Voir la source de Géométrie hyperbolique

{{En-tête label|AdQ|année=2021}}
{{Images|hauteur=200|image1=LineOnHyper.svg|image2=Geometrie-Hyperbolique-Paralleles.svg|alternative1=En perspective, surface ombrée ressemblant à un [[Hyperboloïde|hyperboloïde à une nappe]], sur laquelle sont tracées quatre droites hyperboliques|alternative2=Cercle à l'intérieur duquel quatre arcs de cercles modélisent les mêmes quatre droites.|légende=Deux représentations du plan hyperbolique : il existe une infinité de « droites » qui, comme ''d1'', ''d2'' et ''d3'', passent par le point ''M'' et sont parallèles à la « droite » ''D''. À gauche, [[pseudosphère|un des modèles de Beltrami]]<ref group=note>Cette illustration ne correspond pas à la [[pseudosphère]] étudiée par Beltrami, mais à une autre [[Géométrie différentielle des surfaces#Surfaces de courbure constante|surface à courbure négative constante]], qui en a les mêmes propriétés.</ref> (ne représentant que localement le plan hyperbolique<ref group=note>Un [[Théorème de Hilbert (géométrie différentielle)|théorème de Hilbert]] montre d’ailleurs qu'il est impossible de représenter globalement le plan hyperbolique par une surface de l'espace usuel.</ref>), où les « droites » sont des [[géodésique]]s sur une surface bien choisie ; à droite, [[Disque de Poincaré|un des modèles de Poincaré]], où les « droites » sont des arcs de cercles.}}

En [[mathématiques]], la '''géométrie hyperbolique''' (nommée auparavant '''géométrie de [[Nikolaï Ivanovitch Lobatchevski|Lobatchevski]]''', lequel est le premier à en avoir publié une étude approfondie) est une [[géométrie non euclidienne]] vérifiant les [[Livre I des Éléments d'Euclide#Les demandes|quatre premiers postulats]] d’[[Euclide]], mais pour laquelle [[Géométrie euclidienne#Le cinquième postulat|le cinquième postulat]], qui équivaut à affirmer que par un point extérieur à une [[Droite (mathématiques)|droite]] passe une et une seule droite qui lui est parallèle, est remplacé par le postulat selon lequel « par un point extérieur à une droite passent plusieurs droites parallèles à celle-ci » (il en existe alors une infinité).

En géométrie hyperbolique, la plupart des [[Propriétés métriques des droites et des plans|propriétés métriques]] de la géométrie euclidienne ne sont plus valables ; en particulier le [[théorème de Pythagore]] n'est plus vérifié, et la [[somme des angles d'un triangle]] est toujours inférieure à 180°. Les droites restent cependant les lignes de plus court chemin joignant deux points, ce qui a permis à [[Eugenio Beltrami|Beltrami]], dans le cas du plan hyperbolique, de les modéliser comme des [[Géodésique|géodésiques]] sur une surface de [[Géométrie différentielle des surfaces#Surfaces de courbure constante|courbure constante]] négative, comme les droites de la [[géométrie elliptique]] sont modélisées par des [[Grand cercle|grands cercles]] sur une [[sphère]].

À la suite de Beltrami, [[Felix Klein|Klein]] et [[Henri Poincaré|Poincaré]] ont construit plusieurs autres [[Théorie des modèles|modèles]] de géométrie hyperbolique, comme le [[modèle de l'hyperboloïde]] ou celui du [[disque de Poincaré]]. Ces modèles montrent l'[[Indépendance (logique mathématique)|indépendance]] de l'[[axiome des parallèles]], c'est-à-dire l'impossibilité de le démontrer (ou de le réfuter) à partir des autres axiomes ; cela revient également à dire que si la géométrie euclidienne ne contient pas de contradiction, il en est de même de la géométrie hyperbolique.

La détermination de la « vraie » géométrie de notre espace physique s'est posée dès la découverte des géométries non euclidiennes ; au début du {{S-|XXI}}, les tests expérimentaux ne permettent toujours pas de décider ce qu'il en est, ce qui constitue le [[problème de la platitude]], l'une des [[Liste de problèmes non résolus de la physique#Observations expérimentales non expliquées|questions non résolues de la cosmologie.]]

== Historique ==
{{Article connexe|Géométrie non euclidienne#Histoire des géométries non euclidiennes{{!}}Histoire des géométries non euclidiennes}}
<gallery caption="Les pères de la géométrie hyperbolique">
Fichier:Carl Friedrich Gauss.jpg|alt=Tableau représentant le buste d'un homme âgé, de face, coiffé d'un bonnet noir.|<center>[[Carl Friedrich Gauss]] </center>
Fichier:Nikolay Ivanovich Lobachevsky.jpeg|alt=Dessin en noir et blanc, représentant le buste d'un jeune homme, de face ; signature illisible sous le portrait.|<center>[[Nikolaï Ivanovitch Lobatchevski|Nikolaï Lobachevski]]</center>
Fichier:Bolyai János (Márkos Ferenc festménye).jpg|alt=Tableau représentant le buste d'un homme d'âge mur, de face.|<center>[[János Bolyai]]</center>
Fichier:Beltrami.jpg|alt=Photographie sépia, représentant le buste d'un homme d'âge mur, tourné vers la droite, dans un ovale, signature de Beltrami en dessous.|<center>[[Eugenio Beltrami]]</center>
Fichier:Felix Christian Klein.jpg|alt=Photographie en noir et blanc, représentant le buste d'un homme barbu, tourné vers la gauche.|<center>[[Felix Klein]] </center>   
</gallery>
Le [[Livre I des Éléments d'Euclide#Les demandes|cinquième postulat d'Euclide]] (appelé actuellement « [[axiome des parallèles]] »{{Note|nom=proclus|groupe=note|texte=[[Euclide]] énonce le cinquième postulat sous une forme particulièrement opaque (« si une droite, tombant sur deux droites, fait les angles intérieurs du même côté plus petits que deux droits, ces droites, prolongées à l'infini, se rencontreront du côté où les angles sont plus petits que deux droits. ») ; dès l'Antiquité, plusieurs versions en ont été démontrées équivalentes (en admettant les autres postulats). La forme actuelle de l'axiome des parallèles (« par un point pris hors d'une droite, il passe une droite et une seule ne la rencontrant pas. ») est due à [[Proclus]], au {{S-|5}}<ref>{{Ouvrage |auteur1=[[Proclus|Proclus de Lycie]] |traducteur=P. Ver Eecke |titre=Les commentaires sur le premier livre des Éléments d'Euclide |lieu=Bruges |éditeur= |année=1959 }}.</ref>. Par ailleurs, si la majorité des traducteurs le présentent comme une {{citation |demande}}, c'est-à-dire un [[postulat]] (c'est en particulier le cas dans  l’édition critique des ''Éléments'' de [[J. L. Heiberg]] qui est maintenant la version généralement acceptée), on le trouve parfois placé dans les axiomes à la position XI <ref>Boris Rosenfeld et Adolf Youschkevitch, «Géométrie», dans Roshdi Rashed ''Histoire des sciences arabes'', tome 2, Mathématiques et Physique, note 9 p. 133</ref>.}}) semble avoir toujours eu un statut bien moins « naturel » que celui des quatre autres, et avoir plutôt été ressenti comme un [[Conjecture|théorème dont la démonstration n'avait pas encore été obtenue]]<ref>{{article|langue=en|titre=History of the Parallel Postulate|journal=[[The American Mathematical Monthly]]|volume=27|numéro=1|pages=16–23|date=janvier 1920|auteur=Florence P. Lewis|doi=10.2307/2973238|jstor=2973238}}.</ref>. Des tentatives de démonstration apparaissent dès l'Antiquité{{note|groupe=note|texte=On recense ainsi des reformulations du postulat et des essais de preuves par [[Archimède]] et [[Claude Ptolémée|Ptolémée]], puis par [[Alhazen]] et [[Omar Khayyam]]<ref>{{chapitre|prénom1=Boris A.|nom1=Rosenfeld|prénom2=Adolf P.|nom2=Youshkevitch|lien auteur2=Adolf P. Youschkevitch|titre chapitre=Géométrie|titre ouvrage=[[Histoire des sciences arabes]]|sous-titre ouvrage=mathématiques et physique|tome=2|éditeur=Seuil|année=1997|passage=186 et suivantes }}.</ref>.}}, et de nombreuses « preuves » erronées en existent. La piste la plus prometteuse pour le déduire des autres semble être de [[Raisonnement par l'absurde|raisonner par l'absurde]], et plusieurs mathématiciens ont cru avoir réussi, obtenant en niant le postulat des résultats qui leur paraissaient en effet contredire le bon sens{{Note|texte=|nom=étrange|groupe=note}}, tels que le fait que deux droites perpendiculaires à une même droite s'éloigneraient l'une de l'autre dans les deux directions. Cependant, les échecs de ces tentatives allaient progressivement amener à l’idée que d’autres géométries étaient possibles, et à la découverte des [[Géométrie non euclidienne|géométries non euclidiennes]].

L'histoire de la géométrie hyperbolique proprement dite semble cependant ne commencer qu'au début du {{s-|XVIII}} avec les travaux du mathématicien italien [[Giovanni Girolamo Saccheri]]<ref name="Penrose">[[Roger Penrose]], ''À la découverte des lois de l'univers'', Odile Jacob, 2007, chap 2.4.</ref>, qui cherche à démontrer dans l'œuvre de sa vie, ''{{lang|la|Euclides ab omni naevo vindicatus}}'' (''Euclide lavé de toute tache''), que les postulats d'Euclide sont cohérents et nécessaires pour définir la géométrie. Supposant notamment faux le cinquième postulat, il tente de développer toutes les conséquences de cette hypothèse, jusqu'à obtenir une contradiction. Il échoue dans cette tentative, obtenant une grande quantité de théorèmes étranges{{Note|texte=[[Giovanni Girolamo Saccheri|Saccheri]] déclare à leur sujet : « L'hypothèse de l'aigu est absolument fausse, car ces résultats répugnent à la nature de la ligne droite. »<ref name=mactutor/>.|groupe=note|nom=étrange}}, mais ne présentant entre eux aucune incohérence. Ne réalisant pas qu'il a sous les yeux une nouvelle géométrie, il conclut son ouvrage par l’aveu d’un demi-échec{{Note|texte=[[Giovanni Girolamo Saccheri|Saccheri]] explique qu'il ne lui reste plus qu'à montrer rigoureusement que l'existence de ce que nous appelons des [[hypercycle]]s est absurde, mais qu'il n'y est pas parvenu<ref name=mactutor>{{MacTutor|title=Giovanni Girolamo Saccheri|id=Saccheri}}</ref>.|groupe=note}}.

