Voir la source de Histoire des nombres complexes

[[Fichier:Algebra by Rafael Bombelli.gif|thumb|upright|L’''Algebra'' de [[Raphaël Bombelli]] où apparaissent les premières propriétés  des nombres complexes (1572).]]
'''L'histoire des [[nombre complexe|nombres complexes]]''' commence vers le milieu du {{s|XVI}} avec une première apparition en 1545, dans l'œuvre de  [[Girolamo Cardano|Cardan]], d'une expression contenant la [[racine carrée]] d'un nombre négatif, nombre qu'il appelle ''sophistiqué''. C'est [[Raphaël Bombelli]] qui met en place les règles de calcul sur ces quantités que l'on appelle alors ''impossibles'' avant de leur donner le nom d'imaginaires.

Durant trois siècles, ces ''nombres'' sont regardés avec méfiance, n'en étant pas vraiment mais permettant des raccourcis intéressants tant en algèbre que dans la toute nouvelle branche du [[calcul infinitésimal]]. Les mathématiciens du {{s|XVIII}} tentent avec audace de généraliser les [[Fonction réelle d'une variable réelle|fonctions de la variable réelle]] à la variable imaginaire, tantôt avec succès, comme pour l'[[exponentielle complexe]], tantôt avec plus d'aléas, comme pour la fonction [[Racine d'un nombre|racine {{math|''n''}}-ième]] ou la fonction [[logarithme complexe]].

Durant la première moitié du {{s|XIX}} se succèdent les tentatives de légitimation des nombres complexes comme représentation du plan, ensemble de [[polynôme]]s ou [[structure algébrique]] définie sur des [[Couple (mathématiques)|couples]] de [[Nombre réel|réels]]. Cependant leur utilité dans tous les domaines de l'algèbre et l'analyse et l'utilisation qu'en font les physiciens, tant en [[optique]] que dans le domaine de l'[[électricité]], en avaient déjà fait des outils essentiels des sciences mathématiques et physiques.

== Les nombres complexes comme objet algébrique ==

[[Fichier:Cardano.jpg|left|thumb|upright|[[Girolamo Cardano]] est le premier mathématicien à imaginer l’existence de racines carrées de nombres négatifs (1545).]]
Les nombres complexes sont nés de confrontations avec des opérations impossibles comme les racines carrées de [[Nombre négatif|nombres négatifs]]. Un des premiers mathématiciens à en imaginer l'existence<ref group=note>On trouve bien, dans un texte de [[Héron d'Alexandrie]] ({{s|I|er}}) et dans un texte de [[Nicolas Chuquet]] (1484) une racine carrée de nombre négatif, mais Flament  {{harv|Flament|2003|p=9;13}} les attribue à des erreurs et non à une volonté délibérée de manipulation.</ref> est [[Girolamo Cardano|Cardan]] en 1545 dans son ''[[Ars Magna (Girolamo Cardano)|Artis magnae sive regulis algebraicus]]''<ref>Livre I, chap. 37, règle 2, p. 67 de [http://www.filosofia.unimi.it/cardano/testi/operaomnia/vol_4_s_4.pdf ce document]</ref> à l'occasion de la résolution de l'équation 
<center><math>x(10 - x)=40</math></center>
dont il donne les solutions sous la forme suivante :
<center> 5. p. ℞. m. 15 et 5. m. ℞. m. 15</center>
que l'on peut lire comme 
<center> <math>5 + \sqrt{-15}\quad\text{et}\quad5 - \sqrt{-15}\ </math> </center>
et fait observer que le produit de ces deux nombres donne bien 40 tout en reconnaissant que l'équation est, en toute théorie, impossible à résoudre. Il demande au lecteur de faire preuve d'imagination et appelle ces nombres des quantités sophistiquées. Selon [[Reinhold Remmert|Remmert]]<ref>{{harvsp|Remmert|1998|p=49}}</ref>, on ne sait pas si Cardan, en inventant cette écriture, songe particulièrement à résoudre l'équation de degré trois. Mais cet outil va vite s'y révéler très utile. En effet, les [[méthode de Cardan|formules de Cardan]] dans la résolution de l'équation 
<center> <math> x^3+px+q=0</math> </center>
consistent à faire la somme des racines cubiques des deux solutions de l'équation du second degré 
<center><math> X^2+ qX-\frac{p^3}{27}=0.</math></center>
Cela nécessite que le discriminant de cette seconde équation soit positif. Or, justement dans le cas où l'équation initiale du troisième degré possède trois solutions [[Nombre réel|réelles]], ce discriminant est négatif. Ce qui conduit à la situation paradoxale suivante : quand il y a pléthore de [[Racine d'un polynôme|racines]], la méthode de Cardan ne peut pas s'appliquer, à moins d'accepter de quitter temporairement le domaine du possible et de travailler sur des nombres ''imaginaires'' utilisant des racines carrées de nombres négatifs.

