Voir la source de Groupe cyclique

En [[mathématiques]] et plus précisément en [[théorie des groupes]], un '''groupe cyclique''' est un [[groupe (mathématiques)|groupe]] qui est à la fois [[ensemble fini|fini]] et [[groupe monogène|monogène]]<ref>Il s'agit là de la définition la plus commune en français, bien que certains auteurs français aient adopté l'usage anglo-germanique selon lequel un groupe cyclique n'est pas nécessairement fini. Ainsi un groupe cyclique n'est pas nécessairement fini selon [[Roger Godement]], ''Cours d'algèbre'', [[Hermann (éditions)|Hermann]], {{3e}} éd., 1978, p. 121, [[N. Bourbaki]], ''[[Éléments de mathématique|Groupes et algèbres de Lie]]'', Partie 2, [[Springer Verlag|Springer]], 2006, p. 82, et {{Lien web|auteur=David A. Madore|titre=Groupe cyclique et entier modulaire|url=https://web.archive.org/web/20131203104754/http://www.math.ens.fr/~madore/mpri2005/mpri2005-2.pdf}}. Toutefois, {{Ouvrage|prénom1=N.|nom1=Bourbaki|titre=Algèbre|sous-titre=Chapitres 1 à 3|éditeur=Springer|année=2007|numéro d'édition=2|pages totales=636|passage=I.47|isbn=978-3-540-33850-5|lire en ligne={{Google Livres|4RIDPH1ULXcC|page autre=SA1-PA47}}}} (idem, même page, dans l'édition de 1970), définit un groupe cyclique comme un groupe monogène fini (le terme ''cyclique'' fait référence à une ''boucle'' : élevé à une certaine puissance ''n'', le générateur ''g'' est égal à lui-même et l'ordre du groupe est fini). De même dans l'éd. française d'Algèbre de S. Lang, 2004, où le traducteur dit (p. XVI) s'être efforcé d'adopter la terminologie consacrée par la tradition française.</ref>, c'est-à-dire qu'il existe un élément ''a'' du groupe tel que tout élément du groupe puisse s'exprimer sous forme d'un multiple de ''a'' (en notation additive, ou comme puissance en notation multiplicative) ; cet élément ''a'' est appelé [[Partie génératrice d'un groupe|générateur]] du groupe.

Il n'existe, [[À quelque chose près|à isomorphisme près]], pour tout entier ''n'' > 0, qu'un seul groupe cyclique d'[[Ordre (théorie des groupes)|ordre]] ''n'' : le [[groupe quotient]] [[Z/nZ|ℤ/''n''ℤ]] — également noté ℤ{{ind|''n''}} ou C{{ind|''n''}} — de ℤ par le [[sous-groupe]] des multiples de ''n''.

Les groupes cycliques sont importants en [[algèbre]]. On les retrouve, par exemple, en [[théorie des anneaux]] et en [[théorie de Galois]].

== Applications ==
=== [[Géométrie]] ===
{{Voir|Polygone régulier|Racine de l'unité|Rotation plane}}
{{...}}

=== [[Théorie des groupes]] ===
Les groupes monogènes sont importants pour l'étude des [[Groupe abélien de type fini|groupes abéliens de type fini]] : tous sont des [[produit direct (groupes)|produits directs]] de groupes monogènes (dont certains peuvent être monogènes infinis c'est-à-dire isomorphes à ℤ). En particulier, les [[groupe abélien fini|groupes abéliens finis]] sont classifiés par le [[théorème de Kronecker]]. Dans le cas des [[groupe fini|groupes finis]] non [[groupe abélien|abéliens]], le [[Théorème de Cauchy (groupes)|théorème de Cauchy]] montre l'existence de nombreux sous-groupes cycliques. Ce théorème est utilisé pour la classification des groupes finis, même si souvent, certaines formes plus élaborées sont utilisées comme les trois [[théorèmes de Sylow]].

