Voir la source de Hexlet de Soddy

[[Image:Rotating hexlet equator opt.gif|thumb|right|300px|Figure 1 : une famille d'hexlets correspondant à trois sphères fixées (une seule est représentée). Les centres des sphères parcourent une [[ellipse (mathématiques)|ellipse]].]]
[[Image:Kokonsankan 1832 hexlet problem.jpg|thumb|right|150px|Un hexlet de Soddy dans le livre de mathématiques japonais ''Kokonsankan'' (1832).]]

En [[géométrie]], un ''' hexlet de Soddy''' (ou ''' sextuple de Soddy''') est une chaîne de six [[sphère]]s, chacune étant [[géométrie de contact|tangente]] à ses deux voisines et à trois sphères mutuellement tangentes fixées.

En 1937, [[Frederick Soddy]] a démontré qu'il est toujours possible de trouver une famille infinie d'hexlets pour chaque choix des trois sphères. Les hexlets de Soddy avaient été découverts indépendamment au Japon, comme l'ont montré des tablettes [[sangaku]] datant de 1822.

== Historique ==
Le terme "hexlet" semble avoir été créé par Soddy{{sfn|Soddy|1937|p=}} à partir du [[Préfixe (linguistique)|préfixe]] "hex-" six, et [[Suffixe (linguistique)|suffixe]] "-let", à rapprocher du terme tombé en désuétude "hexet", groupe de six bits<ref>{{Lien web |auteur=LE CORRE Olivier |titre=Le dico du web |url=https://www.olecorre.com/search}}</ref>.

Il écrit dans la revue [[Nature (revue)|Nature]] du 5 décembre 1936 <ref>{{Article|langue=en|auteur1=Frederic Soddy|titre=The Hexlet|périodique=Nature|date=5 décembre 1936|lire en ligne=https://www.nature.com/articles/138958a0}}</ref>: 
{{citation bloc|Bien que n'importe quel collier de perles graduées<br/>
Peut convenir en général au sexe féminin, <br/>
Mon Hexlet de conception nouvelle <br/>
Caresse non pas un mais trois cous.}}

== Définition ==
Un hexlet de Soddy est une chaîne de six sphères, notées ici ''S''<sub>1</sub>–''S''<sub>6</sub>, tangentes deux à deux, c'est-à-dire que par exemple ''S''<sub>4</sub> est tangente à ''S''<sub>3</sub> et ''S''<sub>5</sub>, et que la chaîne se referme, ''S''<sub>1</sub> étant tangente à ''S''<sub>6</sub> et ''S''<sub>2</sub> ; chacune des six sphères étant tangente à trois sphères données ''A'', ''B'' et ''C'', lesquelles sont elles-mêmes tangentes deux à deux en trois points distincts. Les six sphères sont également tangentes à une quatrième sphère ''D'' qui n'est pas tangente aux trois sphères ''A'', ''B'' et ''C''. En 1937, [[Frederick Soddy]] a démontré que toute sphère tangente à ''A'', ''B'' et ''C'' appartient à un hexlet de Soddy (éventuellement dégénéré) ; plus précisément, partant de cette sphère ''S''<sub>1</sub> et construisant successivement des sphères tangentes aux trois sphères fixées et à la précédente, la chaîne se referme toujours au bout de six sphères<ref>{{harvsp|Soddy|1937}} ; ce résultat est lui-même un cas particulier du [https://mathworld.wolfram.com/KollrosTheorem.html théorème de Kollros] {{en}}.</ref>.

