Voir la source de Groupe des classes d'idéaux

En [[mathématiques]], et plus précisément en [[algèbre]], la théorie des [[corps de nombres]] — les [[extension finie|extensions finies]] du [[Corps commutatif|corps]] ℚ des [[Nombre rationnel|rationnels]], — fait apparaître un [[groupe abélien fini]] construit à partir de chacun de ces corps : son '''groupe des classes d'idéaux'''.

== Histoire et origine du groupe des classes d'idéaux ==
Les premiers groupes de classes rencontrés en algèbre furent des groupes de classes de [[forme quadratique|formes quadratiques]] : dans le cas des [[Forme quadratique binaire|formes quadratiques binaires]], dont l'étude a été faite par [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]], une [[loi de composition]] est définie sur certaines classes d'équivalence de formes. On obtient ainsi un groupe abélien fini.

Plus tard au {{s-|XIX|e}}, [[Ernst Kummer|Kummer]] travailla à une théorie des 

[[Extension cyclotomique|corps cyclotomiques]]. Il comprit alors qu'il y avait une bonne raison pour que les tentatives de donner une démonstration complète du cas général du [[dernier théorème de Fermat]] par de simples méthodes de factorisation utilisant les [[racine de l'unité|racines de l'unité]] échouent : l'absence, en général, d'une [[théorème fondamental de l'arithmétique|décomposition en facteurs premiers]] dans l'[[Sous-anneau#Sous-anneau engendré par un ensemble|anneau engendré]] par une [[racine de l'unité]], était un obstacle majeur. La première étude de cette obstruction à la [[Anneau factoriel|factorialité]] se trouve dans le travail de Kummer. L'obstruction obtenue par Kummer est, en langage contemporain, une partie du groupe des classes d'idéaux : en fait, Kummer a isolé la ''p''-[[Torsion (algèbre)|torsion]] dans ce groupe, pour le corps, dit cyclotomique, engendré par une racine primitive ''p''-ième de l'unité, pour tout [[nombre premier]] ''p'', et l'a identifiée comme la raison de l'échec des tentatives classiques de résolution du problème de Fermat (voir [[nombre premier régulier]]).

[[Richard Dedekind|Dedekind]] formula ensuite le nouveau concept d'[[idéal]]. Ce langage donnait un cadre pour l'unification des divers exemples étudiés notamment par Kummer. Il fut montré que l'anneau des [[entier algébrique|entiers algébriques]] d'un corps de nombres, qui n'est pas toujours factoriel (et ''a fortiori'' pas [[anneau principal|principal]]), possède cependant la propriété que dans cet anneau (intègre), tout idéal non nul est produit d'[[idéal premier|idéaux premiers]] (c'est-à-dire que c'est un [[anneau de Dedekind]]). Cette propriété est analysée dans l'article « [[Idéal fractionnaire]] ». Le monoïde des classes d'idéaux est un outil théorique pour étudier la question : quels idéaux sont des [[idéal principal|idéaux principaux]] ? C'est un groupe si l'anneau est de Dedekind, et même un [[#Théorèmes|groupe fini dans le cas des corps de nombres]].

== Développement technique ==
{{Théorème|Définition|2=
Le [[monoïde]] des classes d'un [[anneau commutatif]] [[anneau intègre|intègre]] ''A'' est le [[Relation d'équivalence#Structure quotient|quotient]] du monoïde des idéaux non nuls de ''A'' — ou, ce qui donne le même quotient, de ses [[Idéal fractionnaire|idéaux fractionnaires]] non nuls — (muni de la [[Idéal#Produit d'idéaux|multiplication]], avec ''A'' comme [[élément neutre]]) par la [[relation d'équivalence]]
<center>''I'' ~ ''J'' lorsqu'il existe dans ''A'' des éléments non nuls ''a'' et ''b'' tels que ''aI = bJ''.</center>
}}
On démontre — voir « [[Idéal fractionnaire]] » — que ce monoïde (commutatif) est un [[Groupe abélien|groupe (commutatif)]] si et seulement si ''A'' est un [[anneau de Dedekind]] (comme l'anneau ''O{{ind|K}}'' des entiers algébriques d'un corps de nombres ''K''). On l'appelle alors le groupe des classes d'idéaux de ''A''. En particulier, le monoïde est [[Groupe trivial|trivial]] (c'est-à-dire réduit au neutre) si et seulement si ''A'' est principal.

En ce sens, le monoïde des classes mesure le défaut de principalité de ''A'' et ''a fortiori'' un défaut de factorialité (tout anneau principal est factoriel, et la réciproque est vraie pour un anneau de Dedekind, cf. [[Anneau principal#Anneau de Dedekind|§ « Anneau de Dedekind » de l'article « Anneau principal »]]). Principalité et factorialité sont des propriétés de l'anneau ℤ des [[entier relatif|entiers relatifs]] ; le groupe des classes donne une première indication sur l'éloignement entre l'arithmétique de cet anneau et celle des anneaux d'entiers algébriques.

Tout groupe abélien est le groupe des classes d'un anneau de Dedekind<ref>{{Article|lang=en|auteur=Luther Claborn|titre=Every abelian group is a class group|url=https://projecteuclid.org/euclid.pjm/1102994263|revue=[[Liste des journaux scientifiques en mathématiques#P|Pacific J. Math.]]|vol=18|numéro=2|année=1966|p.=219–222|doi=10.2140/pjm.1966.18.219}}.</ref>. Le nombre d'éléments du groupe des classes d'idéaux (appelé '''nombre de classes''' de ''A'') peut donc être infini en général. Cependant, si ''A'' est un anneau d'entiers algébriques inclus dans une [[extension finie]] de ℚ, un théorème affirme que ce nombre est ''toujours'' fini. C'est un des principaux résultats de la théorie algébrique classique des nombres. Le calcul effectif du groupe des classes est complexe. En général, il peut être fait à la main pour les [[corps de nombres]] de petit [[forme trace|discriminant]], en utilisant les propriétés géométriques de l'anneau. Ce résultat donne l'existence d'une borne telle que dans chaque classe d'idéaux, il existe un représentant, un certain idéal, dont la [[Norme (théorie des corps)#Théorie algébrique des nombres|norme]] est un entier plus petit que cette borne. Sachant qu'il n'existe qu'un nombre fini d'idéaux de norme donnée, il ne reste plus qu'un nombre fini de combinaisons à tester. Souvent, la borne n'est pas assez fine pour rendre le calcul praticable à la main dans un corps dont le discriminant est grand ; mais les [[ordinateur]]s suppléent efficacement le mathématicien dans cette tâche.