=== Arithmétique ===
{{Article détaillé|arithmétique modulaire}}
En [[arithmétique]] ces groupes offrent un large répertoire d'outils et permettent de nombreuses démonstrations. Ces outils sont regroupés dans une branche des mathématiques nommée arithmétique modulaire. Ils se fondent sur l'étude des [[congruence sur les entiers|congruences]] sur l'[[anneau unitaire|anneau]] des [[entier relatif|entiers]]. On peut citer comme exemple le [[petit théorème de Fermat]] ou encore le [[théorème des deux carrés de Fermat]] avec la démonstration de [[Richard Dedekind]]. On peut encore citer la [[loi de réciprocité quadratique]] qui repose sur des structures de groupes cycliques. Il existe de nombreux cas où le groupe sous-jacent est non monogène, mais seulement [[#Théorie des groupes| abélien de type fini, ce qui s'y ramène par produit]]. On le trouve par exemple dans le [[théorème de la progression arithmétique]] ou le [[théorème des unités de Dirichlet]].

=== [[Théorie des anneaux]] ===
Les groupes monogènes jouent un rôle dans la [[théorie des anneaux]] particulièrement dans le cas des anneaux unitaires. En effet, l'unité de l'anneau engendre (pour l'addition) un groupe monogène, permettant de définir la [[caractéristique d'un anneau]].

=== [[Théorie de Galois]] ===
Dans le cas particulier des [[corps commutatif]]s, les groupes cycliques jouent aussi un rôle déterminant. Toute [[extension de corps]] possède un groupe associé nommé [[groupe de Galois]]. Le [[théorème d'Abel-Ruffini]] indique que les propriétés de commutativité sont essentielles pour comprendre la [[Théorie des équations (mathématiques)|théorie des équations]]. Le [[théorème de Kronecker-Weber]] montre que la compréhension de la résolution des équations algébriques est essentiellement liée à la structure des [[extension cyclotomique|extensions cyclotomiques]] dont le groupe de Galois est cyclique.

La théorie de Galois permet aussi de construire tous les [[corps fini]]s, intimement associés à la structure de groupes cycliques. Ainsi le groupe additif est un produit direct de plusieurs occurrences d'un groupe cyclique et le groupe multiplicatif est cyclique.

=== [[Théorie de l'information]] ===
La théorie de l'information utilise largement les groupes cycliques. Un élément essentiel de la [[cryptologie]] se fonde sur le fait qu'il est relativement simple de construire un grand [[nombre premier]] mais difficile de décomposer un grand nombre en nombres premiers. Ce principe est à la base du [[chiffrement RSA]]. Les algorithmes de décomposition, nommés [[test de primalité]] se fondent très généralement sur les groupes cycliques. On peut citer comme exemple ceux [[Test de primalité de Fermat|de Fermat]], [[Test de primalité de Miller-Rabin|de Miller-Rabin]] ou encore [[Test de primalité de Solovay-Strassen|de Solovay-Strassen]].

La théorie des [[code correcteur|codes correcteurs]], visant à assurer non pas la sécurité mais la fiabilité, n'est pas en reste. La grande majorité des codes utilisés dans l'industrie font partie de la famille des [[code cyclique|codes cycliques]] s'appuyant sur divers groupes cycliques.

== Théorème fondamental ==
Les groupes cycliques possèdent une structure telle que les puissances (en notation multiplicative) d'un élément bien choisi, engendrent tout le groupe. Cette situation est illustrée dans la figure suivante, qui présente le [[graphe des cycles]] du groupe cyclique ''C<sub>n</sub>'', pour les premières valeurs de ''n''.

L'élément neutre est représenté par un point noir ; un élément générateur peut être obtenu en prenant (par exemple) le premier élément en tournant vers la droite ; le carré de cet élément générateur s'obtient en tournant toujours dans la même direction, et ainsi de suite. Le (''n''+1)-ième élément est égal au premier, le (''n''+2)-ième au {{2e}}, et ainsi de suite.

''C<sub>n</sub>'' désigne le groupe cyclique d'ordre ''n''.

