Voir la source de Gamme tempérée

{{Sources à lier|date=décembre 2019}}
Dans la [[théorie de la musique occidentale]], la '''gamme tempérée'''<ref group="note">Le terme « gamme tempérée » est une appellation contestable, car les gammes des tempéraments inégaux sont toutes tempérées.</ref>, '''gamme au tempérament égal'''<ref group=note>Assimilation peu recevable selon le dernier état de la recherche: le « tempérament égal » vient résoudre et mettre un terme à l'usage du « tempérament », c'est-à-dire aux « gammes tempérées ». L'assimilation produit donc une confusion sur ce qui est en question dans cet article. Pour prendre l'exemple le plus connu, le ''clavier bien tempéré'' de J-S Bach est aujourd'hui considéré par les spécialistes comme un cas de « tempérament », à ne pas confondre donc avec le « tempérament égal »</ref>, '''tempérament égal''', est le [[Gammes et tempéraments dans la musique occidentale|système d'accord]] qui divise l'[[Octave (musique)|octave]] en [[Intervalle (musique)|intervalles]] [[Échelle chromatique|chromatiques]] égaux (c'est-à-dire que le rapport des fréquences de deux notes adjacentes est toujours le même).

Le plus répandu est un découpage en 12 intervalles. Cependant, il est possible d'en utiliser un nombre différent, dans le but d'obtenir les « [[Tempérament par division multiple|tempéraments par division multiple]] ».

[[File:Chromatic scale full octave ascending and descending on C.svg|thumb|upright=2|center|Gamme chromatique ascendante et descendante]]
{{Infobox Liste de fichiers
|titre01   = Gamme chromatique ascendante et descendante |fichier01 = ChromaticScaleUpDown.ogg
}}

== Histoire ==
Depuis l'[[accord pythagoricien]]<ref>{{lien web|auteur=Francis Beaubois|titre=La gamme pythagoricienne|url=https://edutheque.philharmoniedeparis.fr/la-gamme-pythagoricienne.aspx|site=edutheque.philharmoniedeparis.fr|consulté le =10 février 2024}}.</ref>, les [[Théorie de la musique|théoriciens de la musique]] ont créé les [[tempérament mésotonique|tempéraments mésotoniques]] et [[tempérament inégal|inégaux]], en répartissant les [[Comma (musicologie)|commas]] de diverses façons entre les [[Intervalle (musique)|intervalles]] purs<ref>{{lien web|auteur=Francis Beaubois|titre=Vers la gamme à tempérament égal |url=https://edutheque.philharmoniedeparis.fr/vers-la-gamme-a-temperament-egal.aspx|site=edutheque.philharmoniedeparis.fr|consulté le=10 février 2024}}</ref>.
Les principaux commas sont suffisamment proches pour que les différents tempéraments imaginés au cours des {{s mini-|XVI}}, {{s2-|XVII|XVIII}} visent à simplifier la gamme en les assimilant. C'est ainsi que, depuis la fin de la [[Renaissance (musique)|Renaissance]], les [[Instrument à clavier|instruments à clavier]] disposent, en général, de claviers avec sept touches naturelles (les marches) et cinq touches altérées (les feintes) par [[Octave (musique)|octave]].

L'assimilation des notes [[Dièse|diésées]] et [[Bémol|bémolisées]] — qui consistait à privilégier les unes par rapport aux autres — n'impliquait en aucune façon l'égalité de tous les intervalles chromatiques, jusqu'à ce que l'on généralise le tempérament égal.

Depuis le début du {{XVIe siècle}}, pour l’accord des [[Instrument à cordes|instruments à cordes]] et à [[Frette (musique)|frette]]s, tels que le [[luth]], la [[guitare]], la [[viole]], etc., les frettes disposées au travers du [[Manche (musique)|manche]] sont constituées de cordes nouées autour du manche, de façon à pouvoir glisser facilement et régler le tempérament au moment de jouer. Lorsque les musiciens jouent avec un [[clavecin]], ils règlent les frettes mobiles en se calant sur l'accord qui a été effectivement réalisé au clavecin. Le tempérament égal est déjà mentionné par [[Marin Mersenne]] et par [[Michael Prætorius]], à propos des violes, mais il est  alors peu utilisé.

La gamme tempérée a commencé à se populariser à la fin de la [[Musique baroque|période baroque]] et s'est généralisée par la suite.