Sur la figure 1, les six sphères de l'hexlet sont représentées en gris, la sphère ''A'' est représentée en rouge, et la sphère ''D'' en bleu pâle ; les sphères ''B'' et ''C'' ne sont pas représentées.
[[Image:Steiner chain animation opt.gif|right|thumb|150px|Une chaîne de Steiner de six cercles correspondant à l'hexlet de la figure 1.]]
Les centres des sphères de l'hexlet sont coplanaires et appartiennent à une conique (une ellipse dans le cas de la figure 1)<ref>On trouvera [https://books.google.fr/books?id=keNJAAAAMAAJ&pg=PA169&lpg=PA169&dq=centres+des+spheres+tangentes+a+trois+spheres+donnees&source=bl&ots=Z-V0cfCnVG&sig=ASWgfqr2E4lH8aHdxeKX-RCMraM&hl=fr&sa=X&ved=0ahUKEwiv_b-xj5zUAhUDXhoKHcAvCxsQ6AEILTAG#v=onepage&q=centres%20des%20spheres%20tangentes%20a%20trois%20spheres%20donnees&f=false une démonstration d'un résultat plus général] dans le ''Traité de Géométrie descriptive'', de [[Jean Nicolas Pierre Hachette]] (pp. 164–169).</ref>, laquelle est la ligne focale de la {{Lien|langue=en|trad=Dupin cyclide|fr=cyclide de Dupin}} correspondante<ref>Voir ci-dessous, et à l'article [https://www.mathcurve.com/surfaces/cycliddedupin/cyclidededupin.shtml Cyclide de Dupin], sur le site mathcurve.com</ref> ; l'intersection du plan des centres avec les sphères de l'hexlet est une [[chaîne de Steiner]] formée de six cercles<ref name="ogilvy">{{Harvsp|Ogilvy|1990}}</ref>.

== Construction des hexlets par inversion ==
[[Image:Annular Soddy hexlet.jpg|thumb|right|200px|Figure 2 : un hexlet annulaire.]]
L'[[inversion (géométrie)|inversion]] est une transformation géométrique appartenant à l'ensemble des [[transformation de Möbius|transformations de Möbius]], c'est-à-dire qu'elle transforme les sphères en sphères ou en plans (que l'on peut voir comme des sphères de rayon infini). La plupart des résultats concernant les hexlets sont démontrés à l'aide d'une inversion ayant pour centre le point de tangence des sphères ''B'' et ''C'', obtenant une figure correspondant au cas particulier limite où les sphères ''B'' et ''C'' deviennent deux plans parallèles, et où le seul type de solution possible est un ''hexlet annulaire'' (figure 2), formé de six sphères identiques à la sphère ''A''. Par rotation autour de ''A'', on obtient une famille infinie d'hexlets annulaires, tous tangents à une quatrième sphère ''D'', et dont l'[[enveloppe (géométrie)|enveloppe]] est un [[tore]].

Inversant à nouveau la figure, on obtient la solution du cas général (car l'inversion est [[involution (mathématiques)|involutive]], et préserve les tangences) : toute sphère tangente aux trois sphères données appartient à un unique hexlet (éventuellement dégénéré, voir la section suivante), et cet hexlet est également tangent à la sphère image par inversion de ''D''. L'enveloppe de ces hexlets est l'image par inversion du tore enveloppant l'hexlet annulaire ; c'est une {{Lien|langue=en|trad=Dupin cyclide|fr=cyclide de Dupin}} (figure 3).
[[Image:Cyclide.png|thumb|left|Figure 3 : une {{Lien|langue=en|trad=Dupin cyclide|fr=cyclide de Dupin}}, [[enveloppe (géométrie)|enveloppe]] d'une famille d'hexlets correspondant à trois sphères fixées. La cyclide est tangente à ces trois sphères.]]

== Cas de dégénérescence ==
Dans la construction précédente, il peut arriver que le centre d'inversion soit à l'intérieur du tore enveloppe des hexlets annulaires. L'image de certaines sphères d'un des hexlets annulaires est alors un plan, et l'hexlet correspondant est dégénéré. L'analyse quantitative plus précise qui suit suppose pour simplifier que les sphères ''B'' et ''C'' ont le même rayon ''r'', et que ''A'' est de rayon ''R''.

Si ''R'' est plus petit que ''r''/4, aucun hexlet n'est dégénéré, et les centres des sphères parcourent une ellipse (on dit que les hexlets sont ''elliptiques''). Dans ce cas, outre les sphères déjà mentionnées, tous les hexlets sont tangents à deux plans fixes.