La première formalisation avec règles de calcul sur ces quantités est l'œuvre de [[Raphaël Bombelli]] en 1572 dans son ''Algebra''.  C'est, selon Dominique Flament, le créateur indiscutable de la théorie des nombres imaginaires<ref>{{harvsp|Flament|2003|p=24}}</ref>. À côté des signes + et – qu'il appelle ''{{lang|it|piu}}'' et ''{{lang|it|meno}}'', il invente deux autres signes, sortes d'opérateurs<ref>{{harvsp|Boyé|1998|p=154}}</ref> qui symbolisent l'ajout ou le retrait d'une racine d'un nombre négatif : ''{{lang|it|piu di meno}}'' et ''{{lang|it|meno di meno}}''. Ainsi l'expression que l'on note aujourd'hui {{math|2 + i {{racine|121}}}} est notée par Bombelli 2 ''{{lang|it|piu di meno R.q.}}'' 121. Il évite ainsi la notation troublante que serait {{racine|–121}}. Il définit alors une règle des signes sur le produit de deux quelconques de ces quatre signes. Ainsi, par exemple, ''{{lang|it|meno via meno fà piu}}'' (– par – donne +), ''{{lang|it|piu di meno via meno fà meno di meno}}'' ({{math|+i}} par – donne {{math|–i}}) et ''{{lang|it|piu di meno via piu di meno fa meno}}'' ({{math|+i}} par {{math|+i}} donne –). Il qualifie les quantités qu'il manipule de plus sophistiquées que réelles<ref>piu tosto sofistica che reale {{harv|Flament|2003|p=25}}</ref> mais les utilise pour résoudre l'équation du troisième degré
<center><math>x^3=15x+4</math></center>
ce qui l'oblige à trouver les racines cubiques des quantités
<center><math>2\pm 11~\mathrm i.</math></center>
C'est ainsi qu'il présente sans expliquer sa méthode {{math|2 ± i}} comme [[racine cubique]] de {{math|2 ± 11 i}}. Selon [[Eduard Study|Study]], Bombelli aurait trouvé ce résultat par tâtonnements sans mettre au point de méthode générale<ref>{{harvsp|Study|Cartan|1908|p=331 (109)}}</ref>.

[[Fichier:Frans Hals - Portret van René Descartes.jpg|thumb|upright|[[René Descartes]] les baptise « nombres imaginaires » (1637).]]
Malgré le travail de ces deux précurseurs, à la fin du {{s|XVI}}, ces quantités sophistiquées restent boudées par certains mathématiciens. Ainsi [[François Viète]] et [[Thomas Harriot]] refusent toute existence aux quantités tant négatives qu'imaginaires<ref name=Flament3134>{{harvsp|Flament|2003|p=31;34}}</ref> et c'est en utilisant la [[trisection de l'angle]] que Viète résout l'équation de degré 3<ref name=Flament3134/>. [[Simon Stevin]], quant à lui, les juge inutiles<ref>{{harvsp|Wessel|Branner|1999|p=67}}</ref>.

