Voir la source de Géométrie analytique

La '''géométrie analytique''' est une approche de la [[géométrie]] dans laquelle les objets sont décrits par des équations ou des inéquations à l'aide d'un système de [[coordonnée]]s.
Elle est fondamentale pour la [[physique]] et l'[[infographie]].

En géométrie analytique, le choix d'un [[repère (mathématiques)|repère]] est indispensable. Tous les objets seront décrits relativement à ce repère.

{{Article détaillé|Repérage dans le plan et dans l'espace}}

== Histoire ==

=== Analyse en géométrie ===

Le terme de géométrie analytique, par opposition à la [[géométrie synthétique]], se réfère aux méthodes d'[[Raisonnement par analyse-synthèse|analyse et synthèse]] pratiquées par les géomètres grecs. Elle en est progressivement venue à se confondre avec sa méthode privilégiée, la méthode des coordonnées.

Dans les [[mathématiques]] grecques, lors de problèmes de construction, l'analyse consiste à imaginer la construction déjà réalisée et à  analyser les propriétés de l'objet ainsi construit. Il faut poursuivre dans cette voie jusqu'à produire assez de propriétés pour permettre la construction de l'objet à partir des données initiales. La situation peut alors être renversée en ne faisant plus l'hypothèse d'existence et en introduisant effectivement l'objet par le biais de ses propriétés caractéristiques : c'est la phase de synthèse, qui doit aboutir à la preuve d'existence.

La difficulté pratique qui a limité les progrès des géomètres est le manque d'un formalisme adapté à la description des relations entre grandeurs géométriques. [[François Viète]], à la fin du {{XVIe siècle}} unifie le calcul sur les nombres et le calcul sur les grandeurs géométriques à travers un outil précieux, le [[calcul littéral]]. Le principe de la réduction au calcul algébrique est posé, il manque encore une méthode systématique pour l'exploiter.

=== Méthode des coordonnées ===

[[Marin Ghetaldi|Marino Ghetaldi]], puis [[René Descartes]] proposent de résoudre les problèmes de géométrie par le recours systématique au [[calcul algébrique]]. Dans sa ''[[La Géométrie (Descartes)|Géométrie]]'' de [[1637]], Descartes en formule le principe. Il s'agit de représenter grandeurs connues et inconnues par des lettres, et de trouver autant de relations entre grandeurs connues et inconnues qu'il y a d'inconnues au problème. On y reconnaît bien une démarche analytique, conduisant à des [[système d'équations|systèmes d'équations]] qu'il s'agit de réduire à une seule équation. Descartes donne des interprétations des cas sur- ou sous-déterminés. Ses manipulations, cependant, se limitent aux équations algébriques, qu'il classe par degré, et ne peuvent être appliquées aux courbes qu'il qualifie de mécaniques (aujourd'hui dites [[courbe transcendante|transcendantes]]).

[[Pierre de Fermat]] est le premier à faire, à la même époque, un usage systématique des [[coordonnée]]s proprement dites pour résoudre les problèmes de [[lieu géométrique|lieux géométriques]]. Descartes fait intervenir notamment les premières équations de droites, paraboles ou hyperboles. Il présente ces idées dans ''Ad locus planos et solidos isagoge'', en 1636, texte publié après sa mort.

Dans les notations de Descartes, contrairement à Fermat, les constantes sont ''continuellement'' notées ''a'', ''b'', ''c'', ''d'', ... et les variables ''x'', ''y'', ''z''. Il s'oppose en cela à la tradition de l'époque et un lecteur d'aujourd'hui s'en trouve moins dérouté.

== Géométrie analytique plane ==

Le [[Plan (mathématiques)|plan]] [[espace affine|affine]] est muni d'un repère <math>(\mathrm{O};\vec{i},\vec{j})</math> ; ''x'' désigne l'abscisse d'un point, et ''y'' l'ordonnée de ce point.