{| border="1" cellpadding="2" cellspacing="0" align="center"
|-----
! [[Image:GroupDiagramMiniC1.svg|center]]
! [[Image:GroupDiagramMiniC2.svg|center]]
! [[Image:GroupDiagramMiniC3.svg|center]]
! [[Image:GroupDiagramMiniC4.svg|center]]
! [[Image:GroupDiagramMiniC5.svg|center]]
! [[Image:GroupDiagramMiniC6.svg|center]]
! [[Image:GroupDiagramMiniC7.svg|center]]
! [[Image:GroupDiagramMiniC8.svg|center]]
|-----
! C<sub>1</sub>
! C<sub>2</sub>
! C<sub>3</sub>
! C<sub>4</sub>
! C<sub>5</sub>
! C<sub>6</sub>
! C<sub>7</sub>
! C<sub>8</sub>
|}

Tout [[groupe quotient|quotient]] d'un groupe monogène est monogène ([[Morphisme de groupes#Noyau et image|la classe du générateur engendre le groupe quotient]]), en particulier tout quotient du groupe (ℤ, +). Les groupes monogènes sont tous obtenus de cette façon :

{{énoncé|Un groupe est monogène (si et) seulement s'il est [[Morphisme de groupes#Isomorphismes de groupes|isomorphe]] à (ℤ/''n''ℤ, +) pour un certain [[entier naturel]] ''n''.}}

Ce théorème montre que ce groupe est unique pour un ordre donné et élucide complètement sa structure. Quelques corollaires en découlent immédiatement :
{{Ancre|Indicatrice d'Euler}}
{{énoncé|
*Tout groupe monogène est [[groupe abélien|abélien]].
*Le nombre de générateurs d'un groupe cyclique d'ordre ''n'' est égal à φ(''n''), où φ désigne l'[[indicatrice d'Euler]].
}}

{{Démonstration/début|titre=Démonstrations}}
#'''Tout groupe monogène est isomorphe à (ℤ/''n''ℤ, +) pour un certain entier naturel ''n''.'''<br />Soit ''G'' = ⟨''g''⟩ un groupe monogène. Le [[Morphisme de groupes|morphisme]] ''k'' ↦ ''g{{exp|k}}'', de (ℤ, +) dans (''G'',•), est [[surjectif]], et son [[Noyau (algèbre)#Noyau d'un morphisme de groupes|noyau]] est un [[Sous-groupe#Sous-groupe des entiers relatifs|sous-groupe de ℤ]] donc est égal à ''n''ℤ pour un certain entier ''n''. On conclut grâce au premier [[théorème d'isomorphisme]].
#'''Tout groupe monogène est abélien''' car isomorphe (d'après le point 1.) à un quotient du groupe abélien ℤ.
#'''Le nombre de générateurs d'un groupe cyclique d'ordre ''n'' est égal à φ(''n'').'''<br />Pour le groupe cyclique (ℤ/''n''ℤ, +), les [[Anneau ℤ/nℤ#Structure additive|générateurs sont les inversibles de l'anneau ℤ/''n''ℤ]] donc<ref>Cette caractérisation de φ permet de démontrer sa multiplicativité et d'en déduire une formule explicite (voir l'article « [[Indicatrice d'Euler]] »).</ref> [[Anneau ℤ/nℤ#Groupe des unités|il y en a φ(''n'')]]. Ce dénombrement s'étend à tout groupe cyclique d'ordre ''n'' grâce au point 1.
{{Démonstration/fin}}

