Voir la source de Histoire des fonctions trigonométriques

{{à recycler|date=mai 2015|thème=mathématiques}}
[[Image:Plimpton 322.jpg|vignette|Tablette Plimpton 322.]]
L’'''histoire des [[fonction trigonométrique|fonctions trigonométriques]]''' semble avoir débuté il y a environ {{formatnum:4000}} ans. Nous savons de façon certaine que les [[Babylone|Babyloniens]] déterminaient des approximations de mesures d'angles ou de longueurs de côtés de triangles rectangles. Plusieurs tables de nombres gravés sur de l'argile séchée en témoignent. Une [[Tablette de cire|tablette]] babylonienne écrite en [[cunéiforme]], nommée [[tablette Plimpton 322|Plimpton 322]] (environ 1900 av. J.-C.) montre quinze [[triplet pythagoricien|triplets pythagoriciens]] et une colonne de nombres, qui peut être interprétée comme une table de sécantes<ref>{{Ouvrage|langue=en|prénom1=George G.|nom1=Joseph|titre=The Crest of the Peacock|sous-titre=Non-European Roots of Mathematics|lieu=Londres|éditeur=[[Penguin Books]]|année=2000|numéro d'édition=2|pages totales=383-384|isbn=0-691-00659-8}}.</ref>. Il y a cependant de nombreux débats à ce sujet pour savoir s'il s'agit bien d'une table trigonométrique.

== Premières utilisations des rapports de longueur dans le triangle ==

L'utilisation la plus ancienne du sinus apparaît dans les [[Shulba Sutras]] écrits en [[sanskrit|indien ancien]] entre le {{-s|VIII|e}} et le {{s|VI}}, dans lesquels la valeur du sinus de [[π]]/4 radians (45[[Degré (angle)|°]]) est correctement calculée comme égale à 1/√2 avec une procédure pour cercler un carré (l'inverse de [[quadrature du cercle|quarrer un cercle]]), bien que les indiens n'eussent pas encore développé la notion de sinus dans un sens général<ref>{{Harvsp|Joseph|2000|p=232}}.</ref>.
[[Image:Claudius Ptolemaeus.jpg|vignette|Une image artistique de Claudius Ptolémée.]]

Les rapports trigonométriques furent étudiés indépendamment par [[Hipparque (astronome)|Hipparque]] de [[Nicée]] ([[-180]]/[[-125]]) dans un ouvrage « De l'étude des droites dans le cercle »<ref>Cité par [[Théon d'Alexandrie]] dans son ''Commentaire de l'Almageste''. Ed. Rome p. 451 ligne 4, "Δέδεικται μὲν οὖν καὶ Ἱππάρχῳ πραγματεία τῶν ἐν κύκλῳ εὐθειῶν ἐν ιβ βιβλίοις, ἔτι τε καὶ Μενελάῳ ἐν ϛ." "Ce qui concerne les lignes droites dans le cercle a été démontré par Hipparque en 12 livres, et aussi par Ménélas en 6." Rien n'indique que soit donné ici le vrai nom du traité perdu d'Hipparque.</ref>. Hipparque est reconnu comme le premier mathématicien à avoir disposé de « tables trigonométriques » (tables des longueurs d'arcs de cercle et des longueurs des cordes sous-tendues, qui sont en fait des sinus de l'angle moitié<ref name="oconnor1996">{{MacTutor|id=Trigonometric_functions|class=HistTopics|title=Trigonometric functions}}.</ref>) ; elles lui servirent à calculer l'excentricité des orbites lunaire et solaire, et à estimer les grandeurs et distances relatives du Soleil et de la lune. Toutefois, il n'est pas possible d'affirmer à coup sûr qu'il en soit l'initiateur, bien que [[Ptolémée]] (deux siècles plus tard) soit de cet avis : si les [[Histoire des mathématiques|historiens des mathématiques]] s'accordent en général pour désigner Hipparque comme le premier compilateur de tables de cordes, les uns vont jusqu'à en faire l'inventeur de la [[trigonométrie]], alors que d'autres considèrent qu'il s'est borné, en la matière, à présenter de manière pratique des connaissances déjà acquises de longue date<ref>{{Ouvrage|langue=fr|langue originale=de|prénom1=Á|nom1=Szabó|prénom2=E|nom2=Maula|traducteur=Michel Federspiel|titre=Les Débuts de l'astronomie, de la géographie et de la trigonométrie chez les Grecs|lieu=Paris|éditeur=J. Vrin|collection=Mathesis|année=1986|pages totales=238|isbn=2-7116-0911-1}}{{commentaire biblio SRL|Dans l'ensemble de l'ouvrage, les auteurs s'opposent avec force arguments à Neugebauer et Toomer en défendant l'idée d'une évolution progressive et constante des connaissances mathématiques au moins depuis le second tiers du {{s|V}}. Selon eux, les connaissances géométriques, trigonométriques et même, dans une moindre mesure, astronomiques des Grecs sont nettement plus anciennes qu'admis généralement. Sur la question des cordes, voir les {{p.|142}} et suivantes.}}</ref>.

