Voir la source de Groupe de Lorentz

Le '''groupe de [[Hendrik Lorentz|Lorentz]]''' est le [[groupe (mathématiques)|groupe]] [[Mathématiques|mathématique]] constitué par l'ensemble des [[transformation de Lorentz|transformations de Lorentz]] de l'[[espace de Minkowski]].

Les formules mathématiques :
* des lois de la [[cinématique]] de la [[relativité restreinte]] ;
* des [[équations de Maxwell|équations de champ de Maxwell]] dans la théorie de [[électromagnétisme]] ;
* de l'[[équation de Dirac]] dans la théorie de l'[[électron]]
sont toutes invariantes sous les [[transformation de Lorentz|transformations de Lorentz]]. En conséquence, le groupe de Lorentz exprimerait la [[symétrie]] fondamentale de plusieurs [[lois de la nature]].

== Groupe de Lorentz restreint ==

Le '''groupe de Lorentz propre et orthochrone''' ou '''restreint''' <math>\operatorname{SO}_0(1,3)</math> est un [[sous-groupe]] du groupe orthogonal <math>\operatorname{O}(1,3)</math> qui réunit tous les [[Automorphisme orthogonal|automorphismes orthogonaux]] (applications linéaires bijectives) de l'espace vectoriel sous-jacent à l'[[espace de Minkowski]].

Il inclut deux types de symétries :
# les [[Matrice de rotation|rotations statiques de l'espace]] ;
# les [[transformations de Lorentz|transformations spéciales de Lorentz]].

Ces transformations conservent non seulement la [[forme quadratique]] <math>c^2 t^2 - x^2-y^2-z^2</math>, forme de Lorentz de signature (1,3), mais aussi l'orientation ainsi que l'origine des repères de l'espace de Minkowski.

En [[physique]], il s'agit des changements de référentiels de la [[relativité restreinte]] qui envoient un repère inertiel sur un autre, tout en conservant leur orientation aussi bien spatiale que temporelle, ainsi que l'origine du repère d'espace-temps. Ces transformations sont dites linéaires, propres et orthochrones.

<gallery  mode="packed" heights="200px" caption="Transformations génératrices du groupe de Lorentz restreint">
File:Rotation de l'espace.svg|Rotations statiques de l'espace. <br/>''Note : Il s'agit d'un pivotement d'angle <math>\theta</math> autour d'un axe passant par l'origine, et non d'un mouvement de rotation continu.''
File:Transformation spéciale de Lorentz.svg|Transformations spéciales de Lorentz (''boosts'' de Lorentz). <br/>''Note : Les transformations étant linéaires, les origines des repères sont confondues à t=t'=0.''
</gallery>

=== Définition ===

Les transformations du groupe de Lorentz sont des changements linéaires de coordonnées entre référentiels inertiels, qui transforment un [[quadrivecteur]] <math>X</math> en <math>X'</math> :

:<math>X' = \Lambda X</math>

Pour être compatibles avec les principes de la [[relativité restreinte]], ces transformations doivent préserver l'[[intervalle d'espace-temps]] <math>\Delta s^2</math> entre deux évènements. Mathématiquement, cela signifie que les matrices <math>\Lambda</math> satisfont la condition :

:<math>^t\Lambda ~\eta ~\Lambda = \eta</math>

où <math>\eta</math> est la [[métrique de Minkowski]] <math>\eta = </math>diag<math>(+1,-1,-1,-1)</math>. L'ensemble de ces matrices forme bien un groupe, car chaque transformation possède un inverse et le produit de deux transformations du groupe de Lorentz est aussi une transformation du groupe de Lorentz. De plus, le produit est associatif et il existe une transformation identité. Les transformations qui préservent l'orientation de l'espace sont dites ''propres'', et correspondent aux matrices <math>\Lambda</math>  de [[Déterminant (mathématiques)|déterminant]] positif  :
: det <math>\Lambda = +1</math> 
au contraire, les transformations telles que det <math>\Lambda = -1</math> sont dites ''impropres''. Par ailleurs, les transformations qui préservent l'orientation du temps sont dites ''orthochrones'' et satisfont :
:<math>{\Lambda^0}_{0} \ge +1</math>
Le groupe de Lorentz restreint se limite aux transformations à la fois propres et orthochrones. Le groupe de Lorentz complet s'obtient à partir du groupe de Lorentz restreint en introduisant les opérateurs discrets de [[Parité (physique)|parité]] et [[Symétrie T|renversement du temps]].

