},\ldots,a_1]=\frac{k_p}{k_{p-1}}\text{ (si }p>0\text{).}</math></center>

=== Fraction continue d'un réel ===
==== Algorithme ====
Dans l'algorithme d'Euclide développé précédemment, l'entier ''a<sub>j</sub>'' est le quotient de ''p<sub>j</sub> ''dans la division euclidienne par ''p''<sub>''j''+1</sub>. C'est donc la partie entière du réel ''x<sub>j</sub> ''égal à ''p<sub>j</sub>''/''p''<sub>''j''+1</sub>. La partie fractionnaire ''x<sub>j</sub> – a<sub>j</sub>'' de ''x<sub>j</sub>'' est ''p''<sub>''j''+2</sub>/''p''<sub>''j''+1</sub>, inverse du réel ''x''<sub>''j''+1</sub>.

On peut alors définir un développement en fraction continue pour tout réel ''x''. Le symbole ⌊''s''⌋ désigne la partie entière du nombre ''s''. On pose :
<center><math>x_0=x,</math></center>

ainsi que la définition récurrente : tant que ''x<sub>j</sub>'' n'est pas entier,
<center><math>a_j=\lfloor x_j\rfloor,\quad x_j=a_j+\frac1{x_{j+1}}.</math></center>

Si ''x'' est rationnel, comme on l'a vu [[#Développement en fraction continue d'un rationnel|plus haut]], il existe un ''n'' tel que ''x<sub>n</sub>'' soit entier : on pose ''a<sub>n</sub> = x<sub>n</sub>'', l'algorithme s'arrête, et les deux suites (''a<sub>j</sub>'') et (''x<sub>j</sub>'') sont finies. Si ''x'' est irrationnel, l'algorithme ne s'arrête jamais et les deux suites sont infinies.

* La suite (''a<sub>p</sub>'') est appelée la '''fraction continue du réel ''x'''''.
* Le réel ''x<sub>p</sub>'' (strictement supérieur à 1 si ''p'' > 0) est appelé le '''quotient complet de ''x''''' d'indice ''p''.
* Sa partie entière ''a<sub>p</sub>'' est le '''quotient incomplet de ''x''''' d'indice ''p''.

On peut formaliser de manière plus informatique cet algorithme :

* Donnée : un nombre ''x'' réel.
* Initialisation : on assigne la valeur ''x'' à la variable ''X''. La suite ''a'' est vide. 
* Boucle : On assigne à la variable ''A'' la partie entière de ''X'', on concatène cette valeur à la suite ''a''. Si ''X'' est entier, l'algorithme s'arrête. Si ''X'' n'est pas entier, on assigne à ''X'' la valeur de {{nobr|1 /(''X – A'')}} et on recommence au début de la boucle.

Soit, en [[Python (langage)|Python]]<syntaxhighlight lang="python" line>
# Initialisation
X = x
a = []

while not X.is_integer():
    # Partie entière
    A = int(X)
    # Concaténation
    a.append(A)
    # Nouveau X
    X = 1 / (X - A)
</syntaxhighlight>

Ou encore, on peut exprimer le même algorithme [[récursivité|récursivement]] :
* si ''x'' est entier, son développement est (''x'') ;
* sinon, soit ''a''{{ind|0}} sa partie entière ; le développement de ''x'' est : ''a''{{ind|0}}, suivi du développement de 1/(''x'' – ''a''{{ind|0}}).

Si ''x'' est irrationnel, deux notations sont fréquemment utilisées dans ce contexte :
<center><math>x = a_0 + \cfrac 1{a_1 + \cfrac 1{a_2 + \cfrac 1{\cdots}}} = [a_0, a_1, a_2, \cdots].</math></center>

Elles seront légitimées [[#Encadrement et convergence|plus loin]] : on verra entre autres que la suite des réduites [[Limite d'une suite|converge]] vers ''x''.

==== Quotients complets d'un réel ====

Soient ''x'' un réel, (''a<sub>p</sub>'') sa fraction continue, (''h<sub>p</sub>'') et (''k<sub>p</sub>'') les suites des numérateurs et dénominateurs des réduites associées à cette fraction continue, et (''x<sub>p</sub>'') la suite des quotients complets de ''x''.

