Voir la source de Fraction continue de Gauss

En [[analyse complexe]], une '''fraction continue de Gauss''' est un cas particulier de [[fraction continue]] dérivé des [[Série hypergéométrique|fonctions hypergéométriques]]. Ce fut l'un des premiers exemples de fractions continues [[Fonction analytique|analytiques]]. Elles permettent de représenter des [[Fonction de référence|fonctions élémentaires]] importantes, ainsi que des [[Fonction spéciale|fonctions spéciales]] [[Fonction transcendante|transcendantes]] plus compliquées.

== Histoire ==
[[Jean-Henri Lambert|Lambert]] a publié quelques exemples de [[Fraction continue généralisée|fractions continues généralisées]] de cette forme en 1768<ref>{{Ouvrage |langue=en |nom1={{Lien|Hubert Stanley Wall}} |titre=Analytic Theory of Continued Fractions |éditeur=[[American Mathematical Society|AMS]] |année=2000 |année première édition=1948 |pages totales=433 |passage=349 |isbn=978-0-8218-2106-0 |id=Wall 2000}}.</ref>, démontrant entre autres l'[[Nombre irrationnel|irrationalité]] de [[Pi|{{math|π}}]] ({{cf.}} § « Applications à {{ind|0}}''F''{{ind|1}} » [[#Applications à 0F1|ci-dessous]]). [[Leonhard Euler|Euler]] et [[Joseph-Louis Lagrange|Lagrange]] ont exploré des constructions similaires<ref>{{Ouvrage |langue=en |prénom1=William B. |nom1=Jones |prénom2=W. J. |nom2=Thron |titre=Continued Fractions |sous-titre=Analytic Theory and Applications |éditeur=[[Addison-Wesley]] |collection=Encyclopedia of Mathematics and its Applications |numéro dans collection=11 |année=1980 |passage=5 |isbn=978-0-201-13510-7}}.</ref>, mais c'est [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]] qui utilisa l'astuce algébrique décrite dans la section suivante pour donner la forme générale de cette fraction continue, en 1813<ref>{{Article|lang=la|prénom=C. F.|nom=Gauss|titre=Disquisitiones generales circa seriem infinitam|revue=Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis recentiores|année=1813|url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN35283028X_0002_2NS&DMDID=DMDLOG_0024&LOGID=LOG_0024&PHYSID=PHYS_0239|sous-titre=Sectio secunda — Fractiones continuae|p.=13-17}}.</ref>.

Il ne démontra cependant pas ses [[Problème de convergence|propriétés de convergence]]. [[Bernhard Riemann]]<ref>B. Riemann, ''[http://visualiseur.bnf.fr/ConsulterElementNum?O=NUMM-29074&Deb=407&Fin=415&E=PDF Sur le développement du quotient de deux séries hypergéométriques en fraction continue infinie]'', 1863 –  Œuvre de Riemann, 1873, {{2e}} éd., {{p.|424}} (fragment posthume — titre original : {{it}} « {{lang|it|Sullo svolgimento del quoziente di due serie ipergeometriche in frazione continua infinita}} »).</ref> et [[Ludwig Wilhelm Thomé]]<ref>{{Article|lang=de|prénom=L. W.|nom=Thomé|année=1867|titre=Über die Kettenbruchentwicklung des ''Gauss''schen Quotienten…|lien périodique=Journal für die reine und angewandte Mathematik|revue=J. reine angew. Math.|vol=67|p.=299-309|url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN243919689_0067&DMDID=DMDLOG_0024}}.</ref> obtinrent des résultats partiels, mais ce n'est qu'en 1901 qu'[[Edward Burr Van Vleck]]<ref>{{Article|lang=en|prénom=E. B.|nom=Van Vleck|année=1901|titre=On the convergence of the continued fraction of Gauss and other continued fractions|lien périodique=Annals of Mathematics|revue=Annals of Mathematics|vol=3|p.=1-18|doi=10.2307/1967627}}.</ref> précisa le domaine de [[Limite d'une suite|convergence]].

