Voir la source de Géométrie

{{Confusion|Arpentage}}
{{Redirect homophones|Maths|Math}}
{{Infobox Discipline
|image=DandelinSpheres.png
|légende=Obtention de la section [[conique]] par la projection de deux [[sphère]]s de [[diamètre]]s distincts ([[théorème de Dandelin]]). 
}}
La '''géométrie''' est à l'origine la branche des [[mathématiques]] étudiant les [[figure géométrique|figures]] du [[Plan (mathématiques)|plan]] et de l'[[espace (mathématiques)|espace]] ([[géométrie euclidienne]]). Depuis la fin du {{s-|XVIII}}, la géométrie étudie également les figures appartenant à d'autres types d'espaces ([[géométrie projective]], [[géométrie non euclidienne]]).

Depuis le début du {{s-|XX}}, certaines méthodes d'étude de figures de ces espaces se sont transformées en branches autonomes des mathématiques : [[topologie]], [[géométrie différentielle]] et [[géométrie algébrique]]. Si l'on veut englober toutes ces acceptions, il est difficile de définir ce qu'est, aujourd'hui, la géométrie. C'est que l'unité des diverses branches de la « géométrie contemporaine » réside plus dans des origines historiques que dans une communauté de méthodes ou d'objets.
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ATTENTION : les titres de sections sont généralement employés comme ancre. Il faudra donc rectifier les liens si vous modifiez les titres.
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== Étymologie ==
Le terme ''géométrie'' dérive du [[Grec ancien|grec]] {{Grec ancien|γεωμέτρης|geômétrês}}, « géomètre, [[arpenteur]] », qui vient de {{Grec ancien|γῆ|gễ}}, « terre », et {{Grec ancien|μέτρον|métron}}, « mesure ». Ce serait donc « la science de la mesure du terrain ».

== Typologie ==
Au {{s-|XIX}}, [[Felix Klein]] réalise un important travail de synthèse qui participe à la classification des différents types de géométrie : le [[programme d'Erlangen]] (1872). Dans son approche, la géométrie est l'étude des espaces de points sur lesquels opèrent des [[Groupe (mathématiques)|groupes]] de transformations et des invariants associés. Suivant cette classification, le plan et la sphère (tous deux des espaces homogènes et isotropes de dimension 2) diffèrent par leurs groupes de symétrie (le [[groupe euclidien]] pour l'un, le [[rotation dans l'espace|groupe des rotations]] pour l'autre)<ref>{{Ouvrage| langue=fr| auteur1=Jean-Pierre Provost| auteur2=Gérard Vallée| titre=Les maths en physique| sous-titre=La physique à travers le filtre des mathématiques| lieu=Paris| éditeur=[[Éditions Dunod]]| collection=Sciences Sup| date=mars 2004| numéro d'édition=1| pages totales=331| passage=51| isbn=2-10-004652-7}}.</ref>.

Ce travail mène à distinguer cinq branches à la géométrie : la [[géométrie affine]], [[géométrie projective|projective]], métrique, [[géométrie euclidienne|euclidienne]] et [[géométrie non euclidienne|non euclidienne]] (regroupée avec la géométrie métrique parabolique)<ref name="L">{{Larousse|mot=géométrie|numéro=55135|encyclopédie=divers|consulté le=30 septembre 2023}}</ref>. Ces disciplines apparues avant le {{s-|XX}} constituent la ''géométrie classique''.

Au {{s-|XX}}, la géométrie s'enrichit de nouvelles disciplines grâce aux liens faits avec l'algèbre ([[géométrie algébrique]], [[topologie]])<ref name="L"/>. Les travaux d'[[Élie Cartan]] et de [[Sophus Lie]] mènent de leur côté à la [[géométrie différentielle]]<ref name="L"/>. Enfin, [[Alain Connes]] introduit la [[géométrie non commutative]], qui trouve des applications en physique quantique<ref name="L"/>.

Au {{s-|XXI}}, la géométrie se divise ainsi principalement en six sous-domaines : la [[géométrie euclidienne]], la [[géométrie analytique]], la [[géométrie projective]], la [[géométrie différentielle]], les [[géométrie non euclidienne|géométries non euclidiennes]] et la [[topologie]]<ref name="B">{{Britannica}} (consulté le 30 septembre 2023)</ref>.

