Voir la source de Groupe de Galois

[[Image:evariste galois.jpg|thumb|Évariste Galois 1811-1832]]

En [[mathématiques]], et plus spécifiquement en [[algèbre]] dans le cadre de la [[théorie de Galois]], le '''groupe de Galois''' d'une [[extension de corps|extension]] de [[corps commutatif|corps]] ''L'' sur un corps ''K'' est le [[groupe (mathématiques)|groupe]] des [[automorphisme]]s de corps de ''L'' laissant ''K'' [[invariant|invariant point par point]]. Le groupe de Galois est souvent noté Gal(''L''/''K'').

Si l'extension possède de ''bonnes'' propriétés, c’est-à-dire si elle est [[extension séparable|séparable]] et [[extension normale|normale]], on parle alors d'[[extension de Galois]] et les hypothèses du [[théorème fondamental de la théorie de Galois]] sont réunies. Il existe alors une bijection entre les sous-corps de ''L'' et les sous-groupes du groupe de Galois Gal(''L''/''K'').

La correspondance permet une compréhension profonde de la structure de l'extension. Un exemple important est le [[théorème d'Abel (algèbre)|théorème d'Abel]], il donne une [[Équivalence logique|condition nécessaire et suffisante]] de résolution par radicaux d'une [[équation polynomiale|équation algébrique]].

== Histoire ==
=== Genèse ===
{{Article détaillé|amorce=Section détaillée|Théorème d'Abel (algèbre)#Histoire{{!}}histoire du théorème d'Abel}}
[[Image:Niels Henrik Abel (detail).jpeg|thumb|Niels Abel (1802-1829)]]
Si l'histoire de la théorie des équations algébriques remonte à la nuit des temps, en revanche l'introduction du concept de groupe date du {{s|XVIII}}. [[Joseph-Louis Lagrange]] met en évidence la relation entre les propriétés des [[permutation]]s des racines et la possibilité de résolution d'une [[équation cubique]] ou [[équation quartique|quartique]]<ref>J.-L. Lagrange, ''Réflexions sur la résolution algébrique des équations'', 1770.</ref>. [[Paolo Ruffini (mathématicien)|Paolo Ruffini]] est le premier à comprendre que l'équation générale et particulièrement l'[[équation quintique]] n'admet pas de solution<ref>{{it}} P. Ruffini, ''Teoria Generale delle Equazioni, in cui si dimostra impossibile la soluzione algebraica delle equazioni generali di grado superiore al quarto'', 1799.</ref>. Sa démonstration reste lacunaire. Les démonstrations de [[Niels Henrik Abel]], dans deux articles écrits en 1824<ref>N. H. Abel, ''Mémoire sur les équations algébriques, où l'on démontre l'impossibilité de la résolution de l'équation générale du cinquième degré'', 1824.</ref> et 1826 passent, après des années d'incompréhension, à la postérité. Cependant la notion de groupe abstrait n'apparaît pas encore et le théorème reste incomplet.

=== Évariste Galois ===
[[Évariste Galois]] résout définitivement la problématique en proposant une condition nécessaire et suffisante juste pour la résolubilité de l'équation par radicaux. Son approche subit la même incompréhension que ses prédécesseurs. Ses premiers écrits, présentés à l'[[Académie des sciences (France)|Académie des sciences]] dès 1829, sont définitivement perdus. Un article<ref>É. Galois, ''Mémoire sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux'', texte manuscrit de 1830, publié en 1846 au [[Journal de mathématiques pures et appliquées]], [http://www.bibnum.education.fr/mathematiques/memoire-sur-les-conditions-de-resolubilite-des-equations-par-radicaux en ligne] sur le site [[bibnum]] avec une analyse par Caroline Ehrhardt.</ref> de l'auteur écrit en 1830 est découvert par [[Joseph Liouville]] qui le présente à la [[communauté scientifique]] en 1843 en ces termes: « ''… J'espère intéresser l'Académie en lui annonçant que dans les papiers d'Évariste Galois j'ai trouvé une solution aussi exacte que profonde de ce beau problème : Étant donné une [[équation algébrique|équation]] [[élément irréductible|irréductible]] décider si elle est ou non résoluble par radicaux.'' »