Si ''R'' = ''r''/4, l'hexlet est dit ''[[parabole|parabolique]]''. Dans la rotation, chaque sphère devient à tour de rôle un plan (l'un des [[Plan tangent|plans tangents]] à ''A'', ''B'' et ''C''), et les centres des sphères décrivent une parabole. Il n'y a dans ce cas qu'un seul plan tangent à toutes les sphères de l'hexlet.

Si ''R'' est plus grand que ''r''/4, l'hexlet est dit ''[[hyperbole (mathématiques)|hyperbolique]]''. Il n'y a plus aucun plan tangent commun, et les centres décrivent une hyperbole. Un cas particulier limite correspond à ''R'' = ''r'' ; l'hyperbole dégénère alors en deux lignes droites<ref name="ogilvy"/>.

== Tablettes sangaku ==
[[Image:Sangaku of Soddy's hexlet in Samukawa Shrine.jpg|thumb|right|150px|Reconstitution d’une tablette [[sangaku]] représentant un hexlet, au musée Hōtoku du [[Samukawa-jinja]].]]
Les mathématiciens japonais ont étudié des problèmes de contact entre cercles et polygones, ou sphères et polyèdres, et découvrirent souvent les théorèmes correspondant avant les géomètres occidentaux. La tablette [[sangaku]] concernant les hexlets est due à Irisawa Shintarō Hiroatsu, et fut dédiée au [[Samukawa-jinja]] en {{date-|mai 1822}}<ref>{{Harvsp|Rothman|1998}}</ref>. La tablette originale est perdue, mais fut copiée dans le livre de Uchida, ''[[#Kokonsankan|Kokonsankan]]'', en 1832. Partant de ce livre, une réplique du sangaku fut faite pour le musée Hōtoku du Samukawa-jinja en {{date-|août 2009}}<ref>{{en}} ''Dictionary of Wasan'' (''Wasan no Jiten'' en japonais), p. 443</ref>.

Le sangaku d'Irisawa est formé de trois problèmes, le troisième étudiant un hexlet : {{citation|Le diamètre de la sphère extérieure est de 30 [[寸 (sinogramme)|sun]] et celui des sphères centrales de 10 sun et 6 sun. Le diamètre d'une des sphères de la chaîne est de 5 sun. On demande le diamètre des cinq autres balles. La réponse est 15 sun, 10 sun, 3,75 sun, 2,5 sun et 2&nbsp;+&nbsp;8/11 sun<ref>{{en}} ''Sangaku Collection in Kanagawa prefecture'' (''Kanagawa-ken Sangaku-syû'' en japonais), pp. 21–24.</ref>}}.
[[Image:Hexlet-dynamique.gif|thumb|right|150px|Représentation des rayons des sphères.]]
La réponse donne la méthode de calcul des diamètres, sous forme de formules<ref>{{en}} Rothman, ''Japanese Temple Geometry''</ref>. Si le rapport des diamètres de la balle externe aux balles centrales est ''a''<sub>1</sub> et ''a''<sub>2</sub>, et si le rapport de ce diamètre aux balles de l'hexlet est ''c''<sub>1</sub>, ..., ''c''<sub>6</sub>, posant
:<math>K=\sqrt{3\left( a_1 a_2+a_2 c_1+c_1 a_1- \left( \frac{a_1+a_2+c_1+1}{2} \right)^2 \right)}</math>
on a :
:<math>\begin{align}
c_2&=(a_1+a_2+c_1-1)/2-K \\
c_3&=(3a_1+3a_2-c_1-3)/2-K \\
c_4&=2a_1+2a_2-c_1-2 \\
c_5&=(3a_1+3a_2-c_1-3)/2+K \\
c_6&=(a_1+a_2+c_1-1)/2+K.
\end{align}
</math>.
De plus, ''c''<sub>1</sub> + ''c''<sub>4</sub> = ''c''<sub>2</sub> + ''c''<sub>5</sub> = ''c''<sub>3</sub> + ''c''<sub>6</sub>. Si ''r''<sub>1</sub>, ..., ''r''<sub>6</sub> sont les rayons des sphères de
l'hexlet, on a :
: <math>\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_4}=\frac{1}{r_2}+\frac{1}{r_5}=\frac{1}{r_3}+\frac{1}{r_6}.</math>