== Géométrie classique ==
[[Henri Poincaré]] définit un espace géométrique par la liste des propriétés suivantes<ref>{{Ouvrage |prénom1=Henri |nom1=Poincaré |lien auteur1=Henri Poincaré |titre=[[La Science et l'Hypothèse]] |éditeur=Champs Flammarion |année=1902}}.</ref>{{,}}<ref group="Note">Les géométries euclidienne et non euclidienne correspondent à cette définition stricto sensu de l'espace. Construire une telle géométrie consiste à énoncer les règles d'agencement des quatre objets fondamentaux : le [[Point (géométrie)|point]], la [[Droite (mathématiques)|droite]], le [[Plan (mathématiques)|plan]] et l'[[Espace (notion)|espace]]. Ce travail reste l'apanage de la [[géométrie pure]] qui est la seule à travailler [[ex nihilo]].</ref> :
{{Énoncé|traits caractéristiques de l'espace géométrique|
# Il est continu ;
# Il est infini ;
# Il a trois dimensions ;
# Il est homogène, c’est-à-dire que tous ses points sont identiques entre eux ;
# Il est isotrope, c’est-à-dire que toutes les droites qui passent par un même point sont identiques entre elles.
}}

=== Géométrie affine ===
La [[géométrie affine]] est l'étude des points et des droites, sans notions de distance et d'angle.

=== Géométrie projective ===
La [[géométrie projective]] ajoute aux espaces de la géométrie affine des points à l'infini.

La géométrie projective est la plus minimaliste, ce qui en fait un tronc commun pour les autres géométries<ref group="Note">jusqu'à une certaine limite car certaines géométries n'entrent pas dans ce cadre.</ref>. Elle est fondée sur des axiomes :
# D'incidence (ou d'appartenance) dont la caractéristique la plus notable est : « Deux droites distinctes coplanaires possèdent un unique point commun » ;
# D'ordre : permet notamment d'ordonner les points d'une droite. De ce point de vue, une [[droite projective]] s'apparente à un cercle car deux points définissent deux segments ;
# De continuité : dans tout espace géométrique, on peut joindre un point à un autre par un cheminement continu. Il est l'[[axiome d'Archimède]] en géométrie euclidienne.

Distinguer dans la géométrie projective des éléments impropres caractérise la [[géométrie arguésienne]]. Puis la géométrie affine naît de l'élimination de ces éléments impropres. Cette suppression de points crée la notion de parallélisme puisque désormais certaines paires de droites coplanaires cessent d'intersecter. Le point impropre supprimé est assimilable à la ''direction'' de ces droites. De plus, deux points ne définissent plus qu'un segment (celui des deux qui ne contient pas le point impropre) et rend familière la notion de ''sens'' ou ''orientation'' (c'est-à-dire que cela permet de distinguer <math>\scriptstyle{ \overline{AB}}</math> de <math>\scriptstyle{\overline{BA}}</math><ref group="Note">Dans une certaine mesure et grossièrement, cela permet également de distinguer <math>\scriptstyle{\widehat{AOB}}</math> de <math>\scriptstyle{\widehat{BOA}}</math> ; l'intérieur de l'extérieur.</ref>).

=== Géométrie euclidienne ===
La [[géométrie euclidienne]] est l'étude de l'espace usuel avec les notions de distance et d'angle.

Le cinquième axiome ou « ''postulat de parallèles'' » de la géométrie d'Euclide fonde la [[géométrie euclidienne]] :
{{Énoncé|Formulation simple du cinquième postulat de la géométrie d'Euclide.

|Par un point extérieur à une droite, il passe toujours une parallèle à cette droite, et une seule.
}}
Voir l'[[Axiomes de Hilbert#Les axiomes|axiomatique de Hilbert]] ou les [[Éléments d'Euclide]] pour des énoncés plus complet de la géométrie euclidienne.