Au milieu du {{s-|XVIII}}, [[Jean-Henri Lambert]] étudie lui aussi les conséquences de la négation du postulat, et obtient sous cette hypothèse des théorèmes et des résultats précis (considérés désormais comme appartenant à la géométrie hyperbolique), comme la formule donnant la somme des angles d'un triangle en fonction de sa surface : {{math|''C''Δ {{=}} π – (α + β + γ)}}, où {{math|α, β, γ}} sont les angles des trois sommets du triangle, {{mvar|C}} un coefficient de proportionnalité, et {{math|Δ}} la surface du triangle. Vers la fin de sa vie, il semble qu'il ait réalisé que ces théorèmes manifestent l'existence d'une authentique géométrie {{Citation|sur une sphère de rayon imaginaire}}<ref name="Penrose" />{{,}}{{Note|texte=Ce résultat ne peut se justifier rigoureusement qu'à l'aide, par exemple, du [[modèle de l'hyperboloïde]]<ref name="Penrose" /> ; cela correspond, dans l'interprétation du plan hyperbolique comme une [[Géométrie différentielle des surfaces#Surfaces de courbure constante|surface de courbure négative]] {{mvar|K}}, à prendre {{math|''K'' {{=}} –1/{{!}}''R''{{!}}}}, où {{mvar|R}} est le rayon (imaginaire) de la sphère.|groupe=note}}.

Ce sont les travaux de [[Carl Friedrich Gauss]] qui sont généralement reconnus comme étant le véritable point de départ de la géométrie hyperbolique, bien que ceux-ci n'aient jamais été publiés de son vivant{{Note|texte=[[Carl Friedrich Gauss|Gauss]] écrit à [[Friedrich Wilhelm Bessel|Bessel]] avoir renoncé à cette publication « par crainte des cris des Béotiens »<ref>« ''{{langue|de|da ich das Geschrei der Böotier scheue}}'' », lettre de Gauss à Bessel du 27 juin 1829, citée dans {{Ouvrage|langue=de|prénom1=H.|nom1=Reichardt|titre=Gauß und die Anfänge der nicht-euklidischen Geometrie|éditeur=[[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]|année=2013|pages totales=250|passage=40|isbn=978-3-7091-9511-6|lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=46GuBgAAQBAJ&pg=PA40|consulté le=2016-10-03}}.</ref>.|groupe=note}}. Il formule dans ses notes, dès 1813, une théorie structurée<ref>{{DahanPeiffer}}, chap. 4, Figures, espaces et géométries, section 11 : les géométries non euclidiennes {{p.|154}}.</ref>, et il semble qu'il avait pleinement conscience que cette géométrie avait un statut mathématique équivalent à celui de la géométrie euclidienne<ref name=gray>{{Gray1}}.</ref>{{,}}{{Note|nom=geo|texte=[[Carl Friedrich Gauss|Gauss]] a déclaré que ses mesures [[Géodésique|géodésiques]] de la somme des angles d'un triangle (qu'il trouvait égale à 180°, à 2 [[Sous-unités du degré|secondes d'arc]] près) confirmaient l'axiome des parallèles<ref name=gauss1>{{Article |langue=en |auteur1=Ernst Breitenberger |titre=Gauss's Geodesy and the Axiom of parallels |périodique=Archive for History of Exact Sciences |volume=31 |numéro=3 |date=1984 |lire en ligne=https://www.jstor.org/stable/41133736?seq=1 |pages=273-289 }}.</ref>, ce qui a amené certains auteurs à penser qu'il envisageait que la géométrie réelle de l'univers puisse être non euclidienne<ref name=gray/>.|groupe=note}}.

La géométrie hyperbolique est redécouverte et explorée de manière extensive par [[Nikolaï Ivanovitch Lobatchevski|Nikolaï Lobatchevski]] à partir de 1830<ref name=imaginaire>{{Article |langue=fr |auteur1=[[Nikolaï Ivanovitch Lobatchevski|Nikolaï Lobatchevski]] |titre=Géométrie imaginaire |périodique={{langue|de|Journal für die reine und angewandte Mathematik}}|volume=17 |date=1837 |pages=295-320 |lire en ligne=http://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PID=GDZPPN002141388 |consulté le=12 avril 2021 }}.</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage|langue=ru|auteur1=[[Nikolaï Ivanovitch Lobatchevski|Nikolaï Lobatchevski]]|titre=Пангеометрия|éditeur=[[Société mathématique européenne]]|année=1855}} (première édition en russe, édition française en 1856 sous le titre ''Pangéométrie ou Précis de géométrie fondée sur une théorie générale et rigoureuse des parallèles'').</ref>, et indépendamment par [[János Bolyai]], dès 1825, dans des travaux publiés en 1831<ref>{{lien web|langue=en |url=http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/history/Biographies/Bolyai.html |titre=Biographie de János Bolyai |date=mars 2004 |site=[[Université de St Andrews]] |consulté le= 12 mars 2021}}.</ref> ; cependant, ces travaux n’obtiennent qu'une reconnaissance très tardive, lorsqu'est publiée en 1865 la correspondance entre Gauss et [[Heinrich Christian Schumacher]]<ref>[https://lama.u-pem.fr/evenements/seminaire/histoire_et_philosophie_des_mathematiques/histoire_de_la_geometrie_non Conférence sur l'histoire de la géométrie non euclidienne], par Jean-Daniel Voelke.</ref>, dans laquelle Gauss dit le plus grand bien de Lobatchevski et de Bolyai<ref name=Continent>[[Christian Houzel]] et [[Jean-Pierre Bourguignon]], {{Lien web|url=http://www.franceculture.com/player?p=reecoute-3030541#reecoute-3030541|titre=Les écoles russes de mathématique et de physique théorique|éditeur=France Culture.com Continent sciences par Stéphane Deligeorges|consulté le=23 octobre 2010}}</ref>.

La géométrie hyperbolique est considérée comme une curiosité sans vraie importance pratique (Lobatchevski l'appelle « géométrie imaginaire », au sens où elle s'oppose à la géométrie réelle de l'espace physique{{Note| groupe="note"| nom=géo2|texte=Dans la préface de son article de 1837, ''Géométrie imaginaire''<ref name=imaginaire/>, Lobatchevski prend soin d'expliquer que {{citation|toutes les mesures astronomiques [qu'il a pu faire] ne donnent pas de prise à ce que le monde qui nous entoure soit soumis à cette géométrie. Il faut donc prendre le terme ''imaginaire'' au sens de {{citation|issu de l’imagination}} ou {{citation|en dehors du réel}}.}}}}), jusqu'à ce que [[Eugenio Beltrami]] en propose en 1868 plusieurs [[Théorie des modèles|modèles]] (qu'il appelle des ''représentations''), parmi lesquelles les représentations conforme et projective, redécouvertes par la suite respectivement par [[Henri Poincaré]] et [[Felix Klein]], ainsi que le modèle de la [[pseudosphère]]{{Note|texte=En 1840, [[Ferdinand Minding]] avait obtenu des relations trigonométriques pour la pseudosphère identiques à celles du plan hyperbolique, mais c'est Beltrami qui fit le lien entre ces résultats et ceux de Lobatchevski<ref>{{MacTutor|id=Minding|titre=Ferdinand Minding}}.</ref>.|groupe=note|nom=minding}}. Il démontre, à l’aide de ces représentations, que si la géométrie euclidienne est [[Cohérence (logique)|mathématiquement cohérente]], alors la géométrie hyperbolique l'est aussi nécessairement, et donc que l’[[axiome des parallèles]] est [[Indépendance (logique mathématique)|indépendant]] des autres<ref name=Beltrami />{{,}}<ref group=note name=coh />.

En 1872, Felix Klein montre, dans le [[programme d'Erlangen]], que toutes les géométries, euclidiennes et non euclidiennes, peuvent être vues comme des sous-géométries de la [[géométrie projective]], en utilisant une [[conique]] (dite ''conique absolue'') privilégiée (cette construction est celle qui définit la [[métrique de Cayley-Klein]]) ; le choix d'une conique « réelle » comme conique absolue permet de construire la géométrie de Lobatchevski{{Note| groupe="note"|texte=Dans le [[plan projectif réel]], il n'existe (à [[Application projective|transformation projective]] près) que trois sortes de coniques : les coniques réelles (qui, par un choix convenable de repère, ont pour équation celle du [[cercle unité]], {{math|''x''{{2}} + ''y''{{2}} – ''z''{{2}} {{=}} 0}}), les coniques imaginaires (d'équation {{math|''x''{{2}} + ''y''{{2}} + ''z''{{2}} {{=}} 0}}), et les coniques dégénérées, dont celle d'équation {{math|''x''{{2}} + ''y''{{2}} {{=}} 0}}<ref>{{Lien web |auteur=Christian Blanchet |titre=Cours de géométrie, Chapitre 5.3 (coniques projectives), |url=https://webusers.imj-prg.fr/~christian.blanchet/enseignement/2013-14/L3/ch5_coniques.pdf |site=imj-prg.fr}}, le site de l'[[Institut de mathématiques de Jussieu – Paris Rive Gauche]].</ref>, les deux derniers choix permettant de construire respectivement la [[géométrie sphérique]] et la géométrie euclidienne.}} et explique en partie le nom de « géométrie hyperbolique » que Klein lui donne{{Note|groupe=note|texte= Klein identifie par analogie la conique absolue avec la [[Point à l'infini|droite de l'infini]] de la [[géométrie projective]] ; de même que cette dernière est coupée respectivement par les hyperboles, les paraboles et les ellipses en 2, 1 et 0 points, la conique absolue est coupée par les droites en 2 points si elle est réelle (« géométrie hyperbolique »), 1 point si elle est dégénérée (« géométrie parabolique » ou euclidienne), et 0 point si elle est imaginaire (« [[géométrie elliptique]] »)<ref>{{lien arXiv|langue=en|nom1=[[Norbert A'Campo]]|prénom2=Athanase|nom2=Papadopoulos|titre=On Klein’s ''So-called Non-Euclidean geometry''|année=2014|eprint=1406.7309v1|point=non}}, page 18.</ref>.}} et qui lui est désormais associé{{Note|texte=Dans les pays de l'ex-URSS, elle continue souvent à être appelée « géométrie lobatchevskienne »<ref name=Continent/>.|groupe=note}}{{,}}<ref>{{Lien web|url=https://www.techno-science.net/glossaire-definition/Programme-d-Erlangen-page-2.html|titre= Programme d'Erlangen : définition et explications|site=techno-science.net}}.</ref>{{,}}<ref name=bachmann>{{Lien web |auteur=Yves Martin |titre=Axiomatique de Bachmann |url=https://numerisation.univ-irem.fr/RU/IRU01009/IRU01009.pdf |site=univ-irem.fr |consulté le=14 avril 2021}}.</ref>.

== Géométrie du plan hyperbolique ==
Cette section ne détaille que les propriétés des figures planes<ref>La plupart des formules et des résultats de cette section (avec leurs démonstrations) figure sur [[#glasgow|le site interactif de géométrie hyperbolique de l'université de Glasgow]].</ref> ; en effet, la géométrie de l'espace hyperbolique en dimension supérieure peut se déduire de celle du plan comme dans le cas euclidien, et il n'y apparaît pas de phénomènes essentiellement nouveaux{{Note|texte=À l'exception peut-être des questions de pavages : s'il est possible de [[Pavage de l'espace|paver uniformément]] l'espace hyperbolique '''H'''{{exp|3}} par des [[Polyèdre régulier|polyèdres réguliers]], et même de plus de façons que pour l'espace euclidien, [[Ernest Vinberg]] a démontré que, contrairement au cas euclidien, il n'existe pas de pavages uniformes en dimension supérieure à 30<ref name=leys/>.|groupe=note}}.