=== Propriétés ===

*  Le groupe de Lorentz restreint est un [[groupe de Lie]] à 6 paramètres (3 paramètres pour les [[Matrice de rotation|rotations]] et 3 pour les [[Transformations  de Lorentz|''boosts'']]). Toute transformation <math>\Lambda</math> se décompose de manière unique comme le produit d'un ''boost'' <math>L</math> et d'une rotation spatiale <math>R</math> :
::<math>\Lambda = L \cdot R</math>
* La composition de deux rotations spatiales donne une rotation spatiale. L'ensemble des rotations spatiales forme un sous-groupe isomorphe au [[groupe spécial orthogonal|groupe des rotations]] <math>\operatorname{SO}(3)</math>.
* La composition de deux ''boosts'' de directions différentes ne donne pas un autre ''boost'', mais est équivalent au produit d'un ''boost'' et d'une rotation (on parle alors de ''rotation de Thomas'', ou ''rotation de Wigner''). Par conséquent, l'ensemble des ''boosts'' ne forme pas un sous-groupe.
* La composition de deux ''boosts'' de même direction donne un autre ''boost'' (dans ce cas, ce sont les rapidités des deux ''boosts'' qui s'additionnent, et non leurs vitesses). L'ensemble des ''boosts'' de même direction forme un sous-groupe à un paramètre.

=== Classification des transformations ===

Le groupe de Lorentz restreint <math>\operatorname{SO}_0(1,3)</math> est [[isomorphe]] au [[Transformation de Möbius|groupe de Möbius]] <math>\mathcal M(\widehat{\Complex})</math>, ce qui correspond au [[groupe de symétrie]] des [[Transformation conforme|transformations conformes]] de la [[sphère de Riemann]]. Ses éléments, autres que l'identité, peuvent être répartis par [[Action par conjugaison|classes de conjugaison]] :

* '''Transformations elliptiques''' : Cette classe inclut les rotations du [[système de coordonnées]] suivant un axe passant par l'origine.
*:Exemple : Rotation d'angle <math>\theta</math> autour de l'axe <math>x</math>.
*::<math>\Lambda = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cos \theta & -\sin \theta \\ 0& 0 & \sin \theta & \cos \theta\end{pmatrix}</math>
* '''Transformations hyperboliques''' : Cette classe inclut les transformations spéciales de Lorentz, laissant inchangé un plan de l'espace.
*:Exemple : ''Boost'' de vitesse <math>v</math> selon l'axe <math>x</math> (avec <math>-c < v <c ~</math>), correspondant à une [[rotation hyperbolique]] <math>\psi = \operatorname{argth}(v/c)</math>.
*::<math>\Lambda = \begin{pmatrix} \cosh \psi & \sinh \psi&0&0 \\ \sinh \psi & \cosh \psi &0&0 \\ 0&0&1&0 \\ 0&0&0&1 \end{pmatrix}</math>
* '''Transformations loxodromiques'''{{sfn|Gourgoulhon|2010|loc={{chap.|6}}, {{nobr|{{abréviation discrète|sect.|section(s)}} 6.3}}, {{§|6.3.6}}|p=194, remarque}} (ou ''quadrivis'') : Transformations combinant une transformation spéciale de Lorentz de direction donnée et une rotation dans le plan qui lui est orthogonal. Elles se caractérisent par un ''angle'' et une ''rapidité''.
*:Exemple : Quadrivis combinant une rotation hyperbolique de rapidité <math>\psi</math> suivant l'axe <math>x</math> et une rotation spatiale d'angle <math>\theta</math> autour de l'axe <math>x</math>.
*::<math>\Lambda = \begin{pmatrix} \cosh \psi & \sinh \psi&0&0 \\ \sinh \psi & \cosh \psi &0&0 \\ 0 & 0 & \cos \theta & -\sin \theta \\ 0& 0 & \sin \theta & \cos \theta\end{pmatrix}</math>
* '''Transformations paraboliques'''{{sfn|Gourgoulhon|2010|loc={{chap.|6}}, {{nobr|{{abréviation discrète|sect.|section(s)}} 6.3}}, {{§|6.3.5}}|p=193, remarque}} (ou ''rotations lumière'') : Transformations laissant invariant un plan de l'[[espace de Minkowski]] tangent au [[cône de lumière]].
*:Exemple : Rotation lumière de paramètre réel <math>\alpha</math>. Un [[photon]] de [[quadri-moment]] <math>\mathbf{P} = (p,p,0,0)</math> se propageant suivant l'axe des <math>x</math> dans le sens positif n'est pas affecté par la transformation (cette direction lumière invariante est unique pour chaque rotation lumière).
*::<math>\Lambda = \begin{pmatrix} 1+2\alpha^2 & -2\alpha^2&2\alpha&0 \\ 2\alpha^2& 1-2\alpha^2 & 2\alpha&0 \\ 2\alpha & -2\alpha & 1 & 0 \\ 0& 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>