== Propriétés ==
=== Sous-groupes ===
La structure du [[treillis des sous-groupes]] d'un groupe monogène ℤ/''n''ℤ est simple<ref>Voir par exemple [[v:Théorie des groupes/Sous-groupes de Z, divisibilité dans N et dans Z|« Sous-groupes de ℤ »]] et {{Note autre projet|Wikiversité|Théorie des groupes/Groupes monogènes, ordre d'un élément#Sous-groupes|« Sous-groupes d'un groupe cyclique »|début=}}</ref> :
{{énoncé|1=*Les sous-groupes d'un groupe monogène sont monogènes (en particulier, les sous-groupes de ℤ sont les parties de la forme ''d''ℤ avec ''d'' entier).
*Si ''n'' ≠ 0, pour tout diviseur positif ''d'' de ''n'', le sous-groupe de ℤ/''n''ℤ engendré par la classe de ''{{sfrac|n|d}}'' est l'unique sous-groupe d'ordre ''d''.
}}
On en déduit<ref>{{Note autre projet|Wikiversité|Théorie des groupes/Automorphismes d'un groupe cyclique#phi*1|preuve de cette proposition|début=Voir une}}</ref> :
<center><math>n=\sum_{d\mid n}\varphi(d)</math>,</center>
équation qui fournit en retour une réciproque<ref name=Rotman>{{Ouvrage|langue=en|auteur1={{Lien|Joseph J. Rotman}}|titre=Galois theory|éditeur=[[Springer Verlag|Springer]]|année=1998|numéro d'édition=2|année première édition=1990|passage=64-65|isbn=|lire en ligne={{Google Livres|Qco_s8ZSg1gC|page=64}}}}.</ref>{{,}}<ref>{{Note autre projet|Wikiversité|Théorie des groupes/Automorphismes d'un groupe cyclique#ConditionSuffisanteCyclicité|preuve de ce lemme|début=Voir une}}</ref> :
{{énoncé|Pour qu'un groupe ''G'' d'ordre ''n'' soit cyclique, il suffit que pour tout diviseur ''d'' de ''n'', ''G'' possède au plus un sous-groupe cyclique d'ordre ''d''.
}}

En particulier, tout groupe d'ordre [[nombre premier|premier]] est cyclique<ref>Une preuve directe plus courante consiste à [[Théorème de Lagrange sur les groupes#Applications|appliquer le théorème de Lagrange]].</ref>. Autrement dit : tout nombre premier est un [[Nombre cyclique (théorie des groupes)|nombre cyclique]].

Ceci permet également de montrer que tout sous-groupe fini du groupe multiplicatif d'un [[corps commutatif]] est cyclique<ref name=Rotman/>{{,}}<ref>{{Note autre projet|Wikiversité|Théorie des groupes/Automorphismes d'un groupe cyclique#CyclicitéDansCorps|cette preuve|début=Voir}}</ref>.

=== Théorème chinois ===
{{Article détaillé|Théorème des restes chinois}}
Le théorème des restes chinois permet la décomposition d'un groupe cyclique fini en groupes cycliques plus petits. Ce théorème est largement utilisé en [[théorie algébrique des nombres]] et plus spécifiquement en [[arithmétique modulaire]]. Il est aussi à la base de nombreux [[Algorithmique|algorithmes]] de [[cryptographie]], comme celui du [[chiffrement RSA]]. En théorie des groupes, le théorème s'énonce de la manière suivante :

{{énoncé|Soient ''n''{{ind|1}}, … , ''n{{ind|k}}'' (≥ 1) des entiers deux à deux [[premiers entre eux]] et ''n'' leur produit. Alors, tout groupe cyclique d'ordre ''n'' est isomorphe à un [[Produit direct (groupes)|produit]] de ''k'' groupes cycliques d'ordres respectifs ''n''{{ind|1}}, … , ''n{{ind|k}}''.}}

{{Démonstration/début}}
D'après le [[#Théorème fondamental]], il suffit de montrer que (sous ces hypothèses) les groupes ℤ/''n''ℤ et (ℤ/''n''{{ind|1}}ℤ)×…×(ℤ/''n{{ind|k}}''ℤ) sont isomorphes. La preuve est identique à celle du [[Théorème des restes chinois#Dans les anneaux Z/nZ|§ « Dans les anneaux ℤ/''n''ℤ »]] de l'article détaillé, en remplaçant « anneaux » par « groupes ».
{{Démonstration/fin}}

'''Note''' : l'[[Exposant d'un groupe|exposant]] du groupe produit est égal au [[Plus petit commun multiple|PPCM]] des ''n{{ind|i}}''. Si ceux-ci ne sont pas premiers entre eux deux à deux, l'exposant du groupe produit est donc strictement inférieur à son ordre ''n'' et ce groupe n'est alors pas cyclique.