{{refnec|Il reste à souligner que la nécessité absolue d'un tempérament égal véritablement '''strict''' n'a de raison d'être qu'avec l'arrivée de la [[musique sérielle]] (dont [[Arnold Schoenberg]] et la [[Seconde école de Vienne]] ont jeté les bases), qui finalement est la première à tirer pleinement parti de ses caractéristiques complètement homogènes, en se l'assimilant.|date=24 octobre 2023}} La gamme tempérée est en effet purement une '''série''' (une série de notes également réparties, mais dépourvues de consonances communes autres qu'approximatives), et non le résultat explicite d'une construction harmonique, tels que le sont les autres systèmes.

Le [[Mathématiques|mathématicien]] [[Comté de Flandre|flamand]] [[Simon Stevin#Musique|Simon Stevin]] (1548-1620) est l'auteur de la division de la [[gamme musicale]] en douze [[Demi-ton|demi-tons]] tempérés égaux, telle que nous la connaissons aujourd'hui<ref>Voir Dominique Proust, ''L'harmonie des sphères'', Ed. du Seuil, coll. Science ouverte {{p.|132}}.</ref>.

== Théorie arithmétique ==
Les théoriciens ont recherché, dans la tradition pythagoricienne, les rapports exacts entre les fréquences des notes, comme si elles étaient exactement harmoniques et comme si on pouvait entendre ou mesurer avec une précision infinie une vibration sonore<ref group="note">Pour les limites réelles, voir [[Psychoacoustique]], [[Hauteur (musique)]] et [[Principe d'incertitude]].</ref>.

Le rapport d'octave étant égal à 2 et contenant douze intervalles égaux (12 demi-tons) en [[Suite géométrique|progression géométrique]], soit 2 = r{{exp|12}}, le rapport de fréquences du demi-ton à tempérament égal est<ref>{{Ouvrage |langue=en |auteur1=George Gheverghese Joseph |titre={{Lien|The Crest of the Peacock}} |sous-titre=Non-European Roots of Mathematics |éditeur=[[Princeton University Press]] |année=2011 |pages totales=561 |passage=295 |isbn=978-0-691-13526-7 |lire en ligne={{Google Livres|ymud91nTc9YC|page=295}}}}.</ref> :
:<math>r = \sqrt[12]2= 2^{1/12}\approx1{,}059</math>.

La quinte tempérée égale 7 demi-tons, soit ''r''{{exp|7}} = 2{{exp|{{frac|7|12}}}} (environ {{formatnum:1.498}}), soit un écart de 0,11 % environ par rapport à la quinte juste de rapport 3/2 = 1,5.

On peut aussi considérer que le comma pythagoricien est réparti selon douze parts égales entre les douze quintes du cycle. Le comma pythagoricien vaut  3{{exp|12}}/2{{exp|19}} : le douzième de comma vaut donc (3{{exp|12}}/2{{exp|19}})<sup>1/12</sup> ou 3/(2<sup>19/12</sup>). La quinte tempérée (quinte pure diminuée d'un douzième de comma) vaut donc (3/2)/(3/(2<sup>19/12</sup>)) soit 2<sup>19/12 – 1</sup> = 2<sup>7/12</sup> : nous retrouvons le même résultat.

Les théoriciens anciens ont trouvé, pour le demi-ton qui est à la fois diatonique et chromatique, des rapports approchés qui puissent résulter d'une [[construction à la règle et au compas]]. Au {{s-|XVI}}, [[Vincenzo Galilei]] a proposé 18/17 ; ce nombre élevé à la puissance 12 vaut environ {{formatnum:1.986}}, proche de 2, rapport de l'octave. Au {{s-|XVII}}, [[Marin Mersenne]] a proposé <math>\sqrt[4]{\dfrac2{3-\sqrt2}}</math> qui l'approche encore plus précisément : ce nombre élevé à la puissance 12 vaut  <math>\left({\dfrac2{3-\sqrt2}}\right)^3=\dfrac{280+360\sqrt2}{343},</math> soit environ {{formatnum:2.006}}.