''Note : Toute transformation du groupe de Lorentz restreint est nécessairement une quadrivis ou une rotation lumière. Les autres types de transformations peuvent être vus comme des cas limites de ces dernières.

=== Lien avec le groupe {{math|SL(2, ℂ)}} ===

Le [[groupe spécial linéaire]] {{math|SL(2, ℂ)}} est le groupe de [[revêtement universel]] du groupe de Lorentz restreint <math>\operatorname{SO}_0(1,3)</math><ref group="alpha">Plus précisément, <math>\operatorname{SO}_0(1,3)</math> est isomorphe au groupe projectif spécial linéaire <math>\operatorname{PSL}(2,\mathbb{C})=\operatorname{SL}(2,\mathbb{C})/\{1\!\!1, -1\!\!1\}</math>.</ref>. Par conséquent, toute transformation de Lorentz restreinte peut être réécrite de manière condensée sous forme d'une matrice {{math|2 × 2}} complexe.

Ces matrices agissent sur l'espace de Minkowski en identifiant chaque [[évènement (espace-temps)|évènement]] <math>(t,x,y,z)</math> par une [[matrice hermitienne]] {{math|2 × 2}}. En prenant pour base les [[matrices de Pauli]] :
: <math> X = \begin{bmatrix} ct + z & x - iy \\ x + iy & ct - z \end{bmatrix}=ct 1\!\!1 +x\sigma_x +y\sigma_y+z\sigma_z, </math>

Avec cette notation, le calcul du déterminant fait apparaître la forme quadratique invariante correspondant à la pseudo-norme relativiste :
: <math> \det \, X = c^2t^2 - x^2 - y^2 - z^2,</math>

La matrice de <math>\operatorname{SL}(2,\mathbb{C})</math> associée à une transformation de Lorentz donnée agit sur cet évènement via :
: <math> X \mapsto P X P^*  ~.</math>
où <math>P^*</math> est la [[matrice adjointe]] de <math>P</math>. Cette transformation préserve bien la valeur du déterminant, et donc la structure de l'espace de Minkowski.

L'opération qui à toute matrice de <math>\operatorname{SL}(2,\mathbb{C})</math> associe une transformation de Lorentz est appelée ''application spineur'' ou ''morphisme spinoriel''.
L'intérêt de cette relation vient du fait que certaines propriétés de <math>\operatorname{SO}_0(1,3)</math> peuvent être déduites de l'étude des propriétés bien connues de <math>\operatorname{SL}(2,\mathbb{C})</math>. En particulier leurs [[algèbre de Lie|algèbres de Lie]] sont similaires, ce qui facilite l'étude des [[représentation de groupe|représentations]] du groupe de Lorentz.