== Formules sur les fonctions trigonométriques ==
Plus tard au même {{s|II}}, [[Ptolémée]] d’[[Alexandrie]] poursuivit ce travail dans son « [[Almageste]] », en établissant des égalités de rapport équivalentes aux formules d'addition et de soustraction donnant {{nobr|sin(''A + B'')}} et cos(''A + B''). Ptolémée établit une formule équivalente à la formule de l’angle moitié sin{{2}}(''A''/2) = (1 – cos''A'')/2 et dressa une table de ses résultats. Aucune des tables d’Hipparque ou de Ptolémée ne survécurent, mais les descriptions faites par d’autres auteurs antiques laissent peu de doute quant à leur existence<ref>{{Ouvrage|langue=en|prénom1=Carl Benjamin|nom1=Boyer|lien auteur1=Carl Benjamin Boyer|prénom2=Uta|nom2=Merzbach|lien auteur2=Uta Merzbach|titre=A History of Mathematics|éditeur=[[John Wiley & Sons]]|année=2011|numéro d'édition=3|année première édition=1968|pages totales=158-168|isbn=978-0-470-63056-3|lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=BokVHiuIk9UC&pg=PA158}}.</ref>.

=== En Inde ===
Les développements significatifs de la trigonométrie suivant furent réalisés en [[Inde]].
L'astronome et [[mathématicien]] indien [[Aryabhata]] ([[476]]-[[550]]), dans son ouvrage ''Arya-[[Siddhanta]]'', définit pour la première fois le sinus (moderne) à partir de la relation entre la moitié d'un angle et la moitié d'une corde, tout en définissant également le cosinus, le contre-sinus (ou [[sinus verse]]), et l'inverse du sinus. Ses travaux contiennent aussi les tables les plus anciennes existant actuellement des valeurs du sinus et du contre-sinus (1&nbsp; − &nbsp; cosinus), de tous les angles compris entre 0° et 90° à intervalles de 3,75°, avec une précision de quatre décimales. Il employait les mots ''jya'' pour le sinus, ''kojya'' pour le cosinus, ''utkramajya'' pour le [[sinus verse]]<ref>{{Article |langue=en |auteur1=Bibhutibhusan Datta|auteur2=Avadesh Narayan Singh|titre=Hindu trigonometry |périodique=Indian Journal of History of Science|numéro=18|date=1983|pages=38-109|lire en ligne=http://www.insa.nic.in/writereaddata/UpLoadedFiles/IJHS/Vol18_1_5_BDatta.pdf |consulté le=17 mars 2017|format=pdf|page=40}} , p.40</ref>. Les mots ''jya'' et ''kojya'' auraient pu devenir ''sinus'' et ''cosinus'' respectivement après une erreur de traduction.