Cependant la découverte  de ces quantités semble lever l'obstacle des résolutions impossibles des équations de degré deux et de degré quatre. La question naturelle qui se pose est alors : peut-on, à condition d'accepter d'écrire des racines carrées de nombres négatifs, obtenir toujours {{math|''n''}} [[Racine d'un polynôme|racines à un polynôme]] de degré {{math|''n''}} ? C'est la recherche d'une preuve du [[théorème fondamental de l'algèbre]] qui va durer deux siècles. Énoncé par Peter Rothe en 1608, par [[René Descartes]] et [[Albert Girard]] en 1627 et 1629, il est l'objet d'une démonstration qui semble aboutie chez [[Jean Le Rond d'Alembert]] en 1746 ; il ne sera démontré par [[Carl Friedrich Gauss]] de manière rigoureuse qu'en 1799<ref>{{harvsp|Flament|2003|p=38}}</ref>.

Dans son ''Invention nouvelle'', Girard utilise sans état d'âme ces quantités qu'il appelle solutions ''enveloppées''<ref group=note>Enveloppé est à prendre ici dans le sens de caché, obscur (dictionnaire Robert)</ref> pour résoudre l'équation {{math|''x''{{4}} {{=}} 4 ''x'' + 3}} et, à la question  « À quoi servent-elles ? », il répond qu'elles permettent de montrer la véracité de la règle (un polynôme de degré 4 possède exactement 4 racines)<ref>{{harvsp|Flament|2003|p=37-38}}</ref>. Quant à Descartes, s'il n'apporte pas de contribution significative à cette nouvelle théorie qu'il n'accepte qu'avec réticence<ref>Mateus Araujo Silva, ''L'imagination dans la Géométrie de Descartes'', in ''Mathématiciens français du {{s-|XVII}}'', [https://books.google.fr/books?id=oEcCa9oMI9YC&pg=PA85#v=onepage&q&f=false p 85], notes 56, 57, 59</ref>, il joue un rôle marquant par sa notoriété : en les citant dans ses écrits, il leur confère un statut officiel à tel point que le qualificatif d’''imaginaire'' dont il les baptise dès 1637 devient leur nom officiel jusqu'en 1831. Cependant, cet [[adjectif]] rend bien compte du statut de ces nombres au milieu du {{s|XVII}} : ils sont, certes, utiles mais on s'en méfie car on ne leur accorde aucune réalité<ref>{{harvsp|Flament|2003|p=46}}</ref>.

== Calculs sur les nombres complexes ==
Un siècle après leur naissance, les quantités imaginaires commencent à être utilisées par de nombreux mathématiciens. On cherche alors à spécifier leurs règles de calcul et à en isoler la [[partie réelle]]. À cette époque encore, un nombre imaginaire se note {{math|''a'' ± {{racine|–''b''}}}} sans que soit privilégié {{racine|–1}}<ref>{{harvsp|Cajori|1928|p=127 par. 497}}</ref>  et la notation rigoureuse de Bombelli n'a pas résisté à la mise en place de la notation symbolique de Viète et Descartes. Sous cette forme, les additions et les multiplications sont simples, les produits et quotients aussi quoique la présence d'une racine carrée négative puisse entraîner certaines erreurs : ainsi voit-on encore, sous la plume d'[[Leonhard Euler|Euler]] en 1768<ref>Léonhard Euler, ''Elements d'algèbre, Volume 1 [https://books.google.fr/books?id=zcsGAAAAcAAJ&pg=PA107#v=onepage&q&f=false p 107], règle 148</ref> la règle suivante : {{racine|–1}}{{racine|–4}} = {{racine|4}} alors que la notation de Bombelli  ''piu di meno R.q. 1 via piu di meno R.q.4'' aurait donné ''meno R.q.4''<ref group=note>Cette ''erreur'' a fait couler beaucoup d'encre car il est clair qu'Euler maîtrisait à cette époque très bien les nombres complexes : pour Flament {{harv|Flament|2003|p=321}} il s'agit d'une confusion due au désir d'Euler de transposer aux racines carrées des nombres négatifs des règles appliquées aux racines carrées des nombres positifs, pour [[Florian Cajori|Cajori]] {{harv|Cajori|1928|p=127 par. 496}}, il s'agit d'une erreur d'imprimeur qu'Euler, à la vue faible, n'aurait pas détectée, pour Hamon {{harv|Hamon|1998|p=254}}, il n'y a pas d'erreur car il faut voir le signe racine carrée comme une fonction multiforme (deux valeurs possibles) comme le précise Euler dans la [https://books.google.fr/books?id=zcsGAAAAcAAJ&pg=PA108#v=onepage&q&f=false section 150] du même ouvrage {{citation|il faut lire {{racine|4}} comment pouvant valoir 2 ou –2}}.</ref>.