Pour tout indice ''p'', on dispose de l'égalité :
<center><math>x = [a_0, a_1, \dots, a_{p-1}, x_p].</math></center>
Or [[Fraction continue généralisée#Réduites|la démonstration]] des [[#Réduites d'une fraction continue|propriétés (1) et (2) ci-dessus des réduites d'une fraction continue]] reste valide si l'entier ''a<sub>p</sub>'' est remplacé par le réel ''x<sub>p</sub>''. On obtient donc, respectivement :

<center><math>\begin{matrix}x=\frac{x_ph_{p-1}+h_{p-2}}{x_pk_{p-1}+k_{p-2}}&\quad&(1')\\
x_p=-\frac{xk_{p-2}-h_{p-2}}{xk_{p-1}-h_{p-1}}.&&(2')\end{matrix}</math></center>

La propriété (2’) :
* permet de calculer l'entier {{math|''a{{ind|p}}''}} (partie entière de {{math|''x{{ind|p}}''}}) en utilisant {{math|''x''}} comme seul réel, sans utiliser la suite de réels {{math|(''x{{ind|j}}'')}}, qui peut accumuler à chaque étape des [[Virgule flottante|imprécisions]] si l'algorithme est utilisé sur l'outil informatique et conduire ainsi à des valeurs erronées à partir d'un certain rang ;
* montre que la suite des réels |''k{{ind|p}}x – h{{ind|p}}''| est strictement décroissante.

=== Encadrement et convergence ===
La différence de deux réduites successives d'une fraction continue infinie s'écrit <math>\frac{h_{p+1}}{k_{p+1}}-\frac{h_p}{k_p}=\frac{(-1)^p}{k_pk_{p+1}}</math>  {{supra|Réduites d'une fraction continue}}, ce qui constitue le point de départ du théorème ci-dessous.

{{Théorème|Théorème<ref name=Wikiversité>Pour une démonstration, voir par exemple le [[#Voir aussi|lien ci-dessous]] vers [[Wikiversité]].</ref>|
*La suite <math>(h_n/k_n)</math> des réduites d'une fraction continue infinie <math>\left(a_n\right)</math> converge et sa limite <math>\ell</math> vérifie : <math>\forall p\in\N\quad\frac1{k_p(k_{p+1}+k_p)}<\left|\ell-\frac{h_p}{k_p}\right|<\frac1{k_pk_{p+1}}</math>.
*L'application <math>\left(a_n\right)\mapsto\ell</math> est une [[bijection]] de l'ensemble des fractions continues infinies dans l'ensemble des irrationnels ; la [[bijection réciproque]] associe à chaque irrationnel [[#Algorithme|sa fraction continue]].
|style=display:table}}

=== Distribution des coefficients ===
[[File:GaussKuzminPDF.png|thumb|right|Distribution des coefficients dans une fraction continue ([[loi de Gauss-Kuzmin]]).]]
La [[loi de Gauss-Kuzmin]] donne la probabilité pour que le nombre ''k'' apparaisse dans la suite des coefficients. 
: <math> p(k) := \mathbb P(X=k) = - \log_2 \left( 1 - \frac{1}{(1+k)^2}\right)~.</math>

Plus le nombre est grand, plus la probabilité est asymptotiquement faible. Cette loi n'est valable que statistiquement, si on prend un nombre au hasard, pas forcément pour un nombre donné. Par exemple, pour les [[Irrationnel quadratique|irrationnels quadratiques]] possédant un cycle, ou les [[rationnel]]s, la loi est manifestement fausse. Mais ces nombres exceptionnels forment un [[ensemble maigre]] parmi tous les réels, et ne changent donc pas statistiquement la loi générale.

Par exemple, le nombre 292, qui apparait tôt dans la fraction continue de {{math|π}}, n'avait qu'une chance sur 59596 (environ) d'apparaitre, si on considère {{math|π}} comme un nombre aléatoire.