{| class="wikitable" style="text-align:center;"
|+ Quelques exemples de matrices de <math>\operatorname{SL}(2,\mathbb{C})</math> et leur image dans <math>\operatorname{SO}_0(1,3)</math>
|-
!
! Rotation spatiale 
! Transf. de Lorentz spéciale
! Quadrivis
! Rotation lumière
|-
| <math>\operatorname{SL}(2,\mathbb{C})</math> || <math>\begin{pmatrix} \cos \frac{\theta}{2} & -i \sin \frac{\theta}{2} \\ -i \sin \frac{\theta}{2} & \cos \frac{\theta}{2} \end{pmatrix}</math> || <math>\begin{pmatrix} \cosh \frac{\psi}{2} & \sinh \frac{\psi}{2} \\ \sinh \frac{\psi}{2} & \cosh \frac{\psi}{2} \end{pmatrix}</math> || <math>\begin{pmatrix} \cosh \frac{\psi - i\theta}{2} & \sinh \frac{\psi - i\theta}{2} \\ \sinh \frac{\psi - i\theta}{2} & \cosh \frac{\psi - i\theta}{2} \end{pmatrix}</math> || <math>\begin{pmatrix} 1 + i\alpha & - i\alpha \\ i\alpha & 1 - i\alpha  \end{pmatrix}</math>
|-
| <math>\operatorname{SO}_0(1,3)</math> || <math>\scriptstyle\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cos \theta & -\sin \theta \\ 0& 0 & \sin \theta & \cos \theta\end{pmatrix}</math> || <math>\scriptstyle\begin{pmatrix} \cosh \psi & \sinh \psi&0&0 \\ \sinh \psi & \cosh \psi &0&0 \\ 0&0&1&0 \\ 0&0&0&1 \end{pmatrix}</math>  || <math>\scriptstyle\begin{pmatrix} \cosh \psi & \sinh \psi&0&0 \\ \sinh \psi & \cosh \psi &0&0 \\ 0 & 0 & \cos \theta & -\sin \theta \\ 0& 0 & \sin \theta & \cos \theta\end{pmatrix}</math> || <math>\scriptstyle\begin{pmatrix} 1+2\alpha^2 & -2\alpha^2&2\alpha&0 \\ 2\alpha^2& 1-2\alpha^2 & 2\alpha&0 \\ 2\alpha & -2\alpha & 1 & 0 \\ 0& 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>
|}

{{Grossir|''Note : L'application spineur est surjective. À toute transformation de Lorentz restreinte correspond une matrice de <math>\operatorname{SL}(2,\mathbb{C})</math> et son opposée (on parle de revêtement à deux feuillets).''|0.9}}

== Groupe de Lorentz complet ==
Le '''groupe de Lorentz complet'''<ref group="alpha">Le terme « complet » est ici employé au sens de « non-restreint », et non au sens [[Groupe complet|mathématique]].</ref> <math>\operatorname{O}(1,3)</math> est un [[sous-groupe]] du [[Groupe de Poincaré (transformations)|groupe de Poincaré]] complet <math>R^{1,3} \rtimes \operatorname{O}(1,3)</math> qui réunit toutes les [[Isométrie affine|isométries affines]] de l'[[espace de Minkowski]]. Le groupe de Poincaré inclut en plus les translations statiques de l'origine, il est donc parfois appelé groupe de Lorentz ''affine'' ou ''inhomogène''.