Pour continuer à étudier l'arithmétique des anneaux d'entiers algébriques, il faut introduire un autre groupe : le groupe des éléments inversibles, appelé [[groupe des unités]] ; dans le cas des entiers relatifs, ce groupe est réduit à 1 et –1. Quelles nouvelles unités trouve-t-on dans les autres anneaux ? L'existence de nouvelles unités est une autre obstruction à ce que l'arithmétique des anneaux d'entiers algébriques soit semblable à celle de ℤ.

Ces deux obstructions, groupe des classes et groupe des unités, peuvent être liées comme suit : définissons une application de ''K''\{0} vers l'ensemble de tous les idéaux fractionnaires non nuls de ''A'' en envoyant chaque élément du corps vers l'idéal (fractionnaire) principal qu'il engendre. Ceci est un [[morphisme de groupes]] ; son [[noyau (algèbre)|noyau]] est le groupe des unités de ''A'', et son conoyau est le groupe des classes d'idéaux de ''A''. La non-trivialité de ces groupes, qui mesure la distance entre l'arithmétique de ''A'' et celle de ℤ, est précisément le défaut d'[[Isomorphisme de groupes|isomorphie]] de l'application.

L'association à un anneau d'entiers de son groupe des classes est fonctorielle, et le groupe de classes peut être interprété en termes de [[K-théorie|K-théorie algébrique]] : K<sub>0</sub>(''A'') est le [[foncteur]] assignant à ''A'' son groupe des classes d'idéaux ; plus précisément, ''K''<sub>0</sub>(''A'') = ℤ × ''C''(''A''), où ''C''(''A'') est le groupe de classes. Les groupes K<sub>''n''</sub> pour ''n'' plus élevé peuvent aussi être employés et interprétés arithmétiquement en relation avec les anneaux des entiers.

== Exemples de groupes des classes d'idéaux ==
{{Article détaillé|Entier quadratique}}
Les anneaux dont le groupe des classes est trivial sont les anneaux principaux.
*Les [[Anneau euclidien|anneaux euclidens]] en font partie, comme l'anneau ℤ des entiers relatifs ou certains [[entier quadratique|anneaux d'entiers]] de [[Extension quadratique|corps quadratiques]] : ℤ[{{math|i}}] ([[entier de Gauss|entiers de Gauss]], {{math|i}} désignant l'[[unité imaginaire]]), ℤ[{{math|j}}] ([[entier d'Eisenstein|entiers d'Eisenstein]], {{math|j}} désignant une [[Racine de l'unité#Exemples|racine cubique primitive de l'unité]]), ℤ[(1 + {{racine|5}})/2] (l'[[Anneau des entiers de Q(√5)|anneau des entiers de ℚ({{racine|5}})]]).
*Le [[théorème de Stark-Heegner]] confirme la liste, initialement conjecturée par Gauss, des neuf seuls anneaux d'entiers de [[corps quadratique imaginaire|corps quadratiques imaginaires]] qui sont principaux (ce résultat est un cas particulier du [[Problème du nombre de classes pour les corps quadratiques imaginaires|problème du nombre de classes]]).

La configuration générale du groupe des classes de l'anneau des entiers d'un corps quadratique est étudiée [[Idéal de l'anneau des entiers d'un corps quadratique#Groupe des classes|dans l'article « Idéal de l'anneau des entiers d'un corps quadratique »]].

Le groupe des classes de l'anneau des entiers d'un corps de nombres est d'ordre 1 ou 2 si et seulement si cet anneau est [[Anneau atomique#Cas particuliers|semi-factoriel]]<ref>{{Article|lang=en|auteur=[[Leonard Carlitz|L. Carlitz]]|titre=A characterization of algebraic number fields with class number two|revue=[[Proceedings of the American Mathematical Society|Proc. Amer.Math. Soc.]]|vol=11|date=1960|p.=391-392|doi=10.1090/S0002-9939-1960-0111741-2}}.</ref>, c'est-à-dire si pour tout élément non nul de l'anneau, toutes les factorisations de cet élément en produit d'irréductibles ont la même longueur.

{{refnec|date=février 2015|Le [[monoïde]] des classes d'idéaux de l'[[Polynôme en plusieurs indéterminées|anneau de polynômes]] ''K''[''X''{{ind|0}}, ''X''{{ind|1}}, ''X''{{ind|2}}, …] sur un corps ''K'' est [[ensemble dénombrable|dénombrable]].}}

== Principe de la méthode ==
{{Article détaillé|Idéal de l'anneau des entiers d'un corps quadratique}}
=== Recherche d'un point de ''petite'' norme dans un idéal ===
[[Fichier:Groupe des classes cas complexe.jpg|thumb|Cette figure illustre la recherche d'un entier algébrique μ non nul d'un idéal. L'objectif est de choisir μ de [[Norme (théorie des corps)|norme]] la plus petite possible.]]
L'objectif principal est de montrer que le ''groupe des classes d'un corps de nombres K'' — c'est-à-dire, par définition, le groupe des classes de l'anneau ''O<sub>K</sub>'' de ses entiers algébriques — est fini. La méthode consiste à montrer l'existence d'une constante ''c'' telle que chaque classe contient un idéal de [[Norme (théorie des corps)#Théorie algébrique des nombres|norme]] plus petite que ''c''. Pour ce faire, on considère un idéal ''M'' non nul et l'on cherche dans ''M'' un élément μ de plus petite norme possible, en valeur absolue.