=== Géométrie absolue ===
[[Image:Hiperbolik geometri uc toplama.png|vignette|alt=Triangle ombré vert pâle, tracés en noir des trois médiatrices représentées comme des courbes asymptotes à l'axe horizontal. |Un triangle hyperbolique sans cercle circonscrit (les trois médiatrices sont parallèles).]]
{{Article détaillé|Géométrie absolue}}
Les propriétés du plan qu'on peut démontrer à partir des [[Géométrie euclidienne|axiomes d'Euclide]] (ou d'une formulation plus rigoureuse et moderne, telle que [[Axiomes de Hilbert|celle de Hilbert]]), à l'exception de l'[[axiome des parallèles]], sont dites appartenir à la [[géométrie absolue]]. Ainsi, par exemple, on montre que deux perpendiculaires à une même droite n'ont pas de points communs{{Note|texte=Par symétrie autour de la perpendiculaire commune, ces droites auraient sinon deux points d'intersection.|groupe=note}}, et donc qu'il existe toujours des parallèles (c'est pourquoi la [[géométrie elliptique]] n'est pas une géométrie absolue). De nombreuses propriétés de la géométrie hyperbolique coïncident de même avec celles de la géométrie euclidienne, parfois au prix d'une reformulation : ainsi, on démontre aisément que les [[Bissectrice#Bissectrices d'un triangle|bissectrices intérieures]] d'un triangle quelconque sont concourantes ([[Cercles inscrit et exinscrits d'un triangle|la démonstration classique]] n'utilise pas la notion de parallèles), et donc qu'il existe un [[Cercles inscrit et exinscrits d'un triangle|cercle inscrit]] dans ce triangle ; les propriétés des [[Médiatrice|médiatrices]] amèneraient à penser qu'elles sont également concourantes et donc qu'il existe également un [[Cercle circonscrit à un triangle|cercle circonscrit]], mais ce résultat est faux en général dans le plan hyperbolique, car deux perpendiculaires à deux [[droites concourantes]] peuvent être parallèles ; ce qui reste vrai, c'est que si deux médiatrices d'un triangle se coupent, les trois médiatrices sont concourantes (le même résultat est également vrai pour les [[Hauteur d'un triangle|hauteurs]] du triangle){{note|groupe=note|texte=Cependant, même si le [[Cercle circonscrit à un triangle|centre du cercle circonscrit]] et l'[[Hauteur d'un triangle|orthocentre]] existent, ils 
[[Droite d'Euler|ne sont pas alignés]], en général, avec le [[Centre de masse d'une plaque homogène|centre de gravité]] du triangle<ref>{{Lien web |langue=en |titre=The Euler Line in Hyperbolic Geometry|auteur=Jeffrey R. Klus |url=https://www.geneseo.edu/~josm/1-1/00-03.pdf}} : une analyse numérique de ces questions, dans le modèle du [[disque de Poincaré]].</ref>.}}.

=== Parallèles ===
[[Image:Hyperbolic.svg|vignette|droite|alt= Tracé de la figure en noir sur fond blanc.|Droites passant par {{mvar|P}} et asymptotes à la droite {{mvar|R}} ; l'angle ''θ'' est l'angle de parallélisme.]]
On obtient la géométrie hyperbolique à partir de la géométrie absolue en remplaçant l'axiome des parallèles (ou plus exactement la version qu'en a donné [[Proclus]]{{Note|nom=proclus|groupe=note}}) par un axiome affirmant par exemple que « il existe au moins deux droites concourantes parallèles à une même troisième ». On démontre alors que pour toute droite {{mvar|D}} et pour tout point {{mvar|P}} non sur {{mvar|D}}, il existe une infinité de droites passant par {{mvar|P}} et ne rencontrant pas {{mvar|D}}, situées entre deux droites limites formant un angle 2''θ'' ne dépendant que de la distance de {{mvar|P}} à {{mvar|D}} ; ''θ'' est appelé ''angle de parallélisme'' (le calcul de cet angle en fonction de la distance sera fait dans la [[#Propriétés métriques|section consacré aux propriétés métriques]])<ref name =angle/>. Les deux droites limites sont dites ''parallèles [[Asymptote|asymptotes]]'' à {{mvar|D}} (certains auteurs réservent le terme de parallèles aux parallèles asymptotes ; les autres droites non sécantes sont alors dites ''ultraparallèles'', ou parfois ''hyperparallèles''). On démontre<ref group="note">C'est le [[théorème des ultraparallèles]] ; [[David Hilbert]] a donné une construction géométrique explicite de la perpendiculaire commune.</ref> que si deux droites du plan sont non sécantes (parallèles au sens euclidien usuel), ou bien elles sont asymptotes, ou bien il existe une et une seule droite perpendiculaire aux deux ; le segment découpé sur cette perpendiculaire commune correspond alors à la distance minimale entre ces deux droites (laquelle est nulle pour deux droites asymptotes). Les notions euclidiennes de [[Direction (géométrie)|direction d'une droite]], définie comme [[relation d'équivalence]] entre droites parallèles, et de [[Géométrie projective#Définition affine|point à l'infini d'une droite]] (défini, en [[géométrie projective]], comme l'intersection de cette droite avec la droite de l'infini) disparaissent, mais il reste possible de définir une relation d'équivalence entre parallèles asymptotes (les droites possédant désormais deux directions) ainsi qu'une notion de points à l'infini ; par exemple, dans le modèle du [[disque de Poincaré]], les points à l'infini forment un cercle limitant le disque et chaque droite (représentée dans ce modèle par un arc de cercle) coupe ce cercle limite en deux points correspondant à ses deux directions, deux droites étant parallèles asymptotes si elles ont un point à l'infini en commun{{Note|texte= Une présentation intuitive de ces idées figure sur le site de {{Lien web |auteur=Xavier Hubaut |titre=Qu'y a-t-il à l'infini d'un plan ? |url=https://xavier.hubaut.info/coursmath/mat/plan-complete.htm |site=xavier.hubaut.info}} ; on trouvera des démonstrations rigoureuses dans l'article de {{Article|auteur1=Jacques Lafontaine|titre=Introduction à la géométrie hyperbolique|lire en ligne=http://www.numdam.org/article/TSG_1991__S9__103_0.pdf|journal= Séminaire de Théorie spectrale et géométrie (Grenoble)|année=1991|pages=108 et suivantes}}.}}.

=== Cercles et pseudo-cercles ===
[[Image:Horocycle normals.svg|vignette|gauche|alt=À l'intérieur d'un grand cercle, cercle bleu traversé par un réseau d'arc de cercles rouges tous tangents à l'extrémité supérieure de l'image.|Un horocycle (en bleu) dans le modèle du [[disque de Poincaré]] et des [[Normale (géométrie)|normales]], convergeant asymptotiquement vers un [[point à l'infini]].]]
[[Image:Hyperbolic apeirogon example.png|vignette|gauche|alt=Dans un disque rose pale représentant le disque de Poincaré, un polygone à une infinité de côtés, sommets jaunes, intérieur vert vif, inscrit dans un cercle noir.|Représentation d'un [[apeirogone]] régulier inscrit dans un [[horocycle]], dans le modèle du [[disque de Poincaré]].]]
[[Image:H2-5-4-dual.svg|vignette|alt= Grille formée d'arcs de cercles bleus découpant un disque rouge en une infinité de pentagones.|Pavage du [[disque de Poincaré]] par des pentagones réguliers.]]
Les propriétés métriques d'un cercle de rayon {{mvar|r}} diffèrent de celles du plan euclidien : son périmètre et son aire sont respectivement supérieurs à {{math|2π''r''}} et à {{math|π''r''{{2}}}}. Mais de plus, certaines propriétés caractéristiques des droites euclidiennes définissent des courbes du plan hyperbolique qui n'ont pas d'analogue euclidien, mais qui par certains côtés peuvent s'interpréter comme des cercles généralisés : les points situés à une distance fixe {{mvar|d}} d'une droite donnée {{mvar|D}} forment une courbe appelée un ''[[hypercycle]]'' ; les courbes dont les [[Normale (géométrie)|normales]] en tout point forment une famille de droites asymptotiquement parallèles sont appelées des ''[[Horocycle|horocycles]]'' (ou parfois ''horicycles''<ref name=bachmann/>). Dans le modèle du [[disque de Poincaré]], les cercles, les horocycles et les hypercycles (ainsi que les droites) sont tous représentés par des cercles ou des arcs de cercle. Par trois points formant un triangle passe une courbe unique de cette famille (un cercle, un horocycle ou un hypercycle), qui généralise donc la notion de cercle circonscrit à ce triangle. Enfin, si une suite de points {{mvar|P{{ind|n}}}} (<math>n\in\mathbb Z</math>) est telle que les segments {{math|''S{{ind|n}}'' {{=}} [''P{{ind|n}}P''{{ind|''n''+1}}]}} sont tous de même longueur et que les angles entre ces segments sont tous égaux et suffisamment grands<ref group="note">On doit avoir (pour tout ''n'') <math>\widehat {S_nS_{n+1}} =\alpha\ge 2\theta </math>, où ''θ'' est l'angle de parallélisme en {{math|''P''{{ind|''n''+1}}}} à la médiatrice de {{mvar|S{{ind|n}}}} ; l'apeirogone est inscrit dans un horocycle si {{math|&alpha; {{=}} 2&theta;}}, et dans un hypercycle si {{math|&alpha; > 2&theta;}}.</ref>, elle forme un [[polygone régulier]] infini, appelé un ''[[apeirogone]]'' régulier, inscrit dans un horocycle ou dans un hypercycle<ref>Tous les résultats de cette sous-section sont démontrés dans {{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Harold Scott MacDonald Coxeter|Harold Coxeter]]|titre=Introduction to Geometry|éditeur=[[John Wiley & Sons]]|année=1961|passage=300 et suivantes|titre chapitre=§16.6 Circles, horocycles, and equidistant curves}}.</ref>.

=== Polygones réguliers et pavages ===

{{Article connexe|Pavage du plan}}
L’angle au sommet d’un [[polygone régulier]] à {{mvar|n}} côtés (qui vaut {{math|{{sfrac|''n''–2|''n''}}&pi;}} dans le plan euclidien) dépend de la longueur {{mvar|a}} du côté en géométrie hyperbolique et peut être rendu aussi petit que l’on veut<ref group="note">Plus précisément, cet angle vaut <math display=inline>2\arcsin\left(\frac {\cos (\pi/n)}{\cosh a}\right)</math>, qui tend très rapidement vers 0 quand {{mvar|a}} devient grand.</ref> ; c’est pourquoi on peut paver de manière uniforme le plan hyperbolique avec des polygones réguliers d'un nombre quelconque de côtés, et avec n'importe quel nombre de polygones ayant un sommet commun{{Note|texte=Voir [[:en:List_of_regular_polytopes_and_compounds#Hyperbolic_tilings|cette liste (et le tableau l'illustrant)]] {{En}} sur la Wikipédia anglophone.}} (alors qu'il n'existe dans le plan euclidien que trois [[Pavage par des polygones réguliers#Pavages réguliers|pavages réguliers]]). L'exemple ci-contre représente (dans le modèle du [[disque de Poincaré]]) un pavage par des pentagones réguliers ayant cinq angles droits.