L'apport de Galois est majeur, G. Verriest<ref>G. Verriest, ''Œuvres Mathématiques d'Évariste Galois'', 1951, Gauthier-Villars, Paris.</ref> le décrit dans les termes suivants : « ''le trait de génie de Galois c'est d'avoir découvert que le nœud du problème réside non pas dans la recherche directe des grandeurs à adjoindre, mais dans l'étude de la nature du groupe de l'équation. Ce groupe […] exprime le degré d'indiscernabilité des racines […]). Ce n'est donc plus le degré d'une équation qui mesure la difficulté de la résoudre mais c'est la nature de son groupe. »''

Galois modifie profondément son axe d'analyse par rapport à ses prédécesseurs. Pour la première fois dans l'histoire des mathématiques, il met en évidence une structure abstraite, qu'il appelle ''groupe de l'équation''. C'est une étude sur la théorie des groupes abstraits qui lui permet de montrer qu'il existe des cas non résolubles. Il met ainsi en évidence que le [[groupe alterné]] d'indice cinq ne possède pas les propriétés nécessaires pour être [[groupe résoluble|résoluble]]. Il écrit ainsi « ''Le plus petit nombre de permutations que puisse avoir un groupe indécomposable quand ce nombre n'est pas premier est 5.4.3.''<ref>É. Galois, ''Écrits et Mémoires Mathématiques d'Évariste Galois'', 1962, Gauthier-Villars, Paris.</ref> »

Cette démarche, consistant à définir et analyser des structures abstraites et non plus des équations, est des plus fécondes. Elle préfigure ce qu'est devenue l'algèbre. Pour cette raison, Galois est souvent considéré comme un père de l'algèbre moderne.

=== L'évolution de la théorie ===
Deux mathématiciens comprennent immédiatement la portée du travail de Galois, Liouville et [[Augustin Louis Cauchy]] qui publie dès 1845 un article démontrant [[Théorème de Cauchy (groupes)|le théorème sur les groupes finis portant son nom]]<ref>A. L. Cauchy, ''Sur le nombre de valeurs égale ou inégales que peut acquérir une fonction de n variables indépendantes, quand on permute ces variables entre elles d'une manière quelconque'', 1845.</ref>. Puis [[Arthur Cayley]] donne une première définition abstraite de la structure de groupe<ref>{{article|lang=en|nom1=A. Cayley|titre=On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θ<sup>n</sup>=1|périodique=Philos. Mag.|lien périodique=Philosophical Magazine|volume=7|numéro=4|pages=40–47|année=[[1854 en science|1854]]}}.</ref>, indépendante de la notion de permutation. [[Camille Jordan (mathématicien)|Camille Jordan]] diffuse largement les idées de Galois. Son livre<ref>C. Jordan, ''Traité des substitutions et des équations algébriques'', 1870.</ref> rend accessible la théorie à un public beaucoup plus vaste en 1870.

La théorie est petit à petit profondément modifiée par des mathématiciens comme [[Richard Dedekind]] qui fut le premier à parler de « [[théorie de Galois]] », [[Otto Hölder]] qui démontra [[Théorème de Jordan-Hölder|son théorème]] désormais célèbre en 1889 ou [[Emil Artin]] qui donne la définition moderne d'un groupe de Galois<ref>{{en}} E. Artin, ''Galois Theory'', Notre Dame Press, Londres 1942 (rééd. 1971).</ref>. Le groupe de Galois est maintenant un groupe d'[[automorphisme]]s et non un [[groupe de permutations]].

== Motivation ==
=== Motivation originale ===
{{Article détaillé|Théorème d'Abel (algèbre){{!}}théorème d'Abel}}
Initialement, le groupe de Galois est apparu comme un outil pour comprendre les [[équation algébrique|équations algébriques]]. L'approche naïve consistant à opérer des changements de variables ou des transformations sur un [[polynôme formel|polynôme]] ne permet pas de trouver algébriquement les racines.

Pour comprendre dans quel cas une telle démarche fonctionne, une bonne approche consiste à étudier les permutations des racines qui laissent invariantes toutes les expressions algébriques de ces racines. Une telle structure forme un groupe, isomorphe au groupe de Galois.

La théorie de Galois permet alors de déterminer exactement dans quel cas il est possible d'exprimer les racines en fonctions d'expressions algébriques des [[coefficient]]s de l'équation et de radicaux. Un radical est un nombre dont une puissance n-ième est un nombre du corps initial. La structure du groupe de Galois permet cette exacte détermination.