On déduit du théorème une décomposition d'un groupe cyclique en « facteurs primaires » : si ''n'' est l'ordre du groupe, soit
<center><math>n = \prod_{i=1}^k p_i^{\alpha_i}</math></center>
sa [[décomposition en produit de facteurs premiers]] (unique à l'ordre près des facteurs), où (''p<sub>i</sub>'') est une famille de ''k'' nombres premiers distincts et α<sub>''i''</sub> des entiers supérieurs ou égaux à 1. Le théorème précédent s'applique en posant <math>n_i=p_i^{\alpha_i}</math> et donne :
{{énoncé|Tout groupe cyclique se décompose (de manière [[à quelque chose près|essentiellement unique]]) en un produit de groupes cycliques d'ordre une puissance d'un nombre premier.}}

== [[Morphisme de groupes|Morphisme]] ==
=== Endomorphisme ===
Pour tous groupes abéliens ''G'' et ''H'', l'ensemble [[Catégorie des groupes abéliens|Hom(''G'', ''H'')]] des [[Morphisme de groupes|morphismes]] de ''G'' dans ''H'' est [[Catégorie abélienne|naturellement]] muni d'[[Groupe abélien#Exemples|une structure de groupe abélien]]. En particulier, l'ensemble End(''G'') := Hom(''G'', ''G'') des endomorphismes d'un groupe monogène ''G'' est un groupe abélien, et même monogène car :

{{énoncé|Si ''g'' est un générateur de ''G'', l'application End(''G'') →''G'', ψ ↦ ψ(''g'') est un [[isomorphisme de groupes]].}}

En effet, ce morphisme est [[injectif]] (l'endomorphisme ψ est entièrement déterminé par ψ(''g'')) et [[surjectif]] car réciproquement, si ''h'' est un élément de ''G'', de la forme ''h = g<sup>p</sup>'', alors l'endomorphisme id{{exp|''p''}} (puissance ''p''-ième dans End(''G'') de l'endomorphisme [[Application identité|identité]]), qui à ''x'' associe ''x{{exp|p}}'', envoie ''g'' sur ''h''.

Pour tout endomorphisme ψ de ''G'', de la forme ''x'' ↦ ''x{{exp|p}}'', [[Morphisme de groupes#Noyau et image|im(ψ)]] est le sous-groupe de ''G'' engendré par ''g{{exp|p}}'' et ψ est un [[Morphisme de groupes|automorphisme]] si et seulement s'il est surjectif.

Plus précisément, si ''G'' est d'ordre ''n'', [[Morphisme de groupes#Noyau et image|ker(ψ)]] est le [[#Sous-groupes|sous-groupe de ''G'']] d'ordre [[PGCD]](''n'', ''p'') et im(ψ) est celui d'ordre ''n''/PGCD(''n'', ''p''). Par conséquent :
{{énoncé|Un groupe cyclique d'ordre ''n'' a exactement φ(''n'') automorphismes, où φ désigne l'[[#Indicatrice d'Euler|indicatrice d'Euler]] : les morphismes de la forme ''x'' ↦ ''x{{exp|p}}'', pour ''p'' [[premier avec]] ''n'' et compris entre 1 et ''n''.}}
Ces automorphismes forment, dans le [[groupe symétrique]] ''S''(''G''), un [[sous-groupe]] abélien, dont la structure est décrite dans l'article [[Anneau ℤ/nℤ#Groupe des unités|Anneau ℤ/''n''ℤ, § Groupe des unités]].

=== Caractère ===
{{Article détaillé|Caractère d'un groupe fini}}
Un caractère d'un groupe ''G'' est un morphisme de ''G'' dans le groupe multiplicatif (ℂ*, ×) des éléments non nuls du [[corps commutatif|corps]] des [[nombre complexe|nombres complexes]]. Cette notion est au cœur d'une théorie importante, celle des [[représentations d'un groupe fini]].