=== Propriétés métriques ===
Contrairement au plan euclidien, il existe une échelle absolue des longueurs dans le plan hyperbolique, analogue au rayon de la sphère en [[géométrie sphérique]], et qu'on peut interpréter comme une « courbure », une déformation du plan euclidien rendant par exemple la somme des angles d’un triangle inférieure à 180°. [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]] a défini, plus généralement, une [[Courbure de Gauss|notion de courbure intrinsèque]] pour une surface quelconque, en n'utilisant que des lignes tracées sur la surface ; avec cette définition, on démontre que le plan hyperbolique est une [[Géométrie différentielle des surfaces#Surfaces de courbure constante|surface de courbure constante]] négative {{mvar|K}}<ref>{{Lien web |auteur=[[Pierre Pansu]] |titre=Cours de géométrie différentielle (chapitre 5 : surfaces à courbure constante) |url=https://www.imo.universite-paris-saclay.fr/~pansu/web_dea/chapitre5.pdf |site=universite-paris-saclay.fr}}.</ref>. En choisissant convenablement l'unité de longueur, on peut prendre {{mvar|K}} égal à –1 ; c'est cette convention qui sera utilisée dans la suite. Pour des formules plus générales, il faudrait multiplier par {{mvar|–K}} toutes les longueurs y apparaissant ; ainsi, dans le cas général, la relation entre les côtés d’un [[triangle rectangle]] devient {{math|cosh(''Kc'') {{=}} cosh(''Ka'') cosh(''Kb'')}}, et l'aire d'un disque de rayon {{mvar|r}} est <math display=inline>2\pi \frac{\cosh Kr-1}{K^2}</math>.

==== Angle de parallélisme ====
Si {{mvar|P}} est un point hors de la droite {{mvar|D}} et {{mvar|H}} son projeté orthogonal sur {{mvar|D}} (avec {{mvar|a {{=}} PH}} la distance de {{mvar|P}} à {{mvar|D}}), les formules données ci-dessous pour un triangle rectangle {{mvar|PHM}}, avec {{mvar|M}} sur {{mvar|D}} s'éloignant à l'infini, aboutissent à la formule donnant le sinus de l'angle de parallélisme {{math|θ}}, formule découverte par [[Nikolaï Ivanovitch Lobatchevski|Lobatchevski]]<ref>{{Ouvrage |langue=en |auteur1=H.P. Manning |titre=Introductory Non-Euclidean Geometry |lieu=New York |éditeur=[[Dover Publications]] |année=1963 |passage=58 }}.</ref> :
:<math>\sin\theta =\frac1{\cosh a}=\frac2{\mathrm{e}^a+\mathrm{e}^{- a}} </math>.
Cet angle tend très rapidement vers 0 lorsque {{mvar|P}} s'éloigne de {{mvar|D}}, c'est-à-dire que la plupart des droites passant par {{mvar|P}} sont parallèles à {{mvar|D}}<ref name=angle>{{MathWorld|nom_url=AngleofParallelism|titre=Angle of Parallelism}}</ref>.

==== Aires ====
[[Image:Hyperbolic-triangle-interior-angles.svg|thumb|alt=Trois arcs de cercle bleu, rouge et vert dans un disque blanc sur fond gris. |Triangle hyperbolique (représenté dans le [[disque de Poincaré]]).]]
Le périmètre d'un cercle de rayon {{mvar|r}} est {{math|2π sinh(''r'') {{=}} π(e{{exp|''r''}} – e{{exp|–''r''}})}} et l'aire du disque correspondant est {{math|2&pi;(cosh(''r'') – 1)}} ; ainsi, l'aire d'un disque croît beaucoup plus vite avec son rayon que dans le plan euclidien<ref>{{lien web|langue=en|url=http://www.maths.gla.ac.uk/wws/cabripages/hyperbolic/circleformulae.html|titre=Circonférence et aire des cercles hyperboliques}}, sur [[#glasgow|le site de l'université de Glasgow]].</ref>. Il en va tout autrement de l'aire {{math|Δ}} d'un triangle (dont les angles {{math|α}}, {{math|β}} et {{math|γ}} sont d'autant plus petits que les côtés sont grands) : [[Jean-Henri Lambert|Lambert]] a démontré que {{math|Δ {{=}} π – (α + β + γ)}}, formule identique au signe près à la [[Trigonométrie sphérique#Aire du triangle sphérique|formule de Girard]] en [[trigonométrie sphérique]], et qui montre au passage que la somme des angles d'un triangle est toujours inférieure à {{math|π}}<ref>{{lien web|langue=en|url=http://www.maths.gla.ac.uk/wws/cabripages/hyperbolic/harea.html|titre=Aire hyperbolique}}, sur [[#glasgow|le site de l'université de Glasgow]].</ref>.

==== Trigonométrie du triangle hyperbolique ====
Formellement, on peut obtenir les résultats correspondant au plan hyperbolique en supposant le triangle tracé sur une sphère de rayon imaginaire {{math|''R'' {{=}} i}} (c'est-à-dire que {{math|''R''{{2}} {{=}} –1}}){{Note|groupe=note|texte=Ce résultat, déjà deviné par [[Jean-Henri Lambert]], peut se justifier rigoureusement à l'aide du [[modèle de l'hyperboloïde]]<ref name=Penrose/>.}} ; en d'autres termes, en remplaçant dans les formules classiques de la [[trigonométrie sphérique]] les sinus et les cosinus des arcs (et non ceux des angles) par les [[Fonction hyperbolique|sinus et cosinus hyperboliques]] (et en corrigeant certains signes). Ainsi, pour un triangle {{mvar|ABC}}, avec les mêmes conventions que dans le cas sphérique (côtés notés {{mvar|a {{=}} BC}}, {{mvar|b {{=}} AC}} et {{mvar|c {{=}} AB}} ; angles correspondants notés {{math|α}}, {{math|β}} et {{math|γ}}), on a une [[Loi des cosinus#En géométrie hyperbolique|loi des cosinus]] : {{math|cosh(''c'') {{=}} cosh(''a'') cosh(''b'') – sinh(''a'') sinh(''b'') cos(γ)}}, une [[Dualité (géométrie projective)|loi des cosinus duale]] : {{math|cos(γ) {{=}} – cos(α) cos(β) + sin(α) sin(β) cosh(''c'')}}, et une [[loi des sinus]] : <math display=inline>\frac{\sin \alpha}{\sinh a} = \frac{\sin \beta}{\sinh b} = \frac{\sin \gamma}{\sinh c}</math>{{Note|texte={{Ouvrage|langue=en|auteur1=Saul Stahl|titre=The Poincaré Half-plane|sous-titre=A Gateway to Modern Geometry|éditeur=Jones and Bartlett|année=|passage=119-129|isbn=|lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=TABicHVMQhMC&pg=PA122|numéro chapitre=8|titre chapitre=The Trigonometry of the Hyperbolic Triangle}}}}. En particulier, pour un triangle rectangle en {{mvar|C}}, on a {{math|cosh(''c'') {{=}} cosh(''a'') cosh(''b'')}} ; comme {{math|cosh(''x'') ≈ 1 + {{sfrac|''x''{{2}}|2}}}} pour {{mvar|x}} suffisamment petit, on retrouve à la limite le théorème de Pythagore<ref>{{lien web|langue=en|url=http://www.maths.gla.ac.uk/wws/cabripages/hyperbolic/hypertrig.html|titre=Trigonométrie du triangle hyperbolique}}, sur [[#glasgow|le site de l'université de Glasgow]].</ref>.
==== Triangle idéal ====
{{Article détaillé|Triangle idéal}}
[[Image:Ideal circles.svg|thumb|right|180px|Trois triangles idéaux dans le modèle du [[disque de Poincaré]]. ]]
Une autre figure n'ayant pas d'analogue euclidien est obtenue en éloignant indéfiniment les sommets d'un triangle ordinaire : on obtient à la limite trois parallèles asymptotes deux à deux, les sommets étant rejetés à l'infini. Tous les triangles obtenus ainsi, appelés ''[[Triangle idéal|triangles idéaux]]'', sont isométriques, et, ayant leurs trois angles nuls, ont (d'après la formule de [[Jean-Henri Lambert|Lambert]]) une aire égale à π, la plus grande possible pour un triangle<ref name="Thurston 2012">{{lien web|langue=en |auteur=Dylan Thurston |titre=274 Curves on Surfaces, Lecture 5 |url=http://math.berkeley.edu/~qchu/Notes/274/Lecture5.pdf |date=automne 2012 |consulté le=23 juillet 2013}}</ref>.

=== Déplacements du plan hyperbolique ===
{{Article détaillé|Déplacement hyperbolique}}
On appelle [[Déplacement (géométrie)|déplacement du plan]] une [[isométrie]] qui conserve l'[[Orientation (mathématiques)|orientation]]. Les [[Rotation plane|rotations]] du plan hyperbolique sont définies exactement comme en géométrie euclidienne : si {{mvar|r}} est la rotation de centre {{mvar|C}} et d'angle α, l'image de {{mvar|A}} par {{mvar|r}}, {{math|''A{{'}}'' {{=}} ''r''(''A'')}} est le point tel que {{mvar|CA' {{=}} CA}} et que l'angle <math display=inline>\widehat {ACA'} = \alpha</math> ; la démonstration de ce que cette transformation est bien un déplacement ne dépend pas de l'axiome des parallèles. En revanche, il n'existe pas de vrais analogues des [[Translation|translations]] en géométrie hyperbolique ; ce qui s'en rapproche le plus est une rotation autour d'un point à l'infini {{mvar|C}}, transformation formée du composé de deux symétries orthogonales ayant pour axes deux droites concourantes en ce point (donc parallèles asymptotes) ; dans les itérations d'une telle transformation, chaque point parcourt les sommets d'un [[apeirogone]] régulier inscrit dans un [[horocycle]] de centre {{mvar|C}} (cette transformation est parfois appelée une ''horolation'' de centre {{mvar|C}}). Plus généralement, on démontre que tout déplacement du plan hyperbolique est composé de deux symétries orthogonales : c’est l'identité si les axes de symétrie sont confondus, c’est une rotation ordinaire s'ils se coupent, c’est une horolation s'ils sont parallèles asymptotes, et enfin, si les deux axes de symétrie sont ultraparallèles, ce déplacement est une translation le long de leur [[Théorème des ultraparallèles|perpendiculaire commune]], les autres points parcourant des [[Hypercycle|hypercycles]] ayant pour axe cette perpendiculaire<ref>{{Ouvrage |auteur1=Henri Lombardi |titre=Géométries élémentaires (vol.1) |éditeur=[[Presses universitaires de Franche-Comté]] |année=1999 |pages totales=290 |passage=230-259 |isbn=978-2-913322-45-5 |lire en ligne=https://books.google.com/books?id=RylgAp8n1nQC&printsec=frontcover |numéro chapitre=9a |titre chapitre=Le modèle de Beltrami : déplacements et antidéplacements du plan hyperbolique}}.</ref>.