== Formule générale ==
Soit {{math|(''f{{ind|i}}'')}} une [[suite de fonctions]] [[Fonction analytique|analytiques]] telle que pour tout {{math|''i'' > 0}},
<center><math>f_{i-1}-f_i=k_i\,z\,f_{i+1},</math></center>
où les {{math|''k{{ind|i}}''}} sont des [[constante]]s. Alors, en posant
{{retrait|<math>g_i=\frac{f_i}{f_{i-1}}\text{, on a }g_i=\frac1{1+k_i zg_{i+1}}</math>}}
donc (en [[Fraction continue généralisée#Notations|notation de Pringsheim]])
{{retrait|<math>\frac{f_1}{f_0}=g_1=\frac{1\mid}{\mid1+k_1zg_2}=\frac{1\mid}{\mid1}+\frac{k_1z\mid}{\mid1+k_2zg_3}=\frac{1\mid}{\mid1}+\frac{k_1z\mid}{\mid1}+\frac{k_2z\mid}{\mid1+k_3zg_4}=\ldots</math>}}
et en répétant indéfiniment cette transformation :
<center><math>\frac{f_1}{f_0}=\frac{1\mid}{\mid1}+\frac{k_1z\mid}{\mid1}+\frac{k_2z\mid}{\mid1}+\frac{k_3z\mid}{\mid1}+\cdots.</math></center>

Dans la fraction continue de Gauss, les fonctions {{math|''f{{ind|i}}''}} sont des [[Série hypergéométrique|fonctions hypergéométriques]] de la forme {{ind|0}}''F''{{ind|1}}, {{ind|1}}''F''{{ind|1}} et {{ind|2}}''F''{{ind|1}}, et les équations {{math|1=''f''{{ind|''i''–1}} – ''f{{ind|i}} = k{{ind|i}} z f''{{ind|''i''+1}}}} proviennent d'[[Identité (mathématiques)|identités]] entre ces fonctions, dans lesquelles les paramètres diffèrent par des quantités [[Entier relatif|entières]]. Ces identités peuvent se démontrer de diverses manières, par exemple en développant les [[Série entière|séries]] et en comparant les coefficients, ou en calculant la [[dérivée]] de plusieurs façons et en l'éliminant des équations produites.

== Les trois séries {{ind|0}}''F''{{ind|1}}, {{ind|1}}''F''{{ind|1}} et {{ind|2}}''F''{{ind|1}} ==
=== La série {{ind|0}}''F''{{ind|1}} ===
Le cas le plus simple concerne la fonction
<center><math>{}_0F_1(;a;z)=1+\frac1{a\,1!}z+\frac1{a(a+1)\,2!}z^2+\frac1{a(a+1)(a+2)\,3!}z^3+\cdots.</math></center>
D'après l'identité
{{retrait|<math>_0F_1(;a-1;z)-\,_0F_1(;a;z)=\frac z{a(a-1)}\,_0F_1(;a+1;z),</math>}}
on peut prendre
{{retrait|<math>f_i=\,_0F_1(;a+i;z)\text{ et }k_i=\frac1{(a+i)(a+i-1)},</math>}}
ce qui donne
{{retrait|<math>\frac{{}_0F_1(;a+1;z)}{\,_0F_1(;a;z)}=\frac{1\mid}{\mid1}+\frac{\frac1{a(a+1)}z\mid}{\mid1}+\frac{\frac1{(a+1)(a+2)}z\mid}{\mid1}+\frac{\frac1{(a+2)(a+3)}z\mid}{\mid1}+\cdots</math>}}
ou encore, par [[Fraction continue généralisée#Conversions|conversion]] :
{{Bloc emphase|bord=1px solid #2288ff;|espacement=1.5ex|<math>\frac{{}_0F_1(;a+1;z)}{a\,_0F_1(;a;z)}=\frac{1\mid}{\mid a}+\frac{z\mid}{\mid a+1}+\frac{z\mid}{\mid a+2}+\frac{z\mid}{\mid a+3}+\cdots.</math>}}
Ce développement converge vers la [[fonction méromorphe]] définie par le quotient des deux [[Série convergente|séries convergentes]] (sous réserve, bien sûr, que {{math|''a''}} ne soit pas un entier négatif ou nul).