La méthode consiste à considérer ''O<sub>K</sub>'' comme un groupe additif. Si ''d'' est le degré de l'extension ''K'' sur ℚ, alors ce groupe est isomorphe à un [[Réseau (géométrie)|réseau]] de ℝ<sup>''d''</sup>, c'est-à-dire à un groupe additif composé des vecteurs à coordonnées dans ℤ dans une base de ℝ<sup>''d''</sup>.

L'approche choisie ici<ref>Pour une démonstration beaucoup plus simple, voir par exemple {{Lien web|lang=en|url=http://empslocal.ex.ac.uk/people/staff/rjchapma/notes/ant.pdf|auteur=Robin Chapman|titre=Algebraic Number Theory, summary of notes|mois=5|année=2000}} {{p.|41-42}} ou {{Lien web|lang=en|url=http://empslocal.ex.ac.uk/people/staff/rjchapma/notes/ant2.pdf|titre=Version 2005}}, {{p.|42-43}}.</ref> se fonde sur l'usage d'outils géométriques ; on parle de [[géométrie arithmétique]]. Le [[théorème de Minkowski]] indique que tout [[Ensemble convexe|convexe]] [[Compacité (mathématiques)|compact]], symétrique par rapport au [[vecteur nul]], de volume supérieur ou égal à 2<sup>''d''</sup> fois le [[Réseau (géométrie)|volume fondamental]] du réseau, contient au moins deux points non nuls du réseau. Le volume fondamental est celui du [[parallélépipède]] formé des vecteurs de coordonnées comprises entre 0 et 1 dans la base définissant le réseau. Cette technique est illustrée par la figure de droite. Le corps considéré est construit à partir des entiers du ℚ[{{racine|–17}}], le réseau est l'image de l'anneau par le morphisme de groupes qui à 1 associe (1, 0) et à ω, ici égal à {{racine|–17}}, associe (0, {{racine|17}}). L'idéal est celui des multiples de 2 dans ''O<sub>K</sub>''. Le volume fondamental de l'idéal correspond à la surface du rectangle illustré en rouge, il est égal à 4{{racine|17}}, le disque vert possède une surface égale à 4 fois le volume fondamental, à savoir 16{{racine|17}}. Le disque vert, d'après le théorème de Minkowski, contient au moins un point non nul μ de l'idéal, par exemple 4.

[[Fichier:Groupe des classes cas réel 2.jpg|thumb|left|Cette figure illustre le choix de la norme dans le cas d'un corps totalement réel.]]
L'objectif est d'obtenir un entier algébrique de [[Norme (théorie des corps)|norme au sens arithmétique]] aussi petite que possible. Dans le cas où ''d'' est égal à 2, et si le corps n'est pas [[corps totalement réel|totalement réel]], c'est-à-dire s'il est engendré par une racine négative, il est toujours possible de choisir une norme géométrique (celle utilisée pour le théorème de Minkowski) dont le carré est égal à la norme arithmétique. Ici, la norme arithmétique de l'entier algébrique μ est égale à 4<sup>2</sup> + 0 × 17&nbsp;=&nbsp;16. La surface du disque vert est égale à 64{{racine|17}} et donc le carré du rayon approximativement à 5,25. On sait donc qu'il existe un entier algébrique μ dans l'idéal ''M'' de norme arithmétique inférieure ou égale à 5, car la norme d'un entier algébrique est entière.

La démarche est analogue si le corps est [[corps totalement réel|totalement réel]]. Cependant, si ''d'' est égal à 2 et si la racine concerne un [[Entier naturel|entier strictement positif]] (qui engendre un corps totalement réel), le choix du réseau précédent n'est plus opérationnel car la norme arithmétique s'exprime maintenant comme une [[différence de deux carrés]]. La technique utilisée consiste à associer à la base canonique de l'anneau (1, ω) les points (1, 1) et (ω, ω<sub>c</sub>) où ω<sub>c</sub> désigne le conjugué de ω. La figure de gauche illustre le cas où le corps ''K'' est ℚ[{{racine|17}}], ω est égal à (1 + {{racine|17}})/2 et son conjugué à (1 – {{racine|17}})/2. L'anneau est composé des nombres de la forme ''a'' + ''b''ω, avec ''a'' et ''b'' éléments de ℤ. Cet anneau est étudié dans l'article [[entier quadratique]]. Les points représentent les images de l'anneau dans le réseau, les points rouges représentent les images de l'idéal ''M'' des multiples de 2 dans l'anneau.

Dans le réseau choisi, la norme arithmétique d'un point correspond au produit de ses deux coordonnées, car la norme d'un entier quadratique α est égale à α.α<sub>c</sub> (cf. l'article « [[Norme (théorie des corps)]] »). La zone des points de norme arithmétique inférieure, en valeur absolue, à une constante donnée, choisie égale à 4 sur la figure, est représentée en bleu. On remarque que cette zone ne peut correspondre ni à une [[Boule (mathématiques)|boule]] pour une distance donnée, ni à une surface utilisable pour le théorème de Minkowski, elle n'est en effet pas convexe. Le convexe qui ''couvre'' au mieux la surface bleue est le carré vert de la figure. Il correspond à la distance qui, à (''x'', ''y''), associe |''x''| + |''y''|. Une majoration de la norme géométrique fournit simplement une majoration de la norme arithmétique, en effet, si (α, α<sub>c</sub>) sont les coordonnées de l'image d'un nombre de l'idéal et si ''N''(α) désigne la norme arithmétique de α et ||.|| la norme géométrique définie plus haut :
<center><math>|\mathcal N (\alpha)| = |\alpha\cdot\alpha_c| = \frac 14 \Big((|\alpha| + |\alpha_c|)^2 - (|\alpha| - |\alpha_c|)^2\Big)\le \frac 14 \|\alpha\|^2.
</math></center>

On peut appliquer la même démarche que celle du cas précédent, on considère le disque de surface 4 fois celle du volume fondamental de l'idéal, c'est-à-dire dont le rayon au carré est égale à 2 fois le volume fondamental. Ce disque contient un point μ non nul de l'idéal ''M'' dont le carré de la norme géométrique est inférieur au double du volume fondamental, sa norme arithmétique est inférieure à la moitié du volume fondamental.

