Voir la source de Histoire des mathématiques

L’'''histoire des mathématiques''' s'étend sur plusieurs [[millénaire]]s et dans de nombreuses [[Zone géographique|régions du globe]] allant de la [[Chine]] à l’[[Amérique centrale]]. Jusqu'au {{s|XVII}}, le développement des connaissances [[mathématiques]] s’effectue essentiellement de façon cloisonnée dans divers endroits du [[Globe terrestre|globe]]. À partir du {{s mini|XIX}} et surtout au {{s|XX}}, le foisonnement des [[Recherche scientifique|travaux de recherche]] et la [[Mondialisation#Culture|mondialisation des connaissances]] mènent plutôt à un découpage de cette [[histoire]] en fonction des [[Modèle:Palette Domaines des mathématiques|domaines mathématiques]].

== Préhistoire ==
{{article détaillé|Mathématiques préhistoriques}}
L'[[os d'Ishango]] datant de plus de {{unité|20000|ans}} est généralement cité pour être la première preuve de la connaissance des premiers nombres premiers et de la multiplication{{Sfn|Avner Bar-Hen|Quentin Lazzarotto|p=20-22|5=2021}}, mais cette interprétation reste sujette à discussions<ref>[http://www.bibnum.education.fr/mathematiques/algebre/l-os-d-ishango L’os d’Ishango], analyse de O. Keller sur [[bibnum]].</ref>. Il est dit que les [[mégalithe]]s en Égypte au {{Ve}} millénaire avant notre ère ou en Angleterre au {{IIIe}} millénaire incorporeraient des idées géométriques comme les [[cercle]]s, les [[ellipse (mathématiques)|ellipses]] et les [[triplet pythagoricien|triplets pythagoriciens]]{{référence nécessaire}}. En {{formatnum:2600}} avant notre ère, les constructions égyptiennes attestent d'une connaissance empirique et technique de la géométrie, sans qu'il soit toutefois possible de certifier que ces constructions aient été pensées par l'emploi méthodique des mathématiques.

Ces questions ont conduit à un domaine de recherche que l'on appelle l'[[Ethnomathématiques|ethnomathématique]], qui se situe à la frontière de l'[[anthropologie]], de l'[[ethnologie]] et des mathématiques et qui vise entre autres à comprendre l'essor progressif des mathématiques dans les premières civilisations à partir des objets, instruments, peintures, et autres documents retrouvés.

== De Sumer à Babylone ==
{{article détaillé|Mathématiques mésopotamiennes}}
[[Fichier:Plimpton 322.jpg|vignette|[[Plimpton 322]], une tablette babylonienne énumérant les triplets pythagoriciens]]
On attribue généralement le début de l'écriture à [[Sumer]], dans le bassin du [[Tigre (fleuve)|Tigre]] et de l'[[Euphrate]] ou [[Mésopotamie]]. Cette écriture, dite [[cunéiforme]], naît du besoin d'organiser l'irrigation<ref>Arnold Toynbee, ''La grande aventure de l'humanité'', chap. 6.</ref> et le commerce. Conjointement à la naissance de l'écriture naissent les premières mathématiques utilitaires (économie, calculs de surface). Le premier système numérique positionnel apparaît : le [[système sexagésimal]]. Pendant près de deux mille ans, les mathématiques vont se développer dans la région de Sumer, [[Akkad (ville)|Akkad]] puis [[Babylone]]. Les tablettes datant de cette période sont constituées de [[Table numérique|tables numériques]] et de modes d'emploi. C'est ainsi qu'à [[Nippur]] (à une centaine de kilomètres de [[Bagdad]]), ont été découvertes au {{s|XIX}} des tablettes scolaires datant de l'époque paléo-Babylonienne (2000 av. J.-C.)<ref>Babylonian expedition voir [http://www-dapnia.cea.fr/Phocea/file.php?class=std&file=Seminaires/1421/t1421_1.pdf ce document].</ref>. On sait donc qu'ils connaissaient les quatre opérations mais se sont lancés dans des calculs plus complexes avec une très grande précision, comme des [[Algorithmique|algorithmes]] d'extraction de [[racine carrée|racines carrées]]<ref>La tablette [[YBC 7289]] prouve qu'ils connaissaient une valeur approchée de la [[racine carrée de deux]] au millionième près.</ref>, [[racine cubique|racines cubiques]], la résolution d'[[équation du second degré|équations du second degré]]. Comme ils faisaient les divisions par multiplication par l'inverse, les tables d'inverse jouaient un grand rôle. On en a retrouvé avec des inverses pour des nombres à six chiffres sexagésimaux, ce qui indique une très grande précision<ref>Tablettes de Nippur.</ref>.
On a également retrouvé des tablettes sur lesquelles figurent des listes de carrés d'entier, des listes de cubes et une liste souvent interprétée comme celle de [[triplet pythagoricien|triplets pythagoriciens]]<ref>Par exemple, la [[tablette Plimpton 322]].</ref> suggérant qu'ils connaissaient la [[Théorème de Pythagore|propriété des triangles rectangles]] plus de {{formatnum:1000}} ans avant Pythagore. Des tablettes ont aussi été retrouvées décrivant des algorithmes pour résoudre des problèmes complexes<ref>{{MacTutor|class=HistTopics|id=Babylonian_mathematics|title=An overview of Babylonian mathematics}}.</ref>.

Ils étaient capables d'utiliser des [[interpolation linéaire|interpolations linéaires]] pour les calculs des valeurs intermédiaires ne figurant pas dans leurs tableaux. La période la plus riche concernant ces mathématiques est la période de [[Hammurabi]] ({{-s-|XVIII}}). Vers 1000 av. J.-C., on observe un développement du calcul vers l'[[astronomie]] mathématique<ref>{{Ouvrage|langue=en|prénom1=Otto E.|nom1=Neugebauer|lien auteur1=Otto E. Neugebauer|titre=[[The Exact Sciences in Antiquity]]|éditeur=|année=|isbn=}}, {{Langue|en|chap. II (Babylonian Mathematics) et chap. V (Babylonian Astronomy)}}.</ref>.

== Égypte ==
{{Article détaillé|Mathématiques dans l'Égypte antique}}
[[Fichier:Rhind Mathematical Papyrus.jpg|vignette|droite|Le [[papyrus Rhind]], retrouvé dans les années 1850, contient 87 problèmes résolus d'arithmétique, d'algèbre, de géométrie et d'arpentage. Deuxième période intermédiaire, vers 1550 av. J.-C. British Museum.]]
Les meilleures sources sur les connaissances mathématiques en Égypte antique sont le [[Papyrus Rhind]] ([[Deuxième Période intermédiaire]], {{sav-|XX}}) qui développe de nombreux problèmes de géométrie, et le [[Papyrus de Moscou]] (1850 {{av JC}}) et le rouleau de cuir. À ces documents s'ajoutent trois autres papyrus et deux tablettes de bois ; le manque de documents ne permet pas d'attester ces connaissances<ref>{{Mashaal1}}, {{p.|23}} et {{p.|26}}.</ref>. Les Égyptiens ont utilisé les mathématiques principalement pour le calcul des salaires, la gestion des récoltes, les calculs de surface et de volume et dans leurs travaux d'irrigation et de construction (voir [[Histoire des sciences#Sciences égyptiennes|Sciences égyptiennes]]). Ils utilisaient un système d'écriture des nombres [[système de numération|additionnel]] ([[numération égyptienne]]). Ils connaissaient les quatre opérations, étaient familiers du [[fraction égyptienne|calcul fractionnaire]] (basé uniquement sur les inverses d'entiers naturels) et étaient capables de résoudre des équations du premier degré par la méthode de la [[équation du premier degré|fausse position]]. Ils utilisaient une approximation fractionnaire de [[pi|π]]<ref>* [[Sylvia Couchoud]], ''Mathématiques Égyptiennes. Recherches sur les connaissances mathématiques de l’Égypte pharaonique'', éditions Le Léopard d’Or, 2004, {{p.|61-65}}. Le livre reproduit les [[Écriture hiéroglyphique égyptienne|hiéroglyphes]], donne leur traduction et procède à un examen critique du texte.</ref>. Les équations ne sont pas écrites, mais elles sous-tendent les explications données.

== Chine ==
{{article détaillé|Mathématiques chinoises}}
[[Fichier:Qinghuajian, Suan Biao.jpg|vignette|Lamelles de bambou de Tsinghua. Cette collection de lamelles servait vraisemblablement de table de multiplication.]]
La source principale la plus ancienne de nos connaissances sur les [[mathématiques chinoises]] provient du manuscrit de ''Jiǔzhāng Suànshù'' ou ''[[Les Neuf Chapitres sur l'art mathématique]]''<ref>{{ChemlaShuchun}}. Traduction française avec des addenda détaillés et une édition commentée du texte chinois du livre et de son commentaire.</ref>, daté du {{s|I}}, mais regroupant des résultats probablement plus anciens. On y découvre que les [[Chinois (nation)|Chinois]] avaient développé des méthodes de calcul et de démonstration qui leur étaient propres : [[arithmétique]], [[Fraction (mathématiques)|fractions]], extraction des [[racine carrée|racines carrées]] et [[racine cubique|cubiques]], mode de calcul de l'aire du [[disque (géométrie)|disque]], volume de la pyramide et [[Élimination de Gauss-Jordan|méthode du pivot de Gauss]]. Leur développement des [[Algorithmique|algorithmes]] de calcul est remarquablement moderne. Mais on trouve aussi, sur des os de moutons et de bœufs, des gravures prouvant qu'ils utilisaient un [[système décimal]] positionnel ([[numération chinoise]]). Ils sont aussi à l'origine d'[[Abaque (calcul)|abaques]] les aidant à calculer. Les mathématiques chinoises avant notre ère sont principalement tournées vers les calculs utilitaires. Elles se développent ensuite de manière propre entre le {{s mini-|I}} et le {{sap|VII}} puis entre le {{s mini|X}} et le {{s|XIII}}.

== Civilisations précolombiennes ==
{{article détaillé|Mathématiques précolombiennes}}
[[Fichier:Quipu.png|vignette|Exemple de [[quipu]].]]

La [[civilisation maya]] s'étend de [[XXVIe siècle av. J.-C.|2600 {{av JC}}]] jusqu'à [[XVIe siècle|1500 ans {{ap JC}}]] avec un apogée à l'époque classique du {{s|III}} au {{s|IX}}. Les mathématiques sont principalement numériques et tournées vers le comput calendaire et l'astronomie. Les Mayas utilisent un [[système de numération]] positionnel de base vingt ([[numération maya]]). Les sources mayas sont issues principalement des [[Codex maya|codex]] (écrits autour du {{s|XIII}}). Mais ceux-ci ont été en grande majorité détruits par l'[[Inquisition]] et il ne reste de nos jours que quatre codex (celui [[Codex de Dresde|de Dresde]], [[Codex de Paris|de Paris]], [[Codex Tro-Cortesianus|de Madrid]] et [[Codex Grolier|Grolier]]) dont le dernier est peut-être un faux.

La [[Civilisation inca|civilisation Inca]] (1400-1530) a développé un système de numération positionnel en base 10 (donc similaire à celui utilisé aujourd'hui). Ne connaissant pas l'écriture{{#tag:ref|Seules les données archéologiques apportent des informations sur leur organisation.|group=note}}, ils utilisaient des [[quipus]] pour « écrire » les statistiques de l'État. Un quipu est un encordage dont les cordes présentent trois types de nœuds symbolisant respectivement l'unité, la dizaine et la centaine<ref>Marcia Ascher, ''Mathématiques d'ailleurs, Nombres, Formes et Jeux dans les sociétés traditionnelles'', Éditions du Seuil, 1998.</ref>. Un agencement des nœuds sur une corde donne un nombre entre 1 et 999 ; les ajouts de cordes permettant de passer au millier, au million, etc.

== Inde ==

{{Article détaillé|Mathématiques indiennes}}

La [[civilisation de la vallée de l'Indus]] développa un usage essentiellement pratique des mathématiques : système décimal de poids et mesures et régularité des proportions dans la confection de briques. Les sources écrites les plus anciennes concernant les [[mathématiques indiennes]] sont les [[Śulba-Sūtras]] (de [[-800|800 {{av JC}}]] jusqu'à [[200]]). Ce sont des textes religieux écrits en [[sanscrit]] réglementant la taille des autels de sacrifice. Les mathématiques qui y sont présentées sont essentiellement géométriques et sans démonstration. On ignore s'il s'agit de la seule activité mathématique de cette époque ou seulement les traces d'une activité plus générale. Les Indiens connaissaient le [[théorème de Pythagore]], savaient construire de manière exacte la [[quadrature (mathématiques)|quadrature]] d'un rectangle (construction d'un carré de même aire) et de manière approchée celle du cercle. On voit apparaître aussi des approximations fractionnaires de [[pi|π]] et de [[racine carrée de deux]]. Vers la fin de cette période, on voit se mettre en place les neuf chiffres du [[système décimal]].

Il faut ensuite attendre l'époque [[Jaïnisme|jaïniste]] ({{sap|V}}) pour voir naître de nouveaux textes mathématiques. Les mathématiciens de cette époque commencent une réflexion sur l'[[infini]], développent des calculs sur des nombres de la forme ''x''{{exp|1/2{{exp|''n''}}}} qu'ils nomment première racine carrée, seconde racine carrée, troisième racine carrée. De cette époque, datent l'[[Aryabhata]] (499), du nom de son auteur, écrit en sanscrit et en vers, et les traités d'[[astronomie]] et de mathématiques de [[Brahmagupta]] (598-670). Dans le premier, on y trouve des calculs de volume et d'aire, des calculs de [[fonction trigonométrique|sinus]] qui donne la valeur de la demi-corde soutenue par un arc, la [[série (mathématiques)|série]] des entiers, des carrés d'entiers, des cubes d'entiers. Une grande partie de ces mathématiques sont orientées vers l'astronomie. Mais on trouve aussi des calculs de dettes et recettes où l'on voit apparaître les premières règles d'addition et de soustraction sur les [[nombre négatif|nombres négatifs]]. Mais c'est à Brahmagupta que l'on doit les règles opératoires sur le [[zéro]] en tant que nombre et la règle des signes.

== Grèce antique ==

{{Article détaillé|Mathématiques de la Grèce antique}}

[[Fichier:NAMA Machine d'Anticythère 1.jpg|vignette|[[Machine d'Anticythère]], le plus ancien [[calculateur analogique]] connu.]]

À la différence des mathématiques égyptiennes et mésopotamiennes connues par des papyrus ou des tablettes d'argiles antiques remarquablement bien conservées, les mathématiques grecques ne sont pas parvenues jusqu'à nous grâce à des traces archéologiques. On les connait grâce aux copies, traductions et commentaires de leurs successeurs.