La difficulté se présente dans l'extraction de la racine {{math|''n''}}-ième d'un nombre complexe. Cette opération est nécessaire, par exemple pour exhiber les solutions réelles d'une équation de degré 3. Or il se trouve qu'effectivement, il n'est pas possible, en général,  d'exprimer les racines d'un polynôme de degré trois en utilisant des radicaux réels<ref>''Casus irreductibilis''  - {{Ouvrage|prénom1=Jacqueline|nom1=Lelong-Ferrand|prénom2=Jean-Marie|nom2=Arnaudiès|lien auteur2=Jean-Marie Arnaudiès|titre=Cours de Mathématiques|tome=1|titre tome=Algèbre|éditeur=[[Éditions Dunod|Dunod]]|année=1977|pages totales=|passage=177|isbn=}}</ref> et que le passage par une trisection d'angle se révèle souvent utile. [[Gottfried Wilhelm Leibniz]] se méfie beaucoup de ces {{citation|monstres du monde des idées}}<ref group=note>{{citation étrangère|langue=la|Itaque elegans et mirabile effugium reperit in illo analyseos miraculo, idealis mondi monstro, pene inter Ens et non Ens amphibium quo radicem imaginariam apellamus}} - Ainsi on trouve l'élégante et admirable issue dans ce miracle de l'analyse, monstre du monde des idées, presque amphibie entre l'être et le [[non-être]], que nous appelons racine imaginaire - (Leibniz, Specimen novum analyseos pro scienta infiniti crica summa et quadraturas, Acta eruditorium,  1702, [https://books.google.fr/books?hl=fr&id=SUkJAAAAQAAJ&pg=PA357#v=onepage&q&f=false p 357])</ref> et cherche à les faire disparaître dans des expressions comme {{racine|{{math|''a''+i''b''}}|n={{math|''n''}}}} + {{racine|{{math|''a''–i''b''}}|n={{math|''n''}}}} en utilisant [[formule du binôme généralisée|sa formule du binôme]] dès 1675<ref name=Flament48>{{harvsp|Flament|2003|p=48}}</ref>. Son idée est reprise et développée en 1738 par [[François Nicole (mathématicien)|François Nicole]]<ref>{{harvsp|Durand-Richard|1998|p=102}}</ref>, qui donne ainsi la formule suivante<ref>{{harvsp|Flament|2003|p=58}}</ref> :
<center> <math>\begin{align}\frac12\left(\sqrt[3]{\frac ab+\mathrm i}+\sqrt[3]{\frac ab-\mathrm i}\right)=& \left(\frac ab\right)^{1/3}-\frac{(1).(-2)}{2!.3^2}\left(\frac ab\right)^{-5/3}\\ \ & + \frac{(1).(-2).(-5).(-8)}{4!.3^4}\left(\frac ab\right)^{-11/3}-\frac{(1).(-2).(-5).(-8).(-11).(-14)}{6!.3^6}\left(\frac ab\right)^{-17/3}+ \cdots\end{align}</math>.</center>
À cette époque, on ne se préoccupe pas de la [[Série convergente|convergence]] des [[Série (mathématiques)|séries]] proposées et on généralise les formules vues sur des quantités réelles selon le principe de permanence<ref name=permanence>Principe consistant à généraliser aux complexes les propriétés connues sur l'ensemble des réels {{harv|Study|Cartan|1908|p=334}}</ref>.

