Voir la source de Groupe dérivé

{{ébauche|algèbre}}

En [[mathématiques]], en [[Algèbre générale|algèbre]] dans un [[Groupe (mathématiques)|groupe]] ''G'', le '''groupe dérivé''', noté D(''G'') ou [''G'', ''G''], est le plus petit [[sous-groupe normal]] pour lequel le [[groupe quotient]] G/[G, G] est [[Groupe abélien|abélien]]. Le groupe dérivé de ''G'' est trivial si et seulement si le groupe ''G'' est abélien. Le groupe quotient de ''G'' par son groupe dérivé est l''''abélianisé''' de ''G''.

Le procédé d'abélianisation permet souvent de prouver que deux groupes ne sont pas isomorphes. Il intervient aussi en [[géométrie]].

== Commutateurs ==
{{Voir|Commutateur (théorie des groupes)}}

Le [[commutateur (théorie des groupes)|commutateur]] de deux éléments <math>g \in G</math> et <math>h \in G</math> est par définition l'élément <math>[g, h]</math> défini par<ref>Certains ouvrages définissent le commutateur de ''g'' et de ''h'' comme <math>g^{-1}h^{-1}gh</math> ; ce n'est pas la convention adoptée ici.</ref> :
{{centrer|<math>[g,h]= g h g^{-1} h^{-1}\, </math>.}}

Le commutateur mesure le défaut de commutation des éléments ''g'' et ''h'' :
{{centrer|<math>gh=[g,h]hg</math> et donc : <math>[g,h]=e\Leftrightarrow gh=hg</math>}}
En particulier, dans un groupe abélien, tous les commutateurs sont égaux à l'élément neutre <math>e</math>.

* L'inverse du commutateur de ''g'' et de ''h'' est le commutateur de ''h'' et de ''g'' :
{{centrer|<math>[g,h]^{-1}=[h,g]</math>.}}
* L'ensemble des commutateurs est stable par tout [[Morphisme de groupes|endomorphisme]] <math>\psi</math> de ''G'' : pour tous ''g'' et ''h'' dans ''G'',
{{centrer|<math>\psi([g,h])=[\psi(g),\psi(h)]</math>.}}
* Pour tous ''g'', ''h'', et ''k'' dans ''G'', on a :
{{centrer|<math>[g,hk]=[g,h].h[g,k]h^{-1}</math>.}}

== Groupe dérivé ==

L'ensemble des commutateurs est stable par l'inverse mais pas nécessairement par composition. Il n'est pas, en général, un sous-groupe de ''G''. Le [[Partie génératrice d'un groupe|sous-groupe engendré]] par les commutateurs est appelé le '''groupe dérivé''' de ''G'', noté ''D''(''G'') ou [''G'', ''G''].
{{centrer|<math> D(G) = [G,G] =\langle\{ [g,h]\mid(g,h) \in G^2 \}\rangle.</math>}}
En particulier, tout élément de ''D(G)'' est un produit fini de commutateurs. Comme l'image d'un commutateur par un endomorphisme de groupe est un commutateur, le groupe dérivé est stable par tout endomorphisme de ''G'' : c'est un [[sous-groupe caractéristique|sous-groupe pleinement caractéristique]] de ''G''. En particulier, c'est un sous-groupe caractéristique, et donc [[sous-groupe normal|normal]], de ''G''.

'''Exemples :'''
*Le groupe dérivé du [[groupe symétrique]] S{{ind|''n''}} est le [[groupe alterné]] A{{ind|''n''}}.
*Le groupe dérivé du [[groupe général linéaire]] GL(''n, K'') est le [[Groupe général linéaire#Groupe spécial linéaire|groupe spécial linéaire]] SL(''n, K''), sauf si ''n'' = 2 et ''K'' = [[Corps fini|'''F'''{{ind|2}}]].
*Tous les groupes SL(''n, K'') sont [[Groupe parfait|parfaits]] (c'est-à-dire que chacun est égal à son sous-groupe dérivé), sauf SL(2,'''F'''{{ind|2}}) et SL(2,'''F'''{{ind|3}}).
'''Propriétés'''
*Le groupe dérivé d'une [[Produit direct (groupes)#Somme restreinte d'une famille de groupes|somme directe]] de groupes ''G{{ind|i}}'' est la somme directe des groupes dérivés ''D''(''G{{ind|i}}'')<ref>{{Ouvrage|lang=en|auteur=W. R. Scott|titre=Group Theory|année première édition=1964|éditeur=[[Dover Publications|Dover]]|année=1987|page=60|url={{Google Livres|pOwxAwAAQBAJ|page=60}}}}, exerc. 3.4.13.</ref>.
*Le groupe dérivé d'un [[Produit direct (groupes)#Somme restreinte d'une famille de groupes|produit direct]] de groupes ''G{{ind|i}}'' est, dans le produit direct des groupes dérivés ''D''(''G{{ind|i}}''), le sous-groupe constitué des éléments ''g'' pour lesquels il existe un entier ''n{{ind|g}}'' tel que, pour tout ''i'', la composante ''g{{ind|i}}'' de ''g'' soit un produit de ''n{{ind|g}}'' commutateurs.