=== La série {{ind|1}}''F''{{ind|1}} ===
Le cas suivant concerne la [[fonction hypergéométrique confluente]] de [[Ernst Kummer|Kummer]]
<center><math>{}_1F_1(a;b;z)=1+\frac a{b\,1!}z+\frac{a(a+1)}{b(b+1)\,2!}z^2+\frac{a(a+1)(a+2)}{b(b+1)(b+2)\,3!}z^3+\cdots,</math></center>
pour laquelle on utilise alternativement les deux identités
{{retrait|<math>{}_1F_1(a;b-1;z)-\,_1F_1(a+1;b;z)=\frac{(a-b+1)z}{b(b-1)}\,_1F_1(a+1;b+1;z),</math>}}
{{retrait|<math>{}_1F_1(a;b-1;z)-\,_1F_1(a;b;z)=\frac{az}{b(b-1)}\,_1F_1(a+1;b+1;z).</math>}}
En posant
{{retrait|<math>f_0(z)=\,_1F_1(a;b;z),</math>}}
{{retrait|<math>f_1(z)=\,_1F_1(a+1;b+1;z),</math>}}
{{retrait|<math>f_2(z)=\,_1F_1(a+1;b+2;z),</math>}}
{{retrait|<math>f_3(z)=\,_1F_1(a+2;b+3;z),</math>}}
{{retrait|<math>f_4(z)=\,_1F_1(a+2;b+4;z),</math>}}
etc. et
{{retrait|<math>k_1=\frac{a-b}{b(b+1)},~k_2=\frac{a+1}{(b+1(b+2)},~k_3=\frac{a-b-1}{(b+2)(b+3)},~k_4=\frac{a+2}{(b+3)(b+4)},\ldots</math>}}
on obtient
{{retrait|<math>\frac{{}_1F_1(a+1;b+1;z)}{{}_1F_1(a;b;z)}=\frac{1\mid}{\mid1}+\frac{\frac{a-b}{b(b+1)}z\mid}{\mid1}+\frac{\frac{a+1}{(b+1)(b+2)}z\mid}{\mid1}+\frac{\frac{a-b-1}{(b+2)(b+3)}z\mid}{\mid1}+\frac{\frac{a+2}{(b+3)(b+4)}z\mid}{\mid1}+\cdots</math>}}
dont on déduit
{{Bloc emphase|bord=1px solid #2288ff;|espacement=1.5ex|<math>\frac{{}_1F_1(a+1;b+1;z)}{b\,_1F_1(a;b;z)}=\frac{1\mid}{\mid b}+\frac{(a-b)z\mid}{\mid b+1}+\frac{(a+1)z\mid}{\mid b+2}+\frac{(a-b-1)z\mid}{\mid b+3}+\frac{(a+2)z\mid}{\mid b+4}+\cdots</math>}}
mais aussi, en utilisant que {{math|{{ind|1}}''F''{{ind|1}}(0; ''b''; ''z'') {{=}} 1}} et en remplaçant {{math|''b'' + 1}} par {{mvar|b}}, le cas particulier
<center><math>{}_1F_1(1;b;z)=\frac{1\mid}{\mid1}-\frac{z\mid}{\mid b}+\frac{z\mid}{\mid b+1}-\frac{bz\mid}{\mid b+2}+\frac{2z\mid}{\mid b+3}-\frac{(b+1)z\mid}{\mid b+4}+\cdots.</math></center>

De même,
{{retrait|<math>\frac{{}_1F_1(a;b+1;z)}{{}_1F_1(a;b;z)}=\frac{1\mid}{\mid1}+\frac{\frac a{b(b+1)}z\mid}{\mid1}+\frac{\frac{a-b-1}{(b+1)(b+2)}z\mid}{\mid1}+\frac{\frac{a+1}{(b+2)(b+3)}z\mid}{\mid1}+\frac{\frac{a-b-2}{(b+3)(b+4)}z\mid}{\mid1}+\cdots</math>}}
ou encore :
{{Bloc emphase|bord=1px solid #2288ff;|espacement=1.5ex|<math>\frac{{}_1F_1(a;b+1;z)}{b\,_1F_1(a;b;z)}=\frac{1\mid}{\mid b}+\frac{az\mid}{\mid b+1}+\frac{(a-b-1)z\mid}{\mid b+2}+\frac{(a+1)z\mid}{\mid b+3}+\frac{(a-b-2)z\mid}{\mid b+4}+\cdots.</math>}}

=== La série {{ind|2}}''F''{{ind|1}} ===
Le dernier cas concerne la fonction
<center><math>{}_2F_1(a,b;c;z)=1+\frac{ab}{c\,1!}z+\frac{a(a+1)b(b+1)}{c(c+1)\,2!}z^2+\frac{a(a+1)(a+2)b(b+1)(b+2)}{c(c+1)(c+2)\,3!}z^3+\cdots.</math></center>
On utilise à nouveau, alternativement, deux identités :
{{retrait|<math>{}_2F_1(a,b;c-1;z)-\,_2F_1(a+1,b;c;z)=\frac{(a-c+1)bz}{c(c-1)}\,_2F_1(a+1,b+1;c+1;z),</math>}}
{{retrait|<math>{}_2F_1(a,b;c-1;z)-\,_2F_1(a,b+1;c;z)=\frac{(b-c+1)az}{c(c-1)}\,_2F_1(a+1,b+1;c+1;z),</math>}}
qui sont en fait la même à interversion près de {{mvar|a}} et {{mvar|b}}.