Notre ''sinus'' moderne est dérivé du mot [[latin]] ''sinus'' qui signifie « compartiment » ou « pli », venant d'une traduction erronée (par l'intermédiaire de l'arabe), du mot [[sanskrit]] ''jiva'', aussi écrit ''jya''<ref name="oconnor1996"/>. Aryabhata employait le mot ''ardha-jiva'' (demi-corde), qui fut abrégé en ''jiva'', puis transcrit avec des caractères différents par les [[Arabe]]s en ''jiba'' (جب).
Des traducteurs européens comme [[Robert de Chester]] et [[Gérard de Crémone]] de [[Tolède]] au {{s|XII}} confondirent ''jiba'' avec ''jaib'' ({{Lang|rtl|ar|جب}}), qui désigne un « compartiment », probablement parce que ''jiba'' ({{Lang|rtl|ar|جب}}) et ''jaib'' ({{Lang|rtl|ar|جب}}) sont écrits de la même façon dans le manuscrit arabe (ce [[système d'écriture]], dans une de ses formes, ne fournit pas au lecteur toutes les informations sur les voyelles).

D'autres mathématiciens indiens poursuivirent les travaux d'Aryabhata en trigonométrie. [[Varahamihira]] établit les formules
{{Retrait|<math>\sin^2x+\cos^2x=1,\quad\sin x=\cos\left(\frac{\pi}2-x\right)\quad{\rm et}\quad\frac12\left(1-\cos2x\right)=\sin^2x.</math>}}
[[Bhaskara I]] produisit une formule pour calculer le sinus d'un angle aigu sans utilisation de table.
[[Brahmagupta]] trouva la formule
{{Retrait|<math>1-\sin^2 x = \cos^2 x = \sin^2 \left( \frac{\pi}{2} - x \right)</math>}}
et la formule dite d'{{Lien|Formule d'interpolation de Brahmagupta|trad=Brahmagupta#Interpolation formula|texte=interpolation de Brahmagupta}}, permettant d'approximer les valeurs du sinus, qui apparaît comme un cas particulier de la formule d'interpolation de [[Isaac Newton|Newton]]–[[James Stirling (mathématicien)|Stirling]] au deuxième ordre.

=== Monde perse et musulman ===
 
Les travaux indiens furent traduits plus tard et furent améliorés par les mathématiciens islamiques. Le mathématicien [[Histoire de l'Iran|perse]] [[Muhammad ibn Mūsā al-Khuwārizmī]] produisit des tables des sinus et des tangentes, et apporta aussi sa contribution à la [[trigonométrie sphérique]]. Vers le {{Xe siècle}}, d'après l'œuvre d'[[Abu l-Wafa]], il apparaît que les mathématiciens musulmans employaient chacune des six fonctions trigonométriques, et disposaient de tables à intervalles de 0,25°, avec 8 décimales exactes, ainsi que des tables de valeurs de la fonction tangente. Abu l-Wafa produisit également la formule trigonométrique sin&nbsp;2''x'' = 2&nbsp;sin&nbsp;''x''&nbsp;cos&nbsp;''x''.
Le mathématicien perse [[Omar Khayyam]] résolut les [[équation cubique|équations cubiques]] en employant des solutions numériques approximatives obtenues par interpolation dans des tables trigonométriques.

Tous ces premiers travaux ont traité principalement la trigonométrie comme un complément de l'[[astronomie]] ; il est possible que le mathématicien indien [[Bhaskara II]] et le mathématicien perse [[Nasir ad-Din at-Tusi]] fussent les premiers à avoir considéré la trigonométrie comme un sujet d'étude. Ils énoncèrent aussi la [[loi des sinus]] et énumérèrent les six types de triangles droits en trigonométrie sphérique. [[Regiomontanus]] fut peut-être le premier mathématicien d'Europe à considérer la trigonométrie comme une autre discipline mathématique, dans son ouvrage ''{{lang|la|De triangulis omnimodus}}'' écrit en [[1464]], et aussi dans le suivant ''{{lang|la|Tabulæ directionum}}'' où il utilisa la fonction tangente, sans la nommer.

