Voir la source de Hauteur d'un triangle

{{Voir homonymes|Hauteur}}
[[Fichier:Hauteur triangles.svg|thumb|upright=1.5|Deux triangles ABC avec leur hauteur issue de A et le pied <math>H_A</math> de la hauteur.]]
En [[géométrie plane]], une '''hauteur d'un triangle''' est une [[droite (mathématiques)|droite]] passant par un sommet et coupant [[perpendicularité|perpendiculairement]] le côté opposé à ce sommet (éventuellement prolongé). Les pieds des hauteurs sont les [[projection orthogonale|projetés orthogonaux]] de chacun des sommets sur la droite portant le côté opposé.

On donne également le nom de hauteur au segment joignant un sommet et le pied de la hauteur passant par ce sommet, ainsi qu'à la longueur de ce segment, soit la distance séparant un sommet et la droite portant son côté opposé<ref>{{ouvrage|auteur=Alexander Andre Victor Sarrazin de Montferrier|titre=Dictionnaire de mathématiques pures et appliquées|année=1838|passage=574|lire en ligne={{Google Livres|id=eRhfAAAAcAAJ|passage=574}} }}.</ref>.

Pour une hauteur passant par un sommet donné (appelé [[apex (géométrie)|apex]]), la [[base (géométrie)|base]] associée à cette hauteur est le côté opposé au sommet (ou sa longueur).

== Calcul des hauteurs ==
Avec les notations classiques d'un triangle (''ABC'') , la hauteur (en tant que distance) issue de ''A'' vaut <math display=inline>h_A=2{S\over a}</math> où <math>S</math> est l'aire du triangle (laquelle s'exprime en fonction des côtés par la [[formule de Héron]]). Les hauteurs sont donc inversement proportionnelles aux longueurs des côtés auxquelles elles aboutissent.

On peut aussi exprimer la hauteur d’un triangle grâce à la trigonométrie. En effet la hauteur issue de <math>A</math> découpe le triangle en deux [[Triangle rectangle|triangles rectangles]] dont l’[[hypoténuse]] est un côté issu de <math>A</math>. On peut donc écrire, toujours avec les notations classiques du triangle,  <math display="inline">h_A=b\sin\widehat C=c\sin\widehat B</math>, ce qui permet de retrouver la [[loi des sinus]].

== Orthocentre ==
Les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes. Leur point d'intersection <math>H</math>, est nommé '''orthocentre''' du triangle. L'orthocentre d'un triangle [[acutangle]] est situé à l'intérieur du triangle tandis que celui d'un [[triangle obtusangle]] est situé à l'extérieur.

Une démonstration utilise la relation <math>\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BH}\cdot\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CH}
\cdot\overrightarrow{AB}= 0</math> qui montre que si un point <math>H</math> appartient à deux hauteurs, il appartient aussi à la troisième.

{{Démonstration|
On considère l'[[homothétie]] de centre le [[Triangle#Médianes et centre de gravité|centre de gravité]] du triangle et de rapport –2. Elle transforme le triangle ABC en un triangle A'B'C' ([[triangle médian|triangle antimédian]] du triangle ABC).

[[Image:Alturas.png|centre]]

Le point I milieu de [BC] (non représenté dans la figure précédente) a pour image le point A qui est donc le milieu de [B'C']. La hauteur issue de A est perpendiculaire à [BC] donc à [B'C']. Comme elle passe de plus par son milieu, c'est la [[médiatrice]] du segment [B'C'].

On démontre ainsi que les trois hauteurs du triangle ABC sont les trois médiatrices du triangle A'B'C'<ref>{{ouvrage|auteur=Trajan Lalesco|titre=La géométrie du triangle|éditeur=Jacques Gabay|année=1987|page=2|isbn=2-87647-007-1}}</ref>. [[Cercle circonscrit à un triangle|Par conséquent, elles sont concourantes]]. 
|titre=Démonstration par homothétie}}

{{Double image|center|Triangle hauteurs.png|250|Orthocentre obtusangle.svg|250|Hauteurs et orthocentre d'un triangle acutangle.|Hauteurs et orthocentre d'un triangle obtusangle.}}