=== Géométrie analytique ===
[[Image:Circles_about_the_origin_in_hyperbolic_axial_coordinates.gif|vignette|Représentation en coordonnées axiales de cercles autour de l'origine ; le contour en rouge représente le plan hyperbolique '''H''' tout entier.|alt=Animation décrite en légende.]]
{{Article détaillé|Système de coordonnées du plan hyperbolique}}
L'invention par [[René Descartes]] des [[Coordonnées cartésiennes|systèmes de coordonnées qui portent son nom]] a donné naissance à la [[géométrie analytique]], permettant de résoudre des questions de géométrie à l'aide des méthodes de l'[[algèbre]]<ref>{{Ouvrage|auteur1=[[René Descartes]]|titre=Le Livre Premier de La Géométrie de Descartes|éditeur=|année=1637|pages totales=18|lire en ligne=http://www.bibnum.education.fr/geometrie/Le-Livre-Premier-de-La-G%C3%A9om%C3%A9trie-de-Descartes|id="livre premier"}}.</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage|auteur1=Pierre-Édouard Marchal|titre=Histoire de la Géométrie|éditeur=|année=1943|passage=70 et suivantes}}.</ref>. Il est possible de repérer de même les points du plan hyperbolique par des couples de nombres, le système le plus usité étant celui des [[Système de coordonnées du plan hyperbolique#Coordonnées axiales|coordonnées axiales]] (prenant pour coordonnées d'un point ses [[Projection orthogonale|projections orthogonales]] sur deux axes perpendiculaires)<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=George Martin|titre=The foundations of geometry and the non-Euclidean plane|lieu=New York|éditeur=[[Springer Science+Business Media|Springer]]|année=1998|pages totales=[https://archive.org/details/foundationsofgeo0000mart/page/447 447–450]|isbn=0387906940|lire en ligne=https://archive.org/details/foundationsofgeo0000mart}}.</ref>, mais ces systèmes sont loin d'être aussi commodes, en raison de la complexité des formules décrivant les figures usuelles (droites et cercles) ou permettant de calculer angles et distances ; c'est pourquoi la plupart des applications informatiques passent plutôt par des calculs dans le modèle du [[disque de Poincaré]]{{Note|groupe=note|texte=C'est par exemple la méthode utilisée par le site de géométrie hyperbolique de l'[[université de Glasgow]]<ref>{{Lien web|langue= en|titre=Hyperbolic geometry|url=http://www.maths.gla.ac.uk/wws/cabripages/hyperbolic/hyperbolic0.html|date=|site=[[université de Glasgow]]|consulté le=17 avril 2021}}.</ref>.}}.

== Modèles de la géométrie hyperbolique ==
La [[théorie des modèles]] trouve précisément sa source dans les exemples construits par [[Eugenio Beltrami]], qui leur donnait le nom de ''représentations''<ref>{{Lien web |auteur=Rossana Tazzioli |titre=Les géométries non euclidiennes : histoire et historiographie |url=http://images.math.cnrs.fr/Les-geometries-non-euclidiennes-Histoire-et-historiographie.html |date= |site= [[Images des mathématiques]]|consulté le=17 avril 2021}}.</ref> ; pour lui, une ''représentation'' d'une géométrie est une construction, dans l'espace euclidien usuel (ou plus généralement dans l'espace <math>\mathbb R^n</math>), d'objets correspondant de manière cohérente à une géométrie et ses propriétés. Par exemple, le [[diagramme de Minkowski]] est une représentation de la [[espace de Minkowski|géométrie minkowskienne]] ; la sphère munie de ses [[Grand cercle|grands cercles]] forme une représentation de la [[géométrie elliptique]]. Beltrami a utilisé les différentes représentations qu'il avait obtenues pour démontrer rigoureusement l'[[Indépendance (logique mathématique)|indépendance]] de l'[[axiome des parallèles]]<ref name=Beltrami>{{Article| auteur=[[Eugenio Beltrami]]
 | titre=Essai d'interprétation de la géométrie noneuclidéenne
 | périodique=Ann. École Norm. Sup. 6
 | année=1869
 | pages=251–288
 | url=http://www.numdam.org/article/ASENS_1869_1_6__251_0.pdf
}}</ref>{{,}}{{Note|nom=coh|texte=Supposons une contradiction en géométrie hyperbolique, par exemple une preuve de ce qu'il existe deux droites distinctes ayant deux points communs ; dans une représentation (le disque de Poincaré, pour fixer les idées), ces deux droites (représentées par des arcs de cercles orthogonaux au cercle unité) auront également deux points communs, ce qui est impossible pour ces arcs de cercles en géométrie euclidienne. Ainsi, si la géométrie euclidienne est non contradictoire, il en est de même de la géométrie hyperbolique, et donc l'axiome des parallèles ne peut être démontré en [[géométrie absolue]], puisque la géométrie hyperbolique le contiendrait, lui et sa négation. Ce type d'argument est caractéristique des premiers résultats de la [[théorie des modèles]], culminant avec le [[théorème de complétude de Gödel]].|groupe=note}}.

Toutes les représentations de la géométrie hyperbolique sont équivalentes d'un point de vue mathématique{{Note|texte=Cependant, en fonction des usages, les calculs ou les graphiques seront plus aisés à effectuer dans certaines de ces représentations.|groupe=note}}, c'est-à-dire qu'il existe des [[isomorphisme]]s permettant de passer d'une représentation à une autre ; c'est à ce sens que les mathématiciens parlent du plan hyperbolique comme d'un objet unique{{Note|texte=Il faut toutefois préciser que chaque modèle apporte avec lui une définition de la distance entre deux points exprimée dans une unité arbitraire ; on choisit en général cette unité de telle sorte que la [[Courbure sectionnelle|courbure]] soit égale à –1.|groupe=note}}.

Pour s'assurer de ce que les différentes représentations données ci-dessous sont bien des modèles de la géométrie hyperbolique (autrement dit qu'ils en vérifient tous les axiomes), il ne suffit pas de dire ce qu'en sont les « droites » ; il faut aussi y définir une notion de [[Congruence (géométrie)|congruence]] (des segments), ou, ce qui revient au même, une [[Distance (mathématiques)|distance]] entre les points{{Note|texte=En principe, il faudrait aussi définir l'angle entre deux droites, mais en géométrie hyperbolique, les angles d'un triangle sont entièrement déterminés par les longueurs de ses côtés, et par la courbure de l'espace.|groupe=note}} (qui sera nécessairement différente de la distance ordinaire de l'espace). On trouvera les formules définissant ces distances pour chaque modèle dans les articles détaillés correspondants<ref group="note">Les formules définissant la [[Métrique (mathématiques)|métrique]] pour chaque modèle sont relativement simples ; la distance, en revanche, est obtenue dans le cas général par l'intégration de cette métrique le long d'une [[géodésique]], ce qui peut amener à des formules très lourdes. Il est cependant possible de simplifier ce calcul, en géométrie hyperbolique, en exploitant les relations métriques dans un triangle bien choisi ; par exemple, dans le modèle du [[disque de Poincaré]], la distance entre les vecteurs du plan ''u'' et ''v'' s'exprime par la formule <math>d(u, v) = \operatorname{argch} \left(1+2 \frac{\|u-v\|^2}{(1-\|u\|^2)(1-\|v\|^2)}\right),</math> où <math>\|~\|</math> est la norme euclidienne.</ref>.

=== Modèle de Klein ===
{{Article détaillé|Modèle de Klein}}
[[Image:Klein model.svg|thumb|alt=Dessin en noir et blanc d'un ensemble de cordes dans un cercle.|Parallèles et hyperparallèles dans le [[modèle de Klein]]-Beltrami.]]
Dans ce modèle, l'espace hyperbolique est une [[Boule (topologie)|boule ouverte]] euclidienne. En dimension 2, le plan hyperbolique est donc modélisé par un disque ouvert. Les droites de l'espace hyperbolique sont des segments dont les extrémités appartiennent au bord de la boule ; la [[Espace métrique|distance]] est donné par la [[métrique de Cayley-Klein]]. La représentation des droites hyperboliques est aisée dans ce modèle, mais les angles ne sont pas conservés et les cercles sont représentés par des ellipses.

La sphère (ou le cercle en dimension 2) limitant le domaine du modèle correspond à des points de l'espace hyperbolique [[Point à l'infini|situés à l'infini]]. Aussi, plus on s'approche du bord du domaine et plus les distances ont l'air de se contracter dans le modèle.

=== Disque de Poincaré ===
{{Article détaillé|Disque de Poincaré}}
[[Image:PavageHypPoincare2.svg|vignette|gauche|alt= Dessin en noir et blanc d'un pavage du disque par une infinité d'heptagones diminuant rapidement de traille vers le bord. |Pavage du plan hyperbolique par des heptagones réguliers, dans le modèle du [[disque de Poincaré]].]]
Comme dans le modèle de Klein-Beltrami, l'espace hyperbolique est représenté dans ce modèle par une boule ouverte euclidienne (et donc par un disque en dimension 2), mais les droites de cet espace hyperbolique sont des arcs de cercles perpendiculaires au bord de la boule ; la distance est définie par la [[métrique de Poincaré]]. L'intérêt de cette représentation est que, localement, la métrique de l'espace est, à un facteur près, la métrique euclidienne du modèle. En particulier, l'angle entre deux droites de l'espace hyperbolique est égal à l'angle de la géométrie euclidienne formé par les deux arcs de cercles du modèle représentant ces deux droites. On dit que la représentation de l'espace hyperbolique est [[Transformation conforme|conforme]].

Comme dans le modèle de Klein-Beltrami, la sphère (ou le cercle en dimension 2) limitant le domaine du modèle correspond à des points de l'espace hyperbolique [[Point à l'infini|situés à l'infini]], les distances semblant se contracter lorsqu'on s'approche du bord du domaine.

=== Demi-plan de Poincaré ===
{{Article détaillé|Demi-plan de Poincaré}}
[[Image:PavageDemiPlanPoincare.svg|vignette|alt=Dessin en noir et blanc d'un pavage du demi-plan par une infinité d'heptagones, diminuant de taille vers le bord inférieur, et grandissant vers le haut.|Pavage du plan hyperbolique par des heptagones réguliers, dans le modèle du [[demi-plan de Poincaré]].]]

Dans ce modèle, l'espace hyperbolique est un demi-espace ouvert de <math>\mathbb R^n</math>. En dimension 2, le plan hyperbolique est donc modélisé par un demi-plan euclidien. Les droites de cet espace hyperbolique sont des arcs de cercles perpendiculaires à l'hyperplan (ou à la droite en dimension 2) limitant le demi-espace ; la distance est définie à l'aide de la métrique <math display=inline>\mathrm ds^2=\frac{\mathrm dx^2+\mathrm dy^2}{y^2}.</math> La représentation est là aussi conforme.