La grande nouveauté des mathématiques grecques est qu'elles quittent le domaine de l'utilitaire pour rentrer dans celui de l'abstraction. Les mathématiques deviennent une branche de la [[philosophie]]. De l'[[rhétorique|argumentation philosophique]] découle l'argumentation mathématique<ref>{{Chapitre|langue=fr|prénom1=Bernard|nom1=Vitrac|titre chapitre=6. Figures du mathématicien et représentations des mathématiques en Grèce ancienne (VIe-IVe siècles avant notre ère)|titre ouvrage=Le Savoir public|éditeur=Presses universitaires de Franche-Comté|date=2013|pages totales=169–200|isbn=978-2-84867-456-8|doi=10.4000/books.pufc.23652|lire en ligne=http://books.openedition.org/pufc/23652|consulté le=2024-05-17}}</ref>. Il ne suffit plus d'appliquer, il faut prouver et convaincre : c'est la naissance de la [[démonstration (logique et mathématique)|démonstration]]. L'autre aspect de ces nouvelles mathématiques concerne leur objet d'étude. Au lieu de travailler sur des méthodes, les mathématiques étudient des objets, des représentations imparfaites d'objets parfaits, on ne travaille pas sur un [[cercle]] mais sur l'[[Théorie des formes|idée]] d'un cercle.

Les grandes figures de ces nouvelles mathématiques sont [[Thalès de Milet|Thalès]] ([[-625]] – [[-547]]), [[Pythagore]] ([[-580]] – [[-490]]) et l'[[école pythagoricienne]], [[Hippocrate de Chios|Hippocrate]] ([[-470]] – [[-410]]) et l'[[École de Chios (mathématiques)|école de Chios]], [[Eudoxe de Cnide]] ([[-408]] – [[-355]]) et l'école de [[Cnide]], [[Théétète d'Athènes]] ([[-415]] – [[-369]]) puis [[Euclide (mathématicien)|Euclide]].

Il est probable que cette école grecque des mathématiques ait été influencée par les apports mésopotamiens et égyptiens. Ainsi [[Thalès de Milet|Thalès]] aurait voyagé en Égypte<ref>Pour D.R. Dicks, le séjour en Egypte serait un mythe, ainsi que les attributions de découvertes en mathématiques à Thales par des biographes qui vécurent des siècles après sa mort. ''D.R. Dicks, Thales, Classical Quarterly 9, 1959''</ref>, et il aurait pu rapporter en Grèce des connaissances en géométrie. Il travailla sur les [[Triangle isocèle|triangles isocèles]] et les [[Angle inscrit dans un demi-cercle|triangles inscrits dans un cercle]].

Selon l'[[école pythagoricienne]], « tout est nombre ». Les deux branches d'étude privilégiées sont l'[[arithmétique]] et la [[géométrie]]. La recherche d'objets parfaits conduit les Grecs à n'accepter d'abord comme nombres que les [[nombre rationnel|nombres rationnels]] matérialisés par la notion de longueurs [[Commensurabilité (mathématiques)|commensurables]] : deux longueurs sont commensurables s'il existe une unité dans laquelle ces deux longueurs sont entières. L'échec de cette sélection matérialisée par l'irrationalité de la [[racine carrée de deux]] les conduit à n'accepter que les [[nombre constructible|nombres constructibles]] à la règle et au compas. Ils se heurtent alors aux trois problèmes qui vont traverser l'histoire : la [[quadrature du cercle]], la [[trisection de l'angle]] et la [[duplication du cube]]. En arithmétique, ils mettent en place la notion de [[nombre pair]], [[nombre impair|impair]], [[nombre parfait|parfait]] et [[nombre figuré|figuré]].

Cette idéalisation des nombres et le souci de les relier à des considérations géométriques est probablement lié au système de [[numération grecque]] assez peu pratique : si le système est décimal, il est [[Système de numération|additif]] et se prête donc assez peu facilement aux calculs numériques. En géométrie, ils étudient les [[polygone|polygones réguliers]] avec un penchant pour le [[pentagone régulier]].

[[Hippocrate de Chios]] cherchant à résoudre le problème mis en place par Pythagore découvre la quadrature des [[théorème des deux lunules|lunules]] et perfectionne le principe de la démonstration en introduisant la notion de problèmes équivalents.

[[Eudoxe de Cnide]] travaille sur la théorie des proportions acceptant ainsi de manipuler des rapports de [[Nombre irrationnel|nombres irrationnels]]. Il est probablement à l'origine de la formalisation de la [[méthode d'exhaustion]] pour le calcul par approximations successives d'aires et de volumes.

Théétète travaille sur les [[polyèdre régulier|polyèdres réguliers]].

La synthèse la plus importante des mathématiques grecques vient des ''[[Éléments d'Euclide|Éléments]]'' d’[[Euclide]]. Les objets géométriques doivent être définis : il ne s'agit plus d'objets imparfaits mais de l'idée parfaite des objets. Dans ses ''Éléments'', Euclide se lance dans la première formalisation de la pensée mathématique. Il définit les objets géométriques (droites, cercles, angles), il définit l'espace par une série d'axiomes, il démontre par [[démonstration directe|implication]] les propriétés qui en découlent et fait le lien formel entre nombre et longueur. Cet ouvrage restera dans le cursus mathématique universitaire européen jusqu'au {{s|XIX}}.

Après Euclide, d'autres grands noms éclairent les mathématiques grecques. [[Archimède]] qui perfectionne les méthodes d'Eudoxe, et [[Apollonios de Perga]] dont le traité sur les [[conique]]s est considéré comme un classique de la géométrie grecque.

Dans l'antiquité tardive, les mathématiques sont représentées par l'école d'[[Alexandrie]].

[[Diophante]] étudiera les [[Équation diophantienne|équations dites diophantiennes]], et sera appelé le « père de l'[[algèbre]] ».

== Civilisation islamique ==

{{Article détaillé|Mathématiques arabes}}

[[Fichier:Image-Al-Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-l-muqābala.jpg|vignette|Une page du traité de [[Al-Khawarizmi]].]]

Durant la période allant de [[800]] à [[1500]] {{ap JC}}, c'est dans les régions conquises par les musulmans que se développent le plus les mathématiques. La langue [[arabe]] devient langue officielle des pays conquis. Un vaste effort de recueils et de commentaires de textes est entrepris. S'appuyant d'une part sur les mathématiques grecques, d'autre part sur les mathématiques indiennes et chinoises que leurs relations commerciales leur permettent de connaître, les [[mathématicien]]s musulmans vont considérablement enrichir les mathématiques, développant l'embryon de ce qui deviendra l'[[algèbre]], répandant le [[système décimal]] indien avec les chiffres improprement appelés [[chiffre arabe|chiffres arabes]] et développant des [[Algorithmique|algorithmes]] de calculs. Parmi les nombreux mathématiciens musulmans, on peut citer le Perse [[Al-Khwarizmi]] et son ouvrage ''[[Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison|al-jabr]]''. On assiste à un développement important de l'[[astronomie]] et de la [[trigonométrie]].

== Occident ==
=== Durant le Moyen Âge ===

[[Fichier:Woman teaching geometry.jpg|vignette|gauche|Illustration des ''Éléments'' d'[[Euclide]], vers 1309 - 1316.]]

À l'époque du [[Haut Moyen Âge]] ({{sp|V|e|-|X|e|}}), on a souvent dit que les mathématiques stagnent et même régressent en Occident. Cependant, bien que la situation des sciences ne fût pas idéale, les mathématiques ne sont pas mortes<ref>{{Ouvrage |langue=de |auteur1=Hans Wussing |titre=6000 Jahre Mathematik |sous-titre=Eine kulturgeschichtliche Zeitreise |volume=I |éditeur=Springer |année=2008 |pages totales=529 |passage=267 |isbn=978-3-540-77189-0}}</ref>. Un sujet central était le [[Histoire du calcul de la date de Pâques|calcul de la date de Pâques]]<ref name="Wussing269">{{Ouvrage |langue=de |auteur1=Hans Wussing |titre=6000 Jahre Mathematik |sous-titre=Eine kulturgeschichtliche Zeitreise |volume=I |éditeur=Springer |année=2008 |pages totales=529 |passage=269 |isbn=978-3-540-77189-0}}</ref>. On peut aussi mentionner le recueil d'exercices ''[[Propositiones ad acuendos juvenes]]'' ("Exercices pour stimuler les jeunes"), traditionnellement attribué à [[Alcuin]]<ref name="Wussing269" />.

Aux alentours de l'[[an Mil]], Gerbert d'Aurillac (environ 950 - 1003) (moine bénédictin qui deviendra pape sous le nom de [[Sylvestre II]]) fait un séjour dans le monastère de Vic en Catalogne. A son retour, il introduit en Occident l'[[astrolabe]], un nouveau type d'[[Abaque (calcul)|abaque]], et peut-être déjà une première fois les [[chiffres arabes]]<ref>{{Ouvrage|langue=it|auteur1=Nadia Ambrosetti|titre=L'eredità arabo-islamica nelle scienze e nelle arti del calcolo dell'Europa medievale|lieu=Milan|éditeur=LED|année=2008|pages totales=410|passage=96-97|isbn=978-88-7916-388-0|lire en ligne={{Google Livres|wp23Le5nxMEC|page=96}}|consulté le=2015-11-23}}</ref>.

Pour le {{s|X}}, on peut aussi mentionner [[Abraham bar Hiyya]], un Juif de Barcelone qui écrivit notamment un traité (détaillant l'''Algèbre'' d'[[Al-Khwarizmi]]) sur le calcul des aires et des volumes, y compris les équations du second degré<ref>{{Ouvrage|langue=it|auteur1=Nadia Ambrosetti|titre=L'eredità arabo-islamica nelle scienze e nelle arti del calcolo dell'Europa medievale|lieu=Milan|éditeur=LED|année=2008|pages totales=410|passage=109|isbn=978-88-7916-388-0|lire en ligne={{Google Livres|wp23Le5nxMEC|page=96}}|consulté le=2015-11-23}}</ref>. Il contribua ainsi à développer les mathématiques en Europe et a même été appelé "le véritable pionnier des sciences mathématiques en Europe"<ref>{{Citation|the true pioneer of mathematical science in Europe.}}
{{Article |langue=en |auteur1= M. Levey |titre= Abraham Savasorda and His Algorism: A Study in Early European Logistic |périodique= Osiris |numéro=11 |date=1954}}, cité dans:
{{Ouvrage|langue=it|auteur1=Nadia Ambrosetti|titre=L'eredità arabo-islamica nelle scienze e nelle arti del calcolo dell'Europa medievale|lieu=Milan|éditeur=LED|année=2008|pages totales=410|passage=212|isbn=978-88-7916-388-0|lire en ligne={{Google Livres|wp23Le5nxMEC|page=96}}|consulté le=2015-11-23}}</ref>.

Le rôle de la musique fut essentiel au [[Moyen Âge]] pour l'extension du domaine des nombres. C'est durant le Moyen Âge que l'application de l'algèbre au commerce amena en Orient l'usage courant des nombres irrationnels, un usage qui se transmettra ensuite à l'Europe. C'est aussi durant le Moyen Âge, mais en Europe, que pour la première fois des solutions négatives furent acceptées dans des problèmes.

=== Durant la renaissance européenne ===

Dès le {{s|XII}} est entreprise en Italie une traduction des textes arabes et, par là-même, la redécouverte des textes grecs<ref>{{Harvsp|Mashaal|2004|p=51}}.</ref>. [[Tolède]], ancien centre culturel de l'[[Espagne]] musulmane, devient, à la suite de la [[Reconquista]], l'un des principaux centres de traduction, grâce au travail d'intellectuels comme [[Gérard de Crémone]] ou [[Adélard de Bath]].

L'essor économique et commercial que connaît alors l'Europe, avec l'ouverture de nouvelles routes commerciales notamment vers l'Orient musulman, permet également aux milieux marchands de se familiariser avec les techniques transmises par les Arabes. Ainsi, [[Léonard de Pise]], avec son ''[[Liber abaci]]'' en [[1202]], contribue largement à faire redécouvrir les mathématiques à l'Europe. Parallèlement au développement des sciences, se concentre une activité mathématique en Allemagne, en Italie et en [[Pologne]] aux {{s|XIV}} et {{s|XV}}. On assiste à un développement important de l'école italienne avec [[Scipione del Ferro]], [[Tartaglia]], [[Girolamo Cardano|Cardan]], [[Ludovico Ferrari|Ferrari]], [[Raphaël Bombelli|Bombelli]], école principalement tournée vers la résolution des équations. Cette tendance est fortement liée au développement dans les villes italiennes de l'enseignement des mathématiques non plus dans un but purement théorique tel qu'il pouvait l'être dans le [[Quadrivium]] mais à des fins pratiques, notamment destinée aux marchands. Cet enseignement se diffuse dans des ''botteghe d'abbaco'' ou « écoles d'abaques » où des ''maestri'' enseignent l'arithmétique, la géométrie et les méthodes calculatoires à de futurs marchands à travers des problèmes récréatifs, connus grâce à plusieurs « traités d'abbaque » que ces maîtres nous ont laissés<ref>Van Egmond, Warren, ''The Commercial Revolution and the beginnings of Western Mathematics in Renaissance Florence, 1300-1500'', éd. University of Michigan UMI Dissertation Services, Ann Arbor, Michigan, États-Unis, 628 p.</ref>.

C'est à la suite des travaux de Scipione del Ferro, repris par Tartaglia, et publiés par Cardan sur l'équation de degré trois que les [[Nombre complexe|nombres complexes]] furent introduits. Ils trouvent une première formalisation chez Rafaele Bombelli. Ferrari résout les équations du quatrième degré.

Jusqu'à la fin du {{s|XVI}}, la résolution de problèmes demeure cependant rhétorique. Le [[calcul algébrique]] apparaît en [[1591]] lors de la publication de l’''[[algèbre nouvelle|Isagoge]]'' de [[François Viète]] avec l'introduction de notations spécifiques pour les constantes et les variables (ce travail popularisé et enrichi par [[Thomas Harriot|Harriot]], [[Pierre de Fermat|Fermat]] et [[René Descartes|Descartes]] modifiera entièrement le travail algébrique en Europe).

=== Le {{s-|XVII}} ===

{{Article détaillé|Mathématiques en Europe au XVIIe siècle}}

En octobre [[1623]], [[Galilée (savant)|Galilée]] publie un ouvrage sur les comètes, ''[[Il Saggiatore]]'', dans lequel il énonce la mathématisation de la physique :
{{citation bloc| La philosophie est écrite dans cet immense livre qui se tient toujours ouvert devant nos yeux, je veux dire l'univers, mais on ne peut le comprendre si l'on ne s'applique d'abord à en comprendre la langue et à connaitre les caractères dans lesquels il est écrit. Il est écrit en langue mathématique, et ses caractères sont des triangles, des cercles et autres figures géométriques, sans le moyen desquels il est humainement impossible d'en comprendre un mot<ref name="SJ6JJF">{{Ouvrage|auteur1=Galilée|traducteur=[[Christiane Chauviré|C. Chauviré]]|titre=L’Essayeur de Galilée|éditeur=[[Les Belles Lettres]]|année=1980|passage=141|isbn=|lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=hUiOjMZ5tscC&pg=PA141}}</ref>.}}

Au-delà de l'[[héliocentrisme]], se produit avec Galilée une [[Révolution copernicienne|grande révolution mentale]], qui est celle de la mathématisation de la nature, c'est-à-dire l'idée que la langue du livre de la nature est celle des mathématiques<ref>[[Fabien Revol]], ''Penser l'écologie dans la tradition catholique'', Labor et Fides, p. 154-155</ref>. Cette révolution remet en cause la primauté de la [[scolastique]], réconciliation du [[christianisme]] et de la philosophie d'[[Aristote]], qui était le fondement des enseignements délivrés dans les universités européennes depuis le {{s|XIII}}.