== Abélianisé ==

Comme [''G'', ''G''] est un sous-groupe normal de ''G'', on peut définir le quotient de ''G'' par [''G'', ''G''], par définition l''''abélianisé''' de ''G'' :
{{centrer|<math>Ab(G)=G^{ab}=G/[G,G]</math>.}}

;Exemples
:*Si ''G'' est commutatif, alors ''G''{{exp|ab}} est égal à ''G''/{1} donc s'identifie canoniquement à ''G''.
:*Si ''G'' est le groupe multiplicatif ℍ* des [[quaternion]]s de [[William Rowan Hamilton|Hamilton]] non nuls, alors [''G'', ''G''] est le [[groupe des quaternions]] de norme 1, qui n'est autre que la [[n-sphère|sphère unité S{{3}} de ℝ{{4}}]]. La fonction ''a'' ↦ ║''a''║, de ℍ* dans le groupe multiplicatif ℝ*{{ind|+}} des [[Nombre réel|nombres réels]] strictement positifs, est un morphisme de groupes surjectif de noyau ''S''{{3}}, et par passage au quotient on obtient un isomorphisme de (ℍ*){{exp|ab}} = ℍ*/''S''{{3}} sur ℝ*<sub>+</sub>.

:'''Pour tout groupe ''G'', son abélianisé Ab(''G'') est un groupe abélien.'''
C'est même le plus grand quotient abélien de ''G'' au sens suivant (ce qui prouve que le « plus petit sous-groupe normal pour lequel le groupe quotient G/[G, G] est abélien », évoqué en introduction, existe et est égal au groupe dérivé défini ci-dessus) :
:'''Si ''H'' est un sous-groupe normal de ''G'', le quotient ''G''/''H'' est abélien si et seulement si ''H'' contient le groupe dérivé de ''G''<ref>Pour une démonstration, voir par exemple le [[#Voir aussi|cours sur Wikiversité]].</ref>.'''
En effet, ''G''/''H'' est abélien si et seulement si, pour tous éléments ''g'' et ''h'' de ''G'', il existe ''x'' dans ''H'' tel que : '' gh = xhg'', c'est-à-dire si et seulement si (pour tous ''g'' et ''h'') le commutateur [''g'', ''h''] appartient à ''H''.

La propriété précédente se reformule en termes de morphismes :
:'''Tout morphisme de ''G'' vers un groupe abélien se factorise à travers Ab(''G'').'''

L'abélianisé d'un groupe est son premier groupe d'[[Homologie des groupes|homologie]] à coefficients [[entier relatif|entiers]] : ''G{{exp|ab}}'' = H{{ind|1}}(''G'', ℤ).

== Suite dérivée ==

La suite dérivée de ''G'' est la suite des sous-groupes de ''G'' définie par récurrence de la façon suivante :
{{centrer|<math>D^0(G)=G</math>}}
et
{{centrer|<math>D^k(G)=D\left[D^{k-1}(G)\right]=[D^{k-1}(G),D^{k-1}(G)]</math>.}}
Les sous-groupes de ''G'' apparaissant dans sa suite dérivée sont<ref>{{Ouvrage|lang=en|auteur={{Lien|lang=de|Derek John Scott Robinson|texte=D. J. S. Robinson}}|titre=A Course in the Theory of Groups|numéro d'édition=2|année=1996|url={{Google Livres|lqyCjUFY6WAC|page=124}}|éditeur=[[Springer Science+Business Media|Springer]]|collection=[[Graduate Texts in Mathematics|GTM]]|numéro dans collection=80|page=124|doi=10.1007/978-1-4419-8594-1}}.</ref> des sous-groupes pleinement caractéristiques de G.<br>
Si cette suite est stationnaire à <math>\{e\}</math>, c'est-à-dire s'il existe un naturel n tel que <math>D^n(G)=\{e\}</math>, le groupe est dit '''[[groupe résoluble|résoluble]]'''.

== Notes et références ==
<references/>

== Voir aussi ==
{{Autres projets|v=Théorie des groupes/Commutateurs, groupe dérivé}}

{{Portail|algèbre}}

[[Catégorie:Théorie des groupes]]