Au {{XIIIe siècle}}, Nasir ad-Din at-Tusi énonça la [[Loi des sinus|formule des sinus]] et en apporta une preuve. Dans le travail du mathématicien perse [[Ghiyath al-Kashi]] ({{XIVe siècle}}), se trouvent des tables trigonométriques donnant des valeurs de la fonction sinus avec quatre chiffres après la virgule dans le système [[sexagésimal]] (ce qui correspond à 8 décimales exactes dans le [[système de numération]] décimal) à partir de 1 degré à intervalle de 1/60°.
Le mathématicien [[Timourides|timouride]] [[Ulugh Beg]] ({{s|XIV}}) présenta des tables de sinus et de tangentes correctes à 8 décimales après la virgule.

=== Développements ultérieurs ===
[[Madhava de Sangamagrama|Madhava]] (vers [[1400]]) au sud de l'Inde accomplit des avancées en [[analyse (mathématiques)|analyse]] dans l'étude des fonctions trigonométriques et leurs développements en [[série (mathématiques)|séries infinies]].
Il développa les concepts de [[série entière|séries entières]] et de [[série de Taylor|séries de Taylor]], et produisit les développements en [[série trigonométrique|séries trigonométriques]] de sinus, cosinus, tangente et arc tangente. En utilisant les approximations en série de Taylor du sinus et du cosinus, il forma une table de sinus avec douze décimales exactes et une table de cosinus à neuf décimales exactes. Il donna des développements en série de π, π/4, du [[rayon (géométrie)|rayon]], du [[diamètre]], de la [[circonférence]] et de l'angle [[θ]] en termes de fonctions trigonométriques. Ses travaux furent poursuivis par ses disciples à l'[[école du Kerala]] jusqu'au {{s-|XV|e}}<ref>{{MacTutor|id=Madhava|title=Madhava of Sangamagramma}}</ref>.

=== Sinus, cosinus, tangentes etc. ===
Le traité ''{{lang|la|Canon doctrinæ triangulorum}}'' (1551) de [[Georg Joachim Rheticus]], un élève de [[Nicolas Copernic|Copernic]], fut probablement le premier ouvrage dans lequel les fonctions trigonométriques étaient définies directement en termes de triangles rectangles au lieu de cercles, et où figuraient des tables des six fonctions trigonométriques. Une version étendue de ce traité fut achevé en [[1596]] par [[Valentin Otho]] un élève de Rheticus.

En 1579, dans son ''{{Lang|la|Canon Mathematicus}}'', [[François Viète]] prolonge les travaux de [[Georg Joachim Rheticus]] en des tables dont la précision ne sera dépassée que par [[Pitiscus]], en 1613. Il donne les premières<ref>Celles de Rheticus n'étant pas encore publiées par [[Valentin Otho|Otho]].</ref> « formules » (sous forme rhétorique) permettant de relier entre elles les six lignes trigonométriques<ref>{{Ouvrage|prénom1=Michel|nom1=Chasles|lien auteur1=Michel Chasles|titre=Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en géométrie|éditeur=|année=|isbn=|lire en ligne=https://books.google.com/books?id=SZIKAAAAYAAJ&pg=PA54}}.</ref>. L'emploi de ces formules pour calculer rapidement et avec grande précision le sinus d'un angle d'une minute est détaillé dans cet ouvrage volumineux et qui sert de référence pour les calculateurs européens. Viète donne à cette occasion <math>\pi</math> et les valeurs des lignes trigonométriques en nombres décimaux avec une précision de 11 à 12 chiffres. En outre, cet ouvrage étend l'emploi de ces lignes trigonométriques à la trigonométrie sphérique et donne les « formules » permettant de relier les angles et les longueurs d'un triangle rectangle tracé sur la sphère<ref>{{Ouvrage|prénom1=Frédéric|nom1=Ritter|lien auteur1=Frédéric Ritter|titre=La trigonométrie de François Viète|éditeur=|année=|isbn=}}.</ref>.
Le même type de préoccupations occupe alors toute l'Europe. Il est lié tant aux recherches astronomiques qu'à l'essor du commerce maritime. Cela est particulièrement vrai des livres de trigonométrie anglais comme celui de [[Robert Hues]], qui fut imprimé et réimprimé plus de seize fois en vingt ans, ou des préoccupations d'un [[Jacques Aleaume]] à l'[[université de Leyde]].