=== Géométrie non-euclidienne ===
La [[géométrie non euclidienne]] est une variante de la géométrie euclidienne et n'en diffère que par la modification de l'énoncé du cinquième postulat d'Euclide. Cette géométrie est contraire à l'intuition usuelle. Elle comprend la [[géométrie hyperbolique]], la [[géométrie elliptique]] et la [[géométrie sphérique]].

La réfutation du ''postulat de parallèles'' de la géométrie d'Euclide a conduit à l'élaboration de deux [[géométrie non euclidienne|géométries non euclidiennes]] : la [[géométrie hyperbolique]] par [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]], [[Nikolaï Lobatchevski|Lobatchevski]], [[János Bolyai|Bolyai]] et la [[géométrie elliptique]] par [[Bernard Riemann|Riemann]].

=== Généralisation ===
Les géométries ci-dessus peuvent être généralisées en faisant varier la dimension des espaces, en changeant le corps des scalaires (utiliser des droites différentes de la droite réelle) ou en donnant une courbure à l'espace. Ces géométries sont encore dites classiques.

Par ailleurs, la géométrie classique peut être axiomatisée ou étudiée de différentes façons : 
* la géométrie d'incidence et la [[géométrie synthétique]] (ou géométrie pure), qui utilisent une approche axiomatique ayant généralement comme données premières les [[point (géométrie)|points]], les [[droite (mathématiques)|droites]], les [[plan (mathématiques)|plans]], ainsi que les relations qui les gouvernent et les grandeurs qui leur sont associées ;
* la [[géométrie analytique]], qui utilise les coordonnées et qui associe à chaque point des triplets (ou une suite de longueur donnée) d'éléments d'un [[corps commutatif|corps]] ;
* l'[[algèbre linéaire]], qui généralise la géométrie analytique en remplaçant l'utilisation des coordonnées par celle des [[espace vectoriel|espaces vectoriels]] abstraits ;
* la géométrie des [[groupe (mathématiques)|groupes]], qui étudie les [[action de groupe (mathématiques)|actions de groupe]] et leurs invariants. C'est là le [[programme d'Erlangen]] de [[Felix Klein]]. On s'intéresse particulièrement aux groupes (abstraits, [[groupe algébrique|algébriques]] ou [[groupe de Lie|de Lie]]) [[groupe classique|classiques]], c'est-à-dire aux groupes liés aux [[groupe linéaire|groupes linéaires]], [[groupe orthogonal|orthogonaux]], [[groupe unitaire|unitaires]] ou [[groupe symplectique|symplectiques]], et a leurs [[espace homogène|espaces homogènes]] classiques ([[espace symétrique|espaces symétriques]], [[Variété de drapeaux généralisée|variétés de drapeaux]], par exemple). La [[théorie des invariants]] est intimement liée à cet aspect de la géométrie : elle permet d'associer à des configurations des quantités ([[birapport]]s, [[distance (mathématiques)|distances]], [[angle]]s{{Etc.}}) qui permettent de classer les orbites. On peut aussi étendre cette approche à la géométrie des groupes [[groupe de Lie|exceptionnels]] (algébriques ou de Lie) ;
* la théorie des [[Immeuble (mathématiques)|immeubles]] de [[Jacques Tits|Tits]], qui est liée à la géométrie des groupes classiques et exceptionnels (algébriques ou non), et qui étudie des structures combinatoires liés aux [[diagramme de Coxeter-Dynkin|diagrammes de Coxeter]]. Par exemple, l'ensemble de toutes les chaînes de sous-espaces vectoriels d'un [[espace vectoriel de dimension finie]] sur un corps est un immeuble, et l'ensemble de toutes les chaînes de sous-espaces projectifs d'un espace projectif ''P'' de dimension finie sur corps commutatif qui sont inclus dans une même quadrique projective de ''P'' est un immeuble.

Il est remarquable que l'algèbre linéaire (espaces vectoriels, [[Forme quadratique|formes quadratiques]], formes bilinéaires alternées, formes hermitiennes et antihermitiennes{{Etc.}}) permette de construire des modèles explicites de la plupart des structures rencontrées dans ces géométries. Cela confère donc à la géométrie classique une certaine unité.