En posant
{{retrait|<math>f_0(z)=\,_2F_1(a,b;c;z),</math>}}
{{retrait|<math>f_1(z)=\,_2F_1(a+1,b;c+1;z),</math>}}
{{retrait|<math>f_2(z)=\,_2F_1(a+1,b+1;c+2;z),</math>}}
{{retrait|<math>f_3(z)=\,_2F_1(a+2,b+1;c+3;z),</math>}}
{{retrait|<math>f_4(z)=\,_2F_1(a+2,b+2;c+4;z),</math>}}
etc. et
{{retrait|<math>k_1=\frac{(a-c)b}{c(c+1)},~k_2=\frac{(b-c-1)(a+1)}{(c+1)(c+2)},~k_3=\frac{(a-c-1)(b+1)}{(c+2)(c+3)},~k_4=\frac{(b-c-2)(a+2)}{(c+3)(c+4)},\ldots</math>}}
on obtient
{{retrait|<math>\frac{{}_2F_1(a+1,b;c+1;z)}{{}_2F_1(a,b;c;z)}=\frac{1\mid}{\mid1}+\frac{\frac{(a-c)b}{c(c+1)}z\mid}{\mid1}+\frac{\frac{(b-c-1)(a+1)}{(c+1)(c+2)}z\mid}{\mid1}+\frac{\frac{(a-c-1)(b+1)}{(c+2)(c+3)}z\mid}{\mid1}+\frac{\frac{(b-c-2)(a+2)}{(c+3)(c+4)}z\mid}{\mid1}+\cdots</math>}}
dont on déduit
{{Bloc emphase|bord=1px solid #2288ff;|espacement=1.5ex|<math>\frac{{}_2F_1(a+1,b;c+1;z)}{{}_2F_1(a,b;c;z)}=\frac{1\mid}{\mid c}+\frac{(a-c)bz\mid}{\mid c+1}+\frac{(b-c-1)(a+1)z\mid}{\mid c+2}+\frac{(a-c-1)(b+1)z\mid}{\mid c+3}+\frac{(b-c-2)(a+2)z\mid}{\mid c+4}+\cdots.</math>}}
mais aussi, en utilisant que {{math|{{ind|2}}''F''{{ind|1}}(0, ''b''; ''c''; ''z'') {{=}} 1}} et en remplaçant {{math|''c'' + 1}} par {{mvar|c}}, le cas particulier
<center><math>{}_2F_1(1,b;c;z)=\frac{1\mid}{\mid1}-\frac{bz\mid}{\mid c}+\frac{(b-c)z\mid}{\mid c+1}-\frac{c(b+1)z\mid}{\mid c+2}+\frac{2(b-c-1)z\mid}{\mid c+3}-\frac{(c+1)(b+2)z\mid}{\mid c+4}+\cdots.</math></center>
<!--

These yield other c.f.'s
:<math>\,_1F_1(a+1;b;z)-\,_1F_1(a;b;z) = \frac{z}{b}\,_1F_1(a+1;b+1;z)</math>
:<math>\,_2F_1(a+1,b;c;z)-\,_2F_1(a,b;c;z) = \frac{bz}{c}\,_2F_1(a+1,b+1;c+1;z)</math>
:<math>\,_2F_1(a+1,b;c;z)-\,_2F_1(a,b+1;c;z) = \frac{(b-a)z}{c}\,_2F_1(a+1,b+1;c+1;z)</math>

-->

== Convergence ==
Dans cette section, on exclut le cas où certains paramètres sont des entiers négatifs ou nuls car dans ce cas, ou bien les séries hypergéométriques ne sont pas définies, ou bien ce sont des polynômes et alors la fraction continue est finie. On exclut aussi d'autres exceptions triviales.