Dans ce modèle, l'hyperplan (ou la droite en dimension 2) limitant le domaine correspond à des points de l'espace hyperbolique [[Point à l'infini|situés à l'infini]]. Les distances se contractent en s'approchant de cet [[hyperplan]], et se dilatent en s'en éloignant.

=== Modèle de l'hyperboloïde ===
{{Article détaillé|Modèle de l'hyperboloïde}}

Dans ce modèle, étudié par [[Henri Poincaré|Poincaré]] et surtout par [[Wilhelm Killing|Killing]] dans les années 1880<ref>{{article |langue=en |auteur1=William Reynolds |titre= Hyperbolic Geometry on a Hyperboloid|journal=[[The American Mathematical Monthly]] |année= 1993|volume=100 |présentation en ligne=https://www.jstor.org/stable/2324297?seq=1 }}.</ref>, l'espace hyperbolique est une nappe d'un [[hyperboloïde]] muni d'une métrique particulière. Plus précisément, dans l'[[espace de Minkowski]], c'est-à-dire {{math|'''R'''{{exp|''n''+1}}}}, muni de la [[Espace pseudo-métrique|pseudo-métrique]] {{math|–''dx''{{indexp|0|2}} + ''dx''{{indexp|1|2}} + ... + ''dx''{{indexp|''n''|2}}}}, c'est la nappe de l'hyperboloïde d'équation {{math|''x''{{indexp|0|2}} – ''x''{{indexp|1|2}} – ... – ''x''{{indexp|''n''|2}} {{=}} 1}} telle que {{math|''x''{{ind|0}} > 0}}, munie de la pseudo-métrique induite, qui est en fait une métrique riemannienne homogène. [[Hermann Minkowski|Minkowski]] a montré en 1908 que ce modèle s'identifiait à l'espace des [[Vecteur vitesse|vecteurs-vitesse]] (''Geschwindigkeitsvectoren'') de la [[relativité restreinte]]<ref name=minkowski>{{article|langue=de
|auteur=[[Hermann Minkowski]]
|année=1908
|titre=Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern
|journal=Nachrichten der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse
|pages=53–111|lien titre=s:de:Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern
}}.</ref>.

=== Représentation de Beltrami ===
[[Image:Gaussian curvature.PNG|vignette|gauche|alt=Représentation en perspective de trois surfaces quadrillées et colorées. |[[Surface de révolution|Surfaces de révolution]] de [[Géométrie différentielle des surfaces#Surfaces de courbure constante|courbure de Gauss constante]].]]
[[Image:Pseudosphere.png|droite|vignette|alt=Image en couleur (obtenue par modélisation 3D) : surface quadrillée orange et jaune sur fond bleu ayant la forme de deux trompettes accolées par leurs pavillons.|La pseudosphère (ou tractricoïde) utilisée par Beltrami comme modèle du plan hyperbolique.]]
{{Article connexe|Pseudosphère}}
[[Eugenio Beltrami]] a proposé en 1868 de prendre une [[Géométrie différentielle des surfaces#Surfaces de courbure constante|surface de courbure constante]] négative comme modèle du plan hyperbolique (et d'appeler « droites » les [[Géodésique|géodésiques]] de cette surface)<ref>{{Article
 | prénom=Eugenio
 | nom=Beltrami
 | titre=Saggio sulla interpretazione della geometria non euclidea
 | périodique=Gior. Mat.
 | volume=6
 | pages=248–312
 | langue=it
 | année=1868
}}. Voir également, du même auteur : {{Ouvrage
 | langue=it
 | titre=Opere Matematiche
 | volume=1
 | éditeur=
 | année=2010
 | pages totales=374–405
 | isbn=978-1-4181-8434-6
 | isbn2=1-4181-8434-9
}} et
{{Article
 | titre=Essai d'interprétation de la géométrie noneuclidéenne
 | périodique=Ann. École Norm. Sup. 6
 | année=1869
 | pages=251–288
 | url=http://www.numdam.org/article/ASENS_1869_1_6__251_0.pdf
}}.</ref>{{,}}{{Note|groupe=note|nom=minding}}. Il est impossible (d'après [[Théorème de Hilbert (géométrie différentielle)|un théorème de Hilbert]]) d'obtenir ainsi un modèle du plan hyperbolique tout entier qui ne présente pas de [[Singularité (mathématiques)|singularités]], mais la [[pseudosphère]] en est la meilleure représentation ; elle présente de plus l'avantage de conserver la métrique usuelle, en mesurant les distances le long des géodésiques. [[Henri Poincaré]] a démontré plus généralement l'équivalence du plan hyperbolique avec toute surface « abstraite » (techniquement, toute [[variété riemannienne]] de dimension 2) de [[Géométrie différentielle des surfaces#Surfaces de courbure constante|courbure négative constante]] [[Espace complet|complète]] et [[Connexité simple|simplement connexe]] munie de ses géodésiques ; ce résultat est un cas particulier de son [[théorème d'uniformisation]].

== Géométrie hyperbolique en dimension quelconque ==
[[Image:Hyperbolic orthogonal dodecahedral honeycomb.png|vignette|alt=réseau en perspective de tubes courbés rouge sombre sur fond beige.|Représentation en perspective d'un [[pavage du plan|pavage]] de '''H'''{{exp|3}} (ou plus exactement de la [[Disque de Poincaré|sphère de Poincaré]]) par des [[Dodécaèdre régulier|dodécaèdres réguliers]].]]
Pour définir l'espace hyperbolique de dimension ''n'', noté '''H'''{{exp|''n''}}, il est possible de reprendre l'approche axiomatique (en s'appuyant par exemple sur les [[axiomes de Hilbert]]) ; d'autre part, la définition de [[Felix Klein]] se généralise aisément en dimension quelconque en remplaçant la conique absolue par une [[Quadrique#Quadrique_en_dimension_quelconque|hyperquadrique]]<ref>La construction est détaillée dans l'article [[Métrique de Cayley-Klein]].</ref>.

Cependant, les définitions modernes préfèrent s'appuyer sur la notion de [[variété riemannienne]]<ref name=leys>{{Lien web |auteur=Jos Leys |titre=Une chambre hyperbolique |url=https://images.math.cnrs.fr/Une-chambre-hyperbolique.html|date= |site= [[Images des mathématiques]]|consulté le=17 avril 2021}}.</ref> : '''H'''{{exp|''n''}} est une variété riemannienne de dimension ''n'', [[Connexité simple|simplement connexe]] [[Espace symétrique|symétrique]], ayant une [[courbure sectionnelle]] constante et négative (toutes les variétés vérifiant ces propriétés sont isomorphes, et même isométriques<ref group="note">Plus exactement, entre deux de ces variétés, il existe une bijection {{mvar|f}} et une constante {{mvar|k}} telle que la distance {{mvar|d}} (mesurée le long des géodésiques) vérifie {{math|''d''(''f''(''A''),''f''(''B'')) {{=}} ''k d''(''A'',''B'')}} pour tout couple de points ''A'' et ''B''.</ref>). Les « droites » sont les [[Géodésique|géodésiques]] de cette variété, et par chaque point passe au moins une sous-variété isomorphe au plan hyperbolique étudié précédemment<ref>
{{Article|langue=en |auteur1=[[Norbert A'Campo]] |auteur2= Athanase Papadopoulos |titre= Notes on hyperbolic geometry |périodique=IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics |lieu= Zürich|série=Strasbourg Master class on Geometry |volume=18 |date=2012 |pages=1-182 |doi=10.4171/105 }}.</ref> ; c'est cette approche qui amène, réciproquement, à se demander quelles géométries sont compatibles avec une variété donnée (et en particulier quelles conditions sont nécessaires pour qu'elle puisse être munie d'une géométrie hyperbolique) ; ces recherches ont culminé en 2003 avec la démonstration par [[Grigori Perelman]] de la [[Géométrisation des 3-variétés|conjecture de géométrisation de Thurston]].

Une troisième approche, plus [[Constructivisme (mathématiques)|constructive]], consiste à définir '''H'''{{exp|''n''}} comme étant l'un des modèles ci-dessus (lesquels sont tous isomorphes entre eux), le [[modèle de l'hyperboloïde]] pour la simplicité des calculs, ou [[Disque de Poincaré|celui de Poincaré]], [[Transformation conforme|conforme]], pour des représentations graphiques commodes. Le modèle de l'hyperboloïde, en particulier, peut être défini comme [[Groupe quotient|quotient]] d'un [[Matrice (mathématiques)|espace de matrices]], ce qui lui donne une riche structure algébrique, et facilite l'étude de ses [[Isométrie|isométries]]{{Note|groupe=note|texte=Plus précisément, '''H'''{{exp|''n''}} peut s'écrire <math display=inline>\mathrm{O}(1,n)/(\mathrm{O}(1) \times \mathrm{O}(n))</math>, où {{math|O(''k'')}} est le [[groupe orthogonal]] d'ordre ''k'', et où {{math|O(1,''n'')}} est le groupe orthogonal généralisé des matrices laissant invariant le [[Espace de Minkowski#Structure algébrique|pseudo-produit scalaire de Minkovski]] en dimension ''n''+1<ref>{{Lien web |langue=en |auteur=Ruben Dashyan |titre=Représentation de groupes fondamentaux en géométrie hyperbolique |url=https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-01684245/document |site=[[Université Pierre-et-Marie-Curie]] (thèses de doctorat) |date=23 janvier 2018 |consulté le=30 avril 2021}}, section 1.1.</ref>.}}.

Plusieurs approches purement géométriques ont également été proposées ; d'une part, l'axiomatique de [[Friedrich Bachmann|Bachmann]], construite en 1959 en n'utilisant que les notions d'incidence<ref group="note">En géométrie, on parle d'incidence pour regrouper les notions d'inclusion (un point est incident à une droite, une droite est incidente à un plan) et d'intersection (deux droites non parallèles d'un même plan sont incidentes).</ref>, d'[[orthogonalité]] et d'[[isométrie]]<ref name="bachmann" />; d'autre part, la découverte au début des années 2000 d'une [[structure algébrique]], l'[[espace de gyrovecteurs|espace gyrovectoriel]], jouant pour la géométrie hyperbolique le même rôle que la structure d'[[espace vectoriel]] joue pour la géométrie euclidienne<ref name=ungar>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=Abtaham A. Ungar|titre=Gyrovectors|sous-titre=an Approach to Hyperbolic Geometry|tome=4|éditeur=Morgan & Claypool Publishers|série=Synthesis lectures on mathematics and statistics|année=2009|pages totales=182|isbn=978-159-829-822-2|lire en ligne=https://www.google.com/books/edition/_/dlFTgrhqm3IC?hl=en&gbpv=1&pg=PR12}}</ref>.