Le groupe de Lorentz homogène est un groupe linéaire fermé, c'est un [[groupe de Lie]]{{sfn|Taillet|Villain|Febvre|2018|loc={{s.v.}} groupe de Lorentz|p=349, {{col.|2}}}} [[Compacité (mathématiques)|non-compact]]{{sfn|Taillet|Villain|Febvre|2018|loc={{s.v.}} groupe de Lorentz|p=349, {{col.|2}}}}{{,}}{{sfn|Choquet-Bruhat|1968|loc={{chap.|{{III}}}}|p=98}} et [[Connexité (mathématiques)|non-connexe]]{{sfn|Taillet|Villain|Febvre|2018|loc={{s.v.}} groupe de Lorentz|p=349, {{col.|2}}}}{{,}}{{sfn|Choquet-Bruhat|1968|loc={{chap.|{{III}}}}|p=98}}, de {{nobr|dimension 6}}{{sfn|Gourgoulhon|2010|loc={{chap.|7}}, {{nobr|{{abréviation discrète|sect.|section(s)}} 7.1}}, {{§|7.1.2}}|p=224}}. Contrairement au groupe de Lorentz restreint, le temps peut être renversé ([[Symétrie T]]), ainsi que les coordonnées d'espace ([[Parité (physique)|Parité]]). Ces symétries supplémentaires mènent notamment à des applications en [[mécanique quantique]].

== Représentations du groupe de Lorentz ==

{{Article détaillé|contenu=Article détaillé : {{lien|langue=en|trad=Representation theory of the Lorentz group|fr=Théorie des représentations du groupe de Lorentz}}.}}

[[File:Lorentz boost electric charge.svg|300px|thumb|Transformation de Lorentz pour une charge électrique. La charge est au repos dans un référentiel mais pas dans l'autre.]]

Les transformations du groupe de Lorentz sont représentées par des matrices {{math|4 × 4}} agissant sur des [[quadrivecteur|quadrivecteurs]]. On peut cependant souhaiter appliquer ces transformations à des objets de nature différente, tels que des [[scalaire (physique)|scalaires]] (masse, [[temps propre]], [[intervalle d'espace-temps]]...), des [[tenseur (mathématiques)|tenseurs]] (champ électromagnétique) ou encore des [[spineur|spineurs]]. On devra alors utiliser une [[Représentation de groupe|représentation]] du groupe de Lorentz adaptée.

Ainsi, pour un objet <math>F</math> quelconque (rapporté à un vecteur de dimension <math>n</math>), les changements de coordonnées s'écrivent :
:<math>F' = \Pi(\Lambda) F</math>
où <math>\Pi</math> est une représentation du groupe qui décrit les transformations <math>\Lambda</math> sous forme de matrices <math>n \times n</math>.
La quantité <math>F</math> est dite [[covariance de Lorentz|covariante]].


''Exemples'' :
* Prenons une quantité scalaire telle que la [[Masse au repos|masse propre]] d'un corps. Cette quantité étant invariante par changement de référentiel, la représentation associée est la représentation triviale (autrement dit <math>\Pi(\Lambda) \equiv 1</math>).

* La [[Transformations de Lorentz du champ électromagnétique|transformation du champ électromagnétique]] nécessite aussi d'utiliser une représentation adaptée du groupe de Lorentz. En relativité restreinte, les champs électrique et magnétique ne peuvent en effet être considérés comme deux objets physiques séparés. Il n'est pas possible d'appliquer de manière naïve les transformations de Lorentz au champ électrique puis au champ magnétique de manière indépendante : le champ électromagnétique doit être vu comme un unique tenseur doté de six composantes indépendantes. Le groupe de Lorentz peut ainsi être représenté par des matrices <math>6 \times 6</math> agissant sur un vecteur champ à 6 dimensions :