Une telle démarche, consistant à étudier non plus les transformations, mais la structure même de la plus petite [[extension de corps|extension]] contenant toutes les racines, appelée [[corps de décomposition]], s'avère puissante. Elle est la base de l'algèbre moderne. Cette approche consiste à étudier de manière générale la structure d'un ensemble particulier, ici le corps de décomposition. Cet ensemble apparaît comme disposant d'une double structure, à la fois de corps et aussi d'[[espace vectoriel]] sur le corps des coefficients. Le groupe de Galois est la structure algébrique la plus simple permettant une compréhension profonde.

=== Les extensions finies ===
{{Article détaillé|théorème fondamental de la théorie de Galois}}
Cette approche générale est féconde pour l'analyse de toute [[extension finie]] sur n'importe quel corps de base. Cette analyse s'avère plus simple si l'extension possède de ''bonnes'' propriétés. Deux hypothèses sont utiles, l'extension doit être [[extension séparable|séparable]] et [[extension normale|normale]]. On parle alors d'[[extension de Galois|extension galoisienne]]. Il est néanmoins nécessaire de généraliser les concepts. Un groupe devient alors une structure abstraite qui s'éloigne de la notion de permutation. Le groupe de Galois n'est plus défini à l'aide des racines d'un polynôme car l'extension est maintenant définie de manière générale et non plus à partir d'une équation algébrique. Le groupe de Galois apparaît alors comme le groupe des automorphismes de l'extension laissant invariant le corps de base.

Le théorème fondamental de la théorie de Galois établit, dans le cas où l'extension finie est galoisienne, une correspondance entre ses corps intermédiaires et les sous-groupes de son groupe de Galois. Cette correspondance permet la compréhension fine de l'extension.
=== Le cas général ===
Le caractère fini de l'extension n'est pas nécessaire pour la définition du groupe de Galois. Dans le cas général, le groupe de Galois reste un outil fondamental. Cependant, la théorie devient suffisamment complexe pour être décomposée.

Le cas où le groupe de Galois est commutatif est maintenant parfaitement connu. La [[théorie des corps de classes]] correspond à la classification des [[extension abélienne|extensions abéliennes]]. Cette théorie est considérée comme l'un des grands succès des mathématiques du {{s-|XX}}.

Le cas non commutatif est encore largement une question ouverte en mathématique. Le groupe de Galois reste un outil fondamental, comme le montrent par exemple les travaux de [[Laurent Lafforgue]] sur le [[programme de Langlands]], qui lui valurent une [[médaille Fields]] en 2002.

== Définition ==
Soient ''K'' un corps, ''L'' une [[extension algébrique]] de ''K'' et ''P'' un polynôme à coefficients dans ''K''.

* On appelle '''groupe de Galois de l'extension''' ''L'' sur ''K''<ref>{{Szpirglas}}, [https://books.google.fr/books?id=y6rHYbpf3SsC&pg=PT752 Définition 12.59].</ref> le groupe des automorphismes de ''L'' laissant ''K'' invariant. Le groupe de Galois est souvent noté Gal (''L''/''K'').
* On appelle '''groupe de Galois du polynôme''' ''P sur K'' le groupe de Galois d'un [[corps de décomposition]] de ''P'' sur ''K'' : il est unique [[À quelque chose près|à isomorphisme près]], ce dernier l'étant déjà. Le groupe de Galois est alors souvent noté ''G''<sub>K</sub>(''P'').

== Exemples ==
D'autres exemples sont donnés dans les articles « [[Théorème d'Abel (algèbre)]] » et « [[Théorie de Galois inverse]] ». Signalons aussi l'existence d'un polynôme de degré 7 ayant pour groupe de Galois un [[groupe simple d'ordre 168]].
=== Degré 2 ===
Considérons un exemple suffisamment simple pour que l'approche historique soit utilisable dans ce cas. Soit ''P'' le polynôme à coefficients rationnels défini par :
<center><math>P(X)=X^2-2X-1.</math></center>
Ses deux racines sont :
<center><math>x_1=1+\sqrt{2}\quad\text{et}\quad x_2=1-\sqrt2.</math></center>
Considérons alors l'ensemble ''E'' des polynômes à deux variables dont le couple (''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>) est racine. Les trois exemples de polynômes suivants vérifient cette propriété :
<center><math>Q_1(X,Y)=X^2-2X-1,\quad Q_2(X,Y)=X+Y-2\quad\text{et}\quad Q_3(X,Y)=X.Y+1.</math></center>
On remarque alors que (''x''<sub>2</sub>, ''x''<sub>1</sub>) est aussi une racine d'un polynôme de cette nature. Ceci démontre que les deux permutations des racines, qui au couple (''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>) associent, l'une (''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>) et l'autre, (''x''<sub>2</sub>, ''x''<sub>1</sub>), laissent ''E'' stable (plus généralement : le groupe de Galois d'un [[polynôme irréductible]] [[Action transitive|agit transitivement]] sur l'ensemble des racines de ce polynôme).