Plus généralement encore, [[Mikhaïl Gromov]] a découvert vers 1985 les [[Espace métrique hyperbolique|espaces métriques hyperboliques]], des espaces ayant des propriétés similaires à celles de l'espace hyperbolique, et qui sont définis à l'aide d'une relation entre leurs distances, le [[produit de Gromov]]<ref>{{article|langue=en|nom=Väisälä|prénom=Jussi|titre=Gromov hyperbolic spaces|journal=Expositiones Mathematicae|volume=23|numéro=3|pages=187–231|doi=10.1016/j.exmath.2005.01.010|année=2005}}.</ref>.

== Applications ==
[[Image:Action_of_SL2(Z)_on_the_Poincare_disc.svg|gauche|vignette|alt=Cercles noirs à l'intersection de lignes bleu pâle, remplissant un disque bordé de rouge|[[Action de groupe (mathématiques)|Action]] du [[groupe modulaire]] sur le [[disque de Poincaré]] (l'illustration représente l'[[Action de groupe (mathématiques)#Orbite|orbite]] (l'ensemble des images) d'un petit disque noir situé autour de l'origine)]]

=== Groupe modulaire ===
[[Image:ModularGroup-FundamentalDomain.svg|vignette|upright=1.5|droite|alt=Demi-cercles et droites verticales bleues, délimitant des zones blanches, la zone du centre étant grisée.|Domaine fondamental et ses images pour l'[[Action de groupe (mathématiques)|action]] du [[groupe modulaire]] sur le [[demi-plan de Poincaré]].]]
{{Article détaillé|Groupe modulaire}}
Le [[groupe modulaire]] agit naturellement sur le plan hyperbolique, plus particulièrement sur les représentations de Poincaré ; c'est un sous-groupe de son [[Déplacement hyperbolique|groupe des déplacements]], représenté dans ces modèles par les [[Transformation de Möbius|transformations de Möbius]]. Les [[Courbe modulaire|courbes modulaires]] sont définies comme quotients du plan hyperbolique par certains sous-groupes du groupe modulaire ; les classes d'équivalence correspondantes amènent à des pavages du plan hyperbolique, étudiés en particulier par [[Henri Poincaré|Poincaré]], [[Richard Dedekind|Dedekind]] et [[Felix Klein|Klein]]<ref>{{article|langue=en
| issn = 0002-9890
| volume = 108
| numéro = 1
| pages = 70–76
| nom = Stillwell
| prénom = John
| titre = Modular Miracles
| journal = [[The American Mathematical Monthly]]| date = janvier 2001
| jstor = 2695682
| doi = 10.2307/2695682 
}}</ref>.
=== Dynamique chaotique ===
Le [[flot géodésique]] sur une [[variété riemannienne]] compacte à courbure négative est le prototype de [[système dynamique]] à temps continu le plus chaotique qui soit, une propriété remarquée dès 1898 par [[Jacques Hadamard|Hadamard]]<ref>Jacques Hadamard, « Les surfaces à courbures opposées et leurs lignes géodésiques », dans ''[[Journal de mathématiques pures et appliquées]]'', vol. 4, 1898, {{p.|27}}.</ref>. On sait aujourd'hui que ce [[flot (mathématiques)|flot]] est bernoullien<ref>{{Article |langue=en |auteur1=[[Donald Ornstein]] et Benjamin Weiss |titre=Geodesic flows are Bernouillians |périodique=Israel Journal of Mathematics |volume=14 |date=1973 |passage=184}}.</ref>, et donc en particulier ergodique, mélangeant (« ''mixing'' »), etc.<ref>{{Ouvrage |langue=en |auteur1=[[Vladimir Arnold]] et André Avez |titre=Ergodic problems of classical mechanics |éditeur=[[Addison-Wesley]] |collection=Advanced Book Classics |année=1988 |isbn=}}.</ref>{{,}}<ref>{{Article |auteur1=[[Pierre Pansu]] |titre=Le flot géodésique des variétés riemanniennes à courbure négative |périodique= [[Séminaire Nicolas Bourbaki]]|volume= 738|éditeur= [[Société mathématique de France#Publications|Astérisque]]|date=1991 |pages=269-298}}.</ref>. De nombreuses études détaillées de ce flot et de ses applications ont été publiées à partir de la fin des années 1980{{Note|texte=On peut citer, par exemple, {{Langue|en|''Chaos on the pseudosphere''}}<ref>{{Article |langue= en|auteur1=Nándor Balázs et André Voros |titre= Chaos on the pseudosphere|périodique=Physics Report |volume=143 |date= 1986|pages= 109 }}.</ref>, {{Langue|en|''Hyperbolic geometry in two dimensions and trace formulas''}}<ref>{{Article |langue=en |auteur1=[[Yves Colin de Verdière]] |titre=Hyperbolic geometry in two dimensions and trace formulas |périodique= Proceeedings de l'[[École de physique des Houches|École d'été de physique théorique des Houches]] (''Chaos & Quantum Physics'')|éditeur= Marie-Joya Giannoni, André Voros et [[Jean Zinn-Justin]] |date=1989 |isbn=0-444-89277-X }}.</ref>, ou encore {{Langue|en|''Quantum and classical properties of some billiards on the hyperbolic plane''}}<ref>{{en}} Charles Schmit, « {{Langue|en|''Quantum and classical properties of some billiards on the hyperbolic plane''}} », dans ''Chaos & Quantum Physics'', ''op. cit.''</ref> ; on trouvera une synthèse de ces travaux dans le cours de ''Systèmes dynamiques'' de l'[[université Joseph-Fourier]]<ref> {{Lien web |titre= Chapitre 6: Dynamique hyperbolique|url=https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~faure/enseignement/systemes_dynamiques/cours_dynamique_hyperbolique.pdf}}.</ref>.}}.

=== Théorie de la complexité ===
La [[Théorie de la complexité (informatique théorique)|théorie de la complexité]], sous sa forme usuelle, suppose un monde où les signaux se propagent instantanément, et où, par conséquent, la lecture d'une donnée prend toujours le même temps. Mais des analyses plus fines ont été proposées ; il a alors été remarqué que dans un monde hyperbolique, on peut stocker beaucoup plus d'informations à distance donnée, ce qui permet d'accélérer certains calculs ; en particulier, on peut démontrer que, dans cet espace, [[Problème P ≟ NP|P = NP]]{{Note|texte=Il s’agit en fait de la classe <math>P'</math> des problèmes solubles en temps polynomial par [[Parallélisme (informatique)|calcul parallèle]] ; dans un espace euclidien, <math>P=P'</math><ref name=delahaye />.|groupe=note}} (cela ne permet pas de démontrer le résultat dans un espace euclidien dans lequel d'ailleurs, très probablement, P est différent de NP)<ref name=delahaye>{{Article |auteur1=[[Jean-Paul Delahaye]] |titre=Calculer dans un monde hyperbolique |périodique=[[Pour la science]] |date=février 2004 |lire en ligne=https://interstices.info/calculer-dans-un-monde-hyperbolique/ }}</ref>.

=== Relativité restreinte et physique quantique ===
Dès 1908, [[Hermann Minkowski]] a remarqué que l'espace des [[Vecteur vitesse|vecteurs-vitesses]] de la [[relativité restreinte]] se comportait comme le plan hyperbolique (c'est le [[modèle de l'hyperboloïde]])<ref name=minkowski />. La composition des vitesses donne naissance ainsi à une [[structure algébrique]] appelée [[espace de gyrovecteurs]], définie et étudiée à partir des années 2000 par plusieurs auteurs dont Abraham A. Ungar<ref name=ungar/>, et qui a trouvé des applications en géométrie hyperbolique proprement dite, mais aussi, par exemple, dans l'étude de la [[sphère de Bloch]]<ref> {{Article |langue=en |auteur1=Jing-Ling Chen, Libin Fu, Abraham A. Ungar et Xian-Geng Zhao |titre=Geometric observation for the Bures fidelity between two states of a qubit |périodique=Physical Review A |volume= 65|numéro= 2|date=2002 |pages= 3|lire en ligne=https://arxiv.org/abs/quant-ph/0112169 |consulté le=25 avril 2021 }}.</ref>.

=== Cosmologie ===
{{Article connexe|Forme de l'Univers}}
[[Carl Friedrich Gauss|Gauss]], puis [[Nikolaï Ivanovitch Lobatchevski|Lobatchevski]], ont envisagé que la géométrie de l'espace physique ne soit pas euclidienne{{Note|nom=geo|groupe=note}}{{,}}<ref name=géo2 group="note" />, mais les mesures [[Géodésie|géodésiques]] et même [[Astrométrie|astrométriques]] qu'ils ont pu réaliser{{Note|groupe=note|texte=Gauss annonce avoir mesuré la somme des angles d'un triangle de plusieurs dizaines de kilomètres de côté, obtenant 180° à 2 [[Sous-unités du degré|secondes d'arc]] près<ref name=gauss1/> ; Lobatchevski signale, dans son article ''Géométrie imaginaire''<ref name=imaginaire/>, que sur un triangle de base Terre-Soleil, « la somme des angles diffère de deux angles droits de moins de 0,0003 seconde d'arc [{{unité|{{nb|e-10}}|[[radian]]s}}] ».}} n'ont fait que confirmer l'axiome des parallèles. La question a été reprise d'un point de vue physique lorsque [[Albert Einstein|Einstein]] a formulé sa théorie de la [[relativité générale]], dont le modèle suppose que les masses « courbent » l'espace. Déterminer la géométrie de l'espace dans son ensemble, et en particulier sa [[Courbure spatiale|courbure]]{{Note|texte=Dans les modèles les plus utilisés, l'espace est supposé (à grande échelle) [[Homogénéité (cosmologie)|homogène]] et [[Isotropie|isotrope]] ; cela implique qu'il est de [[Courbure scalaire|courbure constante]], et que sa géométrie est hyperbolique, euclidienne ou elliptique selon que cette courbure est négative, nulle ou positive.|groupe=note}}, devient alors une question susceptible de tests expérimentaux, utilisant en particulier le fait que dans un espace hyperbolique, le volume d'une sphère croit beaucoup plus vite que le cube de son rayon. Au début du {{S-|21}}, l'espace semble cependant « plat » (euclidien) à la précision des mesures<ref>{{lien web|langue=en|titre=Our universe is Flat|url=http://www.symmetrymagazine.org/article/april-2015/our-flat-universe?email_issue=725|éditeur=FermiLab/SLAC|date=7 avril 2015|prénom=Lauren|nom=Biron|série=symmetrymagazine.org}}.</ref>, ce que nos connaissances physiques actuelles n'expliquent pas bien : c’est le [[problème de la platitude]]{{Note|groupe=note|texte=Mentionné dès 1969 par [[Robert Dicke]]<ref name="Dicke1970">{{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Robert Dicke]]|titre=Gravitation and the Universe|sous-titre=Jayne Lectures for 1969|éditeur=American Philosophical Society|année=1970|passage=62|isbn=978-0-87169-078-4}}.</ref>, le problème vient de ce que si l'Univers est à peu près euclidien aujourd'hui, il devait l'être encore bien plus au début de l'[[Expansion de l'Univers|expansion]] ; les [[Inflation cosmique|modèles d'inflation]] ont été conçus pour résoudre cette difficulté (et quelques autres, comme le [[problème de l'horizon]]), mais ils ne font pas encore consensus dans la communauté scientifique en 2021.}}. Pourtant, certains [[cosmologiste]]s, comme [[Jean-Pierre Luminet]], ont proposé, sous le nom d'« univers chiffonné »{{Note|texte={{Ouvrage|auteur1=[[Jean-Pierre Luminet]]|titre=L'Univers chiffonné|éditeur=[[Librairie Arthème Fayard|Fayard]]|année=2005|isbn=}} ; ce terme n'est cependant guère utilisé par la communauté scientifique, qui lui préfère un vocabulaire issu de la [[topologie]] ([[Compacité (mathématiques)|espaces compacts]], [[Connexité simple|espaces non simplement connexes]], [[Topologie quotient|espaces quotients]], etc.)}}, des modèles d'univers dont certains sont dérivés de l'espace hyperbolique '''H'''{{exp|3}} (en en construisant un [[Topologie quotient|espace quotient]]){{Note|texte=Ainsi, une étude de 2013 de l'observation par le satellite [[Planck (télescope spatial)|Planck]] du [[fond diffus cosmologique]], utilise deux espaces hyperboliques<ref>{{Article
| langue                =en
| auteur1               =P. A. R. Ade 
| auteur2               =N. Aghanim
| auteur3               =C. Armitage-Caplan
| et al.                =vrai
| titre                 =Planck 2013 results. XXVI. Background geometry and topology of the Universe
| périodique            =Astronomy & Astrophysics
| volume                =571
| date                  =novembre 2014
| pages                 =23
| consulté le           =28 avril 2021
| doi                   =10.1051/0004-6361/201321546 
| arxiv                 =1303.5086}}.</ref>.}}, et qu'ils affirment compatibles avec les données observationnelles<ref>{{Ouvrage|langue=en|prénom1=Jeffrey|nom1=Weeks|lien auteur1=Jeffrey Weeks|titre=The shape of space|lieu=New York|éditeur=[[Marcel Dekker]]|année=2002|numéro d'édition=2|passage=219|isbn=978-0824707095}}.</ref>.