L'orthocentre est le [[Coordonnées barycentriques|barycentre des systèmes]] :
:<math>\begin{pmatrix} A & B & C \\ \tan \widehat A & \tan  \widehat B & \tan  \widehat C \end{pmatrix}</math>ou <math>\begin{pmatrix} A & B & C \\ a/ \cos \widehat A &   b / \cos \widehat B & c/ \cos  \widehat C \end{pmatrix}</math> ou encore <math>\begin{pmatrix} A & B & C \\ \frac{1}{b^2+c^2-a^2} &   \frac{1}{c^2+a^2-b^2} & \frac{1}{a^2+b^2-c^2} \end{pmatrix}</math>.

Ses [[coordonnées trilinéaires]] par rapport aux côtés du triangle sont :
:<math>1/ \cos \widehat A   : 1 / \cos \widehat B : 1/ \cos  \widehat C </math>  ou  <math> \cos \widehat A - \sin \widehat B \sin \widehat C :
 \cos \widehat B - \sin \widehat C \sin \widehat A : 
 \cos \widehat C - \sin \widehat A \sin \widehat B</math>.

Pour un triangle acutangle, notant {{Mvar|R}} le rayon du [[Cercle circonscrit à un triangle|cercle circonscrit]] :

* Les distances aux sommets sont données par : <math>AH=a\cot\widehat{A}=2R\cos\widehat A</math>  et les formules permutées.

* On en déduit la relation : <math>a.BH.CH+b.CH.AH+c.AH.BH=abc</math> <ref>{{Ouvrage|auteur1=Mohammed AASSILA|titre=1000 challenges mathématiques, Géométrie|passage=124 et 132|éditeur=Ellipses|date=2018}}</ref>.

* Les distances aux côtés sont données par : <math>HH_A=\frac{H_AB.H_AC}{h_A}=\frac{abc}{2S}\cos\widehat{B}\cos\widehat{C}=2R\cos\widehat{B}\cos\widehat{C}</math>.

Les trois sommets du triangle et leur orthocentre forment un [[Quadrangle complet#Quadrangle orthocentrique|quadrangle orthocentrique]] : chacun de ces points est l'orthocentre du triangle formé par les trois autres points.

Dans un triangle, le centre du cercle inscrit dans le triangle et les centres des cercles exinscrits forment également un quadrangle orthocentrique.

== Triangle orthique ==
{{Article détaillé|Triangle orthique}}
Les pieds des hauteurs forment un triangle, à la fois [[triangle cévien]] et [[Cercle podaire|triangle podaire]] de l'orthocentre, appelé le [[triangle orthique]] du triangle.

Les hauteurs sont les bissectrices de ce triangle<ref name=":0">{{Lien web |auteur=Patrice Debart |titre=Triangle orthique |url=http://www.debart.fr/geoplan/triangle_orthique.html |site=debart.fr}}.</ref>.

== Symétriques de l'orthocentre ==
Les symétriques A{{ind|1}}, B{{ind|1}} et C{{ind|1}} de l'orthocentre H par rapport aux milieux des côtés du triangle se trouvent sur le [[Cercle circonscrit à un triangle|cercle circonscrit]].

Les symétriques orthogonaux A{{ind|2}}, B{{ind|2}} et C{{ind|2}} de l'orthocentre par rapport aux côtés du triangle (ou par rapport aux pieds des hauteurs) se trouvent également sur le cercle circonscrit.
[[Image:Sym orthocentre.svg|thumb|upright=1.3|center|Symétriques de l'orthocentre par rapport aux milieux des côtés et par rapport aux côtés du triangle.]]

Ceci découle de l'observation que d'une part <math>\widehat{AHC} = \widehat{A}+\widehat{C}</math>, et que d'autre part <math>\widehat{AB_1C}=\widehat{AHC}=\pi-\widehat{B}</math>, et de même pour <math>B_2</math>.

Pour une autre démonstration utilisant des homothéties voir [[Cercle d'Euler#Indications|Cercle d'Euler]].