=== Groupes en géométrie classique ===
Il y a en géométrie différentielle et en géométrie algébrique des [[groupe de Lie|groupes de Lie]] et des [[groupe algébrique|groupes algébriques]], qui eux ont des [[espace homogène|espaces homogènes]], et la géométrie classique se ramène souvent à l'étude de ces espaces homogènes. Les géométries affine et projective sont liées aux groupes linéaires, et les géométries euclidienne, sphérique, elliptique et hyperbolique sont liées aux groupes orthogonaux.

Lorsqu'il y a des classifications explicites des groupes de Lie ou algébriques ou de leurs espaces homogènes vérifiant certaines hypothèses (groupes de Lie ou algébriques simples, espaces symétriques, variétés de drapeaux généralisées, espaces de courbure constante, par exemple), les principaux éléments de ces classifications sont parfois issus de la géométrie classique, et les groupes auxquels sont associés ces géométries classiques sont liés aux groupes dits classiques (groupes linéaires, orthogonaux, symplectiques, par exemple).

La plupart des géométries classiques sont liées aux groupes de Lie ou algébriques simples, dit classiques (ils sont issus de l'algèbre linéaire). Il y a d'autres groupes de Lie ou algébriques simples, et ils sont dits « exceptionnels » et ils donnent lieu à la géométrie exceptionnelle, avec certaines analogies avec la géométrie classique. Cette distinction est due au fait que les groupes simples sont (sous certaines hypothèses) classés en plusieurs séries infinies (souvent quatre) et en un nombre fini d'autres groupes (souvent cinq), et ce sont ces derniers groupes qui sont exceptionnels, et ils ne relèvent pas de l'algèbre linéaire (du moins pas de la même manière) : ils sont souvent liés à des [[Structure algébrique|structures algébriques]] non associatives (algèbres d'[[octonion]]s, algèbres de Jordan exceptionnelles, par exemple).

Aux groupes de Lie ou algébriques simples sont associés des [[diagramme de Dynkin|diagrammes de Dynkin]] (des sortes de graphes), et certaines propriétés de ces géométries peuvent se lire dans ces diagrammes.

== Géométries des {{sp-|XX|et|XXI}}s ==
=== Topologie ===
{{article détaillé|topologie}}

=== Géométrie algébrique ===
La [[géométrie algébrique]] utilise l'[[algèbre]] abstraite et la [[topologie]]. Elle étudie des espaces qui, localement, sont des ensembles de points définis par des [[équation algébrique|équations algébriques]], tels les sous-espaces affines, les [[conique]]s et les [[quadrique]]s.

=== Géométrie différentielle ===
La [[géométrie différentielle]] utilise l'[[analyse (mathématiques)|analyse]], la [[topologie]] et l'[[algèbre linéaire]]. Elle étudie des espaces qui, localement, sont des espaces euclidiens, et sur lesquels on peut faire du [[calcul différentiel]] et du [[calcul intégral]]. La géométrie différentielle englobe la [[géométrie riemannienne]] et la [[géométrie symplectique]].

=== Géométrie non commutative ===
{{article détaillé|géométrie non commutative}}

==== Autres géométries ====

==== géométrie des perfectoïdes ====

==== Géométrie riemannienne ====
La [[géométrie riemannienne]] peut être vue comme une extension de la géométrie euclidienne. Son étude porte sur les propriétés géométriques d'espaces ([[Variété (géométrie)|variétés]]) présentant une notion de vecteurs tangents, et équipés d'une métrique ([[métrique riemannienne]]) permettant de mesurer ces vecteurs. Les premiers exemples rencontrés sont les [[Surface (géométrie)|surfaces]] de l'espace euclidien de {{nobr|dimension 3}} dont les propriétés métriques ont été étudiées par Gauss dans les années 1820. Le produit euclidien induit une métrique sur la surface étudiée par restriction aux différents plans tangents. La définition intrinsèque de métrique fut formalisée en dimension supérieure par Riemann. La notion de transport parallèle autorise la comparaison des espaces tangents en deux points distincts de la variété : elle vise à transporter de manière cohérente un vecteur le long d'une courbe tracée sur la [[variété riemannienne]]. La courbure d'une variété riemannienne mesure par définition la dépendance éventuelle du transport parallèle d'un point à un autre par rapport à la courbe les reliant.

