Voir la source de Groupe topologique

{{ébauche|mathématiques}}

En [[mathématiques]], un '''groupe topologique''' est un [[groupe (mathématiques)|groupe]] muni d'une [[espace topologique|topologie]] compatible avec la structure de groupe, c'est-à-dire telle que la [[loi de composition interne]] du groupe et le passage à l'[[inverse]] sont deux applications [[Continuité (mathématiques)|continues]].

L'étude des groupes topologiques mêle donc des raisonnements d'[[algèbre générale|algèbre]] et de topologie. La structure de groupe topologique est une notion essentielle en [[topologie algébrique]].

== Définition et propriété caractéristique ==
{{Théorème|Définition|
Un groupe topologique est un groupe <math>(G, \star)</math> muni d'une topologie pour laquelle les applications
<center><math>G^2\to G,(x,y)\mapsto x \star y\quad{\rm et}\quad G\to G,x\mapsto x^{-1}</math></center>
sont continues (le [[Produit cartésien#Propriétés|carré cartésien]] {{math|''G''{{2}}}} étant muni de la [[topologie produit]]).}}

Les deux axiomes de la définition peuvent être remplacés par un seul :

{{Théorème|
Un groupe <math>(G, \star)</math> muni d'une topologie est un groupe topologique [[si et seulement si]] l'application  
<center><math>G^2\to G,(x,y)\mapsto x \star y^{-1}</math></center>
est continue.}}

Un ''morphisme de groupes topologiques'' est un [[morphisme de groupes]] continu.

== Mesure de Haar ==

Sur tout [[groupe topologique localement compact]], il existe une et une seule [[mesure de Borel]] [[Mesure quasi-régulière|quasi-régulière]] non nulle (à coefficient multiplicateur près) [[invariant]]e par les translations à gauche (''x'' ↦ ''y''∗''x'') : la [[mesure de Haar]].

== Exemples de base ==
{{Théorème|Tout [[sous-groupe]] de [[Nombre réel|(ℝ, +)]] est soit [[Partie dense|dense]], soit de la forme ''a''[[Entier relatif|ℤ]], pour un unique ''a'' ≥ 0<ref>{{Note autre projet|wikiversité|Topologie générale/Exercices/Topologie de R ou C#Exercice 2|cet exercice corrigé de la leçon de topologie|début=Pour une démonstration, voir par exemple}}</ref>.}}

Le [[Cercle unité|cercle ''S''{{1}}]], qui peut être considéré comme le groupe multiplicatif des [[nombre complexe|nombres complexes]] de [[module d'un nombre complexe|module]] 1 ou comme le groupe des [[rotation plane|rotations]] de centre fixé dans un [[espace euclidien|plan euclidien]]. Tout sous-groupe de ''S''{{1}} est soit fini soit dense<ref>{{Note autre projet|wikiversité|Topologie générale/Exercices/Topologie de R ou C#Exercice 3|l'exercice corrigé suivant de la leçon de topologie|début=Pour une démonstration, voir par exemple}}</ref>.

Un [[groupe discret]] (groupe muni de la [[topologie discrète]]).

Tout [[Produit direct (groupes)#Produit direct d'une famille de groupes|groupe produit]] (muni de la [[topologie produit]]) d'une famille de groupes topologiques. Par exemple <math>(\Z/2\Z)^\N</math> (l'[[espace de Cantor]], muni de sa structure naturelle de groupe produit).