== Développements en fraction continue remarquables ==
{{Voir|Table de constantes mathématiques}}
*[[Fraction continue d'un irrationnel quadratique|Développements périodiques (nombres quadratiques)]]<ref>Pour d'autres développements de nombres quadratiques, voir {{MathWorld|nom_url=PeriodicContinuedFraction|titre=Periodic Continued Fraction}}.</ref> :
**[[Racine carrée de deux|{{math|{{sqrt|2}}}}]] = <math>[1,2,2,2,\dots]=[1,\overline2]</math> ;
**[[Racine carrée de trois|{{math|{{sqrt|3}}}}]] = <math>[1,1,2,1,2,\dots]=[1,\overline{1,2}]</math> ;
**[[nombre d'or]] <math>\varphi=[1,1,1,1,1,1,1,\dots]</math>, {{OEIS|A000012}} ;
**[[nombre métallique]] d'indice ''n'' <math>\varphi_n=[n,n,n,n,n,\dots]</math>.
* <math>\sqrt2+\sqrt3=[3, 6, 1, 5, 7, 1, 1, 4, 1, 38, 43,\dots]</math>, {{OEIS|A089078}}.
*[[Constante délienne]] <math>\sqrt[3]2=[1, 3, 1, 5, 1, 1, 4, 1, 1, 8, 1,\cdots]</math>, {{OEIS|A002945}}.
*[[e (nombre)|{{math|e}}]] = <math>[2,1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,\dots]</math>, {{OEIS|A003417}} ; <math>a_{3m-1}=2m,a_0=2,\text{ sinon  }a_n=1</math> {{infra|Fraction continue de e}}.
*[[Pi|{{math|π}}]] = <math>[3, 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1,\dots]</math>, {{OEIS|A001203}}.
*[[Constante d'Euler-Mascheroni|Constante d'Euler]] <math>\gamma=[0, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 13, 5,\cdots]</math>, {{OEIS|A002852}}
* <math>[1,2,3,4,5,6,\dots]=\frac{\sum_{n\geqslant0}{\frac{1}{n!^2}}}
{\sum_{n\geqslant0}{\frac{n}{n!^2}}}=1{,}43312742\dots</math> ; décimales données par la {{OEIS|A060997}}.
* <math>[2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,\dots]=2{,}3130367364\dots</math>, suite des [[nombres premiers]] ; décimales données par la {{OEIS|A064442}}.
La liste des développements en fraction continue publiés dans l'[[OEIS]] se trouve [[oeis:wiki/Index_to_OEIS:_Section_Con#continued%20fractions|ici]].

=== Représentation géométrique de fractions continues remarquables ===
Les fractions continues sont principalement considérées comme un objet arithmétique des mathématiques. Il est pourtant relativement aisé d'en faire une simple expression géométrique si l'on représente une fraction y/x par un rectangle de hauteur y et de largeur x. Alors la pente de sa diagonale est y/x. Une fraction continue s'exprime alors comme un assemblage de rectangles.

Avec cette méthode géométrique particulièrement simple il est aisé de retrouver l'approximation <math>\sqrt3\approx \frac{265}{153}</math> telle qu'elle fut exprimée par [[Archimède]], au IIIe siècle de notre ère, dans son traité [[De la mesure du cercle|De la mesure du Cercle]]. De la même façon, la construction géométrique par une série de carrés alternés donne les nombres de la [[suite de Fibonacci]] avec une pente de valeur <math>\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}</math>
{{Image multiple
| align = left
| image1 = 11.21 Fraction continue - V2.png
| caption1 = √2
| width1 = 350
| image2 = 11.20 Fraction continue - V3.png
| caption2 = √3 et approximation d'Archimède
| width2 = 350
| image3 = 11.19 Fraction continue - Phi.png
| caption3 = Nombre d'or et suite de Fibonacci
| width3 = 350
}}

{{clr}}

== Usage des fractions continues ==
Les usages des fractions continues sont nombreux. On trouvera par exemple dans [[Fraction continue et approximation diophantienne]] les démonstrations de l'irrationalité de {{math|e}} ou de {{math|π}}, dans [[Fraction continue d'un irrationnel quadratique]] un exemple de résolution d'[[équation de Pell-Fermat]] ou dans [[Approximant de Padé]] un [[prolongement analytique]] de la série entière de la fonction tangente. L'usage donné ici ne nécessite pour sa compréhension que les propriétés décrites dans cet article.

=== Automate planétaire ===
[[Fichier:Automate planétaire de Huygens.jpg|vignette|Christian Huygens construit un ''automate planétaire'' pour déterminer les positions relatives des corps célestes du système solaire.]]

[[Christian Huygens]] souhaite construire, à l'aide d'un mécanisme de type horlogerie, un automate représentant le mouvement des planètes autour du soleil : {{Citation|Ayant trouuè et fait executer depuis peu une machine automate qui represente les mouvements des Planetes dont la construction est d'une facon particuliere et assez simple a raison de son effect, au reste d'une grande utlitè a ceux qui estudient ou observent le cours des astres<ref>[[Christian Huygens|C. Huygens]], ''[http://www.xs4all.nl/~adcs/Huygens/21/pensees.html Pensees meslees]'', 1686, § 24.</ref>.}} La difficulté à laquelle il est confronté est liée au rapport de la durée d'une année terrestre et de celle de Saturne. En un an, la Terre tourne de 359° 45′ 40″ 30‴ et Saturne de 12° 13′ 34″ 18‴. Le rapport est égal à {{nobr|77 708 431/2 640 858.}} Combien faut-il de dents sur les deux [[engrenage]]s supportant respectivement la Terre et Saturne ?