En [[1637]], dans le ''[[Discours de la méthode]]'', [[Descartes]] fait part de son goût pour les mathématiques lors de ses études au collège de la Flèche, et annonce leur développement futur<ref>René Descartes, ''[[Discours de la méthode]]'', Première partie</ref> :
{{Citation bloc|Je me plaisais surtout aux mathématiques, à cause de la certitude et de l’évidence de leurs raisons : mais je ne remarquais point encore leur vrai usage ; et, pensant qu’elles ne servaient qu’aux arts mécaniques, je m’étonnais de ce que leurs fondements étant si fermes et si solides, on n’avait rien bâti dessus de plus relevé.}}
Dans la sixième partie du même ''Discours de la méthode'', Descartes critique la scolastique : « au lieu de cette philosophie spéculative qu'on enseigne dans les écoles... ».

Les mathématiques portent alors leur regard sur des aspects physiques et techniques. Créé indépendamment par [[Isaac Newton]] et [[Gottfried Wilhelm Leibniz]], le [[calcul infinitésimal]] fait entrer les mathématiques dans l'ère de l'[[Analyse (mathématiques)|analyse]] ([[dérivée]], [[intégration (mathématiques)|intégrale]], [[équation différentielle]]).

=== Le {{s-|XVIII}} ===
[[Fichier:Leonhard Euler.jpg|droite|vignette|[[Leonhard Euler]] par [[Emanuel Handmann]].]]
L'univers mathématiques du début du {{s|XVIII}} est dominé par la figure de [[Leonhard Euler]]<ref>{{DahanPeiffer}}, p. 199. Egalement : A. Warusfel, ''Euler : les mathématiques et la vie'', Éditions Vuibert, 2009.</ref> et par ses apports tant sur les fonctions que sur la théorie des nombres, tandis que [[Joseph-Louis Lagrange]] éclaire la seconde moitié de ce siècle.

Le siècle précédent avait vu la mise en place du [[calcul infinitésimal]] ouvrant la voie au développement d'un nouveau domaine mathématique : l'analyse algébrique dans laquelle, aux opérations algébriques classiques, viennent s'ajouter deux opérations nouvelles, la différentiation et l'intégration (''[[Introductio in analysin infinitorum]]'' - Euler, 1748). Le calcul infinitésimal se développe et s'applique aussi bien aux domaines physiques ([[Mécanique (science)|mécanique]], [[mécanique céleste]], [[optique]], [[corde vibrante|cordes vibrantes]]) qu'aux domaines géométriques (étude de courbes et de surfaces). [[Leonhard Euler]], dans ''Calculi differentialis'' (1755) et ''Institutiones calculi integralis'' (1770), essaie de mettre au point les règles d'utilisation des infiniment petits et développe des méthodes d'intégration et de résolution d'équations différentielles. [[Jean le Rond d'Alembert]] puis [[Joseph-Louis Lagrange]] lui emboîtent le pas. En 1797, [[Sylvestre-François Lacroix]] publie ''Traité du calcul différentiel et intégral'' qui se veut une synthèse des travaux d'analyse du {{s-|XVIII}}. La famille [[Bernoulli]] contribue au développement de la résolution des [[équation différentielle|équations différentielles]].

La fonction devient un objet d'étude à part entière. On s'en sert dans des problèmes d'optimisation. On la développe en séries entières ou asymptotiques ([[Brook Taylor|Taylor]], [[James Stirling (mathématicien)|Stirling]], Euler, [[Colin Maclaurin|Maclaurin]], Lagrange), mais sans se préoccuper de leur convergence. Leonhard Euler élabore une classification des fonctions. On tente de les appliquer à des réels négatifs ou à des complexes<ref>Controverse entre Leibniz et Jean Bernoulli sur les logarithmes des nombres négatifs ou imaginaires - 1712.</ref>.

Le [[théorème fondamental de l'algèbre]] (existence de racines éventuellement complexes à tout polynôme) resté sous forme de conjecture depuis deux siècles est remis en avant dans l'utilisation de la [[fraction partielle|décomposition des fractions en éléments simples]] nécessaire pour le calcul intégral. Successivement, Euler (1749), le [[François Daviet de Foncenex|chevalier de Foncenex]] (1759) et Lagrange (1771) tentent des démonstrations algébriques mais se heurtent à la partie transcendante du problème (tout polynôme de degré impair sur ℝ possède une racine réelle) qui nécessiterait l'utilisation du théorème des valeurs intermédiaires<ref>{{Harvsp|DahanPeiffer|p=251}}.</ref>. La démonstration de D'Alembert, publiée en 1746 dans les annales de l'académie de Berlin, est la plus achevée mais présente encore quelques trous et des obscurités. Gauss, en 1799, qui critique d'Alembert sur ces points n'est d'ailleurs pas exempté des mêmes reproches. Il faut à un moment faire intervenir un résultat d'analyse fort que le siècle ne connaît pas. De plus, l'obstacle se situe dans la question des points de branchement : on retrouve ici une question déjà débattue lors de la polémique sur les logarithmes des nombres négatifs que tranchera Euler. La seconde et la troisième démonstration de Gauss ne souffrent pas de ces reproches mais on n'est plus au {{s-|XVIII}}...

En arithmétique, Euler démontre le [[petit théorème de Fermat]] et en donne une version élargie aux nombres composés (1736-1760). Il infirme la conjecture de Fermat sur la primalité des nombres de la forme 2{{exp|2{{exp|''n''}}}} + 1 ([[nombre de Fermat]])<ref name="BouvItardSallé">{{BouvItardSallé}}, p. 52.</ref>. Il s'intéresse à la répartition des nombres premiers et prouve que la série des inverses des [[nombre premier|nombres premiers]] est divergente<ref>Léonard Euler, ''Variae observationes circa series infinitas'', théorème 7, Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 9, (1744), 160-188, ou ''Opera Omnia, Series 1'', vol. 14, p. 217-244. Téléchargeable à [http://www.math.dartmouth.edu/~euler/docs/originals/E072.pdf].</ref>. La [[Théorème des quatre carrés de Lagrange|conjecture de Bachet]] (tout nombre est somme de 4 carrés au plus) est démontrée par Lagrange en 1770. C'est aussi Lagrange qui démontre en 1771 le [[théorème de Wilson]] (si ''p'' est premier, il divise (''p ''– 1)! + 1). Il développe la technique de décomposition en [[fraction continue|fractions continues]] et démontre l'infinité des solutions de l'[[équation de Pell-Fermat]]<ref name="BouvItardSallé"/>. [[Adrien-Marie Legendre|Legendre]] publie en 1798 sa ''Théorie des nombres'' qui rassemble un grand nombre de résultats d'arithmétique<ref>{{Harvsp|DahanPeiffer|p=112}}.</ref>. La [[loi de réciprocité quadratique]] conjecturée par Euler et Legendre ne sera démontrée que le siècle suivant.

Durant ce siècle, les mathématiciens continuent de s'intéresser aux résolutions algébriques des équations. Le premier essai systématique sur la résolution des équations algébriques était l'œuvre de [[Ehrenfried Walther von Tschirnhaus|Tschirnhaus]] en 1683. Euler lui-même, dans deux essais, ne va pas au-delà de son devancier et en 1762, [[Étienne Bézout]] introduit la notion de racine de l'unité. Entre 1770 et 1772, on peut citer trois grands mémoires plus originaux : celui de [[Edward Waring|Waring]], celui d'[[Alexandre-Théophile Vandermonde]] (1771) sur la résolubilité par radicaux des équations ''x{{exp|n}} ''– 1 = 0 ([[polynôme cyclotomique|équation cyclotomique]]) qui est un précurseur dans l'utilisation des permutations des racines<ref>{{Harvsp|DahanPeiffer|p=114}}.</ref> et celui de Lagrange (1770) qui rassemble toutes les méthodes de résolutions déjà tentées mais va introduire les résolvantes de Lagrange et démontrer, dans un langage où la notion de groupe n'existe pas encore, le théorème de Lagrange : l'ordre d'un sous-groupe d'un groupe fini divise l'ordre du groupe. Ces deux derniers mathématiciens mettent en évidence l'importance des racines et de leurs permutations mais il faut attendre le siècle suivant pour voir naitre la notion de [[groupe de permutations]].

La [[géométrie analytique]] se développe et s'étend de l'étude des courbes à celle des surfaces. Euler étudie l'équation générale du second degré à trois variables et présente une classification des solutions. [[Alexis Claude Clairaut|Alexis Clairaut]] étudie les courbes gauches (1729). [[Gabriel Cramer]] publie en 1750 un traité sur les [[courbes algébriques]]. La grande figure de la géométrie du {{XVIIIe|s}} reste [[Gaspard Monge]]<ref name="Bouveresse, Itard p 74">{{BouvItardSallé}}, p. 74.</ref> : il développe la géométrie différentielle avec l'étude des tangentes et crée une nouvelle discipline : la [[géométrie descriptive]]. Leonhard Euler développe le calcul trigonométrique, met en place les formules de calcul de la géométrie sphérique et replace les fonctions circulaires dans l'ensemble général des fonctions, les développant en séries entières ou en produits infinis et découvrant une relation entre les fonctions circulaires et les fonctions exponentielles

Le siècle voit l'apparition de quelques théoriciens de la logique. Leonhard Euler met au point une méthode de représentation figurée des déductions syllogistiques (diagramme d'Euler), [[Jean-Henri Lambert]] travaille sur la logique des relations<ref name="Bouveresse, Itard p 74"/>.

C'est aussi le siècle qui s'attaque aux premiers exemples de ce qui va devenir la [[théorie des graphes]]. Euler résout en 1736 le [[problème des sept ponts de Königsberg]] et, en 1766, énonce le théorème des circuits eulériens : un [[graphe connexe]] admet une chaîne eulérienne si et seulement si le nombre de ses sommets de degré impair est 0 ou 2. Il s'attaque au [[problème du cavalier]] en 1759 mais ne publie rien jusqu'en 1766. Il s'agit d'un cas particulier de graphes hamiltoniens. Le problème du cavalier est connu depuis fort longtemps. Vers 840, [[Al-Adli|al-Adli ar-Rumi]] en donne une solution. Le poète [[Cachemiris|cachemiri]] [[Rudrata]] en parlait aussi dans son ''Kavyalankara''.

Mais le siècle est fécond aussi en conjectures qui resteront des énigmes pendant plus d'un siècle : le [[Conjecture de Goldbach|problème de Goldbach]], le [[problème de Waring]]<ref>Waring, ''Meditationes algebricae'', 1770, p. 203-204.</ref>…

Le siècle voit aussi Legendre s'échiner pendant des années sur les intégrales elliptiques. Malheureusement pour lui, même s'il fait l'admiration d'Euler en ce domaine, la solution de la question allait lui échapper au profit d'Abel.

Le {{s-|XVIII}} est aussi celui de l'''[[Encyclopédie ou Dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers|Encyclopédie]] ''dans laquelle [[Jean le Rond d'Alembert]] fait un état des lieux des mathématiques de ce siècle.

== Japon ==

{{article détaillé|Mathématiques japonaises}}

Durant la [[période Edo]] (1603 - 1868), au [[Japon]], se développe une mathématique sans influence de la mathématique occidentale mais inspirée de la mathématique chinoise, travaillant sur des problèmes d'essence géométrique. Des énigmes géométriques sont posées et résolues sur des tablettes en bois appelées [[Sangaku]].

Par exemple, le mathématicien [[Kowa Seki]] invente vers 1680 la méthode d'[[Accélération#Accélération de la convergence en mathématiques|accélération de convergence]] appelée [[Delta-2]] et attribuée à [[Alexander Aitken]] qui l'a redécouverte en 1926 et popularisée<ref>[http://math.univ-lille1.fr/~bbecker/ano/pub/2001/ano421.pdf Claude Brezinski. ''Convergence acceleration during the 20th century''. J. Comput. Appl. Math, 122:1–21, 2000.]</ref>.

== {{s-|XIX}} ==

L'histoire mathématique du {{s-|XIX}} est riche. Trop riche pour qu'en un essai de taille raisonnable on puisse couvrir la totalité des travaux de ce siècle. Aussi ne doit-on attendre de cette partie que les points saillants des travaux de ce siècle.

Le {{s-|XIX}} vit apparaître plusieurs théories nouvelles et l'accomplissement des travaux entrepris au siècle précédent. Le siècle est dominé par la question de la rigueur. Celle-ci se manifeste en analyse avec Cauchy et la sommation des séries. Elle réapparaît à propos de la géométrie. Elle ne cesse de se manifester en théorie des fonctions et particulièrement sur les bases du calcul différentiel et intégral au point de voir disparaître totalement ces infiniment petits qui avaient pourtant fait le bonheur du siècle précédent. Mais plus encore, le siècle marque la fin de l'amateurisme mathématique: les mathématiques étaient jusque-là surtout le fait de quelques particuliers suffisamment fortunés soit pour étudier eux-mêmes soit pour entretenir quelques génies. Au {{s-|XIX}}, tout cela prend fin : Les mathématiciens deviennent des professionnels appointés. Le nombre de ces professionnels ne cesse de croître et avec ce nombre, les mathématiques prennent une importance jamais atteinte, comme si la société tout entière prenait enfin conscience du formidable outil. Les applications, en germe dans le siècle précédent, se développent rapidement dans tous les domaines, laissant croire que la science peut tout. D'ailleurs, certains succès sont là pour en attester. N'a-t-on pas découvert une nouvelle planète uniquement par le calcul ? N'a-t-on pas expliqué la création du [[système solaire]] ? Le domaine de la physique, science expérimentale par excellence est complètement envahi par les mathématiques: la chaleur, l'électricité, le magnétisme, la [[mécanique des fluides]], la [[résistance des matériaux]] et l'élasticité, la cinétique chimique sont à leur tour mathématisés au point que le bon vieux cabinet de curiosité du {{s-|XVIII}} finissant est remplacé par un tableau noir. Et le vaste champ de la science s'étend encore et encore. Certes, on ne dit plus ce presque lieu commun du {{s-|XVIII}} que les sciences mathématiques seront bientôt achevées et qu'il faudra « fermer la mine », à la place on se met à rêver à la machine de Leibniz qui répondrait à toutes les questions. On va même jusqu'à quantifier le hasard ou l'incertain, histoire de se rassurer. Cournot veut appliquer le calcul des probabilités en matière judiciaire pour arriver à cette stupéfiante, et combien rassurante, conclusion qu'il y a moins de deux pour cent d'erreurs judiciaires ! Les mathématiques s'insinuent jusqu'à la structure intime de la matière: plusieurs théories de la lumière et les prémices<!-- prémisse = hypothèse, prémices = débuts --> de la théorie de la relativité chez Lorentz qui complète la théorie électromagnétique de Maxwell. La tendance à la rigueur, commencée au début du {{s-|XIX}}, ne verra son accomplissement qu'au début du {{s-|XX}} par la remise en cause de bien des a priori.
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Image:Joseph-Louis Lagrange.jpeg|[[Joseph-Louis Lagrange]]
Image:Cauchy Augustin Louis dibner coll SIL14-C2-03a.jpg|[[Augustin Louis Cauchy]]
Image:Carl Friedrich Gauss.jpg|[[Carl Friedrich Gauss]]
Image:Georg Friedrich Bernhard Riemann.jpeg|[[Bernhard Riemann]]
Image:Pierre-Simon Laplace.jpg|[[Pierre-Simon de Laplace]]
Image:WilliamRowanHamilton.jpeg|[[William Rowan Hamilton]]
Image:Young frege.jpg|[[Gottlob Frege]]
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=== Revues de mathématiques ===
* Il existait depuis la fin du {{s|XVII}} quelques académies qui publiaient leurs travaux et des résumés annuels. De plus quelques journaux avaient fleuri, tels que les ''[[Acta Eruditorum]]'' édités par [[Otto Mencke]] à Leipzig ou les commentaires de Petersbourg rendus célèbres par Euler. Mais ces journaux ou revues n'étaient pas spécialisés dans les mathématiques et accueillaient des mémoires de philosophie, d'histoire, de botanique, aussi bien que de mathématiques. Le début du {{XIXe}} va voir apparaître des revues qui se spécialiseront dans la publication des mathématiques. Les éditeurs de ces revues sont [[André Étienne Justin Pascal Joseph François d'Audebert de Férussac|Ferussac]] (pour ''le [[Bulletin général et universel des annonces et des nouvelles scientifiques]]''), [[Gergonne]] (pour les ''[[Annales de Gergonne|Annales de mathématiques pures et appliquées]]''), [[August Leopold Crelle|Crelle]] (pour le ''[[Journal für die reine und angewandte Mathematik]]''), [[Joseph Liouville|Liouville]] (pour le ''[[Journal de mathématiques pures et appliquées]]'') pour n'en donner que quatre avant 1840. Elles seront bientôt suivies par une foule d'autres revues que chaque université un peu célèbre se plait à financer, tels les ''[[Acta Mathematica]]'' de [[Mittag-Leffler]] en 1882.