== Quelques propriétés générales ==
*Dans un groupe topologique, les translations<center><math> x\longmapsto a\star x\quad \mathrm{et} \quad x\longmapsto x\star a</math></center>sont des homéomorphismes.
*La topologie est déterminée par la donnée des [[Voisinage (mathématiques)|voisinages]] de l'élément neutre ''e''.
*Un groupe topologique ''G'' est [[Espace séparé|séparé]] si et seulement si le singleton {''e''} est [[Fermé (topologie)|fermé]] dans ''G''.  Également, ''G'' est séparé si et seulement si l'intersection des voisinages de ''e'' est réduite à {''e''}.
{{démonstration|contenu=
* Si ''G'' est séparé alors c'est ''a fortiori'' un [[espace T1]], c'est-à-dire que tout singleton est fermé dans ''G'' ou, ce qui est équivalent, que l'intersection des voisinages de tout point est réduite à ce point. De plus, comme les translations sont des homéomorphismes, on peut remplacer, dans ces deux conditions, « pour tout point » par « pour le point ''e'' ».
* Réciproquement, si {''e''} est fermé alors ''G'' est [[Espace séparé#Principales propriétés|séparé puisque la diagonale de ''G×G'' est fermée]], comme image réciproque de {''e''} par l'application continue qui à tout (''x'',''y'') associe ''x''.''y''{{-1}}.
}}
*Si {{math|''U''}} est un [[Ouvert (topologie)|ouvert]] et {{math|''A''}} une partie quelconque alors {{math|''U''∗''A''}} est un ouvert (puisqu'il s'écrit <math>\cup_{a\in A}U\star a</math>) et de même, {{math|''A''∗''U''}} est un ouvert.
*Tout [[groupe quotient]] ''G''/''H ''d'un groupe topologique ''G ''par un [[sous-groupe normal]] ''H ''est encore un groupe topologique, lorsque ''G''/''H ''est muni de la [[topologie quotient]]. De plus, ''G''/''H ''est séparé si et seulement si ''H ''est fermé.
*Un groupe topologique est naturellement muni de deux [[Espace uniforme|structures uniformes]] (à droite et à gauche) qui induisent sa topologie, et qui coïncident si le groupe est commutatif. Un groupe topologique séparé est par conséquent [[Espace complètement régulier|complètement régulier]]. Tout morphisme de groupes topologiques est [[Continuité uniforme|uniformément continu]] pour les structures uniformes à droite (resp. gauche) associées<ref>{{Bourbaki-Topologie}}, {{p.|19-21}}.</ref>.
*Théorème de [[Garrett Birkhoff|Birkhoff]]<ref>{{Article|lang=en|prénom=Garrett|nom=Birkhoff|titre=A Note on Topological Groups|lien périodique=Liste des journaux scientifiques en mathématiques#C|revue=Compositio Mathematica|année=1936|vol=3|p.=427-430|url=http://www.numdam.org/item?id=CM_1936__3__427_0}}.</ref>-[[Shizuo Kakutani|Kakutani]]<ref>{{Article|lang=de|titre=Über die Metrisation der topologischen Gruppen|prénom=Shizuo|nom=Kakutani|revue=Proc. Imp. Acad.|vol=12|numéro=4|année=1936|p.=82-84|url=http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.pja/1195580206}}.</ref> : tout groupe topologique séparé [[à bases dénombrables de voisinages]] est [[Espace métrisable|métrisable]] par une distance invariante par translations à gauche<ref>{{en}} [[Terence Tao]], « [http://terrytao.wordpress.com/2011/05/17/the-birkhoff-kakutani-theorem/ {{Lang|en|The Birkhoff-Kakutani theorem}}] », 2011.</ref>. Plus généralement, tout groupe topologique (non nécessairement séparé) à bases dénombrables de voisinages est [[Espace pseudométrique|pseudométrisable]] par une [[pseudométrique]] invariante par translations à gauche<ref>{{Ouvrage|lang=en|titre=Topological Vector Spaces|numéro d'édition=2|auteur=Lawrence Narici|auteur2=Edward Beckenstein|éditeur=[[CRC Press]]|année=2010|url={{Google Livres|BYLOBQAAQBAJ|page=38}}|page=38}}.</ref>.

== Groupes linéaires ==

Dorénavant, nous omettrons le signe {{math|∗}}.

Une classe importante de groupes topologiques est formée par  les sous-groupes du [[groupe général linéaire|groupe linéaire]] {{math|GL(''n'', ''K'')}}, avec ''K'' = ℝ ou ℂ. On les munit de la [[topologie induite]] par [[Topologie d'un espace vectoriel de dimension finie|celle de {{math|End(''K{{exp|n}}'')}}]].