=== Usage du point de petite norme ===
On considère une classe ''C'' du groupe des classes, on va montrer qu'elle contient un représentant de norme inférieure à une constante ''c''. Cette classe possède un inverse pour la loi du groupe, soit ''M'' un idéal élément de cet inverse. Le paragraphe précédent montre qu'il est possible de choisir un entier algébrique non nul μ, de ''petite'' norme arithmétique et dans ''M''. L'idéal principal ''P'' engendré par μ est inclus dans ''M'', ce qui montre que ''N''&nbsp;=&nbsp;''P.M''{{-1}} est un idéal. L'idéal ''P'' est principal, il est donc dans la classe de l'élément neutre, et ''N'' est dans la classe inverse de celle de ''M'', donc dans  ''C''. La norme de ''N'' est égale à celle de ''P'' divisée par celle de ''M'' ; cette multiplicativité de la norme des idéaux est montrée dans l'article « [[Norme (théorie des corps)]] ».

Vu la manière dont on a construit μ, il apparaît une constante ''c'' indépendante de l'idéal ''M'' telle que la norme de ''P'' soit inférieure à ''c'' fois la norme de ''M''. On a construit un idéal ''N'' dans la classe ''C'' de norme inférieure à ''c''. Comme il n'existe qu'un [[ensemble fini]] d'idéaux de norme donnée, on a montré que le groupe des classes est fini.

Le travail pour établir la démonstration de manière rigoureuse consiste à définir l'application qui relie l'anneau à un réseau de ℝ<sup>''d''</sup>, de construire une norme géométrique adéquate, qui tienne compte des deux configurations précédentes, de mesurer le volume d'une boule de rayon ''r'' pour cette norme, en vue d'appliquer le théorème de Minkowski. Puis il suffit de trouver une majoration adéquate de la norme arithmétique d'un entier algébrique dont l'image est dans la boule, et de conclure, guidé par le principe énoncé dans ce paragraphe. L'article détaillé contient une version plus simple de cette démonstration, car limitée à la dimension 2.

== Démonstrations ==
=== Décors ===
{{Article détaillé|Idéal fractionnaire}}
[[Fichier:Groupe des classes cas réel 3.jpg|thumb|Le cas illustré est celui où ''K'' = ℚ[{{racine|17}}]. La figure représente ''K''<sub>R</sub>. Ici ''r''<sub>1</sub> est égal à 2 et ''r''<sub>2</sub> à 0. Les points gris sont les images de l'anneau des entiers par Σ. Ils sont tous combinaisons linéaires à coefficients entiers des images de 1 et ω&nbsp;=&nbsp;1/2(1&nbsp;+&nbsp;{{racine|17}}). La zone bleue est celle contenant les points d'image inférieure à 4 par ''N''<sub>R</sub>.]]

Ici, ''K'' désigne une [[extension finie]] de ℚ de degré ''d'' et ℂ le corps des [[Nombre complexe|nombres complexes]]. L'anneau ''O<sub>K</sub>'' des [[entier algébrique|entiers algébriques]] contenus dans ''K'' est un [[anneau de Dedekind]] et tout idéal se décompose de manière unique en un produit d'idéaux premiers. Ce résultat s'obtient en adjoignant des idéaux alors appelés fractionnaires, pour obtenir une structure de groupe. Ces propriétés sont analysées dans l'article détaillé.

''K'' admet un [[théorème de l'élément primitif|élément primitif]] noté ici ζ, c'est-à-dire un nombre tel que tout élément de ''K'' s'exprime comme [[combinaison linéaire]] des puissances de ζ, à coefficients dans ℚ. Son [[polynôme minimal d'un nombre algébrique|polynôme minimal]] ''P''(''X'') est par définition irréductible. Dans ce contexte, ''K'' est le [[corps de rupture]] de ζ, ce qui signifie que l'on peut considérer ''K'' comme le quotient de l'anneau des [[polynôme formel|polynôme]]s ℚ[''X''] par l'[[idéal maximal]] engendré par ''P''(''X''). L'élément ζ est alors exactement égal à la classe de ''X'' dans ''K''. Le polynôme ''P''(''X'') n'admet pas de racine multiple car il est irréductible (''cf [[corps parfait]]''). Considéré comme un polynôme à valeurs dans ℂ, ''P''(''X'') admet ''d'' différentes racines si ''d'' est la dimension de ''K'', ou encore le degré de ''P''(''X''). Il existe ''d'' plongements de ''K'' dans ℂ, le terme [[plongement]] désigne ici un morphisme de corps, nécessairement injectif. Chaque plongement associe à ζ une racine du polynôme ''P''(''X''). Si, par exemple le polynôme ''P''(''X'') est égal à {{nobr|''X''<sup>3</sup> – 2}}, alors les différentes images possibles de ζ sont 2<sup>1/3</sup>, 2<sup>1/3</sup>{{math|j}} et son [[conjugué]] {{surligner|2<sup>1/3</sup>{{math|j}}}}, où {{math|j}} désigne la racine cubique de l'unité à composante imaginaire strictement positive. On note σ<sub>1</sub>, … , σ<sub>''d''</sub> les ''d'' différents plongements de ''K'' dans ℂ.