=== Mécanique ===

[[Fichier:Kovalevskaïa.jpg|vignette|[[Sofia Kovalevskaïa]].]]
* La mécanique de Newton opère sa révolution. Utilisant le principe (variationnel) de moindre action de [[Pierre Louis Moreau de Maupertuis|Maupertuis]], [[Joseph Louis Lagrange|Lagrange]] énonce les conditions d'optimalité du premier ordre qu'Euler avait trouvées en toute généralité et trouve ainsi les équations de la mécanique qui portent son nom. Par la suite, [[William Rowan Hamilton|Hamilton]], sur les pas de Lagrange, exprime ces mêmes équations sous une forme équivalente. Elles portent aussi son nom. La théorie naissante des espaces de Riemann permettra de les généraliser commodément.
* [[Charles-Eugène Delaunay|Delaunay]], dans un calcul extraordinaire, fait une théorie de la Lune insurpassée<ref>Charles Delaunay, Théorie du mouvement de la lune, 1860-1867, {{lire en ligne|url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN374745188}}.</ref>. Faye<ref>H. Faye, Discours aux funérailles, 1872.</ref> s'exprime ainsi à ses funérailles (1872) : « Travail énorme, que les plus compétents jugeaient impossible avant lui, et où nous admirons à la fois la simplicité dans la méthode et la puissance dans l'application ». Il résolut de faire le calcul au {{7e|ordre}} là où ses devanciers (Clairaut, Poisson, Lubbock…) s'étaient arrêtés au {{5e}}.
* [[Urbain Le Verrier|Le Verrier]]<ref>''[[CRAS]]'', 10 novembre 1845, {{1er}} juin 1846, 31 août 1846.</ref> appliquant la théorie newtonienne aux irrégularités d'[[Uranus (planète)|Uranus]] que venait de découvrir [[William Herschel|Herschel]], conjecture l'existence d'une planète encore inconnue ([[Neptune (planète)|Neptune]]) dont il détermine position et masse par le calcul des perturbations.
* Le mouvement d'un solide autour d'un point fixe admet trois [[intégrale première|intégrales premières]] algébriques et un dernier multiplicateur égal à 1. Le problème de l'intégration formelle par quadrature du mouvement nécessite une quatrième intégrale première. Celle-ci avait été découverte dans un cas particulier par Euler. La question est reprise par Lagrange, [[Siméon Denis Poisson|Poisson]] et [[Louis Poinsot|Poinsot]]. Lagrange et Poisson découvrent un nouveau cas où cette quatrième intégrale est algébrique<ref name="ReferenceA">Appell, ''Cours de mécanique rationnelle'', t. 2.</ref>.
* Les deux cas, désormais classiques, du mouvement d'Euler-Poinsot et du mouvement de Lagrange-Poisson sont complétés, en 1888, par un nouveau cas découvert par [[Sofia Kovalevskaïa]]<ref>Husson, thèse, 1906.</ref>. [[Henri Poincaré|Poincaré]] avait montré qu'il ne pouvait exister de nouveau cas si l'ellipsoïde d'inertie relatif au point de suspension n'est pas de révolution<ref name="ReferenceA"/>.
* [[Ernst Mach|Mach]] énonce [[Principe de Mach|un principe]] qui sera central dans les motivations de la relativité d'Einstein.
* Malgré ses succès, la mécanique aura du mal à trouver, dans l'enseignement, une place que les mathématiques ne veulent pas lui céder<ref>Bruno Belhoste ''« La formation d'une technocratie. L'École polytechnique et ses élèves de la Révolution au Second Empire »'' p. 222. Belin, Collection Histoire de l'éducation.</ref> et [[Flaubert]] pourra présenter comme une idée reçue que c'est une [[s:Dictionnaire des idées reçues/M|''« partie inférieure des mathématiques »'']].

=== Physique mathématique ===
Euler, dont on a commencé la publication des travaux (prévus sur cinquante ans !), s'était déjà attaqué à bien des domaines : acoustique, optique, résistance des matériaux, mécanique des fluides, élasticité, mais ces domaines étaient encore naissants. C'est [[Joseph Fourier|Fourier]], dont le premier mémoire est refusé par l'Académie des sciences de Paris, qui attaque le premier la théorie de la chaleur faisant usage de ce qui va devenir les [[séries de Fourier]]. Vers la même époque, les années 1820, [[Augustin Fresnel|Fresnel]] s'occupe d'optique ainsi que [[Friedrich Wilhelm Bessel|Bessel]] qui va introduire les [[fonctions de Bessel]]. La mécanique des fluides, qui en était quasiment au stade laissé par Euler et [[Jean le Rond D'Alembert|d'Alembert]], le stade des fluides parfaits, fait des progrès avec [[Henri Navier]] et [[George Gabriel Stokes]] qui s'attaquent aux fluides incompressibles puis compressibles, introduisant la viscosité. L'électricité fait ses débuts sous l'influence de Gauss, d'[[Georg Simon Ohm|Ohm]], de [[Jean-Baptiste Biot|Biot]], de [[Félix Savart|Savart]] et d'[[André-Marie Ampère|Ampère]] mais c'est surtout le génie de [[James Clerk Maxwell|Maxwell]] qui va embrasser la théorie dans l'une des plus belles théories du siècle, la théorie électromagnétique, qui prétend unifier l'ensemble des travaux sur l'électricité, l'optique et le magnétisme. En résistance des matériaux, les progrès sont plus modestes. On peut citer notamment [[Adhémar Barré de Saint-Venant|Barré de Saint-Venant]], [[Yvon Villarceau]], [[Aimé-Henry Résal]] et son fils [[Jean Résal]] mais il faudra attendre le siècle suivant pour que l'élasticité fasse de décisifs progrès, d'autant qu'on ignore encore bien des propriétés du béton et plus encore du béton armé. Vers la fin du siècle, on en connaît suffisamment pour que certains se lancent dans des réalisations monumentales en acier, tels [[Gustave Eiffel|Eiffel]].

=== Théorie des nombres ===
Trois grands problèmes éclaireront le siècle : la [[loi de réciprocité quadratique]], la répartition des nombres premiers et le [[dernier théorème de Fermat]]. Le {{s|XIX}} offre des progrès considérables sur ces trois questions grâce aux développements d'une véritable théorie prenant le nom d'arithmétique ou de [[théorie des nombres]] et s'appuyant sur des outils abstraits et sophistiqués.
* En méconnaissant totalement les travaux d'Euler publiés en 1784 sur la loi de réciprocité quadratique, [[Adrien-Marie Legendre|Legendre]] (1785) et Gauss (1796) la retrouvent par induction. Gauss finit par en donner une longue démonstration complète dans ses ''[[Recherches arithmétiques]]''. La démonstration est simplifiée dans le courant du {{s-|XIX}}, par exemple par [[Christian Zeller|Zeller]]<ref>Nouvelle correspondance mathématique, t. 2, 1852.</ref> en 1852 où elle ne fait que deux pages. La loi de réciprocité quadratique est promise à un bel avenir par diverses généralisations.
* [[Gotthold Eisenstein|Eisenstein]] démontre la loi de [[réciprocité cubique]].
* Depuis 1798, Legendre travaille à sa théorie des nombres. Il vient (en 1808) de démontrer le [[théorème de la raréfaction des nombres premiers]] et de proposer une formule approchée pour {{math|π(''x'')}}, le [[Fonction de compte des nombres premiers|nombre de nombres premiers plus petit que {{math|''x''}}]]. Ses recherches l'ont amené à reconsidérer le [[crible d'Ératosthène]]. La formule qu'il obtient est le premier élément d'une méthode qui prendra tout son sens au siècle d'après, la [[Théorie des cribles|méthode du crible]]. Par la suite, en 1830, peu avant sa mort, il énonce une conjecture selon laquelle entre ''n''{{2}} et (''n ''+ 1){{2}} existe au moins un nombre premier. Cette conjecture reste non démontrée.
* La démonstration d'Euler de l'infinitude des nombres premiers inspire [[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet|Lejeune-Dirichlet]] qui démontre une conjecture d'[[Adrien-Marie Legendre]] : il existe une infinité de nombres premiers dans toute [[suite arithmétique]] de la forme ''an + b ''si ''a ''et ''b ''sont premiers entre eux. Pour cela il invente la notion de [[Caractère de Dirichlet|caractère arithmétique]] et les [[Série de Dirichlet|séries de Dirichlet]].
* Une autre conjecture d'Adrien-Marie Legendre sur la répartition des nombres premiers est appuyée par Gauss et fait l'objet des travaux de [[Pafnouti Tchebychev|Tchebychev]] en 1850. Il démontre un encadrement de {{math|π(''x'')}} conforme à la conjecture et il démontre le [[postulat de Bertrand]] selon lequel il existe un nombre premier entre ''n ''et 2''n''. Mais la conjecture ne sera démontrée qu'en 1896, par [[Hadamard]] et [[Charles-Jean de La Vallée Poussin|La Vallée Poussin]] indépendamment.
* Le résultat le plus important est [[Sur le nombre de nombres premiers inférieurs à une taille donnée|le mémoire de Riemann de 1859]] qui reste encore aujourd'hui le mémoire du {{s-|XIX}} le plus souvent cité. [[Bernhard Riemann|Riemann]] étudie dans ce mémoire la [[Fonction zêta de Riemann|fonction {{math|ζ}} « de Riemann »]]. Cette fonction introduite par Euler dans son étude du [[problème de Mengoli]] est étendue aux valeurs complexes de ''s'' à l'exception de 1 qui est un pôle de résidu 1 (théorème de Dirichlet). Riemann énonce la conjecture, appelée [[hypothèse de Riemann]], selon laquelle tous les zéros non réels sont de partie réelle égale à 1/2. Les démonstrations de Riemann ne sont pour la plupart qu'ébauchées. Elles sont complètement démontrées, sauf la conjecture de Riemann, par Hadamard et [[Hans Carl Friedrich von Mangoldt|von Mangoldt]], après 1892.
* Le dernier théorème de Fermat, qui avait déjà occupé Euler au siècle précédent est l'objet de nouvelles recherches par Dirichlet et Legendre (''n ''= 5), Dirichlet (''n'' = 14), [[Gabriel Lamé|Lamé]] (''n ''= 7), démonstration simplifiée par Lebesgue. [[Ernst Kummer|Kummer]] démontre que le dernier théorème de Fermat est vrai pour les [[Nombre premier régulier|nombres premiers réguliers]] en 1849. Il existe des nombres premiers irréguliers en nombre infini.
* [[Franz Mertens|Mertens]] démontre de nombreux résultats sur les [[Fonction arithmétique|fonctions arithmétiques]], en particulier la [[fonction de Möbius]]. Il émet en 1897 [[Conjecture de Mertens|une conjecture]] qui permettrait de démontrer l'hypothèse de Riemann. Sous sa forme forte, elle sera réfutée par [[Andrew Odlyzko|Odlyzko]] et [[Herman te Riele|te Riele]] en 1985. La forme faible reste une énigme.

=== Logique ===

[[Fichier:Matematiker georg cantor.jpg|vignette|droite|Georg Cantor est le créateur de la théorie des ensembles]]

* [[George Boole]] se lance dans des travaux qui vont mener à l'[[Algèbre de Boole (logique)|algèbre de Boole]], à la logique symbolique et à la théorie des ensembles en voulant [[Arguments sur l'existence de Dieu|démontrer l'existence de Dieu]]. Le [[calcul des propositions]] est né. [[Augustus De Morgan]] énonce les lois qui portent son nom. La logique sort définitivement de la philosophie.
* [[Gottlob Frege|Frege]] pose les bases de la [[logique mathématique|logique formelle]] et [[Georg Cantor|Cantor]] celle de la [[théorie des ensembles]]. Ni l'une ni l'autre ne sont comprises par nombre de mathématiciens et elles suscitent bien des inquiétudes. La question des [[Fondements des mathématiques|fondements]] est posée. Elle ne sera partiellement résolue que tardivement au {{s|XX}}. Déjà pointent les paradoxes, tel [[paradoxe de Burali-Forti|celui de Burali-Forti]], [[Paradoxe de Russell|celui de Russell]], [[Paradoxe de Richard|celui de Richard]] ou [[Paradoxe de Berry|celui de Berry]].