::<math> F' = \begin{bmatrix} {E'}^{1}_{} \\ {E'}^{2}_{} \\ {E'}^{3}_{} \\ {B'}^{1}_{} \\ {B'}^{2}_{} \\ {B'}^{3}_{}  \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \Pi(\Lambda)^{0}_{0}&\Pi(\Lambda)^{0}_{1}&\Pi(\Lambda)^{0}_{2}&\Pi(\Lambda)^{0}_{3}&\Pi(\Lambda)^{0}_{4}&\Pi(\Lambda)^{0}_{5}\\ \Pi(\Lambda)^{1}_{0}&\Pi(\Lambda)^{1}_{1}&\Pi(\Lambda)^{1}_{2}&\Pi(\Lambda)^{1}_{3}&\Pi(\Lambda)^{1}_{4}&\Pi(\Lambda)^{1}_{5} \\ \Pi(\Lambda)^{2}_{0}&\Pi(\Lambda)^{2}_{1}&\Pi(\Lambda)^{2}_{2}&\Pi(\Lambda)^{2}_{3}&\Pi(\Lambda)^{2}_{4}&\Pi(\Lambda)^{2}_{5} \\ \Pi(\Lambda)^{3}_{0}&\Pi(\Lambda)^{3}_{1}&\Pi(\Lambda)^{3}_{2}&\Pi(\Lambda)^{3}_{3}&\Pi(\Lambda)^{3}_{4}&\Pi(\Lambda)^{3}_{5} \\ \Pi(\Lambda)^{4}_{0}&\Pi(\Lambda)^{4}_{1}&\Pi(\Lambda)^{4}_{2}&\Pi(\Lambda)^{4}_{3}&\Pi(\Lambda)^{4}_{4}&\Pi(\Lambda)^{4}_{5} \\ \Pi(\Lambda)^{5}_{0}&\Pi(\Lambda)^{5}_{1}&\Pi(\Lambda)^{5}_{2}&\Pi(\Lambda)^{5}_{3}&\Pi(\Lambda)^{5}_{4}&\Pi(\Lambda)^{5}_{5}  \end{bmatrix} \begin{bmatrix} {E}^{1}_{} \\ {E}^{2}_{} \\ {E}^{3}_{} \\ {B}^{1}_{} \\ {B}^{2}_{} \\ {B}^{3}_{} \end{bmatrix}</math>

:''Note :  En pratique, le champ électromagnétique est généralement plutôt exprimé sous [[Tenseur électromagnétique|forme tensorielle]], avec : <math>F^{\mu'\nu'} = {\Lambda^{\mu'}}_\mu {\Lambda^{\nu'}}_\nu F^{\mu\nu}.</math>''

* Les [[spineur|bispineurs]] intervenant dans l'[[équation de Dirac]] sont des vecteurs de nombres complexes à 4 composantes. Les matrices <math>4 \times 4</math> originelles du groupe de Lorentz sont cependant inappropriées, même en se restreignant aux rotations. Une représentation spinorielle <math>4 \times 4</math> des transformations de Lorentz est donc nécessaire.

== Généralisation en dimension supérieure ==

Le concept du groupe de Lorentz se généralise naturellement à un espace-temps doté d'un nombre quelconque de dimensions. Mathématiquement, le groupe de Lorentz d'un espace de Minkowski à <math>n+1</math> dimensions est le groupe <math>\operatorname{O}(1,n)</math> (ou <math>\operatorname{O}(n,1)</math>) des transformations linéaires de <math>\mathbb{R}^{n+1}</math> qui préservent la forme quadratique :
:<math>(x_0,x_1,\cdots,x_n) \mapsto (x_0)^2-(x_1)^2- \cdots - (x_n)^2</math>

La plupart des propriétés du groupe de Lorentz à quatre dimensions (n = 3) se généralisent pour des valeurs de n arbitraires. Les cas n = 1 et n = 2 servent principalement de modèles d'étude simplifiés pour le cas physique n = 3. Les cas de plus grande dimension sont utilisés dans des théories physiques qui postulent l'existence de dimensions cachées, comme la [[théorie des cordes]], et dans certains modèles cosmologiques tels que l'[[univers de de Sitter]].