Si ''G'' est d'ordre ''n'', ses caractères sont à valeurs dans le groupe ''U{{ind|n}}'' des [[racine de l'unité|racines ''n''-ièmes de l'unité]] (cf. article détaillé). Ce groupe est cyclique d'ordre ''n'' donc :

{{énoncé|1=
*L'image d'un caractère est un sous-groupe ''U{{ind|d}}'' de ''U{{ind|n}}''.
*Soit ''G'' = ⟨''g''⟩ un groupe cyclique d'ordre ''n''. L'application χ ↦ χ(''g'') est un isomorphisme, du groupe des caractères de ''G'' dans ''U{{ind|n}}''.
}}
(On peut le déduire de l'étude ci-dessus des endomorphismes de ''G'', ou le démontrer exactement de la même manière.)

Remarquons que si ''r'' est une racine ''n''-ième de l'unité, l'unique caractère χ tel que χ(''g'') = ''r'' vérifie, pour tout entier ''m'' : χ(''g{{exp|m}}'') = ''r{{exp|m}}''.

== Groupes virtuellement cycliques ==
{{Voir aussi|Propriété virtuelle}}
Un groupe ''G'' est dit '''virtuellement cyclique''' s'il possède un sous-[[groupe monogène]] ''C'' d'[[Indice d'un sous-groupe|indice]] fini (la finitude de l'indice équivaut à l'existence d'une partie finie ''F'' de ''G'' telle que tout élément de ''G'' soit le produit d'un élément de ''F'' par un élément de ''C'').

Cela équivaut [[trivial]]ement à : ''G'' est fini ou contient un sous-groupe d'indice fini isomorphe à ℤ.

Tout sous-groupe d'un [[groupe hyperbolique]] est virtuellement cyclique ou contient un sous-[[groupe libre]] à deux générateurs<ref>{{Ouvrage|auteur=[[Étienne Ghys]]|auteur2=[[Pierre de la Harpe]]|numéro chapitre=8|titre chapitre=L'action d'un groupe hyperbolique sur son bord|titre=Sur les groupes hyperboliques d’après [[Mikhael Gromov]]|numéro dans collection=83|collection=Progress in Mathematics|éditeur=Springer|date=2013|url={{Google Livres|wa7aBwAAQBAJ|page=157}}|page=157}}, théorème 37.</ref>.

Un [[groupe infini]] est virtuellement cyclique si et seulement s'il est [[Groupe de type fini|de type fini]] et si son nombre de [[Bout d'un espace topologique|bouts]] (du [[graphe de Cayley]], pour n'importe quelle [[Partie génératrice d'un groupe|partie génératrice]] finie) est égal à 2<ref>{{Ouvrage|lang=en|titre=Metric Spaces of Non-Positive Curvature|auteur=[[Martin Bridson]]|auteur2=[[André Haefliger]]|url={{Google Livres|M7XrCAAAQBAJ|page=146}}|numéro dans collection=319|collection=[[Grundlehren der mathematischen Wissenschaften|Grund. math. Wiss.]]|éditeur=Springer|date=2013|page=146}}, {{Lang|en|Theorem}} 8.32 (3).</ref>.
.

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Cyclic group|470680150|type=note}}
{{Références}}

== Voir aussi ==
=== Bibliographie ===
* {{Ouvrage|prénom1=Jean-François|nom1=Labarre|titre=La théorie des groupes|éditeur=[[PUF]]|collection=Sciences|numéro dans collection=1|année=1978|isbn=978-2-13-035684-4}}
*{{Lang1}}
=== Articles connexes ===
*[[Groupe dicyclique]]
*[[Groupe quasicyclique]]
*[[Groupe simple#Exemples|Groupes abéliens simples]] (les groupes d'ordre premier)
*[[Logarithme discret]]

{{Portail|algèbre}}

[[Catégorie:Groupe fini|Cyclique]]