=== Géométrie ===

[[Fichier:Gaspard monge litho delpech.jpg|vignette|droite|Gaspard Monge]]
* Le siècle débute par l'invention de la géométrie descriptive par [[Gaspard Monge]]<ref>Monge, ''Géométrie descriptive'', Paris, Baudouin, An VII (1799).</ref>.
* Delaunay classa les surfaces de révolution de courbure moyenne constante, qui aujourd'hui portent son nom : surface de Delaunay.
* Héritier des siècles précédents, le siècle va voir s'accomplir la résolution des grands problèmes grecs par la négative. La [[trisection de l'angle]] à la règle et au compas est impossible en général. Il en est de même de la [[quadrature du cercle]] et de la [[duplication du cube]]. Concernant la quadrature du cercle, le {{s|XVIII}} avait montré que [[pi|{{math|π}}]] est irrationnel. [[Joseph Liouville|Liouville]], définissant les nombres transcendants en 1844, ouvre la voie à l'étude de la transcendance dont les deux monuments du {{s|XIX}} restent les théorèmes d'[[Charles Hermite|Hermite]] (1872) sur la transcendance de {{math|e}} et de [[Ferdinand von Lindemann|Lindemann]] (1881) sur celle de {{math|π}}, rendant impossible la quadrature du cercle par la règle et le compas<ref>Pour une démonstration d'après [[Adolf Hurwitz|Hurwitz]] voir [[Georges Valiron|Valiron]], ''Théorie des fonctions'', Masson, Paris, 1942.</ref>. C'est à la fin du siècle que se fait jour la conjecture, que démontrera le siècle d'après en le [[théorème de Gelfond-Schneider]], que ''a'' et exp(''a'') ne peuvent être simultanément algébriques.
* L'autre héritage concerne le [[axiome d'Euclide|postulat d'Euclide]]. Le problème avait en fait été quasi résolu par [[Giovanni Girolamo Saccheri|Saccheri]] mais celui-ci n'avait pas vu qu'il était près du but. Les travaux de Gauss sur les surfaces amènent [[János Bolyai]] et [[Nikolaï Lobatchevski]] à remettre en cause le postulat des parallèles. Ils inventent donc une nouvelle géométrie où le postulat n'est plus vrai, une [[géométrie non euclidienne]] dont Poincaré donnera un modèle. [[Bernhard Riemann|Riemann]], après eux, offrira une nouvelle solution non euclidienne, avant que l'ensemble ne forme la théorie des espaces de Riemann, qui fournira au siècle suivant un cadre à la théorie de la relativité généralisée.
* En généralisant la notion d'espace et de distance, [[Ludwig Schläfli]] arrive à déterminer le nombre exact de polyèdres réguliers en fonction de la dimension de l'espace<ref>Berger, ''Géométrie''.</ref>.
* [[Felix Klein]] annonce le [[programme d'Erlangen]]<ref>Hilbert, ''Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen, Programm zum Eintritt in die philosophische Facultät und den Senat der k. Friedrich-Alexander-Universität zu Erlangen'', 1872.</ref>.
* [[David Hilbert]] propose une axiomatique complète de la géométrie euclidienne en explicitant des axiomes implicites chez Euclide.

=== Algèbre ===
[[Fichier:evariste galois.jpg|droite|vignette|Evariste Galois. Sa vie est un véritable drame. À l'instar d'Abel, il meurt jeune. Son génie est méconnu de son vivant. Ses opinions politiques le mènent en prison. Ses amours le perdent : Il meurt en conséquence d'un duel pour une « coquette ».]]
* La représentation des complexes avait occupé bien du monde : depuis Henri Dominique Truel (1786)<ref>Cité par Cauchy et repris par H. Laurent, ''Théorie des résidus'', 1865 et par Laisant, ''Exposition de la méthode des équipollences [de Bellavitis]'', 1878.</ref>, [[Caspar Wessel]]<ref>Wessel, ''Essai sur la représentation analytique de la direction'', 1797.</ref> (1797) en passant par [[Jean-Robert Argand]]<ref>Argand, ''Essai sur une manière de représenter des quantités imaginaires dans les constructions géométriques'', 1806.</ref> (1806), [[C.V. Mourey]]<ref>Mourey, ''La vraie théorie des quantités négatives et des quantités prétendues imaginaires'', 1828.</ref>{{,}}<ref>{{MacTutor|id=Mourey|title=C V Mourey}}</ref> (1828), pour aller à [[Giusto Bellavitis]] (1832). [[William Rowan Hamilton|Hamilton]], inspiré par cette représentation des complexes en a+ib, cherche à généraliser le corps des complexes. Il découvre le corps non commutatif des quaternions et par la suite [[Arthur Cayley|Cayley]] découvre les octavions. Hamilton passera une grande partie de sa vie à proposer des applications de ses quaternions.
* [[Grassmann]], en 1844, développe dans ''{{Langue|de|Die lineare Ausdehnungslehre}}'' une nouvelle voie pour les mathématiques et fonde ce qui deviendra la théorie des [[Espace vectoriel|espaces vectoriels]].
* Hamilton, en 1853, démontre ce qui deviendra le [[théorème de Cayley-Hamilton]] pour la dimension 4 à propos de l'inverse d'un [[quaternion]]. C'est Cayley, en 1857, qui généralise le résultat mais ne le démontre qu'en dimension 2. [[Ferdinand Georg Frobenius|Frobenius]], en 1878, donne la première démonstration générale.
* Les résultats de [[Évariste Galois|Galois]] et de [[Ernst Kummer|Kummer]] montrent qu'une avancée majeure en théorie algébrique des nombres suppose la compréhension de structures subtiles : les anneaux d'entiers algébriques sous-jacents à des extensions algébriques. Le cas le moins complexe est celui des extensions algébriques finies et abéliennes. Il semble simple, le résultat correspond aux structures qu'avaient étudiées Gauss au début du siècle pour résoudre les problèmes de l'antiquité de construction à la règle et au compas : les extensions cyclotomiques associées aux polynômes du même nom. Il faut néanmoins 50 ans et trois grands noms de l'algèbre pour en venir à bout à la fin du siècle : [[Leopold Kronecker|Kronecker]], [[Heinrich Weber (mathématicien)|Weber]] et [[David Hilbert|Hilbert]]. Il ouvre la porte à l'étude des extensions algébriques abéliennes générales, c'est-à-dire non finies. Hilbert ouvre la voie de ce chapitre des mathématiques qui représente un des plus beaux défis du siècle futur, la théorie des corps de classe. Dans la dernière année du siècle, en 1900, [[Richard Dedekind]] s'intéresse à une théorie générale des ensembles reliés entre eux par des relations. En inventant la notion de dualgruppe, il vient de faire le premier pas dans la théorie générale des structures.
* Killing et Elie Cartan commencent l'étude des groupes et algèbres de Lie. La théorie des systèmes de racines prend naissance.

=== Probabilité et statistiques ===
{{article détaillé|Histoire des probabilités|Histoire de la statistique française}}
* Legendre en 1805<ref>Legendre, ''Nouvelles méthodes pour la détermination des orbites des comètes, Appendice: sur la méthode des moindres carrés'', Paris, Courcier, 1805.</ref> 1811<ref>Legendre, ''Méthodes des moindres carrés'', lu le 24 février 1811.</ref> puis Gauss en 1809<ref>Gauss, ''Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientium'', 1809.</ref> introduisent, sur des problèmes d'astronomie, la [[méthode des moindres carrés]], ensemble de méthodes qui deviendront fondamentales en [[statistique]]s.
* [[Pierre-Simon de Laplace]] fait entrer l'analyse dans la théorie des probabilités dans sa ''théorie analytique des probabilités'' de 1812 qui restera longtemps un monument. Son livre donne une première version du [[Théorème de Moivre-Laplace|théorème central limite]] qui ne s'applique alors que pour une variable à deux états, par exemple pile ou face mais pas un dé à 6 faces. Il faudra attendre 1901 pour en voir apparaître la première version générale par Liapounov. C'est aussi dans ce traité qu'apparaît la méthode de Laplace pour l'évaluation asymptotique de certaines intégrales.
* Sous l'impulsion de [[Adolphe Quetelet|Quetelet]], qui ouvre en 1841 le premier bureau statistique le Conseil Supérieur de Statistique, les [[statistique]]s se développent et deviennent un domaine à part entière des mathématiques qui s'appuie sur les probabilités mais n'en font plus partie.
* La théorie moderne des probabilités ne prend réellement son essor qu'avec la notion de [[mesure (mathématiques)|mesure]] et d'ensembles mesurables qu'[[Émile Borel]] introduit en 1897.

=== Théorie des graphes ===

* La théorie, on l'a déjà dit, a été commencée par Euler dans sa résolution du [[problème des sept ponts de Königsberg]]. Elle prend une nouvelle tournure, singulière pour notre époque, quand on s'intéresse soudainement aux nœuds, au tout début des modèles atomiques.
* La question de la cartographie est un vieux problème qui avait été partiellement résolu par différents procédés de projection. Dans la question de la représentation la plus respectueuse de la topographie, la question avait eu un nouvel intérêt par le [[théorème de l'application conforme]] de Riemann et les fonctions holomorphes dont on sait qu'elles conservent les angles là où la dérivée ne s'annule pas. L'habitude des cartographes de colorer les États de couleurs différentes avait montré que quatre couleurs suffisaient. Cette constatation très ancienne amène, en 1852, [[Francis Guthrie]] à énoncer la [[théorème des quatre couleurs|conjecture des quatre couleurs]]<ref>Lettre de De Morgan à Hamilton du 23 octobre 1852.</ref>. Il faut attendre plus de vingt ans pour que [[Arthur Cayley|Cayley]] s'y intéresse<ref>dans diverses communications de 1878-1879 à la société mathématique de Londres et à la société de géographie.</ref>. Un avocat, [[Alfred Kempe]], proposa en 1879 une démonstration par réduction mais que [[Percy John Heawood]] réfuta en 1890 par un [[contre-exemple]] invalidant le procédé de coloriage de Kempe. Cependant la tentative de Kempe montrait que le nombre chromatique de la sphère était au plus 5. Ce n'est que bien plus tard que la conjecture des quatre couleurs sera démontrée.

=== Analyse réelle ===
{{Section à sourcer|date=août 2024}}
{{Section rédaction à revoir|date=21 août 2024}}
* À la fin du {{s-|XVIII}}, faire des mathématiques consiste à écrire des égalités, {{Style à revoir|parfois un peu douteuses}}, mais sans que cela choque le lecteur. [[Sylvestre-François Lacroix|Lacroix]] par exemple n'hésite pas à écrire<center><math>1-1+1-1+... = \dfrac12</math></center>sous la seule justification du développement en série de Taylor de 1/(1+x). Les mathématiciens croient encore, pour peu de temps, que la somme infinie de fonctions continues est continue, et (pour plus longtemps) que toute fonction continue admet une dérivée…
* C'est [[Augustin Louis Cauchy|Cauchy]] qui marque une rupture en montrant qu'une série numérique n'est [[Série commutativement convergente|commutativement convergente]] que si elle est [[Convergence absolue|absolument convergente]]. Mais Cauchy, qui pourtant est très proche de la notion de convergence uniforme, énonce un faux théorème de continuité d'une série de fonctions continues qu'Abel contredit par un contre-exemple du 16 janvier 1826.
* C'est encore Cauchy qui se refuse à considérer la somme de séries divergentes, au contraire des mathématiciens du {{s|XVIII}} dont Lacroix est l'un des héritiers.
* [[Christoph Gudermann|Gudermann]], en 1838, utilise pour la première fois, la notion de [[convergence uniforme]]. En 1847, Stokes et Seidel définissent la notion d'une série ''convergeant aussi lentement que l'on veut'', notion équivalente à la convergence uniforme. Mais leur réflexion n'est {{Passage non neutre|pas mûre}}. Weierstrass donne une définition de la convergence uniforme en 1841 dans un article qui ne sera publié qu'en 1894. Il revient à Cauchy de donner la première définition claire de la notion (sans le terme uniforme) en 1853. Weierstrass, de son côté, donnera par la suite les théorèmes classiques de continuité, dérivabilité, intégrabilité des séries de fonctions continues dans ses cours à partir de 1861.
* [[Bernard Bolzano|Bolzano]] démontre le premier ce principe, implicite chez les auteurs du {{s-|XVIII}}, qu'une fonction continue qui prend des valeurs de signes différents dans un intervalle s'y annule, ouvrant la voie à la topologie par le théorème des valeurs intermédiaires.
* [[Karl Weierstrass]] donne le premier la définition de la limite d'une fonction, notion un peu floue jusque-là, en termes de « {{math|ε, η}} ». La notion de limite supérieure, inventée par Cauchy, est expliquée clairement par Du Bois-Reymond.
* En 1869, [[Charles Méray]], professeur à l'université de Dijon, donne, le premier, une construction rigoureuse des [[Nombre réel|nombres réels]] par les classes d'équivalence de suites de Cauchy de nombres rationnels. Georg Cantor donnera une construction analogue de ℝ. Karl Weierstrass construit ℝ à partir de la notion d'«agrégats» tandis que [[Richard Dedekind]] crée ℝ de la notion de coupure de l'ensemble des rationnels.
* Il faut quasiment attendre le milieu du siècle pour qu'enfin on s'intéresse aux inégalités. [[Pafnouti Tchebychev|Tchebyschev]], dans sa démonstration élémentaire du postulat de [[Joseph Bertrand|Bertrand]], est l'un des premiers à les utiliser.
* Un peu avant, [[Friedrich Wilhelm Bessel|Bessel]] et [[Marc-Antoine Parseval|Parseval]], en s'occupant des séries trigonométriques démontrent ce qu'on appelle aujourd'hui les inégalités de Bessel-Parseval.
* La grande application des séries trigonométriques reste la théorie de la chaleur de [[Joseph Fourier|Fourier]], même si ce dernier ne démontre pas la convergence des séries qu'il utilise. Il faudra attendre la fin du siècle pour que la question soit vraiment clarifiée par [[Lipót Fejér|Fejér]].
* Poincaré participe au concours du roi de [[Suède]] concernant les solutions du [[problème des trois corps]]<ref>« Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique », ''Acta Mathematica'', vol. 13, 1890, p. 1-270.</ref>. Dans le mémoire de Stockholm (1889), il donne le premier exemple de situation [[Théorie du chaos|chaotique]]. Il s'exprime ainsi :
{{début citation bloc}}Une cause très petite, qui nous échappe, détermine un effet considérable que nous ne pouvons pas ne pas voir, et alors nous disons que cet effet est dû au hasard. Si nous connaissions exactement les lois de la nature et la situation de l'univers à l'instant initial, nous pourrions prédire exactement la situation de ce même univers à un instant ultérieur{{fin citation bloc}}
* Ce n'est qu'avec regret qu'on a abandonné les [[série divergente|séries divergentes]] au début du siècle sous l'impulsion de Cauchy et dans un but essentiellement de rigueur. Les séries divergentes refont, à la fin du siècle, leur apparition. Il s'agit, dans certains cas, de donner une somme à de telles séries. Le procédé de sommation de [[Ernesto Cesàro|Cesàro]] est l'un des premiers. Borel fournit le sien, plus sophistiqué. Cela va vite devenir un sujet d'étude important que le {{s|XX}} va prolonger.