Le groupe des deux permutations est isomorphe au groupe de Galois. Initialement c'est ainsi qu'il était défini. Il est ici isomorphe à ℤ/2ℤ.
=== Degré 5 ===
[[Image:Polynôme non résoluble.jpg|thumb|right|Nappe qui à ''z'', associe le module de P(z)]]
Selon le [[Théorème d'Abel (algèbre)#Expressions du théorème|complément apporté par Galois au théorème d'Abel]], si le groupe de Galois d'un polynôme irréductible ''P'' sur un [[corps parfait]] ''K'', comme le corps ℚ des [[Nombre rationnel|rationnels]], n'est pas [[groupe résoluble|résoluble]], alors les racines du polynôme ne s'expriment pas à l'aide de radicaux à partir d'éléments de ''K''. Les exemples les plus simples sont des polynômes de degré 5 dont le groupe de Galois sur ℚ est le [[groupe symétrique]] ''S''<sub>5</sub>, qui n'est pas résoluble.

Le polynôme ''P''(''X'') = ''X''{{5}} – 3''X'' – 1 en est un exemple. Une façon de le vérifier<ref>Cet exemple provient de {{Douady1}}, 2005, {{p.|322}}.</ref> {{incise|on en verra une plus expéditive à la section suivante}} est de démontrer que sur ses cinq racines complexes, exactement trois sont réelles et une seule est de module strictement inférieur à 1. Ce polynôme est illustré sur la figure de droite ; plus précisément, cette figure illustre la nappe qui à un nombre complexe ''z'' associe le module de ''P''(''z'') pour les points de coordonnée imaginaire positive. Les trois racines réelles valent approximativement –1,21, –0,33 et 1,39 et deux complexes conjuguées, 0,08 ± 1,33{{math|i}}. L'existence d'un unique couple de racines complexes conjuguées montre l'existence d'une transposition dans le groupe. Le fait qu'il n'existe qu'une unique racine dans le disque unité, illustré en vert sur la figure, est l'un des arguments possibles<ref>En fait, un polynôme de la forme ''X{{exp|n}} + aX'' ± 1 est irréductible sur ℚ dès que la valeur absolue de l'entier ''a'' est supérieure ou égale à 3 : {{de}} [[Oskar Perron|O. Perron]], « Neue Kriterien für die Irreduzibilität algebraischer Gleichungen », dans ''[[Journal de Crelle|J. reine angew. Math.]]'', vol. 132, 1907, [http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN243919689_0132&DMDID=DMDLOG_0023 {{p.|288-307}}].</ref>{{,}}<ref>Un autre argument est le [[critère d'irréductibilité de Cohn]], dans sa variante fournie par M. Ram Murty : ici, ''H'' = 3 et l'entier ''P''(5) = 3109 est [[Nombre premier|premier]].</ref> pour montrer que le polynôme est irréductible sur ℚ. On en déduit que le groupe contient un élément d'[[Ordre (théorie des groupes)|ordre]] 5. L'existence de ces deux éléments (d'ordres 2 et 5) établit que le groupe de Galois est isomorphe à ''S''{{ind|5}}.

