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{{Ébauche|mathématiques}}
En [[théorie des groupes]], un '''groupe profini''' est un [[groupe topologique]] obtenu comme [[limite projective]] de [[Groupe fini|groupes finis]] [[Topologie discrète|discrets]]. La notion de groupe profini est particulièrement utile en [[théorie de Galois]], pour pouvoir travailler avec des [[extension de corps|extensions]] in[[Extension finie|finies]].

Comme [[Propriété universelle|plus généralement]] en [[théorie des catégories]], cette limite projective est uniquement définie à unique isomorphisme près. Elle peut être interprétée comme [[Objet initial et objet final|objet final]] d'une bonne catégorie.
== Définition ==
Les groupes profinis peuvent être définis de deux manières équivalentes.
=== Première définition (constructive) ===
Un groupe profini est un [[groupe topologique]] [[isomorphisme|isomorphe]] à la [[limite projective]] d’un [[Limite projective#Système projectif|système projectif]] de [[groupe discret|groupes finis discrets]]<ref>{{lien web|url=http://websites.math.leidenuniv.nl/algebra/Lenstra-Profinite.pdf|titre=Profinite Groups|nom=Lenstra|prénom=Hendrik|website=Leiden University}}</ref>. Dans ce contexte, un système projectif est constitué de :
un [[Relation d'ordre|ensemble partiellement ordonné]] <math>(I, \leq)</math>,
une [[Famille (mathématiques)|famille indexée par]] <math>I </math> de groupes finis <math>{G_i : i \in I}</math> munis de la [[topologie discrète]],
une famille d’[[Morphisme de groupes|homomorphismes]] <math>{f^j_i : G_j \to G_i \mid i, j \in I, i \leq j}</math> où <math>f_i^i</math> est l’[[application identité]] sur <math>G_i</math>, satisfaint la propriété de composition <math>f^j_i \circ f^k_j = f^k_i</math> pour tout <math>i \leq j \leq k</math>.
La limite projective est alors définie comme l’ensemble <math>\varprojlim G_i=\left\{(g_i)_{i \in I} \in \prod\limits_{i \in I}
G_i : f^j_i (g_j) = g_i \text{ pour tout } i \leq j\right\}</math> muni de la [[topologie produit|topologie relative]]. Cette limite peut également être définie en termes de [[théorie des catégories]], ou encore à l’aide d’une [[propriété universelle]], comme un [[Objet initial et objet final|objet initial]] pour une [[Limite projective#Définition de la limite projective par une propriété universelle|catégorie convenable]].

=== Deuxième définition (axiomatique) ===
Un groupe profini est un [[groupe compact]] et [[espace totalement discontinu|totalement discontinu]]<ref name=":0">{{lien web|url=https://www.math.ucdavis.edu/~osserman/classes/250C/notes/profinite.pdf|titre=Inverse limits and profinite groups|nom=Osserman|prénom=Brian|website=University of California, Davis|archive-url=https://web.archive.org/web/20181226233013/https://www.math.ucdavis.edu/~osserman/classes/250C/notes/profinite.pdf|archive-date=2018-12-26}}</ref>, c’est-à-dire un groupe topologique qui est également un [[espace de Stone]].
=== Complétion profinie ===
Pour tout groupe arbitraire <math>G</math>, on peut lui associer un groupe profini <math>\widehat{G}</math>, appelé la '''complétion profinie''' de <math>G</math><ref name=":0" />. La complétion profinie est définie comme la limite projective des groupes <math>G/N</math>, où <math>N</math> parcourt les [[sous-groupe normal|sous-groupes normaux]] d'[[indice d'un sous-groupe|indice fini]] dans <math>G</math>. Ces sous-groupes normaux sont ordonnés par inclusion, ce qui induit un système projectif d’homomorphismes naturels entre les quotients.
Il existe un homomorphisme naturel <math>\eta : G \to \widehat{G}</math>, dont l’image de <math>G</math> dans <math>\widehat{G}</math> est [[Partie dense|dense]]. Cet homomorphisme est injectif si et seulement si <math>G</math> est un [[groupe résiduellement fini]] (c’est-à-dire que <math>\bigcap N = 1</math>, où l’intersection est prise sur tous les sous-groupes normaux <math>N</math> d’indice fini).
<math>\eta</math> vérifie la propriété universelle suivante : pour tout groupe profini <math>H</math> et tout homomorphisme de groupes continu <math>f : G \to H</math> (où <math>G</math> est muni de la topologie la plus grossière compatible avec ses opérations et où les sous-groupes normaux d’indice fini sont ouverts), il existe un unique homomorphisme continu <math>g : \widehat{G} \to H</math> tel que <math>f = g \eta</math>.