Ces exemples sont des exemples fondamentaux de [[groupe de Lie|groupes de Lie]] réels ou complexes. Ils ont en commun la propriété suivante : il existe un ouvert contenant l'élément neutre 
et ne contenant aucun sous-groupe non trivial.

== Topologie p-adique ==

Si <math>(G,+)</math> est un groupe abélien et si <math>(G_n)</math> est une suite de sous-groupes de <math>G</math> telle que : 
:<math>G = G_0\supset G_1 \supset G_2\supset\ldots\supset G_n \supset\ldots</math>
alors la suite <math>(G_n)</math> induit une topologie sur <math>G</math> dans laquelle les voisinages de <math>x</math> sont les parties de <math>G</math> contenant un des ensembles <math>x+G_n</math>.

Si de plus l'intersection des <math>G_n</math> est réduite à <math>\{0\}</math> où 0 est l'élément neutre de <math>G</math>, le groupe est séparé.

Un cas particulier de groupe topologique de cette forme est le groupe muni de la ''topologie p-adique'' : si <math>p</math> est un entier naturel, la suite <math>(G_n)</math> est définie (en [[Groupe abélien#Notation additive|notation additive]]) par <math>G_n=p^nG</math>.

=== Distance induite ===
On peut définir une [[distance (mathématiques)|distance]] sur <math>(G,+)</math> muni de la topologie induite par <math>(G_n)</math> si l'intersection des <math>G_n</math> est bien réduite à <math>\{0\}</math> :
:<math>d(x,y)=\frac1{2^k}</math> 
où <math>k</math> est le premier entier tel que <math>x-y \notin G_k</math> et
:<math>d(x,y)=0~</math> si pour tout entier <math>k</math>, <math>x - y</math> appartient à <math>G_k</math>.

=== Complété ===
Si <math>(G,+)</math> est un groupe abélien séparé muni de la topologie déterminée par la suite <math>(G_n)</math>, on peut définir dans <math>G</math> des [[suite de Cauchy|suites de Cauchy]]. Une suite <math>(x_n)</math> est de Cauchy si et seulement si, pour tout voisinage <math>V</math> de 0, il existe un entier <math>n</math> tel que 
:<math>\forall m \geq n,\ x_m-x_n \in V.</math>

Sur cet ensemble de suites de Cauchy noté <math>S_C(G)</math> on peut définir une [[relation d'équivalence]] :
: <math>(x_n) R (y_n) \Longleftrightarrow \lim (x_n-y_n)=0.</math>

Le groupe quotient <math>S_C(G)</math> est alors un [[espace complet]]. Le groupe <math>G</math> est alors isomorphe à un sous-groupe [[Partie dense|dense]] de <math>S_C(G)</math>.

L'exemple le plus important d'une telle construction est
celui des [[nombre p-adique|nombres p-adiques]] : on fait cette construction
à partir de <math>\Z</math> et de la multiplication par un nombre premier <math>p</math>.

Cette construction du complété se généralise, dans le cadre [[Espace uniforme|uniforme]], à ''tout'' groupe topologique abélien séparé<ref>{{Harvsp|Bourbaki|p=26}}.</ref>.

== Notes et références ==
<references/>

== Voir aussi ==

=== Articles connexes ===
*{{Lien|trad=Identity component|Composante neutre}}
*[[Groupe compact]]
*[[Représentation d'un groupe topologique]]
*[[Groupe profini]]
*{{Lien|trad=Gelfand–Raikov theorem|Théorème de Gelfand-Raikov}}

=== Bibliographie ===
* {{MneimnéTestard}}
* {{Lafontaine1}}, ch. 4
* [[Roger Godement]], ''Introduction à la théorie des groupes de Lie'', Springer, 2004 {{ISBN|978-3-540-20034-5}}, ch. 1 et 2

{{Palette|Structures algébriques}}
{{Portail|Mathématiques}}

[[Catégorie:Groupe topologique|*]]