Il est déjà possible de remarquer que ces plongements ne sont pas tous de même nature. Si l'image de ζ est réelle, alors le plongement est à valeurs dans ℝ. Si elle est complexe alors il existe un autre plongement qui associe à ζ le complexe conjugué. La nature de ses plongements modifie le comportement de la norme, si le plongement est à valeurs complexes, on se retrouve dans une configuration analogue au premier cas étudié dans le paragraphe ''Principe de la méthode''. S'il est à valeurs réelles, c'est le deuxième cas.

Comme pour chaque plongement à valeurs complexes l'application conjuguée est aussi un plongement, le nombre de plongements complexes est pair. On note ''r''<sub>1</sub> le nombre de plongements réels et 2''r''<sub>2</sub> le nombre de plongements complexes non réels. On ordonne l'indexation des plongements de la manière suivante : si ''i'' varie entre 1 et ''r''<sub>1</sub>, le plongement est réel, puis, le plongement d'indice ''r''<sub>1</sub> + ''j'' si ''j'' varie de 1 à ''r''<sub>2</sub> possède comme conjugué ''r''<sub>1</sub> + ''r''<sub>2</sub> + ''j''.

L'ensemble ''K''<sub>ℝ</sub> désigne l'espace vectoriel ℝ<sup>''r''<sub>1</sub></sup> × ℂ<sup>''r''<sub>2</sub></sup> et Σ le morphisme de ℚ-[[algèbre associative sur un corps|algèbres]] suivant :
<center><math>\begin{matrix}\Sigma:&K&\longrightarrow&K_\R&\\&\alpha&\mapsto&\Sigma(\alpha)&=\big(\sigma_1(\alpha),\cdots,\sigma_{r_1+r_2}(\alpha)\big).\end{matrix}</math></center>

On définit aussi une fonction ''N''<sub>ℝ</sub>, de ''K''<sub>ℝ</sub> dans ℝ, par :
<center><math>\begin{matrix}\mathcal N_\R:&K_\R&\longrightarrow&\R&\\&x=(x_1,\cdots,x_{r_1 + r_2})&\mapsto&\mathcal N_\R(x)&=|x_1|\cdot \; \cdots \; \cdot |x_{r_1}|\cdot|x_{r_1+1}|^2\cdot \;\cdots \; \cdot |x_{r_1+r_2}|^2,\end{matrix}</math></center>
où {{math|{{!}}''x{{ind|k}}''{{!}}}} désigne la [[valeur absolue]] de {{math|''x{{ind|k}}''}} ou son [[module d'un nombre complexe|module]], selon que la coordonnée {{math|''x{{ind|k}}''}} est réelle ou complexe.

Si ''N''<sub>''K''/ℚ</sub> désigne la fonction qui à un élément α de ''K'' associe sa [[Norme (théorie des corps)|norme relative]] élément de ℚ, on obtient le [[diagramme commutatif]] :
<center><math>\begin{matrix}&K&\xrightarrow{\Sigma}&K_\R\\\mathcal N_{K/\Q}&\downarrow&&\downarrow&\mathcal N_\R\\&\Q&\xrightarrow{|\cdot |}&\R\end{matrix}</math></center>

En effet, la norme arithmétique d'un élément de ''K'' est égale au [[coefficient constant]] de son polynôme minimal, autrement dit au produit de toutes les racines de son polynôme minimal, s'il est considéré comme à valeurs complexes. On munit ''K''<sub>ℝ</sub> de la [[Norme (mathématiques)|norme géométrique]] suivante :
<center><math> \begin{matrix} \|\cdot\| : & K_\R & \longrightarrow & \R_+&\\
& x  & \mapsto & \|x\|&=|x_1| + \cdots + |x_{r_1}| + 2|x_{r_1 +1}|+\cdots +2|x_{r_1 + r_2}|.\end{matrix} </math></center>

Le rôle du coefficient 2 apparaît clair dans le cas des entiers quadratiques, le [[domaine fondamental]] d'un idéal y est égal à son discriminant si l'anneau est totalement réel (les plongements de ''K'' dans ℂ sont à valeurs dans ℝ) et à la moitié du discriminant sinon. Le coefficient 2 permet ici d'obtenir une relation simple entre le volume fondamental et le discriminant d'un idéal.

Le [[forme trace|discriminant]] d'une [[forme bilinéaire]] dans un ℤ-[[module sur un anneau]] correspond au déterminant d'une matrice qui la représente. Comme les endomorphismes inversibles ont un déterminant aussi inversible et donc égal à ±1, un changement de [[base (algèbre linéaire)|base]] ne modifie pas le discriminant. Ce terme est aussi appliqué à un anneau d'entiers algébriques ou à un idéal de l'anneau. La forme bilinéaire associé donne pour valeur du couple (''a'', ''b'') la [[Trace (algèbre)|trace]] de l'application linéaire qui à ''x'' associe ''abx'', elle porte le nom de [[forme trace]].

=== Lemmes techniques ===

* ''La majoration suivante est toujours vérifiée :''
<center><math>\forall x \in K_\R\quad |\mathcal N_\R(x)|^{1/d}\le\frac{\|x\|}d.</math></center>
Ce lemme signifie simplement que la [[moyenne géométrique]] est plus petite que la [[moyenne arithmétique]].