=== Équivalence ===
Tout groupe construit par la première définition satisfait les axiomes de la deuxième définition. Réciproquement, tout groupe <math>G</math> vérifiant les axiomes de la deuxième définition peut être construit comme une limite projective, selon la première définition, en prenant <math>\varprojlim G/N</math>, où <math>N</math> parcourt les sous-groupes normaux ouverts de <math>G</math> ordonnés par inclusion inverse. Si <math>G</math> est topologiquement de type fini, il est également égal à sa propre complétion profinie<ref>{{article| nom1=Nikolov| prénom1=Nikolay | nom2=Segal| prénom2=Dan | titre=On finitely generated profinite groups. I: Strong completeness and uniform bounds. II: Products in quasisimple groups | zbl=1126.20018 | journal=Ann. Math. (2) | volume=165 | numéro=1 | pages=171–238, 239–273 |date=2007 | doi=10.4007/annals.2007.165.171 | s2cid=15670650 | arxiv=math/0604399 }}</ref>.
=== Systèmes surjectifs ===
En pratique, le système projectif des groupes finis est presque toujours ''surjectif'', c’est-à-dire que toutes ses applications sont [[Surjection|surjectives]]. [[Sans perte de généralité]], il suffit de considérer des systèmes surjectifs, car il est toujours possible de construire un groupe profini <math>G</math> à partir d’un système quelconque, puis de le reconstruire comme sa propre complétion profinie.

== Exemples ==
Pour tout [[nombre premier]] ''p'', le groupe additif de l'[[anneau unitaire|anneau]] <math>\Z_p=\lim_{\leftarrow}\Z/p^n\Z</math> des [[Nombre p-adique#Constructions de ℤp|entiers {{math|''p''}}-adiques]] est profini, comme limite projective de [[Groupe cyclique|groupes cycliques finis]]. Ce groupe peut être considéré comme le {{Lien|trad=pro-p-group|fr=pro-p-groupe|texte=pro-<math>p</math>-complété}} de <math>\Z</math>.

En particulier, les entiers peuvent être vus comme des éléments de ce groupe profini : tout entier peut s'écrire comme une somme finie <math>\alpha=\sum_i a_ip^i,</math> avec ''a<sub>i</sub>'' inférieur à ''p''. On pose alors <math>\alpha_n=\sum_{i\leq n} a_ip^i</math>.

On peut de même construire le complété profini <math>\hat{\Z}</math> du groupe des [[Entier relatif|entiers relatifs]] en considérant le système projectif formé à partir de tous les <math>\Z/n\Z</math> (l'[[idéal]] <math>n\Z</math> étant considéré comme un sous-groupe du groupe additif de <math>\Z</math>).

== Topologie ==
Par le [[théorème de Tykhonov]], on constate qu'un groupe profini est [[Compacité (mathématiques)|compact]] pour la [[topologie initiale]], chacun des groupes finis du système projectif étant muni de la [[topologie discrète]].

On a en fait la caractérisation suivante :
{{énoncé|Les groupes profinis sont les [[groupe compact|groupes compacts]] [[Espace totalement discontinu|totalement discontinus]], ou encore : les groupes compacts [[Dimension topologique#Espace de dimension zéro|de dimension zéro]].}}

== Théorie de Sylow ==
Les groupes profinis ont une [[Structure (mathématiques)|structure]] suffisamment proche de celle des [[Groupe fini|groupes finis]] pour que la [[Théorèmes de Sylow|théorie de Sylow]] s'y énonce de manière analogue au cas classique ; la [[Démonstration (logique et mathématiques)|démonstration]] se faisant par un simple [[Limite (mathématiques)|passage à la]] [[Limite projective|limite]].

== [[Théorie de Galois]] ==
Le [[groupe de Galois]] d'une [[extension de corps]] [[Infini|infinie]] admet une [[Structure (mathématiques)|structure]] naturelle de groupe profini: en effet, ses [[Groupe quotient|quotients]] [[Groupe fini|finis]] (qui correspondent via la [[correspondance de Galois]] aux [[Extension de corps#Définition|sous-extensions]] [[Extension finie|finies]] de l'[[Extension de corps|extension]] considérée) munis de leur [[topologie discrète]] forment, avec les [[Morphisme de groupes|morphismes]] [[Canonique (mathématiques)|canoniques]] entre eux, un [[Limite projective#Système projectif|système projectif]] de [[Groupe topologique|groupes topologiques]], dont ledit [[Groupe (mathématiques)|groupe]] est [[Morphisme de groupes#Isomorphismes de groupes|isomorphe]] à celui sous-jacent à la [[Limite projective|limite]].

Le cas du {{Lien|trad=pro-p-group|fr=pro-p-groupe|texte=pro-<math>p</math>-complété}} <math>\Z_p</math> de <math>\Z</math> apparaît notamment en [[théorie d'Iwasawa]].

== Bibliographie ==
* {{RibesZalesskii}}
* {{JSWilson1}}

== Références ==
{{Références}}

== Articles connexes ==

* {{Lien|trad=Pro-p group|Pro-p-groupe|texte=Pro-<math>p</math>-groupe}}
* [[Entier profini]]

{{portail|algèbre}}

[[Catégorie:Groupe topologique]]