== Qualités musicales ==

La gamme tempérée permet les [[Modulation (musique)|modulations]] à l'infini — c'est d'ailleurs la raison de son adoption générale. Elle uniformise les [[Demi-ton|demi-tons]], [[Demi-ton diatonique|diatoniques]] ou [[Demi-ton chromatique|chromatiques]] (cette propriété ne transparaît pas dans la [[notation musicale]] - voir les articles relatifs au [[solfège]]). La [[loup (musique)|quinte du loup]] disparaît, ainsi que toutes les colorations des [[Tonalité|tonalités]], qui deviennent équivalentes dans un même [[Mode (musique)|mode]].

À part les [[Octave (musique)|octaves]], tous les [[Intervalle (musique)|intervalles]] sont, [[Acoustique musicale|acoustiquement]] parlant, légèrement faux.
* les [[Quinte|quintes]] sont relativement justes, issues de la quinte pure diminuée d'un douzième de [[comma pythagoricien]], valeur faible ;
* les [[Quarte (musique)|quartes]] sont légèrement trop grandes (même raison) ;
* les [[Tierce (musique)|tierces]] sont meilleures que les [[Accord pythagoricien|tierces pythagoriciennes]], beaucoup trop grandes, qui sont réduites d'un tiers de comma pythagoricien, donc d'une fraction un peu supérieure du [[comma syntonique]]. Elles sont néanmoins encore éloignées de la pureté ;
* la même remarque vaut pour les [[Sixte (musique)|sixtes]], trop petites ;
* les [[Seconde (musique)|secondes]] (ou [[Ton (musique)|tons]]) s'éloignent d'un sixième de [[Comma (musicologie)|comma]] de la valeur juste et perdent également en pureté, trop petites ;
* les [[Septième (musique)|septièmes]] sont trop grandes d'un sixième de comma, en conséquence.
Voir le tableau ci-dessous.

Ces particularismes bien réels, n'ont pu empêcher les musiciens de s'y rallier, car les avantages en termes de composition et d'expressivité l'ont emporté.

L'adoption générale du tempérament égal aux récents siècles passés s'explique également par une évolution esthétique de l'art en général. À la brillance des couleurs baroques correspond le clavecin, au son cristallin, accordé en tempérament inégal, avec des intervalles assez purs. À la douceur mélancolique de la période romantique correspond le piano, à la sonorité moins définie, plus douce et enveloppée, qui ouvre la porte aux intervalles plus approximatifs mais réguliers du tempérament égal.

La gamme tempérée est difficile à accorder (ce qui explique en partie son application tardive) : pour réaliser le tempérament égal, il faut établir des dissonances toutes égales à l'intérieur d'une octave, ce qui s'obtient par la faculté d'apprécier les rapidités des [[Battement (physique)|battement]]s. L'amateur possesseur d'un [[clavecin]] est rompu, par la force des choses, à l'art d'accorder son instrument selon l'un ou l'autre des tempéraments légués par le {{XVIIIe siècle}}, ce qui nécessite le plus souvent, de la même façon, la faculté d'apprécier les battements par seconde. Avec un peu de pratique, il peut assez facilement accorder son clavecin au tempérament égal s'il le veut vraiment. Il en est de même au piano-forte. Au piano moderne, cependant, la technique nécessite un geste particulier pour obtenir d'emblée le blocage parfait de la cheville exactement dans la bonne position, ce qui est hors de portée pratique de l'amateur : le piano moderne et ses caractéristiques acoustiques [[inharmonicité du piano|inharmoniques]] est à l'origine du métier d'[[accordeur (métier)|accordeur]] de [[piano]]s.

=== Comparaison de trois systèmes de division de l'octave ===

{| border="0" align="center" style="border: 1px solid #999; background-color:#FFFFFF; text-align:center"
|-
|colspan="4" align="center" |  '''Fréquences des notes dans 3 systèmes, ''do'' = {{unité|264|Hz}}'''

|-align="center" bgcolor="#CCCCCC"
| Note || Intonation juste || Gamme de Pythagore
| '''Gamme tempérée'''