Soit δ une longueur, c'est-à-dire un [[nombre réel]] positif :
* ''Le volume V d'une [[Boule (mathématiques)|boule]] de K<sub>ℝ</sub> de rayon'' δ ''est donné par la formule suivante :''
<center><math>V = 2^{r_1}\left(\frac{\pi}2 \right)^{r_2} \frac {\delta^d}{d!}.</math></center>

L'image de ''O<sub>K</sub>'' dans ''K''<sub>ℝ</sub> est un ℤ-module. Son '''[[Réseau (géométrie)|volume fondamental]]''' est la mesure de l'aire composée par l'ensemble des vecteurs de coordonnées toutes prises dans l'intervalle [0, 1[ si la base choisie est une base du module. Comme tout isomorphisme de ℤ-module possède un déterminant inversible dans ℤ, l'isomorphisme possède un déterminant égal à ±1. Ainsi le volume fondamental est indépendant du choix de la base du module. Ce volume correspond à celui de ''K''<sub>ℝ</sub>/ Σ(''O<sub>K</sub>''). Pour cette raison, on le note ''Vol'' (''K''<sub>ℝ</sub>/ Σ(''O<sub>K</sub>'')). Le troisième lemme technique concerne un volume de cette nature :

* ''Soit M un idéal de O<sub>K</sub>, l'égalité suivante est vérifiée :''
<center><math>\text{Vol}\left(\frac {K_\R}{\Sigma (M)}\right) = 2^{-r_2}|\text{discr}(\mathcal O_K)|^{1/2}.\mathcal N_{K/\Q}(M).</math></center>
La fonction Σ est celle définie au paragraphe précédent.

{{Démonstration/début|titre=Démonstrations}}
* '''La majoration suivante est toujours vérifiée :'''<center><math>\forall x \in K_\R\quad |\mathcal N_\R(x)|^{1/d}\le\frac{\|x\|}d</math>.</center>Si ''a<sub>i</sub>'' désigne la valeur absolue ou le module de ''x<sub>i</sub>'', la majoration à démontrer est la suivante :<center><math>\left(\prod_{i=1}^d a_i\right)^{\frac 1d}\le \frac {\sum_{i=1}^d a_i}d</math>.</center>Cette propriété est l'[[inégalité arithmético-géométrique]] (elle est immédiate si certains ''a{{ind|i}}'' sont nuls).
* '''Le volume ''V'' d'une [[Boule (mathématiques)|boule]] de ''K''<sub>ℝ</sub> de rayon δ est donné par la formule suivante :'''
<center><math>V = 2^{r_1}\left(\frac{\pi}2 \right)^{r_2} \frac {\delta^d}{d!}.</math></center>
Le calcul est le fruit d'une double récurrence, d'abord sur ''r''<sub>1</sub> puis sur ''r''<sub>2</sub>. Notons ''V''<sub>λμδ</sub> le volume de la sphère si ''r''<sub>1</sub> est égal à λ et ''r''<sub>2</sub> à μ et le rayon δ.

[[Fichier:Intégrale d'une pyramide.jpg|thumb]]
* ''L'égalité suivante est vérifiée :''
<center><math>V_{\lambda,0,\delta}  = 2^{\lambda}\frac {\delta^{\lambda}}{\lambda!}.</math></center>

La boule ressemble, en dimension ''d'' à un dé à 2<sup>''d''</sup> faces. En dimension 3, elle est composée de deux pyramides dont la moitié est représentée sur la figure de droite.
Si λ est égal à 1, l'égalité est vérifiée, en effet :
<center><math>V_{1,0,\delta}  =\int_{-\delta}^\delta 1~\mathrm dt = 2\delta.</math></center>
Ce calcul revient à dire qu'un segment de rayon δ est de longueur 2δ. Supposons maintenant établie la proposition pour λ - 1 et montrons-la pour λ. L'intégrale utilisée est celle illustrée sur la figure. On ne calcule que la moitié supérieure, car le volume de la moitié inférieure est le même. L'intégrale est sur la variable ''r'', qui varie de 0 à δ. La section obtenue en coupant la boule par l'hyperplan des points de première coordonnée égale à ''r'' correspond à la zone bleue. Son volume est égal à ''V''<sub>λ- 1,0,δ-r</sub>. On en déduit :
<center><math>V_{\lambda,0,\delta}  =2\int_0^\delta V_{\lambda - 1,0,\delta -r}~\mathrm dr.</math></center>

Avec le changement de variable ''t'' = δ - ''r'', on obtient :
<center><math>V_{\lambda,0,\delta}  =2\int_0^\delta V_{\lambda - 1,0,t}~\mathrm dt= \frac {2^{\lambda}}{\lambda!}\int_0^\delta \lambda t^{\lambda -1}~\mathrm dt = 2^{\lambda}\frac {\delta^{\lambda}}{\lambda!}.</math></center>

Il suffit alors de traiter le cas complexe :
[[Fichier:Intégrale d'un cone.jpg|thumb]]
* ''L'égalité suivante est vérifiée :''
<center><math>V_{r_1,\mu,\delta} = 2^{r_1}\left(\frac{\pi}2 \right)^{\mu} \frac {\delta^{r_1+2\mu}}{(r_1 + 2\mu)!}.</math></center>
Cette fois-ci, on ajoute des disques à la boule. En dimension 3, si ''r''<sub>1</sub> et ''r''<sub>2</sub> sont égaux à 1, la partie supérieure correspond à la figure de droite. Le cercle est de rayon δ/2 car il existe un coefficient 2 devant les termes complexes. Une telle configuration laisse penser à un usage de [[coordonnées polaires]] ρ et θ. On procède encore par récurrence.