{{Démonstration/début|titre=Détails de l'exemple ''X''{{5}} – 3''X'' – 1}}
* '''Le polynôme ''P'' est irréductible dans ℚ[''X''] :'''<br />En effet, s'il ne l'était pas, par [[Anneau factoriel|factorialité]] de ℤ[''X''], il serait le produit de deux [[Polynôme unitaire|polynômes unitaires]] à coefficients dans ℤ, de degrés respectifs 1 et 4 ou 2 et 3. Les termes constants de ces deux polynômes auraient pour produit –1 donc seraient égaux à 1 ou –1 et opposés l'un de l'autre. Les deux méthodes ci-dessous montrent qu'une telle factorisation est impossible.
**Calcul direct<br />Le cas où l'un des deux facteurs est de degré 1, donc égal à ''X'' – 1 ou ''X'' + 1, est exclu d'emblée, car 1 et –1 ne sont pas racines de ''P''. Dans l'autre cas (degrés 2 et 3), il existerait deux entiers {{math|''a''}} et {{math|''b''}}, avec {{math|''b''}} égal à ±1, tels que<center><math>X^5-3X-1=(X^3+aX^2+(a^2+b)X+b)(X^2-aX-b).</math></center>Le calcul du terme de degré 2 montre que {{math|1=''a''(''a''{{2}} + 2''b'') = ''b''}} donc {{math|''b''}} = –1 et {{math|''a''}} = 1, ce qui est incompatible avec le calcul du terme de degré 1, {{math|''b''(''a''{{2}} + ''a + b'')}} = 3.
**Détour par l'[[analyse complexe]]<br />Un autre argument montrant que ''P'' ne peut admettre une telle factorisation est que l'un des deux facteurs a nécessairement toutes ses racines de module strictement supérieur à 1 (si bien que son terme constant ne peut être égal à ±1). En effet, parmi les 5 racines complexes de ''P'', l'une est de module strictement inférieur à 1 et les quatre autres de module strictement supérieur à 1, ce qui peut se démontrer comme suit. Si ''z'' parcourt le cercle unité des nombres complexes, la variable ''P''(''z'') parcourt un tour autour de l'unité. En effet :<center><math>P(z) = -3z\left(1 - \frac {z^5 -1}{3z}\right).</math></center>Le [[théorème des résidus]] montre l'existence et l'unicité d'une racine dans le disque unité.
* '''Le polynôme ''P'' admet exactement trois racines réelles :'''<br />Le [[théorème des valeurs intermédiaires]] ainsi que le calcul des valeurs du polynôme en –2, –1, 0 et 2 montre l'existence d'au moins trois racines réelles.<br />La dérivée du polynôme, égale à 5''X''{{exp|4}} – 3, possède exactement deux racines, ce qui montre l'existence d'au plus trois racines réelles.
* '''Le groupe de Galois de ''P'' est isomorphe à ''S''{{ind|5}} :'''<br />Soit ''G'' le groupe de Galois du corps de décomposition ''K'' du polynôme. Ce groupe ''G'' [[Action de groupe (mathématiques)|opère]] sur les racines du polynôme, donc ''G'' s'identifie à un sous-groupe de ''S''<sub>5</sub> car les racines du polynôme engendrent ''K'', considéré comme une [[extension finie|extension]] de ℚ.<br />La [[conjugué|conjugaison complexe]] est un automorphisme de ''K'' laissant invariants les rationnels et les trois racines réelles, et permutant les deux racines imaginaires. On en déduit que ''G'' contient une transposition.<br />Montrons que ''G'' contient un élément d'ordre 5. Soit α une racine de ''P'', le cardinal de l'orbite de α est un diviseur de l'[[Ordre (théorie des groupes)|ordre du groupe]] (cf. « [[Action de groupe (mathématiques)]] »). Comme le polynôme ''P'' est irréductible, l'orbite de α est l'ensemble des 5 racines (cf. « [[Corps de décomposition]] »). Ceci montre que l'ordre de ''G'' est un multiple de 5. [[Théorème de Cauchy (groupes)|Un théorème de Cauchy]] montre alors que ''G'' contient un élément d'ordre 5.<br />Or ''S''{{ind|5}} est [[Partie génératrice d'un groupe|engendré]] par tout couple composé d'une transposition et d'un élément d'ordre 5. Le groupe de Galois est en conséquence isomorphe à ''S''{{ind|5}}.
{{Démonstration/fin}}