La métrique donne lieu à la définition de la longueur des courbes, d'où dérive la définition de la distance riemannienne. Mais les propriétés métriques des triangles peuvent différer de la [[trigonométrie]] euclidienne. Cette différence est en partie étudiée à travers le [[Théorème de comparaison de Toponogov|théorème de Toponogov]], qui permet de comparer du moins localement la variété riemannienne étudiée à des espaces modèles, selon des inégalités supposées connues sur la courbure sectionnelle. Parmi les espaces modèles :
* l'[[espace euclidien]] est une variété riemannienne de courbure nulle ; 
* la [[sphère]] de dimension ''n'' est une variété riemannienne de courbure positive constante 1 ; 
* l'[[espace hyperbolique]] de dimension ''n'' est une variété riemannienne de courbure négative -1.

==== Géométrie complexe ====
La [[géométrie complexe]] porte sur les propriétés d'espaces pouvant localement s'identifier à <math>\mathbb C^n</math>. Ces objets ([[variété complexe]]) présentent une certaine rigidité, découlant de l'unicité d'un [[prolongement analytique]] d'une fonction à plusieurs variables.

==== Géométries symplectique et de contact ====
La [[géométrie symplectique]] est une branche de la géométrie différentielle et peut être introduite comme une généralisation en dimension supérieure de la notion d'aire orientées rencontrée en dimension 2. Elle est liée aux formes bilinéaires alternées. Les objets de cette géométrie sont les [[Variété symplectique|variétés symplectiques]], qui sont des variétés différentielles munie d'un champ de formes bilinéaires alternées. Par exemple, un [[espace affine]] attaché à un espace vectoriel muni d'une [[forme bilinéaire]] alternée non dégénérée est une variété symplectique.

La [[géométrie de contact]] est une branche de la géométrie différentielle qui étudie les variétés de contact, qui sont des variétés différentielles munies d'un champ d'hyperplans des espaces tangents vérifiant certaines propriétés. Par exemple, l'espace projectif déduit un espace vectoriel muni d'une forme bilinéaire alternée non dégénérée est une variété de contact.

==== Géométries discrète et convexe ====
{{Article détaillé|Géométrie discrète|:Catégorie:Géométrie convexe{{!}} Articles en rapport avec la géométrie convexe}}

==== Géométries arithmétique ====
{{Article détaillé|Géométrie arithmétique}}

== Utilisation du terme ==
La géométrie admet de nombreuses acceptions selon les auteurs. Dans un sens strict, la géométrie est « l'étude des formes et des grandeurs de figures »<ref>Fritz Reinhardt et Heinrich Soeder, ''Atlas des mathématiques'', Livre de Poche, {{p.|13}}.</ref>. Cette définition est conforme à l'émergence de la géométrie en tant que [[science]] sous la [[civilisation grecque]] durant l'[[Grèce classique|époque classique]]. Selon un rapport de [[Jean-Pierre Kahane]]<ref name="Kahane">{{Kahane (dir.)}}, chap. 3, « La Géométrie ».</ref>, cette définition coïncide avec l'idée que se font les gens de la géométrie comme matière enseignée : c'est « le lieu où on apprend à appréhender l'[[espace (notion)|espace]] ».

En 1739, [[Leonhard Euler]] étudie le [[problème des sept ponts de Königsberg]] ; ses travaux sont considérés comme l'un des premiers résultats de géométrie ne dépendant d'aucune mesure, des résultats qu'on qualifiera de topologiques. Les questions posées durant le {{s-|XIX}} ont conduit à repenser les notions de forme et d'[[espace (notion)|espace]], en écartant la rigidité des distances euclidiennes. Il a été envisagé la possibilité de déformer continûment une surface sans préserver la métrique induite, par exemple de déformer une sphère en un ellipsoïde. {{Refnec|date=novembre 2007|Étudier ces déformations a conduit à l'émergence de la [[topologie]]}} : ses objets d'étude sont des [[ensemble]]s, les [[Espace topologique|espaces topologiques]], dont la notion de proximité et de [[Continuité (mathématiques)|continuité]] est définie ensemblistement par la notion de [[Voisinage (mathématiques)|voisinage]]. Selon certains mathématiciens, la topologie fait pleinement partie de la géométrie, voire en est une branche fondamentale. Cette classification peut être remise en cause par d'autres.