Les fonctions {{ind|0}}''F''{{ind|1}} et {{ind|1}}''F''{{ind|1}} sont [[Fonction entière|entières]] donc leurs quotients sont [[Fonction méromorphe|méromorphes]]. Les fractions continues obtenues [[Convergence uniforme|convergent uniformément]] sur tout [[Théorème de Borel-Lebesgue|fermé borné]] du [[plan complexe]] ne contenant aucun des [[Pôle (mathématiques)|pôles]] de cette fonction<ref>{{Harvsp|Jones|Thron|1980|p=206}}.</ref>.

Le [[rayon de convergence]] des séries {{ind|2}}''F''{{ind|1}} est égal à 1 donc leurs quotients sont méromorphes dans le [[Boule (topologie)|disque unité ouvert]]. Les fractions continues obtenues convergent uniformément sur tout fermé borné inclus dans ce disque et ne contenant aucun des pôles<ref>{{Harvsp|Wall 2000|p=339}}.</ref>. En dehors du disque, la fraction continue représente un [[prolongement analytique]] de la fonction sur le plan complexe privé de la [[demi-droite]] réelle {{math|[1, +∞[}}. Le plus souvent, le point {{math|1}} est un [[point de branchement]] et la demi-droite {{math|[1, +∞[}} est une coupure de branchement pour cette fonction.

== Exemples d'applications ==
=== Applications à {{ind|0}}''F''{{ind|1}} ===
*La [[fonction de Bessel]] {{math|''J''{{ind|α}}}} peut s'écrire{{retrait|<math>J_\alpha(z)=\frac{(\tfrac{1}{2}z)^\alpha}{\Gamma(\alpha+1)}\,_0F_1(;\alpha+1;-\frac{z^2}4).</math>}}Il en résulte que pour tout complexe {{math|''z''}},
{{retrait|<math>\begin{align}\frac{J_\alpha(z)}{J_{\alpha-1}(z)}&=\frac{z\Gamma(\alpha)}{2\Gamma(\alpha+1)}\frac{\,_0F_1(;\alpha+1;-\frac{z^2}4)}{{}_0F_1(;\alpha;-\frac{z^2}4)}=\frac z2\frac{\,_0F_1(;\alpha+1;-\frac{z^2}4)}{\alpha\,_0F_1(;\alpha;-\frac{z^2}4)}\\
&=\frac{\frac z2\mid}{\mid\alpha}-\frac{\frac{z^2}4\mid}{\mid\alpha+1}-\frac{\frac{z^2}4\mid}{\mid\alpha+2}-\frac{\frac{z^2}4\mid}{\mid\alpha+3}-\cdots\\
&=\frac{z\mid}{\mid2\alpha}-\frac{z^2\mid}{\mid2(\alpha+1)}-\frac{z^2\mid}{\mid2(\alpha+2)}-\frac{z^2\mid}{\mid2(\alpha+3)}-\cdots.\end{align}</math>}}
*On retrouve ainsi<ref>{{Ouvrage |langue=de |prénom1=Oskar |nom1=Perron |lien auteur1=Oskar Perron |titre=Die Lehre von den Kettenbrüchen |éditeur=Teubner |année=1913 |passage=343-354 |lire en ligne=https://archive.org/stream/dielehrevondenk00perrgoog#page/n360/mode/2up |titre chapitre=§ 64 : Beispiele — Die Kettenbrüche von Gauss und Heine}}.</ref> les fractions continues de Lambert pour les fonctions [[Fonction tangente|tangente]] et [[tangente hyperbolique]] (voir le [[Fraction continue et approximation diophantienne#Irrationalité|§ « Irrationalité » de l'article sur l'approximation diophantienne]]) :{{retrait|<math>\tan z=\frac{J_\frac12(z)}{J_{-\frac12}(z)}=\frac{z\mid}{\mid1}-\frac{z^2\mid}{\mid3}-\frac{z^2\mid}{\mid5}-\frac{z^2\mid}{\mid7}-\cdots</math> ;}}{{retrait|<math>\tanh z=-\mathrm i\tan(\mathrm iz)=\frac{z\mid}{\mid1}+\frac{z^2\mid}{\mid3}+\frac{z^2\mid}{\mid5}+\frac{z^2\mid}{\mid7}+\cdots</math>}}(ce qui, après quelques [[#Fraction continue généralisée#Conversions|transformations]], peut être utilisé pour déterminer la [[Fraction continue et approximation diophantienne#Exemple : le nombre e|fraction continue de {{math|e}}]]).