== Réduction modulo ''p'' ==
Pour un [[polynôme unitaire]] ''P'' à coefficients [[Entier relatif|entiers]] et un [[nombre premier]] ''p'', le groupe de Galois (sur le [[corps fini]] '''F'''{{ind|''p''}}) du polynôme {{surligner|''P''}} déduit de ''P'' par réduction [[Congruence sur les entiers|modulo ''p'']]  fournit des informations sur celui (sur [[Nombre rationnel|ℚ]]) de ''P'' :
{{énoncé|1=Soient ''G'' le groupe de Galois de ''P'' et ''D'' (resp. ''D{{ind|p}}'') l'[[Sous-anneau#Sous-anneau engendré par un ensemble|anneau engendré]] par les racines de ''P'' (resp. {{surligner|''P''}}), dans un [[corps de décomposition]]. Si {{surligner|''P''}} est séparable, alors :
*théorème<ref>{{Ouvrage|langue=en|prénom1=Nathan|nom1=Jacobson|lien auteur1=Nathan Jacobson|titre=Basic Algebra|volume=I|éditeur=[[Dover Publications|Dover]]|année=2012|numéro d'édition=2|pages totales=528|passage=302-303|isbn=978-0-486-13522-9|lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=JHFpv0tKiBAC&pg=PA302}}, {{Lang|en|Theorem 4.38}}.</ref> :
**il existe des [[Morphisme d'anneaux|morphismes]] de ''D'' dans ''D{{ind|p}}'' ;
**un tel morphisme envoie [[Bijection|bijectivement]] les racines de ''P'' sur celles de {{surligner|''P''}} ;
**si φ et ψ sont deux tels morphismes, il existe un élément σ de ''G'' tel que ψ = φσ ;
*corollaires :
#le groupe de Galois de {{surligner|''P''}} s'identifie (de façon non [[Canonique (mathématiques)|canonique]]) à un [[sous-groupe]] de ''G''<ref name=DF>{{Ouvrage|langue=en|prénom1=David S.|nom1=Dummit|prénom2=Richard M.|nom2=Foote|titre=Abstract algebra|éditeur=|année=2004|numéro d'édition=3|passage=640-641|isbn=|lire en ligne=http://www.lisabeckphotography.com/Math/Textbooks/Algebra/Dummit%20and%20Foote%20-%20Abstract%20Algebra%20%28text%29.pdf|titre chapitre=14, § 8}}.</ref> ;
#(théorème de [[Richard Dedekind|Dedekind]]) : ''G'' contient une permutation dont les [[Permutation circulaire|cycles]], dans la [[Permutation#Décomposition en produit de cycles à supports disjoints|décomposition en cycles disjoints]], ont pour longueurs les degrés des facteurs irréductibles de {{surligner|''P''}}<ref name=DF/>{{,}}<ref>{{Harvsp|Jacobson|2012|p=302}}, {{Lang|en|Theorem 4.37}}.</ref>.
}}

{{Démonstration/début}}
Par hypothèse, le [[discriminant]] de {{surligner|''P''}} est non nul, c'est-à-dire que celui de ''P'' n'est pas [[divisible]] par ''p''. Si ''n'' est le degré de ''P'', ces deux polynômes ont donc ''n'' [[Racine simple|racines simples]] dans tout corps de décomposition.

Preuve du théorème.
*Par définition du corps de décomposition, la donnée d'un morphisme de ''D'' dans ''D{{ind|p}}'' équivaut à celle d'un [[idéal maximal]] de ''D'' contenant ''pD'', or [[Théorème de Krull|il existe de tels idéaux]].
*Pour un tel idéal ''M'', le morphisme canonique de ''D'' dans le [[Anneau quotient|corps ''D''/''M'']] (auquel ''D{{ind|p}}'' est isomorphe) envoie bijectivement les racines ''r''{{ind|1}}, … , ''r{{ind|n}}'' de ''P'' sur les ''n'' racines de {{surligner|''P''}}.
*Soit ''N'' = [ℚ(''r''{{ind|1}}, … , ''r{{ind|n}}''):ℚ] l'ordre de ''G''. Comme les ''r{{ind|k}}'' sont des [[Entier algébrique|entiers algébriques]], le [[Groupe abélien|ℤ-module]] ''D'' est [[Module de type fini|de type fini]] et ℚ''D'' = ℚ(''r''{{ind|1}}, … , ''r{{ind|n}}''). Par conséquent, ''D'' est un ℤ-[[module libre]] de rang ''N'' donc toute [[Famille libre|famille ''K''-libre]] d'applications [[Application linéaire|ℤ-linéaires]] de ''D'' dans un même corps ''K'' est de [[Cardinalité (mathématiques)#Cardinal d'un ensemble fini|cardinal]] au plus ''N''. D'après le [[Caractère (mathématiques)#Théorème d'indépendance de Dedekind|théorème d'indépendance de Dedekind]], il existe donc au plus ''N'' morphismes d'anneaux de ''D'' dans ''D{{ind|p}}''. Comme ceux-ci sont fournis, pour l'un d'entre eux fixé φ, par les φσ (distincts) où σ parcourt ''G'', ψ est égal à l'un de ces φσ.