=== Droite ===

==== Équation cartésienne ====

Une [[Droite (mathématiques)|droite]] [[Espace affine|affine]] (c'est-à-dire une droite au sens habituel, un ensemble de points) est caractérisée par une [[équation du premier degré]] à deux inconnues. C'est-à-dire que tout point ''M'' de coordonnées ''x'' et ''y'' appartient à la droite si et seulement si ses coordonnées vérifient l'équation :
:<math>ax + by + c = 0</math> (1)
Si ''c'' est nul, alors la droite passe par ''O'', l'origine du repère. Si deux droites sont parallèles, alors leurs coefficients ''a'' et ''b'' sont proportionnels. Si ''b'' n'est pas nul, l'équation (1) est équivalente à :
:<math>y = a'x + b'</math> (2)
''a′&nbsp;=&nbsp;-&nbsp;a/b'' est appelé le '''coefficient directeur''' ou la '''pente''' de la droite dans un repère orthonormal, et ''b′&nbsp;=&nbsp;-&nbsp;c/b'' est appelé '''[[ordonnée à l'origine]]''' (''offset'' ou ''intercept'' en anglais) ; deux droites parallèles ont le même coefficient directeur. Avec cette forme là, on voit aisément que la droite passe par le point (0,''b''′), qui est également appelé ''ordonnée à l'origine'' (le terme désigne donc à la fois le point et l'ordonnée de ce point). Si ''a'' est nul, on a une droite horizontale
:<math>y = b'</math>
passant par le point (0,''b''′). Si ''b'' est nul, on a une droite verticale
:<math>x = - c/a</math>
passant par le point (-&nbsp;''c''/''a'', 0).

Pour tracer une droite à partir de son équation, il suffit de connaître deux points. Le plus simple est de prendre l'intersection avec les axes, c'est-à-dire de considérer successivement ''x''&nbsp;=&nbsp;0 et ''y''&nbsp;=&nbsp;0, sauf si la droite est parallèle à un axe, auquel cas le tracé est trivial. On peut aussi prendre l'ordonnée à l'origine et un point « éloigné » (c'est-à-dire au bord de la figure tracée sur le papier, par exemple considérer ''x''&nbsp;=&nbsp;10 si l'on va jusqu'à 10), ou encore deux points éloignés (un à chaque bord de la figure) ; en effet, plus les points sont éloignés, plus le tracé de la droite est précis.

Une [[droite vectorielle]] (c'est-à-dire un ensemble de [[vecteur]]s [[colinéarité|colinéaires]]) est représentée simplement par une équation de droite avec ''c'' nul :
:<math>au_1 + bu_2 = 0</math>
où ''u''<sub>1</sub> et ''u''<sub>2</sub> sont les coordonnées des vecteurs. On en déduit que pour une droite affine ou vectorielle, le vecteur de coordonnées
:<math>\vec{u}  \begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}</math>
est un vecteur directeur de la droite. Si le repère est [[Base orthonormale|orthonormé]], d'après une propriété du [[Géométrie vectorielle|produit scalaire]], le vecteur
:<math>\vec{\mathrm{N}}  \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}</math>
est un vecteur normal à la droite.

==== Équation cartésienne à paramètres polaires ====

[[Fichier:Parametres polaires droite.svg |vignette |Droite (D) de paramètres polaires (ρ, θ).]]

Soit une droite (D) ne passant pas par l'origine et appelons H son point qui est le plus proche de l'origine : la droite (OH) est perpendiculaire à (D).
{{loupe |Distance d'un point à une droite}}
Donc :
* pour une droite donnée, H existe et est unique ; en effet, si deux points distincts sont à une même distance ρ de O, alors ils sont sur un même [[cercle]], le cercle de centre O et de rayon ρ, or la droite (D) est tangente à ce cercle puisqu'elle est perpendiculaire au rayon [OH] ;
* soit un point H quelconque du plan, il ne passe par ce point qu'une seule et unique droite perpendiculaire à (OH).
Ce point H peut être défini par ses [[Coordonnées polaires|paramètres polaires]] (ρ, θ). Donc, la droite peut être entièrement caractérisée par ces deux paramètres (ρ, θ).

