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{{Confusion|Groupe libre}}
En [[mathématiques]], un '''groupe abélien libre''' est un [[groupe abélien]] qui possède une [[Module libre|base]], c'est-à-dire une partie ''B'' telle que tout élément du [[Groupe (mathématiques)|groupe]] s'écrive de façon unique comme [[combinaison linéaire]] à coefficients [[Entier relatif|entiers (relatifs)]] d'éléments de ''B''.

Comme les [[Espace vectoriel|espaces vectoriels]], les groupes abéliens libres sont classifiés ([[à quelque chose près|à isomorphisme près]]) par leur rang, défini comme le [[Cardinalité (mathématiques)|cardinal]] d'une base, et tout [[sous-groupe]] d'un groupe abélien libre est lui-même abélien libre. Tout groupe abélien est donc [[Isomorphisme de groupes|isomorphe]] au [[groupe quotient|quotient]] d'un groupe abélien libre par un sous-groupe abélien libre. 

== Exemple et contre-exemple ==
*Le groupe ''G ''= ℤ⊕ℤ ≃ ℤ×ℤ, [[Somme directe de groupes abéliens|somme directe]] de deux copies du [[groupe cyclique|groupe cyclique infini]] [[Entier relatif|ℤ]], est abélien libre de rang 2, de base ''B'' = {''e''<sub>1</sub>,''e''<sub>2</sub>} avec ''e''<sub>1</sub> = (1, 0) et ''e''<sub>2</sub> = (0, 1), puisque tout élément {{nobr|(''n'', ''m'')}} de ''G'' s'écrit de manière unique sous la forme (''n'', ''m'') = ''ne''{{ind|1}} + ''me''{{ind|2}}.
*Aucun [[groupe abélien fini]] non réduit au [[élément neutre|neutre]] n'est abélien libre, d'après la propriété 5 ci-dessous (pour d'autres contre-exemples cf. propriétés 5 et 6).

== Terminologie ==
Contrairement aux espaces vectoriels, les groupes abéliens n'ont pas tous une base, c'est pourquoi l'on réserve à ceux qui en ont une le qualificatif supplémentaire de « libres ».

Ce qualificatif de « libre » peut prêter à confusion. L'expression « groupe abélien libre » est à prendre globalement, et ne signifie pas du tout « groupe qui est à la fois un groupe abélien et un [[groupe libre]] » . Les seuls groupes libres qui soient abéliens sont (à isomorphisme près) le groupe trivial déjà mentionné et le groupe cyclique infini ℤ.

== Propriétés ==
#Pour tout ensemble ''B'', il existe un groupe abélien libre de base ''B'', unique à isomorphisme près : le groupe des applications de ''B'' dans ℤ à [[Support de fonction|support]] fini, {{c.-à-d.}} nulles sur un [[sous-ensemble cofini]] de ''B''. Il est isomorphe à une somme directe d'autant de copies de ℤ qu'il y a d'éléments dans ''B''.
#Un groupe abélien libre ''G'' de base ''B'' vérifie la [[propriété universelle]] suivante, qui le caractérise (à isomorphisme près) parmi les groupes abéliens : pour toute application ''f'' de ''B'' dans un groupe abélien ''A'', il existe un unique [[morphisme de groupes]] de ''G'' dans ''A'' qui prolonge ''f''.
#Pour tout groupe abélien ''A'', il existe un groupe abélien libre ''G'' et un morphisme [[surjectif]] de ''G'' dans ''A''. C'est une conséquence de la propriété universelle précédente.
#La notion de groupe abélien libre est un cas particulier de celle de [[module libre]], puisqu'un groupe abélien n'est rien d'autre qu'un [[Module sur un anneau|module]] sur l'[[anneau unitaire|anneau]] ℤ des entiers.
#Tout groupe abélien libre est [[Torsion (algèbre)|sans torsion]], et tout [[groupe abélien de type fini]] sans torsion est un groupe abélien libre<ref>{{Ouvrage|langue=en|prénom1=Paul|nom1=Cohn|lien auteur1=Paul Cohn|titre=Algebra|tome=1|éditeur=Wiley|année=1974|pages totales=321|passage=281|isbn=978-0-471-16430-2}}</ref>.
#Aucun groupe abélien [[groupe divisible|divisible]] n'est abélien libre, sauf le [[groupe trivial]]. Par exemple, le groupe additif ℚ des [[Nombre rationnel|rationnels]] n'est pas un groupe abélien libre (bien qu'il soit sans torsion).
#Tout sous-groupe d'un groupe abélien libre est abélien libre (voir [[#Sous-groupes|ci-dessous]]).
#Tout groupe abélien est isomorphe à un [[Groupe quotient|quotient]] de deux groupes abéliens libres (c'est une conséquence des propriétés 3 et 7). On peut formaliser ceci en disant que pour tout groupe abélien ''A'', il existe une [[suite exacte]] 0 → ''G'' → ''F'' → ''A'' → 0, avec ''F'' et ''G'' abéliens libres. Une telle suite est appelée une {{Lien|trad=Resolution (algebra)|Résolution (algèbre)|texte=résolution}} libre de ''A'' de longueur 1, et ''A'' est le [[conoyau]] du morphisme [[Injection (mathématiques)|injectif]] de ''G'' dans ''F''.
#Tout groupe abélien [[module projectif|projectif]] (en tant que ℤ-module) est abélien libre (c'est une conséquence de la propriété 7).