Preuve des deux corollaires.
#Un morphisme φ de ''D'' dans ''D{{ind|p}}'' étant fixé, l'application qui, à chaque élément {{surligner|σ}} du groupe de Galois de {{surligner|''P''}}, associe l'élément σ de ''G'' (nécessairement unique) tel que {{surligner|σ}}φ = φσ, est un [[morphisme de groupes|morphisme]] [[injectif]].
#Le théorème de Dedekind s'en déduit<ref>{{Harvsp|Jacobson|2012}} démontre le théorème et en déduit directement le second corollaire. {{Harvsp|Dummit|Foote|2004}} énoncent seulement le premier corollaire et en déduisent le second.</ref>, en utilisant que le groupe de Galois de {{surligner|''P''}} est [[Groupe cyclique|cyclique]] (engendré par l'[[automorphisme de Frobenius]]).
{{Démonstration/fin}}

''Exemple.'' Ceci fournit une autre méthode pour montrer que le groupe de Galois sur ℚ du polynôme ''P''(''X'') = ''X''{{5}} – 3''X'' – 1 (étudié dans la section précédente) est isomorphe à ''S''{{ind|5}} (on retrouve ainsi que ''P'' est irréductible), en remarquant que ''P'' est congru à (''X''{{3}} + ''X''{{2}} + 1)(''X''{{2}} + ''X'' + 1)  modulo 2 et à (''X'' – 1)(''X''{{4}} + ''X''{{3}} + ''X''{{2}} + ''X'' + 1) modulo 3.

{{Démonstration|titre=Détails de l'exemple ''X''{{5}} – 3''X'' – 1|
Dans '''F'''{{ind|2}}[''X''], les deux facteurs ''X''{{3}} + ''X''{{2}} + 1 et ''X''{{2}} + ''X'' + 1 sont irréductibles puisqu'ils sont de degrés 3 et 2 et n'ont pas de racine dans '''F'''{{ind|2}}.

Dans '''F'''{{ind|3}}[''X''], les deux facteurs ''X'' – 1 et ''X''{{4}} + ''X''{{3}} + ''X''{{2}} + ''X'' + 1 sont irréductibles aussi (pour le second, qui est le [[Polynôme cyclotomique#Cas de la caractéristique non nulle|polynôme cyclotomique Φ{{ind|5,'''F'''{{ind|3}}}}]], on peut utiliser que l'[[ordre multiplicatif]] de 3 modulo 5 est égal à [[Indicatrice d'Euler|φ(5)]] ou, moins savamment, raisonner par identification comme au début de la boîte déroulante précédente).

Ceci prouve que le groupe de Galois de ''P'', sous-groupe de ''S''{{ind|5}}, contient un 4-cycle et le produit d'un 2-cycle par un 3-cycle disjoint. Il est donc égal au groupe tout entier.
}}

== Applications ==
Si les groupes de Galois sont historiquement apparus à travers la théorie des équations algébriques, la puissance de ce concept a rapidement dépassé ce cadre.
=== Équations algébriques ===
{{Article détaillé|équation algébrique}}

Une équation algébrique est une équation qui s'écrit avec les quatre opérations +, -, . et /. Il est possible d'y ajouter les radicaux, c’est-à-dire des expressions correspondant à la racine n-ième d'un nombre. Toute équation de cette nature revient à une équation polynomiale. Si, dans les cas les plus fréquents, c’est-à-dire celui des [[nombre réel|réels]] ou [[nombre complexe|complexes]], la problématique de l'existence et du nombre de solutions est résolue, en revanche celui de la résolution explicite est restée longtemps une question ouverte. Certaines méthodes analytiques, comme celle de Newton par une suite convergente, ou celle d'Abel par des [[Fonction elliptique|fonctions elliptiques]] apportent des solutions à cette question. Il reste néanmoins à trouver une méthode purement algébrique pour une telle question.

Dans les cas de polynômes de degré inférieur à cinq, cette question se résout par des changements de variables bien choisies. Dans le cas général une telle approche n'est pas satisfaisante. En effet, il n'existe pas de solution dans le cas général. Le groupe de Galois permet de fournir une condition nécessaire et suffisante, ainsi qu'une méthode explicite de résolution. Cette question est traitée par le [[Théorème d'Abel (algèbre)|théorème d'Abel]].

=== Théorie des corps ===
{{Article détaillé|théorie de Galois}}
L'approche d'une équation algébrique par son groupe de Galois met en évidence la structure du corps ''K'' associé à l'équation. L'étude des corps est donc totalement liée à celle des groupes de Galois.