Huygens sait que les fractions continues offrent le meilleur compromis, ce qu'il exprime ainsi : {{citation|Or, lorsqu'on néglige à partir d'une fraction quelconque les derniers termes de la série et celles qui la suivent, et qu'on réduit les autres plus le nombre entier à un commun dénominateur, le rapport de ce dernier au numérateur sera voisin de celui du plus petit nombre donné au plus grand ; et la différence sera si faible qu'il serait impossible d'obtenir un meilleur accord avec des nombres plus petits<ref>Cette citation est extraite de {{harvsp|Brezinski|2005|p=51}}.</ref>.}}

Un calcul en fraction continue montre que :
<center><math>\frac{77\,708\,431}{2\,640\,858} = [29,2,2,1,5,1,4,1,1,2,1,6,1,10,2,2,3]</math>.</center>

On obtient la suite de fractions : 29/1, 59/2, 147/5, 206/7, 1 177/40 ... Les deux premières solutions ne sont guère précises, dans le premier cas, à la fin d'une rotation de Saturne, la position de la terre est fausse à près d'un demi-tour, dans l'autre cas l'erreur dépasse 4°. La cinquième est techniquement difficile, elle demande la fabrication d'une roue à plus de {{formatnum:1000}} dents ou plusieurs roues. La quatrième offre une précision proche de 3/1 000. C'est celle que choisit Huygens.

Si la terre fait cent tours complets, sur l'automate planétaire Saturne en fait 700/206, soit trois tours et un angle de 143° 18′. Dans la réalité, Saturne a tourné de 143° 26′. Soit une erreur de 8 minutes d'angle, largement inférieure aux imprécisions mécaniques de l'horloge. Un calcul analogue montre que la fraction 147/5 donne, dans le même contexte, une erreur supérieure à un degré, pour une mise en œuvre d'une difficulté technique comparable.

== Fraction continue généralisée ==
{{Voir|Fraction continue généralisée}}
Un calcul, dans la partie introductive de l'article, montre comment déterminer la fraction continue de {{math|π}}. Néanmoins, chaque étape est plus pénible car elle demande une précision sur la valeur initiale de plus en plus grande. Les séries entières, convergeant vers {{math|π}}, offrent bien une solution théorique pour le calcul de chaque coefficient de la fraction continue, mais il est calculatoirement trop inextricable pour être utilisable. Pour cette raison, il est plus simple d'obtenir une expression en fraction continue généralisée, en autorisant des numérateurs non nécessairement égaux à 1. La première fraction de ce type fut produite par Brouncker<ref group=note name=Brouncker/> :
<center><math>\frac{\pi}4=0+\cfrac1{1+\cfrac{1^2}{2+\cfrac{3^2}{2+\cfrac{5^2}{2+\dots}}}}.</math></center>
Une démonstration de cette égalité figure dans l'article « [[Formule de fraction continue d'Euler]] », par évaluation au point 1 d'une fraction continue généralisée de la fonction [[Arctangente]]. Ainsi, une fraction continue ne s'applique pas uniquement aux nombres, mais aussi à certaines fonctions.

[[Fichier:Leonhard Euler 2.jpg|vignette|[[Leonhard Euler]] calcule le premier développement en fraction continue généralisée d'une fonction.]]
=== Développement en fraction continue du nombre {{math|e}} ===
De même, [[Fraction continue et approximation diophantienne#Exemple, la base du logarithme népérien|Euler a développé la fonction exponentielle]] en une fraction continue de fonctions d'une forme appropriée :
{{retrait|<math>{\rm e}^{1/s}=[1,s-1,1,1,3s-1,1,1,5s-1,1,1,7s-1,\ldots],</math>}}
de manière à obtenir la fraction continue de {{math|e}} :
<center><math>{\rm e}=[2,1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,\ldots].</math></center>