== Dans la culture ==

=== Littérature ===
Si beaucoup de textes de [[science-fiction]] et de [[fantastique]] font référence à des géométries non-euclidiennes ([[H. P. Lovecraft|Lovecraft]] mentionnant à plusieurs reprises que leur utilisation dans l'architecture par les [[Grands Anciens]] rend fous ceux qui essaient de la comprendre<ref>{{Article |langue=en |auteur1=Thomas Hull|titre=H.P. Lovecraft: a Horror in Higher Dimensions|périodique=Math Horizons|volume=13|numéro=3|date=2006|issn=1072-4117|lire en ligne=https://www.jstor.org/stable/25678597|consulté le=2020-11-14 |pages=10–12 }}.</ref>), il semble que seul le roman de [[Christopher Priest (écrivain)|Christopher Priest]], ''[[Le Monde inverti]]'', se déroule dans un univers (la surface d'une [[caténoïde]]) à géométrie hyperbolique. On peut cependant également citer le ''Géométricon'', une [[bande dessinée]] racontant les aventures d'[[Anselme Lanturlu]] dans des espaces courbes, parmi lesquels figure le plan hyperbolique<ref>{{Ouvrage|langue=fr|auteur1=[[Jean-Pierre Petit]]|titre=Le géométricon|lieu=Paris|éditeur=[[Belin éditeur|Belin]]|année=1979|pages totales=63|isbn=2-7011-0372-X}}.</ref>.

=== Art ===
[[Image:Crochet hyperbolic kelp.jpg|vignette|gauche|alt=Boules de tissu plissé colorées derrière une vitre, imitant un aquarium.|Une collection de plans hyperboliques réalisés au [[Crochet (aiguille)|crochet]] par [[Margaret Wertheim|Margaret et Christine Wertheim]], imitant un [[récif corallien]].]]
[[Maurits Cornelis Escher|Maurits Escher]], grâce aux outils que lui a fourni [[Harold Scott MacDonald Coxeter|Harold Coxeter]] en 1952, a utilisé à plusieurs reprises des pavages du plan hyperbolique en transformant leurs motifs pour en faire des figures [[Anthropomorphisme|anthropomorphiques]] ou des animaux, comme dans ''Anges et Démons''<ref>{{Lien web|langue=en|titre=Une version animée de ''Anges et Démons''|url=http://www.andegemon.com/blog/m-c-escher-s-angels-and-devils-animated.html}}.</ref>, ou dans la série des ''Limites circulaires''{{Note|texte={{Lien web|langue=en|titre=Récit de cette rencontre, avec quelques illustrations|url=http://www.linternaute.com/science/art-et-science/escher/escher.shtml.}}.}}.

S’inspirant de modèles conçus et réalisés en papier par le géomètre [[William Thurston]]<ref>{{Lien web |langue=en |auteur=[[Daina Taimiņa]] |titre=Hyperbolic crochet |url=http://www.ams.org/publicoutreach/math-imagery/taimina |site=ams.org |consulté le=26 avril 2021}}</ref>, [[Daina Taimiņa]] a inventé une technique de représentation en [[Crochet (aiguille)|crochet]] de portions du plan hyperbolique, utilisée de manière artistique par [[Margaret Wertheim|Margaret et Christine Wertheim]] pour imiter des [[Récif corallien|récifs coralliens]]<ref>{{lien web|auteur1=[[Margaret Wertheim]]|titre=The beautiful math of coral|langue=en|url=https://www.ted.com/talks/margaret_wertheim_crochets_the_coral_reef/transcript?language=en|éditeur=TED|date=2009}}.</ref>.{{clr}}

== Notes et références ==

=== Notes ===
{{Références nombreuses|groupe=note}}

=== Références ===
{{Traduction/Référence|lang1=en|art1=Hyperbolic geometry|id1=1006019234}}
{{Références nombreuses|taille=24}}

== Voir aussi ==
{{Autres projets|commons=Category:Hyperbolic geometry}}

=== Bibliographie ===
* {{Ouvrage|langue=fr|auteur1=[[Marcel Berger]]|titre=Géométrie 2|lieu=Paris|éditeur=Cassini|collection=Nouvelle bibliothèque mathématique|année=2016|pages totales=546|isbn=978-2-84225-146-8|numéro chapitre=19 (partie 2)|titre chapitre=Géométrie hyperbolique}}
* {{Ouvrage|auteur1=Roger Cuppens|titre=Découvrir les géométries non euclidiennes en jouant avec CABRI|tome=1|titre tome=Géométrie Hyperbolique|éditeur=APMEP|numéro dans collection=160|date=juillet 2007|pages totales=128|isbn=2-912846-37-4|présentation en ligne=https://www.apmep.fr/DECOUVRIR-LES-GEOMETRIES-NON}}
*{{Ouvrage|langue=en|prénom1=John|nom1=Stillwell|lien auteur1=John Stillwell|titre=Geometry of Surfaces|éditeur=[[Springer Science+Business Media|Springer Verlag]]|collection=Universitext|année=1992|pages totales=236|isbn=978-0-387-97743-0|lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=PTNHBGAtjTYC}}
* {{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Norbert A'Campo]]|prénom2=Athanase|nom2=Papadopoulos|titre=Notes on hyperbolic geometry|lieu=Zurich|éditeur=[[Société mathématique européenne]]|collection={{langue|en|IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics}}|numéro dans collection=18|année=2012|pages totales=454|isbn=978-3-03719-105-7|doi=10.4171/105|lire en ligne=https://books.google.com/books?id=f6yZeVMqhNEC&printsec=frontcover|titre chapitre=Strasbourg Master class on Geometry, {{p.|1-182}}}}
* {{Ouvrage|langue=en|auteur1=Birger Iversen|titre=Hyperbolic Geometry|volume=25|éditeur=[[London Mathematical Society]], [[Cambridge University Press]]|collection=Student Texts|année=1992|pages totales=298|isbn=0-521-43528-5|lire en ligne=https://books.google.com/books?id=7Ck4AAAAIAAJ&printsec=frontcover}}.
* {{Ouvrage|langue=en|langue originale=ja|auteur1=Toshitsune Miyake|titre=Modular forms|lieu=Berlin/Heidelberg/New York|éditeur=[[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]|année=1989|pages totales=335|isbn=0-387-50268-8}}.

=== Articles connexes ===
* [[Chaos quantique]]
* [[Espace métrique hyperbolique]]
* [[Formule des traces de Selberg]]
* [[Géométrie non euclidienne]]
* [[Géométrie elliptique]]
* [[Histoire de la géométrie]] 
* [[Théorème de Hilbert (géométrie différentielle)]]
* [[Variété hyperbolique]]
* [[Variété riemannienne]]

=== Liens externes ===
* {{Autorité}}
* {{Dictionnaires}}
* {{Bases}}
* {{Lien web |auteur= Rossana Tazzioli |titre=Les géométries non euclidiennes : histoire et historiographie |url=http://images.math.cnrs.fr/Les-geometries-non-euclidiennes-Histoire-et-historiographie.html |date= |site= [[Images des mathématiques]]|consulté le=17 avril 2021}}.
* {{Lien web |auteur=Jos Leys |titre=Une chambre hyperbolique |url=https://images.math.cnrs.fr/Une-chambre-hyperbolique.html|date= |site= [[Images des mathématiques]]|consulté le=17 avril 2021}}.
* {{Lien web |titre=Promenade non euclidienne |url=http://www.ens-lyon.fr/asso/groupe-seminaire/seminaires/voirsem.php?id=cboubel |date= |site=[[École normale supérieure de Lyon|ENS Lyon]] |consulté le=17 avril 2021}} (conférence donnée par Charles Boubel en 2005).
* {{Lien web |auteur=David Madore |titre=Labyrinthes dans le plan hyperbolique |url= http://www.madore.org/~david/math/hyperbolic-maze.html|date= |site=madore.org |consulté le=17 avril 2021}} (avec des commentaires mathématiques en anglais).
* {{Lien web |titre=Géométries non euclidiennes |url=http://www.cabri.net/abracadabri/GeoNonE/GeoNonE.htm|site=cabri.net |consulté le=16 avril 2021}}, constructions détaillées utilisant le logiciel [[Cabri (logiciel)|Cabri Géomètre]].
* {{Ancre|glasgow}} {{Lien web |langue= en|titre=Hyperbolic geometry |url= http://www.maths.gla.ac.uk/wws/cabripages/hyperbolic/hyperbolic0.html|date= |site=[[université de Glasgow]] |consulté le=17 avril 2021}}, site interactif donnant des démonstrations et permettant également des constructions et des calculs dans le modèle du [[disque de Poincaré]].

{{Palette|Géométrie}}
{{Portail|géométrie|physique}}
{{Article de qualité|oldid=182909126|date=18 mai 2021}}

{{DEFAULTSORT:Geometrie hyperbolique}}
[[Catégorie:Géométrie hyperbolique|*]]
[[Catégorie:Géométrie non euclidienne]]
[[Catégorie:Espace homogène]]