Malgré sa simplicité, la propriété d'être abélien libre ou pas peut être difficile à déterminer, pour un groupe concret donné. Par exemple, [[Reinhold Baer]] a démontré en 1937 que le {{Lien|trad=Baer–Specker group|groupe de Baer-Specker}} ℤ<sup>ℕ</sup> ([[Produit direct (groupes)|produit direct]] d'une infinité [[Ensemble dénombrable|dénombrable]] de copies de ℤ) n'est ''pas'' abélien libre, et [[Ernst Specker]] a prouvé en 1950 que tous ses sous-groupes dénombrables sont abéliens libres.

== Rang ==
Tout groupe abélien libre [[Partie génératrice d'un groupe#Groupe de type fini|de type fini]] est isomorphe à ℤ<sup>''n''</sup> pour un certain [[entier naturel]] ''n'', qu'on appelle son rang. En général, un groupe abélien libre ''F'' a de nombreuses bases, mais toutes ont le même [[Cardinalité (mathématiques)|cardinal]], et c'est ce cardinal qu'on appelle le rang de ''F''. Cette notion de rang d'un groupe abélien libre peut être étendue à la fois en celle de {{Lien|rang d'un groupe abélien|trad=Rank of an abelian group}} (ou plus généralement, d'un module) et celle de [[rang d'un groupe]]. Le lien entre les différentes bases peut être intéressant, par exemple dans l'étude des [[Réseau (géométrie)|réseaux]].

== Somme formelle ==
Le [[foncteur]] [[objet libre]] qui à tout ensemble ''B'' associe le groupe abélien libre de base ''B'', noté ℤ[''B''], est l'[[foncteur adjoint|adjoint à gauche]] du [[foncteur d'oubli]], de la [[Catégorie (mathématiques)|catégorie]] des groupes abéliens dans celle des ensembles.

Une '''somme formelle''' d'éléments de ''B'' est un élément de ℤ[''B''], i.e. un élément de la forme
{{Retrait|<math>\sum_{b\in C}n_b.b,</math>}}
où ''C'' est une partie finie de ''B'', avec la convention que [[Somme vide|si ''C'' est vide]], la somme est nulle (ce qui rend cette description compatible avec le fait que le groupe abélien libre sur l'[[ensemble vide]] est réduit au neutre).

Concrètement<ref name=":0" />, soit <math>\mathbb Z[B]</math> l'ensemble de toutes les applications <math>\varphi:B\to \mathbb Z</math> telles que <math>\varphi(x)=0</math> pour presque tout <math>x\in B</math>. Alors <math>\mathbb Z[B]</math> est un groupe abélien (l'addition étant définie comme l'addition usuelle des applications). C'est un groupe abélien libre : <math>\forall \varphi \in \mathbb Z[B], \varphi= \sum_{\{x\in S|f(x)\neq 0\}}\varphi(x) \delta_x, \text{ avec } \delta_x(y)=\delta_{xy}, \delta_{xy}</math>, [[Symbole delta de Kronecker|symbole de Kronecker]].

== Sous-groupes ==
{{Théorème|Tout sous-groupe d'un groupe abélien libre ''F'' est abélien libre et de rang inférieur ou égal à celui de ''F''.}}
Ce théorème est le cas particulier ''A ''= ℤ du théorème similaire<ref name=":0">Voir {{Lang1}}, appendice 2, §2 (en utilisant le [[lemme de Zorn]]) pour un module libre de rang quelconque. Le cas particulier d'un module libre de rang fini sur un [[anneau euclidien]] est traité dans l'article [[Théorème des facteurs invariants]], et p.40</ref> concernant les [[Module libre|modules libres]] sur un [[anneau principal]] ''A''. Un analogue ''partiel'', pour les [[Groupe libre|groupes libres]], est le [[théorème de Nielsen-Schreier]].

On peut être plus précis en appliquant [[Théorème_des_facteurs_invariants#Théorème_des_facteurs_invariants|théorème des facteurs invariants]] à l'[[anneau principal]] '''Z'''.

{{Théorème|Théorème de la base adaptée|Soit ''F'' un groupe abélien libre de rang ''n'' et soit ''G'' un sous-groupe de ''F''. Il existe une base (''e''<sub>1</sub>,..., ''e''<sub>''n''</sub>) de ''F'' et des entiers naturels ''d''<sub>1</sub> <nowiki>|</nowiki> ''d''<sub>2</sub> <nowiki>|</nowiki> ⋅⋅⋅ <nowiki>|</nowiki> ''d''<sub>''n''</sub> tels que ''G'' est le groupe engendré par (''d''<sub>1</sub>''e''<sub>1</sub>,..., ''d''<sub>''n''</sub>''e''<sub>''n''</sub>).}}

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Free abelian group|388732334|type=note}}
{{Reflist}}

{{Portail|algèbre}}

[[Catégorie:Théorie des groupes]]