|-
| '''''do''''' || '''264,00''' || '''264,00''' || '''264,00'''
|-bgcolor="#EFEFEF"
| ''do♯'' || 275,00 || 281,92 || '''279,70'''
|-
| ''ré'' || 297,00 || 297,00 || '''296,33'''
|-
| ''mi♭'' || 316,80 || 312,89 || '''313,95'''
|-bgcolor="#EFEFEF"
| ''mi'' || 330,00 || 334,13 || '''332,62'''
|-
| ''fa'' || 352,00 || 352,00 || '''352,40''' 
|-bgcolor="#EFEFEF"
| ''fa♯'' || 371,25 || 375,89 || '''373,35'''
|-
| ''sol'' || 396,00 || 396,00 || '''395,55'''
|-bgcolor="#EFEFEF"
| ''sol♯'' || 412,50 || 422,88 || '''419,07'''
|-
| ''la'' || 440,00 || 445,50 || '''443,99'''
|-bgcolor="#EFEFEF"
| ''si♭'' || 475,20 || 469,33 || '''470,39'''
|-
| ''si'' || 495,00 || 501,19 || '''498,37'''
|-bgcolor="#EFEFEF"
| '''''do''''' || '''528,00''' || '''528,00''' || '''528,00'''
|}

N.B. — Dans ce tableau :
# La note ''do'' commune à {{unité|264|Hz}} donne le ''[[la 440|la{{3}}]]'' à {{unité|440|Hz}} ([[diapason]] actuel) dans l'intonation juste.
# Les gammes naturelles sont représentées par l'intonation juste à partir de ''do''.
# La gamme de Pythagore est montée de telle façon que la [[loup (musique)|quinte du loup]] soit entre ''sol♯'' et ''mi♭''.

{| class=wikitable | align="center" 
|+ '''Fréquences des notes dans 3 systèmes, ''la'' = {{unité|440|Hz}}'''
!Note
!Intonation juste
!Gamme de Pythagore
!Gamme tempérée
|-
| ''do'' || 264,00 || 260,74 || '''261,63'''
|-
| ''do♯'' || 275,00 || 278,44 || '''277,18'''
|-
| ''ré'' || 297,00 || 293,33 || '''293,66'''
|-
| ''mi♭'' || 316,80 || 309,03 || '''311,13'''
|-
| ''mi'' || 330,00 || 330,00 || '''329,63'''
|-
| ''fa'' || 352,00 || 347,65 || '''349,23'''
|-
| ''fa♯''  || 371,25 || 371,25 || '''369,99'''
|-
| ''sol'' || 396,00 || 391,11 || '''392,00'''
|-
| ''sol♯'' || 412,50 || 417,66 || '''415,30'''
|-
| '''''la''''' || '''440,00''' || '''440,00''' || '''440,00'''
|-
| ''si♭'' || 475,20 || 463,54 || '''466,16'''
|-
| ''si'' || 495,00 || 495,00 || '''493,88'''
|-
| ''do'' || 528,00 || 521,48 || '''523,25'''
|}

N.B. — Dans ce tableau :
# La note ''la'' est commune à {{unité|440|Hz}} ([[diapason]] actuel).
# Les gammes naturelles sont représentées par l'intonation juste à partir de ''do''.
# La gamme de Pythagore est montée de telle façon que la [[loup (musique)|quinte du loup]] soit entre ''sol♯'' et ''mi♭''.

== Notes et références ==
=== Notes ===
<references group="note"/>
=== Références ===
{{Références}}

== Annexes ==
=== Bibliographie ===
* Devie Dominique, ''Le tempérament musical, philosophie, histoire, théorie et pratique'', Librairie Musicale Internationale, Marseille (seconde édition 2004).
* Jedrzejewski Franck, ''Mathématiques des systèmes acoustiques. Tempéraments et modèles contemporains'', L'Harmattan, 2002 {{ISBN|2747521966}}
* Heiner Ruland, ''Évolution de la musique et de la conscience'', ÉAR, Genève 2005, {{ISBN|2-88189-173-X}}
* {{Guide de la théorie de la musique}}

=== Articles connexes ===
* [[Inharmonicité du piano]]
* [[Tempérament égal à quintes justes]]

=== Liens externes ===
* [http://home.deds.nl/~broekaert/Bien%20Tempere.html "Bien Tempéré, selon la définition de Werckmeister"]
* [https://organ-au-logis.pagesperso-orange.fr/Pages/Temperam.htm Musique et tempéraments]
* {{fr}} [http://www.regispetit.com/mus.htm La science musicale - comparatif entre gammes Zarlino, Pythagore et Tempérée]



{{Palette|Échelles musicales}}
{{portail|musique}}

[[Catégorie:Justesse]]
[[Catégorie:Échelle logarithmique]]
[[Catégorie:Vocabulaire de la musique classique]]