La démarche suivie par [[Abraham de Moivre]] en 1706 est autre : il établit un lien entre l'extraction d'une racine {{math|''n''}}-ième et la division d'un arc en {{math|''n''}} parties égales<ref name="Flament48" />, publie en 1730 la formule 
<center><math> \cos B =\frac 12 \left(\sqrt[n]{\cos(nB)+\mathrm i\sin(nB)}+\sqrt[n]{\cos(nB)-\mathrm i\sin(nB)}\right)</math><ref group=note>La [[Formule de De Moivre|formule de Moivre]], {{math|(cos(''B'') + i sin(''B''))<sup>''n''</sup> {{=}} cos(''nB'') + i sin(''nB'')}}, est en réalité publiée par [[Leonhard Euler]] en 1748 {{harv|Flament|2003|p=51}}.</ref></center> et affirme, dès 1738, que {{racine|{{math|''a''+i''b''}}|n={{math|''n''}}}} possède {{math|''n''}} valeurs distinctes, s'appuyant sur les {{math|''n''}} valeurs de {{racine|{{math|cos(''B'') + i sin(''B'')}}|n={{math|''n''}}}} obtenues sous la forme {{math|cos(''B/n+kC/n'') + i sin(''B/n+kC/n'')}} où {{math|''C''}} est une circonférence complète<ref>{{harvsp|Flament|2003|p=52}}</ref>. Il met également en pratique cette technique pour résoudre<ref>{{harvsp|Flament|2003|p=50-51}}</ref> l'équation de degré 5 : {{math|5''y''–20''y''{{3}}+6''y''{{5}}}} = {{frac|61|64}}.

Le cas de l'[[Exponentielle complexe|exponentielle d'un complexe]] se révèle moins problématique. Euler, en 1740, par calcul de limite, établit que :
: <math>\cos(x) = \frac{\exp(\mathrm ix)+\exp(-\mathrm ix)}2\quad\text{et}\quad\sin(x) = \frac{\exp(\mathrm ix)-\exp(-\mathrm ix)}{2\mathrm i}</math> 
{{Boîte déroulante|titre=La démarche d'Euler<ref>L. Euler, ''Introduction à l'analyse infinitésimale'', [https://books.google.fr/books?id=XMo7AAAAcAAJ&hl=fr&pg=PA102#v=onepage&q&f=false article 138] et [https://books.google.fr/books?id=XMo7AAAAcAAJ&hl=fr&pg=PA97#v=onepage&q&f=false article 133]</ref>|contenu=
Fort des résultats établis sur les puissances des expressions {{math|cos(''B'')+ i sin(''B'')}}, Euler écrit que 
: <math> \cos(x) = \frac 12\left[\left(\cos(x/n)+\mathrm i\sin(x/n)\right)^n+ \left(\cos(x/n)-\mathrm i\sin(x/n)\right)^n\right].</math>
Pour {{math|''n''}} très grand, {{math|cos(''x/n'')}} est équivalent à 1 et {{math|sin(''x/n'')}} est équivalent à {{math|''x/n''}} ; il en déduit donc que 
: <math> \cos(x) =\lim  \frac 12\left[\left(1+\frac{\mathrm ix}n\right)^n+\left( 1-\frac{\mathrm ix}n\right)^n\right].</math>
Or, on sait que l'exponentielle de {{math|''y''}} est définie comme <math> \lim\left(1+\frac yn\right)^n</math> donc 
: <math> \cos(x) = \frac 12 (\exp(\mathrm ix) + \exp(-\mathrm ix)).</math>}}
puis en 1748, énonce [[formule d'Euler|sa formule]] : 
: <math>\cos(x)+\mathrm i\sin(x)=\mathrm e^{\mathrm ix}.</math>
Dans la foulée, il exprime ce que vaudrait l'exponentielle d'un nombre complexe, [[Trigonométrie complexe|le sinus, le cosinus et la tangente d'un complexe]] ainsi que leurs fonctions réciproques<ref>L. Euler, ''Recherches sur les racines imaginaires des équations'', Mémoires de l'académie des sciences de Berlin, (1749), 1751, p 222-228, [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6956m/f110 lire en ligne], articles 106, 107, 114a, 116, 119</ref>.