Selon le point de vue de [[Felix Klein]] ([[1849]]-[[1925]]), la géométrie analytique « synthétisait en fait deux caractères ultérieurement dissociés : son caractère fondamentalement métrique, et l'homogénéité »<ref>Alain Michel, « Géométrisation de la théorie physique : sur la genèse d'un problème », dans {{harvsp|Kouneiher & al.}}</ref>. Le premier caractère se retrouve dans la [[Espace métrique|géométrie métrique]], qui étudie les propriétés géométriques des distances. Le second est au fondement du [[programme d'Erlangen]], qui définit la géométrie comme l'étude des invariants d'actions de groupe.

Les travaux actuels, dans des domaines de recherche portant le nom de géométrie, tendent à remettre en cause la première définition donnée. Selon Jean-Jacques Szczeciniarcz<ref>Jean-Jacques Szczeciniarz, « Philosophie et géométrie : la montée de la géométrie, ses effets philosophiques », dans {{harvsp|Kouneiher & al.}}</ref>, la géométrie ne se construit pas sur « la simple référence à l'espace, ni même [sur] la figuration ou [sur] la visualisation » mais se comprend à travers son développement : « la géométrie est absorbée mais en même temps nous parait attribuer un sens aux concepts en donnant par ailleurs l'impression d'un retour au sens initial ». Jean-Jacques Sczeciniarcz relève deux mouvements dans la [[recherche mathématique]] qui a conduit à un élargissement ou à un morcellement de la géométrie : 
* la procédure d'idéalisation consistant à montrer l'importance d'une structure en l'ajoutant aux objets mathématiques déjà étudiés ;
* au contraire, la procédure de thématisation consistant à dégager une nouvelle structure sous-jacente à des objets géométriques déjà étudiés.

Dans le prolongement, la géométrie peut être abordée non plus comme une discipline unifiée mais comme une vision des mathématiques ou une approche des objets. Selon Gerhard Heinzmann<ref>Gerhard Heinzmann, « La géométrie et le principe d'idonéité : une relecture de Ferdinand Gonseth », dans {{harvsp|Kouneiher & al.}}</ref>, la géométrie se caractérise par « un usage de termes et de contenus géométriques, comme « [[point (mathématiques)|points]] », « [[distance (mathématiques)|distance]] » ou « [[dimension]] » en tant que cadre langagier dans les domaines les plus divers », accompagné par un équilibre entre une approche empirique et une approche théorique.

== Histoire ==
{{Article détaillé|Histoire de la géométrie}}
L'invention de la géométrie remonte à l'[[Égypte antique]]<ref>{{Harvnb|Mueller-Jourdan|2007|p=73}}</ref>.

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== Géométrie classique ==
* [[Géométrie descriptive]] : étude des projections orthogonales sur le plan (axonométries droites), elle est souvent considérée comme une technique de dessin plutôt que comme une branche des mathématiques ;
--=== Géométrie analytique ===
La [[géométrie analytique]] est la plus familière. Elle repose sur le principe de base que toute droite est assimilable à une représentation (une image) de l'ensemble des réels (ou plus largement, d'un [[corps commutatif]]. L'espace est alors décomposable en sous-espaces et un point est définissable par des [[coordonnée]]s. Il s'ensuit que toute figure est déterminée par un système d'équations et/ou d'inéquations. Par exemple, une courbe est la représentation d'une fonction. L'on voit ainsi que cette approche, issue de l'[[algèbre linéaire]] et basée sur la notion d'[[espace vectoriel]], est à un pont entre la géométrie et l'[[Analyse (mathématiques)|analyse]].