Une droite passant par l'origine peut elle aussi être caractérisée par un couple unique (ρ, θ) avec ρ = 0 et θ l'orientation de la normale à la droite. Donc, chaque droite du plan est caractérisée par un jeu de paramètre polaires unique (ρ, θ) où :
* ρ est la distance de la droite à l'origine du repère,
* θ est l'angle que fait la perpendiculaire à la droite avec l'axe ''x''.
Les coordonnées (''x'', ''y'') des points de cette droite vérifient l'équation cartésienne :
: <math>\rho= x \cos(\theta)+ y \sin(\theta)</math>
{{Démonstration|contenu=
Le point M<sub>0</sub> de la droite (D) le plus proche de l'origine a pour coordonnées (ρ cos(θ), ρ sin(θ)). Soit un point M(''x'', ''y'') de cette droite. Le vecteur <math>\overrightarrow{\mathrm{OM}}_0</math> est orthogonal au vecteur <math>\overrightarrow{\mathrm{M_0 M}}</math> donc
: <math>\overrightarrow{\mathrm{OM}}_0 \cdot \overrightarrow{\mathrm{M_0 M}} = 0</math>
soit
: <math>\rho \cos(\theta) \times (x - \rho\cos(\theta)) + \rho\sin(\theta) \times (y - \rho\sin(\theta)) = 0</math>
: <math>x\times \rho \cos(\theta) - \rho^2 \cos^2 (\theta) + y \times \rho\sin(\theta) - \rho^2 \sin^2(\theta) = 0</math>
: <math>x\times \rho \cos(\theta) + y\times \rho \sin(\theta) = \rho^2(\cos^2(\theta) + \sin^2(\theta)) = \rho^2</math>
et donc si ρ ≠ 0 :
: <math>x \cos(\theta) + y \sin(\theta) = \rho</math>
c.q.f.d.
}}

Cette équation est appelée [[Propriétés métriques des droites et des plans#Équation normale d'une droite|équation normale de la droite]].

==== Équation paramétrique ====

Quel que soit le repère, si A(''x''<sub>A</sub>,''y''<sub>A</sub>) est un point de la droite et <math>\vec{u}</math> un vecteur directeur, alors pour tout point M(''x''<sub>M</sub>,''y''<sub>M</sub>) de la droite, on a
:<math>\overrightarrow{\mathrm{AM}} = k \cdot \vec{u},\ k \in \mathbb{R}</math>
puisque <math>\overrightarrow{\mathrm{AM}}</math> est colinéaire à <math>\vec{u}</math>. Ceci nous donne une équation paramétrique de la droite :
:<math>\left\{\begin{matrix} (x_\mathrm{M} - x_\mathrm{A}) = k \cdot u_1 \\ (y_\mathrm{M} - y_\mathrm{A}) = k \cdot u_2 \end{matrix}\right.</math>
qui peut s'écrire
:<math>\left\{\begin{matrix} x_\mathrm{M} = u_1 \cdot k + x_\mathrm{A} \\ y_\mathrm{M} = u_2 \cdot k + y_\mathrm{A} \end{matrix}\right.</math> (2)
en éliminant le paramètre ''k'', on retrouve une équation de la forme (1).

=== Point ===

Un point est représenté par un système de deux équations du premier degré à deux inconnues :
:<math>\left\{\begin{matrix} x = a \\ y = b \end{matrix}\right.</math>
ce qui est logique puisque, un point étant l'intersection de deux droites non parallèles, ses coordonnées doivent vérifier les équations des deux droites : la réduction de ce système d'équations donne la forme ci-dessus. Ceci est bien évidemment la représentation du point (''a'', ''b'').

=== Demi-plan ===

Un [[demi-plan]] est représenté par une [[inéquation]] du premier degré à deux inconnues :
:''ax + by + c'' &gt; 0
si l'on remplace le signe &gt; par un signe =, on obtient l'équation de la droite qui délimite le demi-plan ; si l'on remplace le signe &gt; par le signe &lt; (ou si l'on inverse les signes des coefficients), on obtient le demi-plan complémentaire.