Si μ est égal à 0, les calculs précédents établissent le résultat. Supposons le résultat vrai à l'ordre μ - 1 et montrons le pour μ.
<center><math>V_{r_1,\mu,\delta}=2\pi\int_0^{\delta/2} \rho V_{r_1,\mu -1,\delta - 2\rho}~\mathrm d\rho = \frac{2^{r_1+2}}{(r_1 + 2\mu)!} \left(\frac{\pi}2 \right)^{\mu}\int_0^{\delta /2} (r_1 + 2\mu)(r_1 + 2\mu-1)\rho(\delta - 2\rho)^{r_1+2\mu -2}~\mathrm d\rho.</math></center>

Comme précédemment, on pose le changement de variable ''t'' = δ - 2.ρ :

<center><math>V_{r_1,\mu,\delta}=\frac{2^{r_1}}{(r_1 + 2\mu)!}\left(\frac\pi2\right)^\mu\int_0^{\delta}(r_1 + 2\mu)(r_1 + 2\mu-1)(\delta - t)t^{r_1+2\mu -2}~\mathrm dt = 
\frac{2^{r_1}}{(r_1 + 2\mu)!}\left(\frac{\pi}2 \right)^{\mu}\delta^{r_1+2\mu},
</math></center>
ce qui démontre la proposition.

* '''Soit ''M'' un idéal de ''O<sub>K</sub>'', l'égalité suivante est vérifiée :'''
<center><math>\text{Vol}\left(\frac {K_\R}{\Sigma(M)}\right) = 2^{-r_2}|\text{discr}(\mathcal O_K)|^{1/2}.\mathcal N_{K/\Q}(M).</math></center>

Soit ''B'' égale à (''b<sub>i</sub>'') pour ''i'' variant de 1 à ''d'' une base de ''O<sub>K</sub>''. Établissons dans un premier temps le volume fondamental de Σ(''O<sub>K</sub>''). Il est égal au déterminant suivant :
<center><math>\text{Vol}\left(\frac {K_\R}{\Sigma(\mathcal O_K)}\right) = \left| \det \begin{pmatrix}
 \sigma_1(b_1) & \cdots &  \sigma_1(b_d) \\ \vdots &  & \vdots \\ 
 \sigma_{r_1}(b_1) & \cdots &  \sigma_{r_1}(b_d) \\ \text{Re}(\sigma_{r_1+1}(b_1)) & \cdots &  \text{Re}(\sigma_{r_1+1}(b_d)) \\ 
  \text{Im}(\sigma_{r_1+1}(b_1)) & \cdots &  \text{Im}(\sigma_{r_1+1}(b_d)) \\ \vdots & & \vdots \\  \text{Re}(\sigma_{r_1+r_2}(b_1)) & \cdots &  \text{Re}(\sigma_{r_1+r_2}(b_d)) \\ 
  \text{Im}(\sigma_{r_1+r_2}(b_1)) & \cdots &  \text{Im}(\sigma_{r_1+r_2}(b_d)) \\ \end{pmatrix}\right|
</math></center>
En multipliant à gauche la matrice précédente par une matrice bloc diagonale comportant ''r''<sub>1</sub> matrices 1×1 égales à (1) et par ''r''<sub>2</sub> matrices 2×2 égales à :
<center><math>\begin{pmatrix} 1 & i \\ 1 & -i \\ \end{pmatrix}</math></center>
On obtient l'égalité suivante :
<center><math>\text{Vol}\left(\frac{K_\R}{\Sigma(\mathcal O_K)}\right) = 2^{-r_2}\left| \det \begin{pmatrix}
 \sigma_1(b_1) & \cdots &  \sigma_1(b_d) \\ \vdots &  & \vdots \\ 
 \sigma_{r_1}(b_1) & \cdots &  \sigma_{r_1}(b_d) \\ \sigma_{r_1+1}(b_1) & \cdots &  \sigma_{r_1+1}(b_d) \\ 
 \sigma_{r_1+r_2+1}(b_1) & \cdots &  \sigma_{{r_1+r_2+1}}(b_d)) \\ \vdots &  & \vdots \\ \sigma_{r_1+2r_2}(b_1) & \cdots &  \sigma_{r_1+2r_2}(b_d) \\ \end{pmatrix}\right| = 2^{-r_2}|\det(A)| \quad \text{avec}\quad A = (\sigma_i(b_j)).</math></center>

Notons (''b<sub>ij</sub>'') les coordonnées de la [[matrice transposée|transposée]] de ''A''. Elle est définie par ''b<sub>ij</sub>'' = σ<sub>''j''</sub>(''b<sub>i</sub>''). On a :
<center><math>^tA\cdot A =\left(\sum_{k=1}^d b_{ik}a_{kj}\right)=\left(\sum_{k=1}^d \sigma_k(b_i)\sigma_k(b_j)\right)= \left(\sum_{k=1}^d \sigma_k(b_i.b_j))\right).</math></center>
On reconnait la forme trace ; on en déduit :
<center><math>\det (A^2) = \det (A)^2 = \det (^tA\cdot A) = \text{discr}(\mathcal O_K)\quad \text{et}\quad |\det (A)| = |\text{discr}(\mathcal O_K)|^{1/2}</math></center>
Pour conclure, il suffit d'utiliser l'égalité suivante, démontrée dans l'article « [[Forme trace]] » :
<center><math>\text{discr}(M) = \mathcal N_{K/\Q}(M)^2~\text{discr}(\mathcal O_K).</math></center>
{{Démonstration/fin}}

=== Théorèmes ===
Une fois les trois lemmes établis, le théorème fondamental :
{{Bloc emphase|bord=1px solid #2288ff;|espacement=1.5ex|le groupe des classes de tout corps de nombres est fini}}
est relativement simple à démontrer. La preuve utilise le résultat intermédiaire :
* ''Dans tout idéal non nul M de O{{ind|K}}, il existe un élément m'' ≠ 0 ''tel que''<center><math>|\mathcal N_{K/\Q}(m)|\le \left(\frac 4\pi\right)^{r_2} \frac {d!}{d^d}|\text{discr}(\mathcal O_K)|^{1/2} \mathcal N_{K/\Q}(M).</math></center>{{Retrait|Cette proposition est la conséquence directe du [[théorème de Minkowski]] et des lemmes précédents. On en déduit le théorème de la [[borne de Minkowski]] :}}
* ''Toute classe d'idéaux de O{{ind|K}} contient un idéal de norme inférieure ou égale à''<center><math>\left(\frac 4\pi\right)^{r_2} \frac {d!}{d^d}|\text{discr}(\mathcal O_K)|^{1/2}.</math></center>