Cette géométrique est conforme à la [[géométrie pure]] dans le sens où l'espace vectoriel permet de construire des [[Théorie des modèles|modèles]] de ''géométries'' (en tant qu'objets mathématiques).
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== Applications ==
[[Fichier:Refraction photo.png|vignette|[[Réfraction]] de la lumière par un morceau de plastique; phénomène pouvant être analysé grâce à de la trigonométrie.]]
Longtemps, géométrie et [[astronomie]] ont été liées. À un niveau élémentaire, le calcul des tailles de la lune, du Soleil et de leurs distances respectives à la Terre fait appel au [[théorème de Thalès]]{{référence nécessaire}}. Dans les premiers modèles du [[système solaire]], à chaque planète était associé un [[solide platonicien]]. Depuis les observations astronomiques de [[Johannes Kepler|Kepler]], confirmées par les travaux de [[Isaac Newton|Newton]], il est prouvé que les planètes suivent une [[ellipse (mathématiques)|orbite elliptique]] dont le Soleil constitue un des foyers. De telles considérations de nature géométrique peuvent intervenir couramment en [[mécanique classique]] pour décrire qualitativement les [[trajectoire]]s.

En ce sens, la géométrie intervient en [[ingénierie]] dans l'étude de la stabilité d'un système mécanique. Mais elle intervient encore plus naturellement dans le [[dessin industriel]]. Le dessin industriel montre les coupes ou les [[projection (géométrie)|projections]] d'un objet tridimensionnel, et est annoté des longueurs et angles. C'est la première étape de la mise en place d'un projet de [[Design industriel|conception industrielle]]. Récemment, le mariage de la géométrie avec l'[[informatique]] a permis l'arrivée de la [[conception assistée par ordinateur]] (CAO), des calculs par [[Méthode des éléments finis|éléments finis]] et de l'[[infographie]].

La trigonométrie euclidienne intervient en optique pour traiter par exemple de la [[diffraction]] de la lumière. Elle est également à l'origine du développement de la [[navigation]] : navigation maritime aux étoiles (avec les [[sextant]]s), cartographie, navigation aérienne (pilotage aux instruments à partir des signaux des balises).

Les nouvelles avancées en géométrie au {{s-|XIX}} trouvent des échos en physique. Il est souvent dit que la [[géométrie riemannienne]] a été initialement motivée par les interrogations de Gauss sur la cartographie de la Terre. Elle rend compte en particulier de la géométrie des [[surface (géométrie)|surfaces]] dans l'espace. Une de ses extensions, la [[géométrie lorentzienne]], a fourni le formalisme idéal pour formuler les lois de la [[relativité générale]]. La [[géométrie différentielle]] trouve de nouvelles applications dans la physique post-newtonienne avec la [[théorie des cordes]] ou des [[brane|membranes]].

La [[géométrie non commutative]], inventée par [[Alain Connes]], tend à s'imposer pour présenter les bonnes structures mathématiques avec lesquelles travailler pour mettre en place de nouvelles théories physiques.

== Enseignement ==
La géométrie occupe une place privilégiée dans l'[[enseignement des mathématiques]]. {{refsou|De nombreuses études pédagogiques prouvent son intérêt}} : elle permet aux élèves de développer une réflexion sur des problèmes, de visualiser des figures du plan et de l'espace, de rédiger des [[démonstration (logique et mathématique)|démonstrations]], de déduire des résultats d'hypothèses énoncées. Mais plus encore, « le raisonnement géométrique est beaucoup plus riche que la simple déduction formelle », car il s'appuie sur l'intuition née de l'« observation des figures ».