== Voir aussi ==
* [[Théorème de Descartes (géométrie)|Théorème de Descartes]]
* [[Inversion (géométrie)]]

== Notes ==
{{Références}}

== Références ==
* {{Ouvrage|langue=ja|auteur1=Amano Hiroshi|titre=Kanagawa-ken Sangaku-syū|traduction titre=Collection de sangaku de la préfecture de Kanagawa|éditeur=|année=1992|pages totales=|isbn=}}
* {{article |lang=en|auteur=[[H. S. M. Coxeter]]|titre=Interlocked rings of spheres | journal=[[Scripta Mathematica]]|volume = 18 | année = 1952 | pages = 113-121}}.
* {{Ouvrage|langue=en|auteur1=Hidetoshi Fukagawa|auteur2=[[Tony Rothman]]|titre=Sacred Mathematics|sous-titre=Japanese Temple Geometry|lieu=Princeton|éditeur=[[Princeton University Press]]|année=2008|pages totales=348|isbn=978-0-691-12745-3|lire en ligne=http://press.princeton.edu/titles/8646.html}}
* {{MacTutor|id=Dupin|title=Pierre Charles François Dupin}}
* {{Ouvrage|langue=en|auteur1={{Lien|langue=en|fr=C. Stanley Ogilvy}}|nom1=Ogilvy|titre=Excursions in Geometry|lieu=New York|éditeur=[[Dover Publications|Dover]]|année=1990|pages totales=178|isbn=0-486-26530-7}}.
* {{article|lang=en|auteur=Frederick Soddy|année = 1937|titre=The bowl of integers and the hexlet | journal = [[Nature (revue)|Nature]]|lieu=Londres|pages = 77-79 | volume = 139| doi = 10.1038/139077a0 | numéro=3506}}.
* {{article |lang=en|auteur=Tony Rothman|année = 1998|titre=Japanese Temple Geometry | journal = [[Scientific American]] | volume = 278 | pages = 85-91 | doi=10.1038/scientificamerican0598-84}}.
* {{Ouvrage|langue=ja|auteur1=Katsunori Yamaji|directeur1=oui|auteur2=Tomomi Nishida|directeur2=oui|titre=Wasan no jiten|traduction titre=Dictionnaire des [[mathématiques japonaises]]|éditeur=Asakura|année=2009|pages totales=532|isbn=978-4-254-11122-4}}.

== Liens externes ==
{{Traduction/Référence|en|Soddy's hexlet|748741348}}
{{Liens}}
* {{MathWorld|titre=Hexlet|nom_url=Hexlet}}
* {{lien web|langue=en|lang=en|url=http://members.ozemail.com.au/~llan/soddy.html|titre=Animation of Soddy's hexlet|auteur= B. Allanson}}
* {{en}} [https://web.archive.org/web/20190115175117/http://www.ballstructure.com/Japanese_Math/J_Temple_Geometry.HTM Japanese Temple Geometry]
* {{en}} [https://web.archive.org/web/20160303192234/http://www.wasan.earth.linkclub.com/kanagawa/samukawa.html Reconstitution du sangaku] - Le troisième problème concerne l'hexlet de Soddy.
* {{ja}} {{Anchor|Kokonsankan|}}[https://www.library-archives.pref.fukui.lg.jp/archive/ics/viewer/index?literatureId=2025734&dataId=3117871 La page de ''Kokonsankan'' (1832)] – La page de gauche concerne l'hexlet de Soddy.

{{portail|Géométrie}}

[[Catégorie:Théorème de géométrie]]