== Notes et références ==
===Notes===
{{Références|groupe=alpha}}
===Références===
{{Références}}

== Voir aussi ==

=== Bibliographie ===
* F. Paulin, ''Introduction aux groupes de Lie pour la physique'', notes de cours, 2nd cycle, 2016 ([https://epdf.tips/groupes-de-lie-une-intro.html lire en ligne])
* {{Ouvrage | langue=fr | prénom=Éric | nom=Gourgoulhon | lien auteur=Éric Gourgoulhon | préface=de [[Thibault Damour]] | titre=Relativité restreinte | sous-titre=des particules à l'astrophysique | lieu=Les Ulis et Paris | éditeur=[[EDP Sciences]] et [[CNRS Éditions|CNRS]] | collection=Savoirs actuels | série=physique | date=05/2010 | numéro d'édition=1 | pages totales={{unité|1|{{abréviation discrète|vol.|volume(s)}}}}, {{XXVI}}-776 | format livre={{abréviation discrète|fig.|figure(s)}}, {{dunité|15,5|23|cm}} | isbn10=2-7598-0067-9 | isbn1=978-2-7598-0067-4 | ean=9782759800674 | oclc=690639994 | bnf=414117131 | sudoc=14466514X | présentation en ligne=https://laboutique.edpsciences.fr/produit/5/9782759809233 | lire en ligne={{Google Livres|id=aHCY6CaHtWsC}} | consulté le=18 avril 2021 |  libellé=Gourgoulhon 2010}}.
* {{Ouvrage | langue=fr | prénom=Yvonne | nom=Choquet-Bruhat | lien auteur=Yvonne Choquet-Bruhat | préface=d'[[André Lichnerowicz]] | titre=Géométrie différentielle et systèmes extérieurs | lieu=Paris | éditeur=[[Éditions Dunod|Dunod]] | collection=Monographies universitaires de mathématiques | numéro dans collection=28 | année=1968 | numéro d'édition=1 | pages totales={{unité|1|{{abréviation discrète|vol.|volume(s)}}}}, {{XVII}}-328 | format livre={{abréviation discrète|ill.|illustration(s)}} et {{abréviation discrète|fig.|figure(s)}}, {{abréviation discrète|gr. in-8{{o}}|grand in-octavo}}, {{abréviation discrète|br.|broché}} | oclc=301353407 | bnf=32950431m | sudoc=006192696 | lire en ligne={{Google Livres|id=SREZAQAAIAAJ}} | consulté le=17 avril 2021 | libellé=Choquet-Bruhat 1968}}.
* {{Ouvrage | langue=fr | prénom1=Richard | nom1=Taillet | prénom2=Loïc | nom2=Villain | prénom3=Pascal | nom3=Febvre | titre=Dictionnaire de physique | lieu=Louvain-la-Neuve | éditeur=[[Groupe De Boeck|De Boeck Supérieur]], hors {{coll.}} / sciences | mois={{date-|janvier|compact=oui}} | année=2018 | numéro d'édition=4 | année première édition={{date-|mai 2008}} | pages totales={{unité|1|{{abréviation discrète|vol.|volume(s)}}}}, {{X}}-956 | format livre={{abréviation discrète|ill.|illustration(s)}}, {{abréviation discrète|fig.|figure(s)}}, {{abréviation discrète|tabl.|table(s)}} et index, {{dunité|17|24|cm}}, {{abréviation discrète|br.|broché}} | isbn10=2-8073-0744-2 | isbn1=978-2-8073-0744-5 | ean=9782807307445 | oclc=1022951339 | bnf=456469019 | sudoc=224228161 | présentation en ligne=https://www.deboecksuperieur.com/ouvrage/9782807307445-dictionnaire-de-physique | lire en ligne={{Google Livres|id=pjlFDwAAQBAJ}} | consulté le=15 avril 2021 | partie={{s.v.}} groupe de Lorentz | passage=349 | libellé=Taillet, Villain et Febvre 2018}}.

=== Articles connexes ===
* [[Groupe de Poincaré]]
* [[Relativité restreinte]]
* [[Covariance de Lorentz]]
* [[Invariance de Lorentz]]
* [[Équations de Maxwell]]

=== Liens externes ===
* {{Dictionnaires}}
* {{Autorité | BNF=121229736 | LCCN=sh85078396 | SUDOC=029649374}}

{{Portail|mathématiques|physique}}

[[Catégorie:Relativité]]