[[Fichier:Leonhard Euler 2.jpg|thumb|upright|[[Leonhard Euler]] fait l’inventaire de tous les calculs réalisables avec les nombres complexes. Il est à l’origine de la notation {{math|i}} (1777).]]
Le cas du logarithme d'un nombre complexe va occuper les mathématiciens [[Jean Bernoulli|Jean I{{er}} Bernoulli]], Leibniz, Euler et d'Alembert pendant près d'un demi-siècle<ref>{{harvsp|Flament|2003|p=83}}</ref>. En 1702, Bernoulli et Leibniz décomposent les fonctions rationnelles en éléments simples et les intègrent grâce à la fonction logarithme<ref name=Flament62>{{harvsp|Flament|2003|p=62}}</ref>. Ainsi, pour {{math|''x'' > 1}}, 
:<math> \int \frac{2}{x^2-1}~\mathrm dx =  \int\left(\frac{1}{x-1}  -  \frac{1}{x+1}\right)~\mathrm dx  = \ln(x-1) - \ln(x+1) + C= \ln\left(\frac{x-1}{x+1}\right)+ C.</math>
La tentation est grande de généraliser le processus à des dénominateurs dont les racines sont complexes<ref name=Flament62/> : 
:<math>\begin{align}\int\frac2{x^2+1}~\mathrm dx &=\frac 1{\mathrm i}  \int\left(\frac1{x-\mathrm i}  -  \frac1{x+\mathrm i}\right)~\mathrm dx  =  \frac1{\mathrm i}\left(\ln(x-\mathrm i) - \ln(x+\mathrm i)\right) + C \\ \ & = \frac1{\mathrm i} \ln \left(\frac{x-\mathrm i}{x+\mathrm i}\right)+ C = \frac1{\mathrm i} \ln\left(\frac{x^2-1}{x^2+1}-\mathrm i \frac{2x}{x^2+1}\right)+ C.\end{align}</math>
Encore faut-il savoir ce que peut valoir {{math|ln(''a''+i''b'')}}. En 1714, [[Roger Cotes]] établit l'égalité<ref>{{harvsp|Flament|2003|p=80}}</ref> :
: <math>\mathrm ix=\ln(\cos x+\mathrm i\sin x)</math>
mais ces expressions, utilisées sans précaution selon le principe de permanence<ref name=permanence/>, produisent rapidement des incohérences, en particulier sur la définition de {{math|ln(–1)}}, que Bernoulli s'obstine à vouloir nul malgré les remarques de Leibniz lui faisant remarquer que, {{math|ln(i)}} valant {{math|i π/2}}, {{math|ln(i{{2}})}} devrait valoir {{math|i π}}. Cette controverse est résolue par [[Leonhard Euler|Euler]], en 1749, dans un texte célèbre, ''De la controverse entre Mrs Leibniz et Bernoulli sur les logarithmes des nombres négatifs et imaginaires''<ref>L. Euler, [http://www.math.dartmouth.edu/~euler/docs/originals/E168.pdf De la controverse entre Mrs. Leibnitz & Bernoulli sur les Logarithmes des nombres négatifs et imaginaires]</ref>  : il existe une infinité de valeurs possibles pour le logarithme d'un nombre complexe, toutes différant de {{math|i''kC''}} où {{math|''C''}} est une circonférence complète. Seuls les réels positifs possèdent un de leurs logarithmes réel et celui-ci correspond au logarithme classique. La formule générale est plus précisément :
: <math> \ln(a+\mathrm ib)=\ln(\sqrt{a^2+b^2})+\mathrm i\theta</math> 
où {{math|''θ''}} correspond à '''tout angle''' dont le cosinus vaut <math display=inline>a/\sqrt{a^2+b^2}</math> et le sinus <math display=inline> b/\sqrt{a^2+b^2}</math>.

Cette définition lui permet de compléter la liste des calculs sur les nombres complexes par la puissance complexe d'un nombre complexe, expression multiforme comme l'est le logarithme d'un complexe :

:<math> (a+\mathrm ib)^{u+\mathrm iv}=\mathrm e^{(u+\mathrm iv)\cdot\ln(a+\mathrm ib)}.</math>
Ainsi précise-t-il que les valeurs de {{math|(cos ''x'' + i sin ''x''){{exp|''n'' i}}}} sont toujours réelles pour {{math|''x''}} réel et valent {{math|e{{exp|–''nx''+2''k''π''n''}}}}. Il précise une des valeurs de {{math|i {{exp|i}}}} :
<center><math>\mathrm i^\mathrm i=\mathrm e^{-\pi/2}.</math></center>