=== Formules de Moivre et d'Euler ===
{{article détaillé|Formule de Moivre|Formule d'Euler}}
À la suite des travaux de [[Raphaël Bombelli|Bombelli]], les racines de [[nombre négatif|nombres négatifs]] s'imposent dans les calculs en [[Europe]]. Ces nombres ''imaginaires'' ou {{Référence nécessaire|''inconcevables''|date=juin 2012}} deviendront nos [[nombre complexe|nombres complexes]]. Dans un premier temps, les mathématiciens européens découvrent des formules remarquables faisant intervenir l'[[unité imaginaire]] {{math|i}} (à l'époque notée {{sqrt|–1}}). Entre autres, les formules sur sin(''A + B'') et cos(''A + B'') obtenues par Ptolémée se résument avantageusement par
{{Retrait|<math>\cos(x+y)+{\rm i}\sin(x+y) = (\cos x+{\rm i}\sin x)\ (\cos y+{\rm i}\sin y).</math>}}
Cette égalité implique la [[formule de Moivre]]. Pressenti par [[Abraham de Moivre]] en 1730, ce travail fut rédigé par [[Leonhard Euler|Euler]] dans l'ouvrage ''{{lang|la|[[Introductio in analysin infinitorum]]}}'' (1748). Il fut en grande partie à l'origine des considérations analytiques des fonctions trigonométriques en Europe en les définissant à partir de développements en séries, et présenta [[formule d'Euler|sa formule]] : {{math|1=e{{exp|i''x''}} = cos''x'' + i sin''x''}}. Il employa les abréviations modernes ''sin'', ''cos'', ''tan'', ''cot'', ''sec'', et ''csc''.

[[Brook Taylor]] définit les séries de Taylor générales et donna les développements en séries et des approximations de chacune des six fonctions trigonométriques. Les travaux de [[James Gregory (mathématicien)|James Gregory]] et [[Colin Maclaurin]] furent aussi très influents dans le développement des séries trigonométriques.

Le ''[[Cours d'Analyse]]'' de [[Augustin Louis Cauchy|Cauchy]] enseigné à l'[[École polytechnique (France)|École polytechnique]] a permis de rendre plus rigoureuse l'analyse et en particulier de donner un sens à la somme d'une série entière. Avec Cauchy, les travaux cités peuvent rigoureusement être justifiés. Aujourd'hui, dans l'enseignement supérieur, les fonctions cosinus et sinus sont obtenues comme parties réelle et imaginaire de l'[[Fonction exponentielle#Dans le plan complexe|exponentielle complexe]] définie comme somme d'une série entière. Les formules de Ptolémée découlent alors des propriétés de l'exponentielle (présentation à contre-sens historique).

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|History of trigonometry|73084854|type=note}}
{{Références}}

== Liens externes ==
{{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Eli Maor]]|titre=Trigonometric Delights|lieu=Princeton, États-Unis|éditeur=[[Princeton University Press]]|année=2002|pages totales=256|format=6 x 9 in|isbn=978-0-691-09541-7|présentation en ligne=http://press.princeton.edu/titles/6287.html}}{{commentaire biblio SRL|Présente de multiples documents sur l'histoire de la trigonométrie.}}

{{Palette|Histoire des sciences}}
{{portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Histoire de l'analyse]]
[[Catégorie:Trigonométrie]]
[[Catégorie:Nombre complexe]]