Dans les années 1960, l'enseignement des mathématiques en France insistait sur la mise en pratique des problèmes relevant de la géométrie dans la vie courante. En particulier, le [[théorème de Pythagore]] était illustré par la règle du 3, 4, 5 et son utilisation en charpenterie<ref>Denis Rolland, ''Architectures rurales en Picardie : le Soissonnais'', CREER, 1998 
{{ISBN|978-2-909797-25-0}}, [https://books.google.fr/books?id=ae4zMRbm0uYC&pg=PA49 {{p.|49}}].</ref>. Les involutions, les divisions harmoniques, et les birapports étaient au programme du secondaire. Mais la [[réforme des mathématiques modernes]], née aux États-Unis et adaptée en Europe, a conduit à réduire considérablement les connaissances enseignées en géométrie pour introduire de l'[[algèbre linéaire]] dans le second degré. Dans de nombreux pays, {{refsou|cette réforme fut fortement critiquée et désignée comme responsable d'échecs scolaires}}. Un rapport de Jean-Pierre Kahane<ref name="Kahane"/> dénonce le manque d'« une véritable réflexion didactique préalable » sur l'apport de la géométrie : en particulier, une « pratique de la géométrie vectorielle » prépare l'élève à une meilleure assimilation des notions formelles d'espace vectoriel, de forme bilinéaire…

== Notes et références ==
=== Notes ===
{{Références|group="Note"}}
=== Références ===
{{Références|taille=30}}

== Voir aussi ==
{{Autres projets
|commons=Category:Geometry
|wiktionary=géométrie
|wiktionary thésaurus = géométrie
|wikiversity=Département:Géométrie
|wikibooks=Géométrie
}}

=== Bibliographie ===
* {{Article|langue=fr|auteur1=Charles Mugler|titre=Sur l’Histoire de quelques définitions de la géométrie grecque et les rapports entre la géométrie et l’optique (Première Partie)|périodique=L’Antiquité classique|volume=26|numéro=2|date=1957|pages=331-345|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/antiq_0770-2817_1957_num_26_2_3319?q=Charles+Mugler|consulté le= 28 janvier 2020 |id=cm}}.
* {{Article|langue=fr|auteur1=Charles Mugler|titre=Sur l’Histoire de quelques définitions de la géométrie grecque et les rapports entre la géométrie et l’optique (Suite)|périodique=L’Antiquité classique|volume=27|numéro=1|date=1958|pages=76-91|lire en ligne=https://www.persee.fr/doc/antiq_0770-2817_1958_num_27_1_3334?q=Charles+Mugler|consulté le= 28 janvier 2020 |id=m}}
* {{Ouvrage|langue=fr|prénom1=Pascal|nom1=Mueller-Jourdan|titre=Une initiation à la philosophie de l'antiquité tardive|sous-titre=les leçons du Pseudo-Elias|lieu=Fribourg/Paris|éditeur=[[Éditions du Cerf]]|année=2007|pages totales=143|isbn=978-2-204-08571-7|plume=oui}}
* Nikolai I. Lobachevsky, Pangeometry, traduction et édition: A. Papadopoulos, {{langue|en|texte=Heritage of European Mathematics Series}}, Vol. 4, European Mathematical Society, 2010.
* {{Ouvrage|auteurs=Jean-Paul Collette|titre=Histoire des mathématiques|volume=2|éditeur=Vuibert|année=1979|passage=chapitre 10 : ''Le renouvellement de la géométrie au {{s-|XIX}}''.|isbn=2-7613-0118-8}}
* {{DahanPeiffer}}
* {{Ouvrage|prénom1=Joseph|nom1=Kouneiher|prénom2=Dominique|nom2=Flament|prénom3=Philippe|nom3=Nabonnand|prénom4=Jean-Jacques|nom4=Szczeciniarz|directeur4=oui|titre=Géométrie au {{s-|XX}}|sous-titre=histoire et horizons|id=Kouneiher & al.|référence=Référence:Géométrie au {{s-|XX}} : histoire et horizons (Joseph Kouneiher, Dominique Flament, Philippe Nabonnand, Jean-Jacques Szczeciniarz, dir.)}}

=== Articles connexes ===
{{catégorie principale}}
* [[(376) Geometria]], astéroïde
* ''[[Advances in Geometry]]''

=== Liens externes ===
* {{Autorité}}
* {{Dictionnaires}}
* {{Bases}}

{{Palette|Géométrie|Domaines des mathématiques}}
{{Portail|géométrie}}

[[Catégorie:Géométrie|*]]
[[Catégorie:Éponyme d'un objet céleste]]
[[Catégorie:Branche des mathématiques]]