=== Intersection de droites ===

Le plan est rapporté à un repère. Une [[Droite (mathématiques)|droite]] (non verticale) peut être définie par une équation :
: ''y'' = ''ax'' + ''b''.
Si on considère 2 droites définies par les équations ''y'' = ''ax'' + ''b'' et ''y'' = ''a''{{'}}''x'' + ''b''{{'}}, on peut savoir s'il y a une intersection ou non grâce à l'un des 3 cas suivant :
* si ''a'' = ''a''{{'}} et ''b'' ≠ ''b''{{'}}, alors les droites sont parallèles et il n'y a pas d'intersection ;
* si ''a'' = ''a''{{'}} et ''b'' = ''b''{{'}}, alors les 2 droites sont confondues et il y a donc une infinité de points d'intersection ;
* si ''a'' ≠ ''a''{{'}}, quels que soient ''b'' et ''b''{{'}}, il y a forcément un point d'intersection ; on obtient comme coordonnées du point d'intersection :
: <math>x = \frac{(b' - b)}{(a - a')}</math> et
: <math>y = \frac{(ab' - a'b)}{(a - a')} </math>.
La démonstration se fait grâce à la résolution d'un système de deux équations à deux inconnues : ''y'' = ''ax'' + ''b'' et ''y'' = ''a''{{'}}''x'' + ''b''{{'}}.

=== Demi-droite ===

Une [[demi-droite]] est caractérisée par une équation et une inéquation :
:<math>\left\{\begin{matrix} ax + by + c = 0 \\ a'x + b'y + c > 0 \end{matrix}\right.</math>
avec au moins ''a''&nbsp;≠''a′'' ou ''b''&nbsp;≠''b′''. Une demi-droite est en effet l'intersection d'une droite et d'un demi-plan délimité par une droite non parallèle à la première. La résolution du système obtenu en remplaçant le signe « &gt; » par un signe « = » donne les coordonnées du point extrémité de la demi-droite, c'est-à-dire les coordonnées du point ''A'' d'une demi-droite [''AB'').
Si ''a''′ est non nul, on peut se ramener à un système du type :
:<math>\left\{\begin{matrix} ax + by + c = 0 \\ x > d \end{matrix}\right. \ \mathrm{ou} \ \left\{\begin{matrix} ax + by + c = 0 \\ x < d \end{matrix}\right.</math>
(les deux systèmes représentant des demi-droites complémentaires), sinon à un système du type :
:<math>\left\{\begin{matrix} ax + by + c = 0 \\ y > d \end{matrix}\right. \ \mathrm{ou} \ \left\{\begin{matrix} ax + by + c = 0 \\ y < d \end{matrix}\right.</math>
Avec une équation paramétrique, cela revient à l'équation (2) en rajoutant la condition ''k''&nbsp;&gt;&nbsp;0 ou ''k''&nbsp;&lt;&nbsp;0.

=== Cercle et disque ===

Le [[cercle]] de centre A et de rayon ''r'' est l'ensemble des points situés à une distance ''r'' de A. Son équation est donc :
:<math>(x-x_\mathrm{A})^2 + (y-y_\mathrm{A})^2 = r^2</math>
que l'on peut écrire :
: <math>y = y_\mathrm{A} \pm \sqrt{r^2 - (x-x_\mathrm{A})^2},\ x \in [x_\mathrm{A}-r,x_\mathrm{A}+r]</math>
Cette forme porte le nom « d'équation cartésienne du cercle ».
Son équation paramétrique est :
:<math>\left\{\begin{matrix} x = x_\mathrm{A} + r \cdot \cos \theta \\
y = y_\mathrm{A} + r \cdot \sin \theta \end{matrix}\right.</math>
où θ est un réel, qui peut être pris sur un intervalle de largeur 2π ; on prend en général ]-π, π] ou [0, 2π[.
L'équation du [[disque (géométrie)|disque]] s'obtient en remplaçant le signe « égal » par un signe « inférieur ou égal ».

== Géométrie analytique dans l'espace ==

L'[[espace (notion)#Mathématiques|espace]] [[espace affine|affine]] est muni d'un repère <math>(\mathrm{O},\vec{i},\vec{j},\vec{k})</math> ; ''x'' désigne l'abscisse d'un point, ''y'' l'ordonnée et ''z'' la cote.