=== Applications à {{ind|1}}''F''{{ind|1}} ===
*La [[fonction exponentielle]] se développe en<ref>La forme équivalente donnée dans {{Harvsp|Gauss|1813|p=16}}, figure au [[Approximant de Padé de la fonction exponentielle#Fraction continue du premier type|§ « Fraction continue du premier type » de l'article sur les approximants de Padé de la fonction exponentielle]].</ref>{{retrait|<math>{\rm e}^z={}_1F_1(1;1;z)=\frac{1\mid}{\mid1}-\frac{z\mid}{\mid1}+\frac{z\mid}{\mid2}-\frac{z\mid}{\mid3}+\frac{2z\mid}{\mid4}-\frac{2z\mid}{\mid5}+\cdots.</math>}}
*La [[fonction d'erreur]] {{math|erf }} se développe, pour tout complexe {{math|''z''}}, en<ref>{{Harvsp|Jones|Thron|1980|p=208}}.</ref>{{retrait|<math>\frac{\sqrt\pi}2{\rm e}^{z^2}{\rm erf}(z)=\,_1F_1(1;\tfrac32;z^2)=\frac{z\mid}{\mid1}-\frac{z^2\mid}{\mid\frac32}+\frac{z^2\mid}{\mid\frac52}-\frac{\frac32z^2\mid}{\mid\frac72}+\frac{2z^2\mid}{\mid\frac92}-\frac{\frac52z^2\mid}{\mid\frac{11}2}+\frac{3z^2\mid}{\mid\frac{13}2}-\frac{\frac72z^2\mid}{\mid\frac{15}2}+\cdots.</math>}}
*On peut développer de même les [[Intégrale de Fresnel|fonctions de Fresnel]], [[Fonction de Dawson|celle de Dawson]] et les [[Fonction gamma incomplète|fonctions gamma incomplètes]] {{math|γ(''s'', ''z'')}} et {{math|Γ(''s'', ''z'')}}.

=== Applications à {{ind|2}}''F''{{ind|1}} ===
*De{{retrait|<math>(1-z)^{-b}=\,_1F_0(b;;z)=\,_2F_1(1,b;1;z)</math>}}(variante de la [[Formule du binôme généralisée|série binomiale]] {{math|(1 + ''z''){{exp|α}}}}) on déduit{{retrait|<math>(1-z)^{-b}=\frac{1\mid}{\mid1}-\frac{bz\mid}{\mid1}+\frac{(b-1)z\mid}{\mid2}-\frac{(b+1)z\mid}{\mid3}+\frac{2(b-2)z\mid}{\mid4}-\frac{2(b+2)z\mid}{\mid5}+\cdots</math>}}ainsi que l'expression suivante de fonction [[arc tangente]] :{{retrait|<math>
\arctan(z)=z\,_2F_1(\tfrac12,1;\tfrac32;-z^2)=\frac{z\mid}{\mid1}+\frac{(1z)^2\mid}{\mid3}+\frac{(2z)^2\mid}{\mid5}+\frac{(3z)^2\mid}{\mid7}+\frac{(4z)^2\mid}{\mid9}+\cdots,</math>}}qui converge dans le plan complexe privé des deux demi-droites {{math|]–∞, –1]i}} et {{math|[1, +∞[i}} de l'axe [[Nombre imaginaire pur|imaginaire pur]]<ref>{{Harvsp|Wall 2000|p=343}}.</ref> ({{math|i}} et {{math|−i}} sont des [[Point de branchement|points de branchement]]). Cette convergence est assez rapide en {{math|1=''z'' = 1}}, donnant une approximation de {{math|π/4}} à 7 décimales dès la neuvième [[Fraction continue généralisée#Réduites|réduite]] (alors qu'avec la [[William Brouncker#Formule de Brouncker|formule de Brouncker]], il faut plus d'un million de termes pour la même précision<ref>{{Harvsp|Jones|Thron|1980|p=202}}.</ref>).
*On peut développer de même, par exemple, le [[logarithme naturel]] et la fonction [[arc sinus]].

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Gauss's continued fraction|544836112|type=note}}
{{Références}}
== Voir aussi ==
* [[Fraction continue de Rogers-Ramanujan]] 
== Lien externe ==
{{MathWorld|titre=Gauss's Continued Fraction|nom_url=GausssContinuedFraction}}

{{Portail|analyse}}

[[Catégorie:Analyse complexe]]
[[Catégorie:Fraction continue|Gauss]]
[[Catégorie:Fonction hypergéométrique]]
[[Catégorie:Carl Friedrich Gauss]]