=== Analyse complexe ===
* La théorie des fonctions de la variable complexe, le grand sujet de tout le {{s|XIX}}, prend sa source dans les travaux de [[Augustin Louis Cauchy|Cauchy]], bien qu'entrevue par Poisson<ref>Un mémoire de Poisson de 1813 explique une curiosité mathématique des fonctions réelles par un contournement de la singularité réelle dans le plan complexe. On n'est qu'à un pas du théorème des résidus.</ref>. Cauchy définit la notion d'intégrale de chemin. Il arrive ainsi à énoncer le [[théorème des résidus]] et les principales propriétés de l'intégrale « de Cauchy » et notamment la [[formule intégrale de Cauchy]].
* Il justifie ainsi le développement en série de Taylor et trouve la formule intégrale des coefficients en dérivant sous le signe ∫. Il démontre les inégalités « de Cauchy » qui seront intensément utilisées, dans la théorie des équations différentielles notamment.
* Cauchy publie par la suite nombre d'applications de sa théorie dans des recueils d'exercices, notamment à l'évaluation d'intégrales réelles, qu'il n'hésite pas à généraliser en ce qu'on appelle aujourd'hui la [[valeur principale de Cauchy]], un peu moins d'un siècle avant que [[Jacques Hadamard]] en ait besoin dans sa résolution des équations aux dérivées partielles par les [[Régularisation de Hadamard|parties finies de Hadamard]] et que [[Laurent Schwartz (mathématicien)|Laurent Schwartz]] n'en vienne aux distributions.
* La théorie des [[fonction analytique|fonctions analytiques]] se développe rapidement. Cauchy définit le rayon de convergence d'une [[série entière]] à partir de la formule qu'expliquera parfaitement Hadamard dans sa thèse, à la suite des travaux de [[Paul David Gustave du Bois-Reymond|du Bois-Reymond]] qui donna une définition claire de la limite supérieure.
* Ceci permet à [[Joseph Liouville|Liouville]] de démontrer son théorème et d'en déduire une nouvelle et élémentaire démonstration du théorème de D'Alembert-Gauss qu'on avait eu tant de mal à démontrer au siècle avant.
* À la mort de Cauchy, le flambeau est déjà passé à [[Bernhard Riemann|Riemann]] (Théorème de l'application conforme, [[intégrale de Riemann]] remplaçant la conception de Cauchy…) et [[Karl Weierstrass|Weierstrass]] qui éclaircira la notion de point singulier essentiel et de prolongement analytique (bien qu'[[Émile Borel]] ait montré par la suite que certaines des conceptions du « maître » étaient erronées). Le point de vue « intégrale » de Cauchy se continue dans l'école française alors que le point de vue « série », développé par Weierstrass, se développe indépendamment et débouchera sur la conception des fonctions analytiques à plusieurs variables, Riemann tentant de faire le lien entre ces deux conceptions.
* La théorie de Cauchy vient juste à point pour résoudre enfin la question des intégrales elliptiques, théorie commencée par [[Adrien-Marie Legendre|Legendre]] au siècle précédent. C'est [[Niels Henrik Abel|Abel]] qui a l'idée de l'inversion des intégrales elliptiques et découvrit ainsi les fonctions elliptiques qu'on s'empressa d'étudier. La très belle théorie des fonctions elliptiques est enfin achevée lorsque paraissent le traité de [[Charles Briot|Briot]] et [[Jean-Claude Bouquet|Bouquet]], théorie des fonctions elliptiques, {{2e|édition}}, 1875 et le traité de [[Georges Henri Halphen]] en quatre volumes, interrompu par la mort de l'auteur.
* Le résultat le plus difficile de la théorie reste le théorème de [[Émile Picard#Héritage|Picard]] qui précise le théorème de [[Karl Weierstrass|Weierstrass]]. La première démonstration, avec la fonction modulaire, est bien vite simplifiée par [[Émile Borel]] à la fin du siècle.
* Le siècle s'est aussi beaucoup préoccupé de la théorie des équations différentielles et notamment de la [[théorie du potentiel]], des fonctions harmoniques. [[Lazarus Fuchs|Fuchs]] étudie les singularités des solutions des équations différentielles ordinaires linéaires. [[Émile Picard]] découvre le procédé d'intégration des équations différentielles par récurrence, ce qui permet de prouver l'existence et l'unicité des solutions. Cela débouchera sur l'étude des [[Équation intégrale|équations intégrales]] ([[Ivar Fredholm]], [[Vito Volterra]]…).
* Bien qu'engagée par [[Pierre-Simon de Laplace|Laplace]] et utilisée sporadiquement par d'autres au cours du siècle, la résolution des équations différentielles est effectuée par un électricien anglais, [[Oliver Heaviside]], sans autre justification, en considérant l'opérateur de dérivation comme une quantité algébrique notée p. La théorie de la [[transformation de Laplace]] est née. Mais elle ne sera pleinement justifiée que par les travaux de [[Mathias Lerch|Lerch]], [[John Renshaw Carson|Carson]], [[Thomas John I'Anson Bromwich|Bromwich]], [[Klaus Wagner (mathématicien)|Wagner]], [[Hjalmar Mellin|Mellin]] et bien d'autres, au siècle suivant. [[Gabriel Oltramare]] donnera aussi un « calcul de généralisation » basé sur une idée voisine.
* Émile Borel commence l'étude des fonctions entières et définit la notion d'ordre exponentiel pour une [[fonction entière]]. Son but est d'élucider le comportement du module d'une fonction entière et notamment de montrer le lien entre le maximum du module de f sur le cercle de rayon R et les coefficients de la série de Taylor de F. Darboux montre que les coefficients de Taylor s'écrivent en fonction des singularités. D'autres, comme [[Charles Méray|Méray]], [[Léopold Leau|Leau]], [[Eugène Fabry|Fabry]], [[Ernst Leonard Lindelöf|Lindelöf]], étudient la position des points singuliers sur le cercle de convergence ou le prolongement analytique de la [[série de Taylor]].
* Poincaré définit et étudie les [[fonction automorphe|fonctions automorphes]] à partir des géométries hyperboliques. Il laisse son nom à une représentation par un demi-plan de la géométrie hyperbolique.
* [[Hermann Amandus Schwarz|Schwarz]] et [[Elwin Bruno Christoffel|Christoffel]] découvrent la transformation conforme qui porte leurs noms. Elle sera intensivement utilisée le siècle d'après par les moyens informatiques (Driscoll par exemple).
* L'apothéose est atteinte par la démonstration du [[théorème des nombres premiers]], en 1896, par [[Jacques Hadamard|Hadamard]] et [[Charles-Jean de La Vallée Poussin|La Vallée Poussin]] indépendamment l'un de l'autre.

=== Perspectives ===

Mais déjà le siècle est écoulé et, au congrès international de mathématique qui se tient, en cette année 1900, à Paris, David Hilbert présente une liste de 23 problèmes non résolus de première importance pour le siècle d'après. Ces problèmes couvrent une grande partie des mathématiques et vont prendre une part importante dans l'histoire mathématique du {{s|XX}}.

=== Les livres du siècle ===
Ce paragraphe donne un ensemble de livres de première importance, soit par leur contenu historiquement important soit pour la synthèse qu'ils constituent sur un domaine donné. L'ordre choisi est alphabétique sur le nom des auteurs.
* {{de}} [[Paul Bachmann]], ''Zahlentheorie'', 5 tomes, 1892 [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k99474n Tome 1] [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k994750 Tome 2] [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k99476b Tome 3] [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k994828 Tome 4] [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k99483m Tome 5]
* [[János Bolyai]], ''La science absolue de l'espace'', 1868
* [[Charles Briot]] et [[Jean-Claude Bouquet]], [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k99571w ''Théorie des fonctions elliptiques''], 1875
* [[Augustin Cauchy]], [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k29058v Le ''Cours d'analyse de l'École royale polytechnique : {{1re|partie}} : Analyse algébrique'', 1821]
* [[Michel Chasles]]
** [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k99381n ''Les trois livres de porismes d'Euclide''], 1860
** [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k996370 ''Traité de géométrie supérieure''], 1852
** ''Traité des sections coniques, faisant suite au Traité de géométrie supérieure'', 1865
* [[Émilie du Châtelet]], [https://c18.net/18img/pub_aedc01.pdf] ''Principes mathématiques de la philosophie naturelle'', seule traduction française de ''[[Philosophiae naturalis principia mathematica|Principia Mathematica]]'', d'Isaac Newton, 1759
* [[Gaston Darboux]], ''Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal'', 4 volumes, 1887-1896, [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k77831k Volume 2] [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k778307 Volume 3] [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k77832x Volume 4]
* [[Paul David Gustave du Bois-Reymond]], ''Die Allgemeine Functionentheorie'', 1882, [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k99561k ''Théorie générale des fonctions'', 1887]
* [[Joseph Fourier]], [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k29061r ''Théorie analytique de la chaleur''], 1822
* {{de}} [[Gottlob Frege]], ''Die Grundlagen der Arithmetik'', 1884, ''[[Les Fondements de l'arithmétique]]''
* [[Évariste Galois]], [[s:Livre:Galois - Œuvres mathématiques, Gauthier-Villars, 1897.djvu|''Œuvres mathématiques'']], 1846
* {{la}} [[Carl Friedrich Gauss]], ''[[Disquisitiones arithmeticae]]'', 1801, [[s:Livre:Gauss - Recherches arithmétiques, traduction Poullet-Delisle, 1807.djvu|''Recherches arithmétiques'' sur wikisource]], 1807.
* Goursat, ''Leçons sur l'intégration des équations aux dérivées partielles du second ordre'', 2 volumes, 1896-1898, [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k841465 Volume 1] [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k84147h Volume 2]
* {{de}} [[Hermann Günther Grassmann]], ''{{Langue|de|Die lineare Ausdehnungslehre}}'', 1844, ''La science de la grandeur extensive''
* [[Georges Henri Halphen]], ''Traité des fonctions elliptiques et de leurs applications'', 3 volumes, 1886-1891, [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k7348q Volume 1] [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k7348q Volume 2] [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k7350h Volume 3]
* {{en}} [[William Rowan Hamilton]], ''Lecture on Quaternions'', 1853
* {{de}} [[David Hilbert]], ''[[Axiomes de Hilbert|Grundlagen der Geometrie]]'', 1899, [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k996866 ''Les principes fondamentaux de la géométrie''], 1900
* [[Camille Jordan (mathématicien)|Camille Jordan]]
** ''Traité des substitutions et des équations algébriques'', 1870
** ''Cours d'analyse de l'École polytechnique'', 1882-1883, 3 volumes. [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k29024j Volume 1] [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k29025w Volume 2] [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k290267 Volume 3]
* {{de}} [[Felix Klein]], [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k996986 ''Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade''] (''Conférences sur l'icosaèdre et les solutions de l'équation du cinquième degré''), 1888
* [[Joseph-Louis Lagrange]], [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k86261t ''Leçons sur le calcul des fonctions''], 1806
* [[Pierre-Simon de Laplace]]
** ''Traité de mécanique céleste'', 1798-1825
** [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k88764q ''Théorie analytique des probabilités''], 1812
* [[Adrien-Marie Legendre]]
** ''Traité des fonctions elliptiques et des intégrales eulériennes'', 2 volumes, 1825-1826
** ''Éléments de géométrie'', ouvrage qui vient remplacer les ''Éléments'' d'Euclide.
** [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k426107 ''Théorie des nombres''], 1830
* [[Alexandre Liapounov]], ''Problème général de la stabilité et du mouvement'', 1892-1893
* {{de}} [[Nikolaï Ivanovitch Lobatchevski]], ''Pangeometrie''
* [[James Clerk Maxwell]], ''Traité d'électricité et de magnétisme'', 2 volumes, 1885-1887
* [[Charles Méray]], ''Leçons nouvelles sur l'analyse infinitésimale et ses applications géométriques'', 1894-1895
* {{de}} [[August Ferdinand Möbius]], ''Der barycentrische Calcul'', 1827
* [[Gaspard Monge]], ''La géométrie descriptive'', an 7 = 1799
* [[Paul Painlevé]], ''Leçons sur la théorie analytique des équations différentielles'', 1897
* [[Émile Picard]], ''Traité d'analyse'', 3 volumes, 1892-1896
* [[Jean-Victor Poncelet]], ''Traité des propriétés projectives des figures'', 2 volumes, 1822
* [[Joseph-Alfred Serret]], ''Cours d'Algèbre supérieure'', 2 volumes, 1877
* [[Jules Tannery]] et [[Jules Molk]], ''Éléments de la théorie des fonctions elliptiques'', 3 volumes, 1893-1898
* [[Félix Tisserand]], ''Traité de Mécanique céleste'', 4 volumes, 1889-1894
* {{de}} [[Heinrich Weber (mathématicien)|Heinrich Weber]], ''Lehrbuch der Algebra'', 2 volumes, 1898-1899

== {{s-|XX}} ==
{{section à sourcer|date=septembre 2017}}
Le {{s-|XX}} aura été un siècle extraordinairement fécond du point de vue mathématique. Trois théorèmes importants apparaissent : d'une part le [[théorème de Gödel]] ; d'autre part la démonstration de la [[conjecture de Shimura-Taniyama-Weil]] qui entraîna la démonstration du [[dernier théorème de Fermat]] ; enfin la démonstration des [[conjectures de Weil]] par [[Pierre Deligne]], ces deux derniers résultats conséquences des innovations importantes en géométrie algébrique, dues à [[Alexandre Grothendieck|Grothendieck]].
De nouveaux domaines de recherche sont nés ou se sont développés : les [[systèmes dynamiques]], à la suite des travaux de [[Henri Poincaré|Poincaré]], les [[probabilités]], la [[topologie]], la [[géométrie différentielle]], la [[Logique mathématique|logique]], la [[géométrie algébrique]], à la suite des travaux de Grothendieck...

=== La communauté mathématique explose ===
* Le métier de [[mathématicien]] a réellement commencé à se professionnaliser à la fin du {{s-|XIX}}. Grâce à la mondialisation des connaissances, aux progrès des transports, puis aux moyens électroniques de communication, la recherche mathématique n'est plus localisée sur un pays ou un continent. Depuis la fin du {{s-|XIX}}, de nombreux colloques, congrès, séminaires, se tiennent à un rythme soutenu, voire annuellement.
* Hormis deux congrès qui se sont tenus au {{s-|XIX}}, vingt et un congrès internationaux de mathématiques se sont tenus au {{s-|XX}}, un presque tous les quatre ans malgré les interruptions dues aux guerres mondiales.
* L'apparition de l'[[ordinateur]] a sensiblement modifié les conditions de travail des mathématiciens à partir des années 1980.
* Le développement mathématique a explosé depuis 1900. Au {{s-|XIX}}, on estime qu'on publiait environ 900 mémoires par an. Alors que ce chiffre est d'actuellement plus de {{formatnum:15000}}. Le nombre des mathématiciens est ainsi passé de quelques centaines ou milliers à plus d'un million et demi en moins d'un siècle{{référence nécessaire}}.
* On a soutenu 292 thèses d'État de mathématiques entre 1810 et 1901 en France<ref>Estanave, ''Nomenclature des thèses de sciences mathématiques soutenues en France dans le courant du {{s-|XIX}}'', Paris, Gauthier-Villars, 1903.</ref>. À la fin du {{s-|XX}}, c'est le nombre de thèses soutenues annuellement.