=== Plan ===

Un [[Plan (mathématiques)|plan]] [[Espace affine|affine]] (c'est-à-dire un plan au sens habituel en géométrie, composé de points) est représenté par une équation du premier degré à trois inconnues :
:<math>ax + by + cz + d = 0</math> (3)
Si le repère de l'espace est orthonormal, le vecteur
:<math>\vec{\mathrm{N}} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}</math>
est un vecteur normal au plan.

Si deux [[Plan (mathématiques)|plans]] sont parallèles entre eux, alors ils ont des [[vecteur normal|vecteurs normaux]] proportionnels (colinéaires), alors leurs coefficients ''a'', ''b'' et ''c'' sont proportionnels.
Si ''d'' est nul, alors le [[Plan (mathématiques)|plan]] passe par l'origine ''O''. Si ''c'' est non nul, l'équation peut s'écrire :
:<math>z = a'x + b'y + c'</math>
avec ''a′&nbsp;=&nbsp;-&nbsp;a/c'', ''b′&nbsp;=&nbsp;-&nbsp;b/c'' et ''c′&nbsp;=&nbsp;-&nbsp;d/c''. Si ''c'' est nul, alors on a un plan vertical.

Un plan vectoriel (c'est-à-dire un ensemble de vecteurs [[coplanaire]]s) est représenté par une équation
:<math>au_1 + bu_2 + cu_3 = 0</math>
où ''u''<sub>1</sub>, ''u''<sub>2</sub> et ''u''<sub>3</sub> sont les composantes d'un vecteur. Les vecteurs suivants sont des vecteurs du plan vectoriel, et si au moins deux coefficients de l'équation du plan sont non nuls, deux de ces vecteurs forment une base du plan :
:<math>\vec{u} = \begin{pmatrix} - b \\ a \\ 0 \end{pmatrix}\ , \ \vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ - c \\ b \end{pmatrix}\ , \ \vec{w} = \begin{pmatrix} - c \\ 0 \\ a \end{pmatrix}</math>
(la base obtenue n'est ''a priori'' pas orthonormée). Ces vecteurs forment aussi des vecteurs d'un plan affine dont l'équation a les mêmes coefficients ''a'', ''b'' et ''c'' que l'équation du plan vectoriel.

Si deux des coefficients sont nuls, alors l'équation se réduit à l'une des trois formes suivantes :
:''u''<sub>1</sub> = 0, qui représente le plan vectoriel <math>(\vec{j},\vec{k})</math> ;
:''u''<sub>2</sub> = 0, qui représente le plan vectoriel <math>(\vec{i},\vec{k})</math> ;
:''u''<sub>3</sub> = 0, qui représente le plan vectoriel <math>(\vec{i},\vec{j})</math>.
De même,
:''ax + d'' = 0 représente un plan affine parallèle à <math>(\vec{j},\vec{k})</math>, dont l'équation peut s'écrire ''x = - d/a''
:''by + d'' = 0 représente un plan affine parallèle à <math>(\vec{i},\vec{k})</math>, dont l'équation peut s'écrire ''y = - d/b''
:''cz + d'' = 0 représente un plan affine parallèle à <math>(\vec{i},\vec{j})</math>, dont l'équation peut s'écrire ''z = - d/c''.

Quel que soit le repère, si le plan passe par un point A(''x''<sub>A</sub>, ''y''<sub>A</sub>, ''z''<sub>A</sub>) et est muni d'une base quelconque <math>(\vec{u},\vec{v})</math>, alors pour tout point M(''x''<sub>M</sub>, ''y''<sub>M</sub>, ''z''<sub>M</sub>), on a
:<math>\overrightarrow{\mathrm{AM}} = k \cdot \vec{u} + t \cdot \vec{v},\ (k,t) \in \mathbb{R}^2</math>
puisque <math>\overrightarrow{\mathrm{AM}}</math>, <math>\vec{u}</math> et <math>\vec{v}</math> sont coplanaires. Ceci conduit à l'équation paramétrique
:<math>\left\{\begin{matrix}
(x_\mathrm{M} - x_\mathrm{A}) = k \cdot u_1 + t \cdot v_1 \\
(y_\mathrm{M} - y_\mathrm{A}) = k \cdot u_2 + t \cdot v_2 \\
(z_\mathrm{M} - z_\mathrm{A}) = k \cdot u_3 + t \cdot v_3
\end{matrix} \right.
\Leftrightarrow
\left\{\begin{matrix}
x_\mathrm{M} = u_1 \cdot k + v_1 \cdot t + x_\mathrm{A} \\
y_\mathrm{M}  = u_2 \cdot k + v_2 \cdot t + y_\mathrm{A} \\
z_\mathrm{M} = u_3 \cdot k + v_3 \cdot t + z_\mathrm{A}
\end{matrix} \right.</math> (4)