{{Démonstration/début|titre=Démonstrations}}
* '''Dans tout idéal non nul ''M'' de ''O{{ind|K}}'', il existe un élément ''m'' ≠ 0 tel que'''
<center><math>|\mathcal N_{K/\Q}(m)|\le \left(\frac 4\pi\right)^{r_2} \frac {d!}{d^d}|\text{discr}(\mathcal O_K)|^{1/2} \mathcal N_{K/\ Q}(M).</math></center>

Le théorème de Minskowski indique qu'une boule ''B''(δ) de centre l'origine et de rayon δ contient un élément non nul d'un réseau fondamental de volume ''v'' si δ est tel que le volume de la boule ''B''(δ) est supérieur à 2''<sup>d</sup>v''. Le réseau qui nous intéresse est Σ(''O<sub>K</sub>''), son volume fondamental est le fruit du calcul d'un des lemmes précédents. Le volume de la boule ''B''(δ) est aussi donné par un des lemmes précédents. En conséquence, la boule contient nécessairement un point non nul du réseau Σ(''O<sub>K</sub>'') si la majoration suivante est vérifiée :
<center><math>2^{r_1}\left(\frac{\pi}2 \right)^{r_2} \frac {\delta^d}{d!} \ge 2^{d-r_2}|\text{discr}(\mathcal O_K)|^{1/2}.\mathcal N_{K/\Q}(M).</math></center>

On en déduit que si δ vérifie la majoration suivante, il existe un élément non nul ''m'' de l'idéal ''M'' dans la boule ''B''(δ)
<center><math>\delta^d \ge \frac {2^{d-r_1}d!}{\pi^{r_2}}|\text{discr}(\mathcal O_K)|^{1/2}\mathcal N_{K/\Q}(M).</math></center>

De plus, l'élément ''m'' vérifie, d'après le premier lemme et en remarquant que ''d'' – ''r''<sub>1</sub> est égal à 2''r''<sub>2</sub> :
<center><math>|\mathcal N_{K/\Q}(m)|\le\frac{\|x\|^d}{d^d} \le \frac {\delta^d}{d^d}\le \frac {4^{r_2}d!}{\pi^{r_2}d^d}|\text{discr}(\mathcal O_K)|^{1/2}.\mathcal N_{K/\Q}(M),</math></center>
ce qui démontre la proposition.

*'''Toute classe d'idéaux de ''O{{ind|K}}'' contient un idéal de norme inférieure ou égale à'''
<center><math>\left(\frac 4\pi\right)^{r_2} \frac {d!}{d^d}|\text{discr}(\mathcal O_K)|^{1/2}.</math></center>

Soient ''C'' une telle classe, ''C''{{-1}} sa classe inverse dans le groupe, ''M'' un élément de ''C''{{-1}} et ''m'' un élément non nul de ''M'' dont la norme vérifie la majoration de la proposition précédente. L'[[idéal fractionnaire]] ''N'' := ''mM''{{-1}} est alors inclus dans ''O{{ind|K}}'', et son produit par ''M'' est l'idéal principal engendré par ''m''. Cet idéal ''N'' appartient donc à ''C'' et (par multiplicativité de la norme)
<center><math>\mathcal N_{K/\Q} (N)= \frac {|\mathcal N_{K/\Q} (m)|}{\mathcal N_{K/\Q}(M)} \le \left(\frac 4\pi\right)^{r_2} \frac {d!}{d^d}|\text{discr}(\mathcal O_K)|^{1/2}.</math></center>
{{Démonstration/fin}}

Par ailleurs :

* ''Pour tout entier n'' > 0'', O{{ind|K}} n'a qu'un nombre fini d'idéaux de norme n.''{{Retrait|En effet, comme (''O{{ind|K}}'', +) est un [[groupe de type fini]], [[Sous-groupe normal#Lien avec les morphismes de groupes|il n'a qu'un nombre fini de sous-groupes normaux d'indice ''n'']].}}

Le théorème principal est la conséquence des deux derniers résultats.

== Connexions avec la théorie des corps de classes ==

La [[théorie des corps de classes]] est une branche de la [[théorie algébrique des nombres]] qui cherche à classifier toutes les [[extension abélienne|extensions abéliennes]] d'un [[corps de nombres]] donné, ce qui signifie des [[Théorie de Galois|extensions de Galois]] avec un [[groupe de Galois]] abélien. En particulier, un exemple important est trouvé dans le [[corps de classes de Hilbert]] d'un corps de nombres, qui peut être défini comme l'extension abélienne maximale non ramifiée d'un tel corps. Le corps de classes de Hilbert ''L'' d'un corps de nombres ''K'' est unique et possède les propriétés suivantes :

*tout idéal ''I'' de l'anneau ''O<sub>K</sub>'' des entiers de ''K'' devient principal dans ''L'', c'est-à-dire que l'idéal ''IO<sub>L</sub>'' de ''O<sub>L</sub>'' est principal (c'est le [[théorème de l'idéal principal]]) ;
* ''L'' est une [[extension de Galois]] de ''K'' avec un groupe de Galois isomorphe au groupe des classes d'idéaux de ''K''.

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Ideal class group|11401787|type=note}}
{{Références}}

== Articles connexes ==
*[[Formule du nombre de classes]]
*{{Lien|trad=Narrow class group|Groupe des classes au sens restreint}}

{{Portail|algèbre}}

[[Catégorie:Théorie algébrique des nombres]]