=== Algèbre ===
[[Fichier:Wedderburn.jpeg|vignette|Wedderburn est surtout connu pour avoir démontré que [[Théorème de Wedderburn|tout corps fini est commutatif]].]]
[[Leonard Eugene Dickson]] commence l'étude systématique des corps finis<ref>{{en}} L. E. Dickson, ''Linear Groups With an Exposition of the Galois Field Theory'', 1901.</ref> et obtient la première classification des [[corps fini]]s commutatifs. La structure de l'[[anneau unitaire|anneau]] des polynômes associé y est explicitée. Avec [[Joseph Henry Maclagan Wedderburn|Joseph Wedderburn]], en 1905, il démontre qu'il n'existe pas de corps fini non commutatif.
{{clr}}

=== Mécanique ===
[[Fichier:Solvay conference 1927.jpg|vignette|Le [[congrès Solvay]] de 1927 a réuni les meilleurs physiciens de l'époque.]]
* [[Édouard Husson (mathématicien)|Édouard Husson]], dans sa thèse soutenue en 1906, résout définitivement le problème des intégrales premières de la mécanique classique pour le mouvement d'un solide autour d'un point fixe. Il n'y a que quatre intégrales premières possibles, la quatrième n'apparaissant que dans trois cas particuliers, le mouvement d'Euler-Poinsot, celui de Lagrange-Poisson et enfin celui de Sophie Kowaleski. L'intégration complète par quadrature est donc possible dans ces trois cas. Cependant Goriatchoff montre que l'intégration est aussi possible dans le cas de conditions initiales particulières, et un second cas est indiqué par Nicolaus Kowalevski en 1908.
* La mécanique devient l'objet d'études poussées. Poincaré et Einstein publient une mécanique qui ne renferme la mécanique newtonienne qu'en y faisant tendre la célérité c de la lumière vers l'infini. La transformation de Galilée laisse sa place à la transformation de Lorentz. Et une nouvelle généralisation, une théorie de la gravitation, prend le nom de [[histoire de la relativité générale|théorie de la relativité générale]], entre 1909 et 1916, utilisant les développements récents de la [[géométrie différentielle]] intrinsèque (énoncée par [[Tullio Levi-Civita]] en 1900).
* Alors que [[Heinrich Bruns|Bruns]] avait démontré en 1887 que toute nouvelle intégrale première du problème des trois corps était nécessairement une combinaison des dix intégrales premières déjà connues et que Poincaré avait montré en 1889 la divergence des séries utilisées comme solutions du problème (séries de [[Anders Lindstedt|Lindstedt]]) et même le caractère chaotique des solutions, [[Karl Sundman|Sundman]], en 1909, résout le problème des trois corps en donnant une série analytique convergente pour tout temps.
* La relativité générale permet de théoriser l'univers dans son ensemble, la [[cosmologie]] moderne est née. L'univers statique d'Einstein et celui de [[Willem de Sitter|De Sitter]] sont bientôt accompagnés par des univers en évolution régis par les [[Équations de Friedmann|équations de Friedman]], aidé par les recherches de [[Edwin Hubble|Hubble]] et [[Milton Humason|Humason]] qui viennent de découvrir qu'un [[décalage vers le rouge]] systématique trahit une [[expansion de l'Univers]].
* En 1900, [[Max Planck]] cherchant un modèle rendant compte correctement du phénomène du [[corps noir]], introduit [[constante de Planck|une constante]] signifiant que l'échange d'énergie entre les ondes lumineuses et la matière se fait de manière discontinue. Cette constante permet d'écrire des formules qui donnent des résultats en accord avec les mesures expérimentales (par exemple le [[modèle de Bohr]] en 1913), sans que personne en comprenne la cohérence avec les principes de base de la physique. En 1924, [[Louis de Broglie]], partant de l'idée de l'identité entre le [[principe de Fermat]] pour les ondes et le [[Principe de moindre action|principe de moindre action de Maupertuis]] pour les corps matériels (la constante de Planck homogénéisant les [[analyse dimensionnelle|dimensions]]), associe à toute particule une onde Ψ, et retrouve ainsi plusieurs résultats expérimentaux{{Référence nécessaire}}. L'[[école de Copenhague (physique)|école de Copenhague]] interprète les relations d'incertitudes d'Heisenberg comme une invitation à considérer le module de l'onde Ψ comme une probabilité d'état (position, vitesse, etc) de la particule, rompant avec un déterminisme total qui étaient l'apanage de la mécanique de Newton et dont Einstein sera le défenseur acharné dans le [[Paradoxe EPR|paradoxe Einstein-Podolski-Rosen]]. Les notions de base de la physique (particule, matière, position, force, etc) perdent rapidement leurs caractères intuitifs car leurs propriétés, décrites par les mathématiques, transgressent les visualisations géométriques. La [[mécanique quantique]] utilise intensément les [[équation différentielle|équations différentielles]], puis, à partir de la [[seconde quantification]] de Dirac, nécessite l'utilisation et le développement de la [[opérateur différentiel|théorie des opérateurs]]. À partir des années 1960, l'essentiel des résultats de la [[physique des particules]] est théorisé à partir des groupes et [[algèbre de Lie|algèbres de Lie]]. Les différentes tentatives d'unification de la relativité générale et de la physique quantique sont autant d'échecs au point qu'on désespère de trouver cette théorie unitaire qui réconcilierait les deux mondes. La théorie pentadimensionnelle de Kaluza-Klein, la théorie d'Einstein de 1931, la théorie de la double solution de De Broglie, la [[Univers de Milne|théorie cinématique de Milne]], les spéculations d'Eddington sur le nombre 137{{Quoi}}, la [[Théorie de l'état stationnaire|théorie de Bondi et Gold]]… apportent chacune une idée nouvelle, géométrique en général, mais qui ne résolvent pas le problème de l'incompatibilité des deux mécaniques. Les auteurs, surtout des physiciens, se lancent à corps perdu dans une algébrisation de leurs théories qui débouchent sur la [[théorie des cordes]], la théorie M… qui sont encore loin de résoudre toutes les questions posées. La [[géométrie non commutative]], développée à partir de la théorie des opérateurs, est une autre piste suivie par certains.

=== Analyse ===
* Le siècle commence par la thèse de [[Henri-Léon Lebesgue|Lebesgue]] ''Intégrale, longueur, aire ''qui constitue vraiment le début de la [[théorie de la mesure]]. Par la suite, de nouvelles intégrales sont créées sur les traces de Lebesgue (intégrales de Denjoy, de Perron et d'Henstock…). La théorie de la mesure finit par rejoindre la théorie des probabilités qui est axiomatisée en 1933 par Kolmogorov.
* La théorie de Lebesgue mène à l'étude des [[Espace Lp|espaces {{math|L{{exp|''p''}}}}]]. Et sur les traces de Hilbert, [[Frigyes Riesz|Riesz]], Banach, les opérateurs différentiels sont étudiés. C'est l'occasion de créer la théorie des distributions, dont les prémisses avaient été données par Hadamard qui avait introduit les parties finies dans un problème d'hydrodynamique<ref>Hadamard, ''Leçons sur la propagation des ondes et les équations de l'hydrodynamique'', Paris, 1903.</ref>. S'illustrent ainsi [[Israel Gelfand|Gelfand]], [[Guéorgui Chilov|Chilov]], [[Laurent Schwartz (mathématicien)|Schwartz]], [[Ilia Vekoua|Vekoua]]. L'étude des conditions de régularité des solutions des équations aux dérivées partielles permet à [[Sergueï Sobolev]] et ses continuateurs de définir ses espaces de fonctions et les théorèmes de trace en fonction des propriétés géométriques du domaine.
* La théorie spectrales des opérateurs linéaires, notamment auto-adjoints, opérant dans un [[espace de Hilbert]] a été commencée par David Hilbert, dans six mémoires publiés entre 1904 et 1910. [[Hermann Weyl]], de son côté, fit avancer la théorie des équations différentielles singulières du second ordre. [[John von Neumann]] développa le concept de l'espace de Hilbert abstrait entre 1927 et 1929, cadre dans lequel il commença l'étude des opérateurs auto-adjoints non bornés essentiellement pour les besoins de la théorie quantique naissante. Frigyes Riesz et M. H. Stone développèrent la théorie spectrale et l'étendirent aux opérateurs normaux non bornés. Des applications aux opérateurs différentiels et l'extension aux opérateurs semi-bornés symétriques furent l'œuvre de K. O. Friedrichs en 1934 et Krein en 1947.
* En 1927, la théorie des corps ordonnables d'Artin-Schreier permet de clarifier la nécessité d'un argument d'analyse dans la preuve du théorème fondamental de l'algèbre, le théorème de D'Alembert-Gauss.
* Abandonnés depuis le formalisme de Weierstrass, vers 1850, {{passage lyrique|les infiniments petits de l'époque héroïque ({{s-|XVII}}) reprennent du service}} sous l'impulsion de [[Abraham Robinson]] en 1960 qui crée l'[[analyse non standard]]. En 1970, Nelson ajoute à l'axiomatique classique de Zermelo-Fraenkel+axiome du choix (ZFC) un nouveau prédicat qui lui permet d'interpréter l'analyse non standard de Robinson dans une théorie plus facile. Les résultats démontrés dans l'analyse non standard qui s'expriment dans ZFC seul sont alors vrais dans ZFC seul.

=== Théorie des groupes ===
* La [[théorie des groupes]] occupe beaucoup de monde. Notamment les groupes finis sporadiques dont l'étude ne sera achevée que dans les années 1980. L'étude des groupes de Lie se poursuit et l'algébrisation de la physique devient un enjeu majeur.

=== Topologie ===
* Poincaré énonce en 1904 [[Conjecture de Poincaré|la conjecture qui porte son nom]] : « Considérons une variété compacte ''V ''simplement connexe, à 3 dimensions, sans bord. Alors ''V ''est homéomorphe à une hypersphère de dimension 3 ». Elle sera démontrée en 2003 par [[Grigori Perelman]].

=== Équations différentielles ===
* Dans l'étude des équations différentielles, [[Paul Painlevé|Painlevé]] découvre de nouvelles transcendantes. Son étude est continuée par Gambier.
* Un mémoire de [[Henri Dulac]]<ref>Dulac, « Sur les cycles limites », ''Bulletin de la Société mathématique de France'', t. 51, p. 45, 1923.</ref>, de 1923, contient l'énoncé qu'un champ de vecteurs ''X ''à coefficients polynomiaux du plan possède au plus un nombre fini de cycles limites (un cycle limite est une courbe intégrale analytique fermée et isolée de ''X'') qui suscitera beaucoup de travaux complémentaires avant de devenir le théorème de Dulac. À l'instar de nombre de théorèmes « démontrés », la démonstration fut contestée dans les années 1960. Celle de Dulac comportait des « trous » mis en évidence par des contre-exemples de Ilyashenko. Le théorème de Dulac devint la conjecture de Dulac. Puis la preuve fut complétée par [[Jean Écalle]]<ref>[[Jean Écalle]], ''Introduction aux fonction analysables et preuve constructive de la conjecture de Dulac'', Hermann, 1992.</ref> et la conjecture de Dulac retrouva son statut de théorème sous la forme : « Pour tout [[champ de vecteurs]] analytique dans le plan, les cycles limites ne s'accumulent pas. »

=== Théorie des nombres ===
* La thèse de Cahen (1894) avait fait l'objet de nombreuses critiques. Ce fut l'occasion de nouvelles études dans les séries de Dirichlet et la théorie des fonctions L, particulièrement par [[Szolem Mandelbrojt]].
* [[Robert Daniel Carmichael]] découvre les [[Nombre de Carmichael|nombres de Carmichael]] en 1909. Il faut attendre 1994 pour qu'Alford, Granville et Pomerance démontrent qu'il y en a une infinité<ref>W. R. Alford, A. Granville and C. Pomerance, « There are infinitely many Carmichael numbers », ''[[Annals of Mathematics]]'', vol. 140, 1994, p. 703-722.</ref>. Plus précisément, ces auteurs montrent que le nombre ''C''(''x'') de nombres de Carmichael inférieurs à ''x ''est minoré par ''x''{{exp|2/7}} à partir d'un certain rang. Divers auteurs ont donné des majorations de ''C''(''x'').
* On s'attacha à simplifier les preuves du théorème des nombres premiers ([[Edmund Landau|Landau]], [[Paul Erdős|Erdős]] et [[Atle Selberg|Selberg]]…) et celles du théorème de Picard (Borel). La [[fonction zêta de Riemann]], dans le but de démontrer l'hypothèse de Riemann, est l'objet de très nombreuses recherches de [[Godfrey Harold Hardy|Hardy]] et [[John Edensor Littlewood|Littlewood]], [[Andreas Speiser|Speiser]], [[Harald Bohr|Bohr]], Hadamard… sans pour autant que le mystère ne soit résolu. [[Edward Charles Titchmarsh|Titchmarsh]] écrit en 1951 un traité sur la théorie de la fonction ζ de Riemann qui reste l'un des plus complets.
* Le [[problème de Waring]] est partiellement résolu par Hilbert en 1909 qui montre l'existence de ''g''(''k'') tandis que [[Arthur Wieferich|Wieferich]] s'attaque à la détermination du plus petit ''g''(''k'') pour un entier k donné. Le problème de la détermination de ''G''(''k'') est commencé par Hardy et Littlewood qui énoncent même une conjecture non encore démontrée. Les majorations de ''G''(''k'') données par [[Ivan Vinogradov|Vinogradov]] ont été améliorées par [[Hans Heilbronn|Heilbronn]] (1936), [[Anatolii Alexevich Karatsuba|Karatsuba]] (1985), [[Trevor Wooley|Wooley]] (1991). On connait les valeurs de ''G''(''k'') pour ''k ''compris entre 2 et 20 par les travaux de Landau, Dickson, Wieferich, Hardy et Littlewood… [[Yuri Linnik|Linnik]] donna une méthode de résolution du problème de Waring par une voie purement arithmétique en 1943, utilisant une idée de [[Lev Schnirelmann|Schnirelmann]].
* [[Viggo Brun]] démontre en 1919 la convergence de la série des inverses des [[nombres premiers jumeaux]], en utilisant une méthode issue du crible de Erathostène-Legendre qui restera comme le crible de Brun, inaugurant la méthode du crible moderne qui se développe principalement avec Selberg.
* Une forme faible de la [[conjecture de Goldbach]] est résolue par Vinogradov en 1936 en montrant que presque tous les nombres entiers impairs s'écrivent comme somme de trois nombres premiers.

[[Fichier:Andrew wiles1-3.jpg|vignette|gauche|[[Andrew Wiles]].]]
* [[André Weil]] démontre l'hypothèse de Riemann pour les fonctions zeta locales en 1940 et énonce les conjectures qui portent son nom, qui sont démontrées dans le siècle.
[[Fichier:Deligne.jpg|vignette|Pierre Deligne en 2004. Sa démonstration d'une des conjectures d'André Weil fut un « coup de tonnerre dans le ciel serein de la théorie des nombres »{{Référence nécessaire}}.]]
* [[Pierre Deligne]] démontre, {{pas clair|contre toute attente}}, la conjecture de [[André Weil|Weil]] sur les valeurs propres des endomorphismes de Frobenius en géométrie algébrique<ref>Pierre Deligne, « La conjecture de Weil », ''[[Publ. Math. IHES]]'', {{n°|43}}, 1974, p. 273-307.</ref>.
* Des travaux d'Yves Hellegouarch lient dès les années 1960 le dernier théorème de Fermat à l'arithmétique de courbes algébriques particulières, les [[Courbe elliptique|courbes elliptiques]], mais ce n'est qu'au milieu des années 1980 que [[Kenneth Alan Ribet|Kenneth Ribet]] montre que démontrer la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil (ou conjecture modulaire), qui affirme un lien précis entre les fonctions modulaires et les courbes elliptiques, entraînerait le dernier théorème de Fermat. Au bout de sept ans de recherches, [[Andrew Wiles]] annonce en 1993, au cours d'une série de conférences sur les courbes elliptiques et leurs représentations lors d'un colloque à Cambridge, la démonstration de la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil pour une large famille de courbes elliptiques (ce qui suffit pour le théorème de Fermat). Un problème technique retarde plusieurs mois la mise au point de la preuve, mais fin 1994, le dernier théorème de Fermat est démontré. Peu après, la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil est complètement démontrée.