== Notes et références ==
=== Notes ===
{{Références|groupe=note}}

=== Références ===
{{Références}}

== Voir aussi ==
{{Autres projets|v=Introduction à la théorie des nombres/Approximation diophantienne et fractions continues#Fractions continues|wikiversity titre=Fractions continues}}
=== Bibliographie ===
*{{Ouvrage|langue=en|auteur=[[Jonathan Borwein]]|auteur2=[[Alf van der Poorten]]|auteur3=[[Jeffrey Shallit]]|auteur4={{Lien|lang=de|Wadim Zudilin}}|titre=Neverending Fractions |éditeur=[[Cambridge University Press]]|année=2014}}
*{{Ouvrage |langue=en |auteur1=C. Brezinski |titre=History of Continued Fractions and Padé Approximants |éditeur=Springer-Verlag |lieu=Berlin |année=1991 |doi=10.1007/978-3-642-58169-4 |lire en ligne={{Google Livres|rxzsCAAAQBAJ}}}}
* ''Bulletin de l'[[APMEP]]'' {{n°|450}}
* {{article|auteur=[[Eugène Charles Catalan]]|titre=Théorie des fractions continues|périodique=Nouvelles annales de mathématiques|série=1|tome=8|année=1849|passage=154-202|lire en ligne=http://www.numdam.org/item/NAM_1849_1_8__154_1.pdf}}
* Roger Descombes, ''Éléments de théorie des nombres'', [[PUF]], 1986
* {{Ouvrage |auteur1=Daniel Duverney |titre=Théorie des nombres |éditeur=[[Dunod]]|année=2007}}
*{{Ouvrage |langue originale=en |auteur1=[[Godfrey Harold Hardy|G. H. Hardy]] |auteur2=[[Edward Maitland Wright|E. M. Wright]] |traducteur=F. Sauvageot |titre=Introduction à la théorie des nombres |titre original=[[Modèle:HardyWright|An Introduction to the Theory of Numbers]] |éditeur=[[Vuibert]]-[[Springer Verlag|Springer]] |année=2007 }}
*{{Ouvrage |langue=en |auteur1=Doug Hensley |titre=Continued Fractions |éditeur=[[World Scientific]] |année=2006 |lire en ligne={{Google Livres|k3PVXFkweKgC}}}}
* Jean Trignan, ''Introduction aux problèmes d'approximation : fractions continues, différences finies'', Éd. du Choix, 1994 {{ISBN|978-2-909028-16-3}}
* [[Georges Valiron]], ''Théorie des fonctions'', [[Elsevier Masson|Masson]], Paris, 1966, Notions sur les fractions continues arithmétiques {{p.|17-24}}

=== Articles connexes ===
* [[Approximant de Padé]]
* [[Factorisation par fraction continue]]
* [[Fraction continue d'un irrationnel quadratique]]
* [[Fraction continue généralisée]]
*[[Fraction continue et approximation diophantienne]]
*[[Formule de fraction continue d'Euler]]
*[[Développement en série de Engel]]
* [[Mesure d'irrationalité]]
* [[Polyèdre de Klein]]
* {{Lien|langue=en|trad=Restricted partial quotients|fr=Quotients partiels restreints}}
* Concernant la convergence :
** [[Constante de Khintchine]]
** [[Constante de Lévy]]
** [[Problème de convergence]]
** [[Théorème de Lochs]]
** [[Théorème de Śleszyński-Pringsheim]]

=== Liens externes ===
* {{Autorité}}
* {{Dictionnaires}}
* {{Bases}}
* {{Chapitre|lang=en|prénom=Gilles|nom=Lachaud|titre=Continued fractions, binary quadratic forms, quadratic fields, and zeta functions|titre ouvrage=Algebra and topology 1988|page=1-56|lien éditeur=Institut coréen des sciences et de la technologie|éditeur=Korea Inst. Tech.|lieu=[[Taejon]]|année=1988|url=http://iml.univ-mrs.fr/editions/biblio/files/lachaud/1988e.pdf}}
* {{en}} [http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?module=tool/number/contfrac.en Un calculateur en ligne de fraction continue]
* {{de}} [http://www-m10.ma.tum.de/twiki/bin/view/Lehre/Bsp5_2 Une illustration graphique] de l'algorithme d'Euclide itéré pour le calcul d'une fraction continue (avec [[Cinderella (logiciel)|Cinderella]]).
*{{Lien web|auteur=Charles Walter|url=http://math.unice.fr/~walter/L1_Arith/cours2.pdf|titre=L1 Maths et L1 Info, Option Arithmétique, chap. 2 : Fractions continues|site=[[Université de Nice]]|année=2011}}

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