== Cercle de Taylor ==
Soit A', B' et C' les pieds des hauteurs du triangle. On note A<sub>2</sub> et A<sub>3</sub> les [[projection orthogonale|projetés orthogonaux]] de A' sur les côtés AB et AC du triangle et on définit de même  B<sub>2</sub> et B<sub>3</sub> par rapport à B' et C<sub>2</sub> et C<sub>3</sub> par rapport à C'. Les six points ainsi définis sont cocycliques : ils sont situés sur le '''cercle de Taylor''' du triangle <ref>{{Ouvrage|auteur1=Yvonne et René Sortais|titre=Géométrie de l'espace et du plan|passage=105-106|éditeur=Hermann|date=1988}}</ref>{{,}}<ref name=":0" /> .

[[Image:Cercle Taylor.png|center|thumb|upright=1.3|Cercle de Taylor d'un triangle.]]

On a :
(A<sub>2</sub>A<sub>3</sub>, BC) = (AB, AC), la droite (A<sub>2</sub>A<sub>3</sub>) est [[Conjugué isogonal|antiparallèle]] de (BC) par rapport à (AB) et (AC),
et des propriétés analogues pour (B<sub>2</sub>B<sub>3</sub>) et (C<sub>2</sub>C<sub>3</sub>).

(B<sub>2</sub>C<sub>2</sub>) est parallèle à (BC). De même (A<sub>2</sub>C<sub>3</sub>) //(AC) et (A<sub>3</sub>B<sub>3</sub>)//(AB).

C'est la configuration d'un [[cercle de Tucker]] particulier, dit ''cercle de Taylor''.

On trouve A<sub>2</sub>A<sub>3</sub> = B<sub>2</sub>B<sub>3</sub> = C<sub>2</sub>C<sub>3</sub>.

L'hexagone ayant pour sommets ces six projections est l'hexagone de [[Eugène Charles Catalan|Catalan]].

=== Centre du cercle de Taylor ===
Les trois droites (A<sub>1</sub>A<sub>2</sub>), (B<sub>1</sub>B<sub>2</sub>) et (C<sub>1</sub>C<sub>2</sub>) joignant les projections sont parallèles aux côtés du [[triangle orthique]] et coupent ses côtés en leurs milieux P, Q et R. Ces droites déterminent les côtés du triangle PQR qui est le [[Triangle#Médianes et centre de gravité|triangle médian]] du triangle orthique.

Le centre est sur la droite reliant le centre O du cercle circonscrit au point de [[Symédiane|Lemoine]], passant par les points X15 , X32 au milieu de O-X52

Si le triangle ABC est [[acutangle]] alors le centre du cercle de Taylor est le centre du cercle inscrit dans le triangle médian du triangle orthique.

[[Image:TaylorCircleAcutangle.svg|vignette|upright=1.3|center|Centre du cercle de Taylor d'un triangle acutangle.]]

Si le triangle ABC est [[Triangle obtusangle|obtusangle]] alors le centre du cercle de Taylor est un des centres des [[Cercles inscrit et exinscrits d'un triangle|cercles exinscrits]] du triangle PQR. Plus précisément, si ABC est obtus en A (respectivement en B, en C), alors le centre du cercle de Taylor est le centre du cercle exinscrit à PQR dans  l'angle de sommet P, milieu de [B’C’] (respectivement Q milieu de [C’A’] , R milieu de [A’B’]).

[[Image:TaylorCircleObtusangle.svg|center|thumb|upright=1.3|Centre du cercle de Taylor d'un triangle obtus en C.]]
{{clr}}

== Axe orthique ==
{{Article détaillé|Axe orthique}}
Dans un triangle ABC, soit A' (respectivement B' et C') le pied de la hauteur issue de A (respectivement issue de B et de C).

A{{ind|1}}, B{{ind|1}} et C{{ind|1}} sont les trois autres points d'intersection des côtés du triangle ABC et de ceux du [[triangle orthique]] A’B’C’ : on note A{{ind|1}} l'intersection de (BC) et de  (B'C'), B{{ind|1}} l'intersection de (AC) et de  (A'C'), C{{ind|1}} l'intersection de (AB) et de (A'B').