=== Droite ===

Une droite étant l'intersection de deux plans non parallèles, elle est décrite par un système de deux équations du premier degré à trois inconnues :
:<math>\left\{\begin{matrix} ax + by + cz + d = 0 \\ a'x + b'y + c'z + d' = 0 \end{matrix}\right.</math> (5)
La droite est contenue dans les deux plans, elle est donc orthogonale aux vecteurs normaux <math>\vec{\mathrm{N}_1}</math> et <math>\vec{\mathrm{N}_2}</math> des deux plans. Le [[produit vectoriel]] <math>\vec{u} = \vec{\mathrm{N}_1} \wedge \vec{\mathrm{N}_2}</math> des vecteurs normaux fournit donc un vecteur directeur de la droite. Si le repère est orthonormé direct, le vecteur <math>\vec{u}</math> a pour composantes :
:<math>\vec{u} = \begin{pmatrix} bc'-b'c \\ ca'-c'a \\ ab'-a'b \end{pmatrix}</math>
Si par ailleurs on connaît un point A(''x''<sub>A</sub>, ''y''<sub>A</sub>, ''z''<sub>A</sub>) et un vecteur directeur <math>\vec{u}</math> de la droite, alors si M(''x''<sub>M</sub>, ''y''<sub>M</sub>, ''z''<sub>M</sub>) est un point de la droite, il vérifie :
:<math>\overrightarrow{\mathrm{AM}} = k \cdot \vec{u},\ k \in \mathbb{R}</math>
puisque <math>\overrightarrow{\mathrm{AM}}</math> et <math>\vec{u}</math> sont colinéaires. On obtient donc l'équation paramétrique :
:<math>\left\{\begin{matrix}
x_\mathrm{M} = u_1 \cdot k + x_\mathrm{A} \\
y_\mathrm{M} = u_2 \cdot k + y_\mathrm{A} \\
z_\mathrm{M} = u_3 \cdot k + z_\mathrm{A}
\end{matrix}\right.</math> (6)

=== Point ===

Un point étant l'intersection de trois plans, il est décrit par un système de trois équations du premier degré à trois inconnues :
:<math>\left\{\begin{matrix} x = a \\ y = b \\ z = c \end{matrix} \right.</math>
Le point étant l'intersection de trois plans concourants, ses coordonnées doivent vérifier les trois équations ; la réduction de ce système donne la forme ci-dessus. Ce système d'équations représente bien sûr le point (''a'', ''b'', ''c'').

== Voir aussi ==
{{Autres projets|wiktionary = géométrie analytique|wikiversity=Droites et plans de l'espace|wikiversity titre=Droites et plans de l'espace}}
* [[Géométrie euclidienne]]
* [[Géométrie dans l'espace]]
* [[Géométrie vectorielle]]
* [[Repérage dans le plan et dans l'espace]]
* Volumes de révolution (cône [[Cône (géométrie)]], [[cylindre]], [[sphère]], [[ellipsoïde]], [[paraboloïde]])
* [[Propriétés métriques des droites et plans]]
* [[Cinématique]]

== Références ==

* {{Dhombres_et_al}} {{Commentaire biblio|Textes choisis et commentés illustrant notamment la naissance de la géométrie analytique}}

{{Portail|géométrie}}

[[Catégorie:Géométrie analytique| ]]