=== Graphes ===
* De nombreux théorèmes puissants et inattendus sont démontrés, comme, généralisant la caractérisation des [[graphe planaire|graphes planaires]], le [[théorème de Robertson-Seymour]].
* Mais c'est surtout les progrès de l'informatique qui amènent, par exemple, à la démonstration du [[théorème des quatre couleurs]], ou, de façon plus anecdotique, à montrer qu'il existe plus de {{formatnum:13267364410532}} solutions au [[problème du cavalier]] ([[Ingo Wegener|Wegener]] et [[Brendan McKay]], indépendamment ; [[Ernesto Mordecki]], un mathématicien uruguayen, en 2001, a majoré le nombre des solutions à 1,305.10{{exp|35}}).

=== Analyse complexe ===
* La première véritable preuve du théorème de l'application conforme de Riemann (1851) est donnée par [[Constantin Carathéodory]] en 1912 en utilisant les [[Surface de Riemann|surfaces de Riemann]]. Elle est bientôt simplifiée par [[Paul Koebe|Koebe]]. Une autre preuve est donnée en 1922 par Fejér et Riesz, elle-même simplifiée par [[Alexander Ostrowski|Ostrowski]] et Carathéodory.
* Carathéodory énonce et démontre en 1906 un lemme qu'il appelle [[lemme de Schwarz]]. Son énoncé, bien que très simple, va se révéler extraordinairement fécond après que [[Georg Pick|Pick]] l'a étendu en 1916. De nombreuses autres extensions, celles de Carathéodory (1926) et de {{Lien|langue=en|fr=Zeev Nehari|texte=Nehari}} (1947) par exemple, suivront. On verra le lien entre le lemme de Schwarz et la [[métrique de Poincaré]] sous-jacente.
* [[Bieberbach]], en 1916, va émettre une [[conjecture de Bieberbach|conjecture généralisant le lemme de Schwarz]] qui ne sera définitivement résolue que par [[Louis de Branges de Bourcia]], après près de 70 ans de recherches, en 1985.
* Après la Première Guerre mondiale, la communauté mathématique française, qui avait perdu beaucoup de ses membres, se replia sur son sujet favori : l'analyse complexe et la théorie des fonctions analytiques dont elle était la principale instigatrice.
* La théorie des fonctions entières d'ordre infini est l'œuvre d'[[Otto Blumenthal]] vers 1913.
* L'importance de la [[formule de Jensen]] s'affirme dans la [[fonction entière|théorie de la croissance]] initiée par Émile Borel<ref>Borel, ''Leçons sur la théorie de la croissance'', Paris, Gauthier-Villars, 1910.</ref>.
* La théorie des fonctions presque périodiques, initiée par Bohr, est développée par différents auteurs tels que Favard, Levitan, Besicovitch et Weyl, avant d'être intégrée à la théorie des groupes abéliens localement compact développée par Von Neumann.
* À la frontière entre la théorie des nombres premiers et l'analyse complexe, la théorie de la [[fonction zêta de Riemann]] est développée depuis la fin du {{s-|XIX}}. Le traité de Landau de 1909, qui rassemblait en une théorie cohérente les connaissances de l'époque, suscite de nouvelles recherches et reste une source d'inspiration jusqu'au traité de Titchmarsh de 1951 qui le remplace. Les travaux de Vinogradov, commencés dans les années 1930, aboutissent aux estimations de la région sans zéro de la fonction zêta de Riemann qu'on n'arrive pas à améliorer depuis 1959. Parallèlement les fonctions L sont étudiées.

[[Fichier:Donald Knuth DSC00624.jpg|vignette|droite|upright=0.5|[[Donald Knuth]]]]

=== Logique et théorie des ensembles ===
* Sur la question des fondements, les mathématiciens se disputent allègrement, et des branches apparaissent sous l'impulsion de [[Luitzen Egbertus Jan Brouwer|Brouwer]], de [[Henri Poincaré]]… Cependant la majorité de la communauté mathématique adhère à l'[[axiome du choix]] dont [[Kurt Gödel]] montrera en 1938 que, tout comme l'[[hypothèse généralisée du continu]], il pouvait être ajouté aux axiomes de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel [[Cohérence (logique)|sans introduire de contradictions]]<ref>{{Article|lang=en|prénom=Kurt|nom=Gödel|titre=The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum-Hypothesis|lien périodique=Proceedings of the National Academy of Sciences|revue=PNAS|vol=24|numéro=12|année=1938|p.=556–557|doi=10.1073/pnas.24.12.556}}.</ref>. En réalité, ces deux énoncés sont indépendants des autres axiomes : ce sont des propositions [[Décidabilité#Décidabilité, indécidabilité d'un énoncé dans un système logique|indécidables]] ([[Paul Cohen]], 1963). Les démonstrations de non-contradiction fleurissent (sous réserve de la non-contradiction de la théorie des ensembles).
* Le [[programme de Hilbert|programme]] que [[David Hilbert]] promeut dans les années 1920, lance les recherches sur la [[théorie de la démonstration]]. Hilbert souhaite assurer les fondements de mathématiques, et en particulier le maniement d'objets infinis, par des preuves de cohérence (non contradiction) suffisamment élémentaires des théories mathématiques. On notera les travaux de [[Jacques Herbrand|Herbrand]] (1930) et de [[Gentzen]], trop vite décédés, le premier en 1931, le second en 1945.
* En 1931, [[Gödel]] montre avec son [[théorème d'incomplétude de Gödel|premier théorème d'incomplétude]], que pour toute théorie axiomatique arithmétique non contradictoire, il existe des énoncés arithmétiques vrais qui ne sont pas démontrables dans cette théorie. Il en déduit son second théorème d'incomplétude : la cohérence d'une théorie arithmétique comme l'[[arithmétique de Peano]], ou plus généralement d'une théorie qui permet de formaliser l'arithmétique (comme la [[théorie des ensembles]]) ne peut être démontrée dans la théorie elle-même si celle-ci est cohérente, résultat qui rend irréalisable le programme de Hilbert, du moins sous sa forme initiale.
* [[Alonzo Church|Church]] invente le [[lambda calcul]] et énonce [[Thèse de Church|sa thèse]], [[Alan Turing|Turing]] invente la [[Machine de Turing|machine abstraite]] qui porte son nom et [[Stephen Cole Kleene|Kleene]] précise la définition des [[fonction récursive|fonctions récursives]]. La notion de [[calculabilité|fonction calculable]] est inventée. [[Matiyasevich]] démontre qu'il n'existe pas d'[[algorithme]] qui permette de dire si une équation diophantienne est résoluble, donnant ainsi une réponse négative aux [[dixième problème de Hilbert]]<ref>Matiiassevitch, ''Le dixième problème de Hilbert, son indécidabilité'', Paris, Masson, 1995.</ref>. La [[théorie des automates]] et la [[théorie des langages]] apparaissent.
* [[Donald Knuth]] publie [[The Art of Computer Programming|son encyclopédie sur l'art de la programmation]] et crée une nouvelle discipline : l'[[analyse d'algorithmes]]. Il crée aussi le langage de composition de textes [[TeX]], universellement utilisé pour les écrits scientifiques.

=== Probabilités ===

* La notion de [[mesure (mathématiques)|mesure]] développée par [[Émile Borel]] en 1897 est complétée par [[Henri-Léon Lebesgue]] et sa théorie de l'[[intégration (mathématiques)|intégration]]<ref>{{Lien web|url=http://www.cict.fr/~stpierre/histoire/node4.html|titre= L'histoire du calcul des probabilités – Théorie moderne|auteur=N. Drakos (trad. D. Meisel)}}.</ref>. Cette notion d'analyse est utilisée par les probabilistes pour une définition plus rigoureuse de la [[probabilité]] et entre autres de la [[densité de probabilité]]
* La première version moderne du [[théorème central limite]] est donnée par [[Alexandre Liapounov]] en 1901<ref>{{Lien web|auteur=Bernard Ycart|url=http://ljk.imag.fr/membres/Bernard.Ycart/smel/articles/etoiles/cadre_etoiles.html|titre=Entre De Moivre et Laplace}}.</ref> et la première preuve du théorème moderne donnée par [[Paul Lévy (mathématicien)|Paul Lévy]] en 1910.
* En 1902, [[Andrei Markov (mathématicien)|Andrei Markov]] introduit les [[chaînes de Markov]]<ref>{{Lien web|url=http://www.bibmath.net/dico/index.php3?action=affiche&quoi=./m/markov.html|site=DicoMaths|titre=Chaine de Markov}}.</ref> pour entreprendre une généralisation de la loi des grands nombres pour une suite d'expériences dépendant les unes des autres. Ces chaînes de Markov connaîtront de nombreuses applications, entre autres pour modéliser la [[mouvement brownien|diffusion]] ou pour l'indexation de sites web sur Google.
* En 1933, la théorie des probabilités sort d'un ensemble de méthodes et d'exemples divers et devient une véritable théorie, axiomatisée par [[Andreï Kolmogorov|Kolmogorov]].
* [[Kiyoshi Itō]] met en place une théorie et un [[lemme d'Itô|lemme qui porte son nom]] dans les années 1940. Ceux-ci permettent de relier le [[calcul stochastique]] et les [[équations aux dérivées partielles]] faisant ainsi le lien entre [[Analyse (mathématiques)|analyse]] et probabilités. Le mathématicien [[Wolfgang Döblin]] avait de son côté ébauché une théorie similaire avant de se suicider à la défaite de son bataillon en juin 1940. Ses travaux furent envoyés à l'Académie des sciences dans un pli cacheté qui ne fut ouvert qu'en 2000.

=== Analyse numérique ===
* [[Richard Courant]] introduit les [[éléments finis]] en 1940. Cette méthode sert à la résolution numérique d'équations aux dérivées partielles. Elle ne prendra véritablement de l'importance qu'avec l'informatique et des procédés de maillage performants et adaptés, qui n’apparaissent pas avant les années 1980.
* Les [[méthode de Monte-Carlo|méthodes de Monte-Carlo]] se développent, sous l'impulsion de [[John von Neumann]] et [[Stanislas Ulam]] notamment, lors de la Seconde Guerre mondiale dans le cadre des recherches sur la fabrication de la bombe atomique. Elles sont nommées ainsi par allusion aux jeux de hasard pratiqués à [[Monte-Carlo]]. Ces méthodes probabilistes servent à la résolution numérique d'équations aux dérivées partielles, d'[[équations différentielles stochastiques]], et d'estimations d'intégrales multiples.

=== Paradoxes apparents et curiosités ===
* Si l'acceptation de l'axiome du choix permet de démontrer l'existence de bases dans les espaces vectoriels de dimension infinie, notamment les espaces de Hilbert, cela a aussi des conséquences plus étranges, comme le [[paradoxe de Banach-Tarski]] : il existe un découpage d'une sphère parfaite en cinq morceaux tel qu'avec les morceaux on puisse reconstituer deux sphères parfaites de même diamètre que la première.
* D'autres curiosités, comme le théorème du retournement de la sphère de [[Stephen Smale|Smale]] (qui utilise l'axiome du choix), sont démontrées.

== {{s-|XXI}} ==
=== Topologie ===
La [[conjecture de Poincaré]] est démontrée en 2003 par [[Grigori Perelman]].

== Notes et références ==
=== Notes ===
{{Références|groupe=note}}

=== Références ===
{{Références}}

== Voir aussi ==
{{Autres projets
  | commons= Category:History of mathematics
}}

=== Bibliographie ===
* {{Ouvrage|langue=fr|auteur1=Avner Bar-Hen|auteur2=Quentin Lazzarotto|titre=Dingue de Maths|sous-titre=du penalty à la météo, décoder le réel|lieu=Vanves|éditeur=EPA|année=2021|pages totales=352|isbn=978-2-37-671177-3}}.
* {{Ouvrage|langue=fr|langue originale=it|auteur1=Claudio Bartocci|directeur1=oui|auteur2=Piergiorgio Odifreddi|directeur2=oui|préface=[[Michel Blay]]|titre=La mathématique|volume=1|titre volume=Les lieux et les temps|lieu=Paris|éditeur=CNRS|année=2009|pages totales=845|isbn=978-2-271-06817-0|présentation en ligne=http://publimath.univ-irem.fr/biblio/AVM09054.htm}}.
* [[Jean C. Baudet]], ''Nouvel Abrégé d'histoire des mathématiques'', [[Vuibert]], Paris, 2002.
* Jean C. Baudet, ''Histoire des mathématiques'', Vuibert, Paris, 2014.
* Jean-Paul Colette, ''Histoire des mathématiques'', [[Éditions du Renouveau pédagogique]], Montréal, 1973.
* {{DahanPeiffer}}.
* [[Denis Guedj]], ''[[Le Théorème du Perroquet]]'', [[Weidenfeld & Nicolson]], 1998.
* [[Georges Ifrah]], ''Histoire universelle des chiffres,''  [[Éditions Seghers|Seghers]], Paris, 1981, puis [[Éditions Robert Laffont|Robert Laffont]], Paris, 1994.
* {{Ouvrage|langue = français|auteur = [[Marianne Michel]]|titre = Les mathématiques de l'Égypte ancienne. Numération, métrologie, arithmétique, géométrie et autres problèmes|lieu = Bruxelles|éditeur = Safran (éditions)|année = 2023|pages totales = 604|référence=Référence:Les mathématiques de l'Égypte ancienne. Numération, métrologie, arithmétique, géométrie et autres problèmes (Marianne Michel)}}.
* [[Roshdi Rashed]], ''D'[[Al-Khwarizmi]] à [[Descartes]]. Études sur l'histoire des mathématiques classiques'', [[Hermann (éditions)|Hermann]], 2011.

=== Articles connexes ===
* [[Histoire des sciences]]
* [[Chronologie de l'algèbre]]
* [[Ethnomathématiques]]
* [[Histoire de l'analyse]]
* [[Histoire de l'analyse fonctionnelle]]
* ''[[Mathematics Genealogy Project]]''
* ''{{Langue|en|[[MacTutor History of Mathematics archive]]}}''
=== Liens externes ===
* {{Autorité}}
* {{Bases}}
* {{Dictionnaires}}
* [http://noe-education.org/D1114.php3 Liens sur l'histoire des mathématiques (2)]
* [http://www.gehimab.org Histoire des mathématiques à Béjaia]
* Dans [http://www.academie-sciences.fr/publications/lettre/pdf/lettre_14.pdf la lettre de l'Académie des sciences"Histoire et philosophie des sciences" (pdf {{Unité|2.12|Mo}}) - {{n°|14}} / hiver 2004]: ''Mathématiques de la Chine ancienne''
* [http://images.math.cnrs.fr/-Histoire-des-Mathematiques-.html#pagination_articles Cnrs images des mathématiques : Histoire des mathématiques]
* [http://trucsmaths.free.fr/etymologie.htm Site recensant les étymologies des concepts mathématiques]
* {{en}} [http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/ The History of Mathematics] David R. Wilkins, Trinity College, Dublin
* {{Lien web|url=http://archive.wikiwix.com/cache/?url=http://www.mat.ulaval.ca/fileadmin/Cours/MAT-10393/histoire_2007.pdf|titre=Un ensemble de mathématiciens de l'Antiquité à aujourd'hui|auteur1=[[Jean-Marie De Koninck]]|auteur2=Bernard R. Hodgson|année=2007}}

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[[Catégorie:Histoire des mathématiques| ]]