Les trois points A{{ind|1}}, B{{ind|1}} et C{{ind|1}} sont alignés sur une droite dénommée l''''axe orthique''' du triangle.

L'axe orthique est aussi l'[[Puissance d'un point par rapport à un cercle#Axe radical de deux cercles|axe radical]] du [[cercle circonscrit à un triangle|cercle circonscrit]] et du [[cercle d'Euler]].

La [[droite d'Euler]], ligne des centres des deux cercles, est perpendiculaire à l'axe.

[[Image:Axe orthique.png|center|thumb|upright=1.3|Axe orthique d'un triangle.]]

{{clr}}

== Cercle des hauteurs ==
Notant <math>H_A,H_B,H_C</math> les pieds des hauteurs issues de <math>A,B,C</math>,  les expressions ci-dessus montrent qu'on a les égalités, avec <math>R</math> le rayon du cercle circonscrit :
:<math>k^2 = HA \times HH_A = HB \times HH_B =HC \times HH_C=\frac{HA\cdot HB \cdot HC}{2R}</math>.

Le cercle de centre <math>H</math> et de rayon <math>k</math> est appelé '''cercle des hauteurs''' ou '''cercle de Mention''', du nom de Jules-Alexandre Mention, un enseignant issu de l'École polytechnique qui l'a étudié.

[[File:MentionCircleIn.svg|center|thumb|upright=1.3|Cercle de Mention dans le cas où l'orthocentre est à l'intérieur du triangle]]

Dans le cas où le triangle est obtusangle, Mention a établi que ce cercle était le lieu des centres des hyperboles équilatères inscrites au triangle, c'est-à-dire tangentes aux côtés du triangle<ref>{{article|auteur=J. Mention|titre=Sur l'hyperbole équilatère|périodique=Nouvelles annales de mathématiques : journal des candidats aux écoles polytechnique et normale|volume=2|numéro=4|pages={{p.|30-39}}|année=1865|lire en ligne=http://archive.numdam.org/item/NAM_1865_2_4__30_1/}}</ref>.Toujours dans ce cas, on peut voir que (''BC'') est la [[Pôle et polaire|polaire]] de ''A'' par rapport à ce cercle, et, de même, que (''CA'') est la polaire de ''B'' et (''AB'') celle de ''C'', d'où l'autre nom de ''cercle polaire''<ref name=Mehl>{{lien web|auteur=Serge Mehl|titre=Cercle polaire d'un triangle également appelé cercle conjugué|url=http://serge.mehl.free.fr/anx/cercle_pol.html|site= ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES|consulté le=19/04/20234}}.</ref>. Dans ce cas, le cercle des hauteurs, le [[cercle circonscrit]] et le [[cercle d'Euler]] ont deux points communs<ref name=Mehl/>.

[[File:MentionCircleOut.svg|center|thumb|upright=1.3|Cercle de Mention dans le cas où l'orthocentre est à l'extérieur du triangle]]

== Notes et références ==
{{Références}}

== Voir aussi ==
=== Bibliographie ===
*{{Article|auteur=Jacques Bouteloup|url=http://www.dma.ens.fr/culturemath/maths/pdf/geometrie/Bouteloup_tucker.pdf|titre=Cercles de Tücker|revue=[[Quadrature (revue)|Quadrature]]|mois=janvier-mars|année=2007}}.
* {{Ouvrage |auteur=Jean-Denis Eiden |titre=Géométrie analytique classique |éditeur=Calvage & Mounet |année=2009 |isbn=978-2-91-635208-4}}.
* Jean Fresnel, ''Méthodes modernes en géométrie''
* Bruno Ingrao, ''Coniques affines, euclidiennes et projectives'', C&M {{ISBN|978-2-916352-12-1}}

=== Articles connexes ===
* [[Cévienne]]
* [[Théorème de Hamilton]]

{{Palette|Triangle}}

{{Portail|géométrie}}

[[Catégorie:Ligne droite]]
[[Catégorie:Géométrie du triangle]]
[[Catégorie:Orthogonalité]]

 		 
[[de:Höhe_(Geometrie)#Höhen_bei_Dreiecken]]
[[he:גובה]]