Comme souvent en mathématiques, un outil puissant d'analyse de la structure de ''K'' consiste en l'étude de l'ensemble des sous-corps. Il en existe toujours un plus petit, appelé le sous-corps premier de ''K'' : c'est le sous-corps engendré par l'unité de la multiplication. Dans le cas où ''K'' est de [[Caractéristique d'un anneau|caractéristique]] nulle, son sous-corps premier est isomorphe au corps des [[nombre rationnel|rationnels]]. Dans le cas contraire, la caractéristique est égale à un nombre premier ''p'', et le sous-corps premier de ''K'' est isomorphe au corps [[Anneau Z/nZ|ℤ/''p''ℤ]]. En théorie de Galois, il est peu question de sous-corps, mais essentiellement d'[[Extension de corps|extensions]]. Le corps ''K'' est en effet considéré comme une extension de son sous-corps premier, et tout sous-corps de ''K'' comme une extension intermédiaire.

Le [[théorème fondamental de la théorie de Galois]] indique que pour toute extension galoisienne finie, il existe une bijection entre les sous-groupes du groupe de Galois et les extensions intermédiaires. C'est la raison pour laquelle les groupes de Galois sont un outil essentiel dans la théorie des corps.

=== Théorie algébrique des nombres ===
{{Article détaillé|théorie algébrique des nombres}}
En [[théorie des nombres]], il existe une classification, nombres entiers, rationnels, constructibles, algébriques et transcendants. Un nombre est dit algébrique s'il est solution d'une équation algébrique. En conséquence, il est naturel que le groupe de Galois soit dans ce contexte un outil essentiel.

Un exemple est donné par les [[Nombre constructible|nombres constructibles]]. En termes de théorie de Galois, ces nombres apparaissent comme élément d'une [[tour d'extension quadratique]]. Le groupe de Galois associé à cette extension est abélien, ce qui permet de démontrer le [[théorème de Gauss-Wantzel]] et de trouver tous les polygones réguliers constructibles. Cette approche permet de même de démontrer de vieilles conjectures comme l'impossibilité dans le cas général de réaliser la [[trisection de l'angle]] ou la [[duplication du cube]].

{{Article détaillé|décomposition des idéaux premiers dans les extensions galoisiennes}}
Par ailleurs, dans le cadre d'une extension galoisienne, la [[ramification#En théorie algébrique des nombres|ramification]] admet en un certain sens une interprétation galoisienne : les {{Lien|trad=Ramification group|Groupe de ramification|texte=groupes de ramifications}}, dont le [[groupe de décomposition]] et le [[groupe d'inertie]], sont des sous-groupes du groupe de Galois, qui correspondent ''via'' la correspondance de Galois à des sous-extensions ayant des propriétés de décomposition maximale, ou de ramification minimale.

Une question importante est celle de l'étude du [[groupe de Galois absolu]] d'un corps, en particulier du corps des rationnels, c'est-à-dire du groupe de Galois de sa [[clôture séparable]].

=== Géométrie algébrique ===
{{Article détaillé|géométrie algébrique}}
Enfin, en géométrie, une classe importante de [[Variété (géométrie)|variétés]] est constituée par les [[variété algébrique|variétés algébriques]]. Ce sont les variétés définies comme une intersection d'un nombre fini de polynômes à plusieurs variables. L'analyse des corps associées à ces polynômes et donc des groupes de Galois est une voie essentielle pour la compréhension de ces géométries.

La correspondance de Galois qui à chaque sous-extension associe un sous-groupe de Galois, devient alors une correspondance entre les sous-groupes fermés du [[groupe fondamental]] d'une variété algébrique et les [[revêtement (mathématiques)|revêtements]] étales de la variété.

== Notes et références ==
<references />

== Voir aussi ==
=== Bibliographie ===
* {{Carrega}}
* {{Lang1}}
* {{Samuel1}}
=== Liens externes ===
* {{MacTutor|class=history|id=Chronology/index|title=Index for the Chronology}}
* [http://agreg-maths.univ-rennes1.fr/documentation/docs/Galois.pdf Une courte présentation des extensions algébriques] par Bernard Le Stum, [[université de Rennes 1]], 2001
* [http://www.institut.math.jussieu.fr/dea/aa/dea01-02/Galois.pdf Un cours de DEA sur la théorie de Galois] par Alain Kraus, [[université de Paris VI]], 1998

{{Palette|Théorie de Galois}}

{{portail|algèbre}}

[[Catégorie:Théorie de Galois]]
[[Catégorie:Groupe remarquable|Galois]]
[[Catégorie:Évariste Galois]]