En 1777, Euler s'affranchit de la dernière notation ambiguë en remplaçant {{racine|–1}} par la lettre {{math|i}}<ref>L. Euler, Integratione formularum angulos sinusve angulorum implicantium, ''[http://www.math.dartmouth.edu/~euler/docs/originals/E671.pdf De formulis differentialibus angularibis maxime irrationalibus, quas tamen per logarithmos et arcus circulares integrare licet]'', mai 1777 publié en 1794</ref>. Euler pense ainsi avoir fait le tour de toutes les fonctions applicables à la variable complexe et avoir prouvé que le résultat de tout calcul sur des complexes à l'aide de fonctions connues à l'époque peut s'écrire sous forme {{math|''a'' + i''b''}}, normalisant ainsi l'écriture de ceux-ci<ref name=Remmert100>{{harvsp|Remmert|1998|p=100}}</ref>. Il pense également avoir démontré le [[théorème fondamental de l'algèbre]] en prenant pour acquis deux résultats<ref>{{harvsp|Flament|2003|p=68}}</ref> : un polynôme de degré impair possède toujours une racine réelle<ref group=note>Il s'agit d'une conséquence du [[théorème des valeurs intermédiaires]] qui n'était pas encore démontré à l'époque.</ref> et toute racine d'un polynôme s'exprime à l'aide de radicaux à partir des coefficients du polynôme<ref group=note>[[Théorème d'Abel (algèbre)|Abel prouvera]] en 1824 que cette résolubilité par radicaux n'est pas acquise pour des polynômes de degré supérieur ou égal à 5.</ref>.

== À la recherche d'une légitimité ==
À la fin du {{s|XVIII}}, on utilise les quantités imaginaires comme outils pratiques tant en analyse qu'en algèbre mais le caractère ''irréel'' de la racine carrée de –1 reste un problème. Les quantités imaginaires ne sont pas totalement acceptées par la communauté mathématique mais seulement tolérées<ref name=Remmert53>{{harvsp|Remmert|1998|p=53}}</ref>.  L'étape suivante consiste à établir une construction des complexes qui leur permette d'entrer de plain-pied dans le corpus mathématique. Elle va se faire dans plusieurs directions, l'une géométrique, l'autre par l'algèbre abstraite.

=== Représentation géométrique par des vecteurs ou des points du plan ===
[[Fichier:Affixe.svg|thumb|Correspondance ligne et complexe :<center>{{surligner|OA}} ∼ a+{{math|i}}b = r.{{math|e}}{{exp|{{math|i}}θ}}</center>]]
Cette association entre complexes et [[Géométrie euclidienne|géométrie plane]] semble être dans l'air du temps dès le {{s|XVIII|e}}. Ainsi voit-on Euler indiquer, en 1749, pour la recherche d'un antécédent pour la fonction logarithme d'un nombre « [[nombre imaginaire pur|simplement imaginaire]] » {{math|i''g''}}, la méthode suivante<ref>L. Euler, [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6965k/f205 De la controverse entre Mrs. Leibniz et Bernoulli sur les logarihmes des nombres négatifs et imaginaires], p. 230.</ref> :  prendre un arc de cercle égal à {{math|''g''}} et de rayon 1, déterminer le sinus et le cosinus de {{math|''g''}}, le nombre cherché sera {{math|cos ''g'' + i sin ''g''}}. Selon Remmert<ref>{{harvsp|Remmert|1998|p=52}}.</ref>, ceci est un indice très fort pour penser qu'Euler avait déjà fait le rapprochement entre point du plan et complexe. Certaines tentatives datent même du {{s|XVII|e}} mais elles échouent toutes sur le sens à donner au produit de deux nombres complexes. [[John Wallis]] se heurte à ce problème dès 1685<ref>{{harvsp|Wessel|Branner|1999|p=69}}.</ref> dans ''A treatise of algebra'' et Heinrich Kühn (1690-1769) en 1750. En effet, selon Flament<ref>{{harvsp|Flament|2003|p=127}}.</ref>, imaginer que le produit de deux lignes puisse donner une ligne et non une surface est une idée révolutionnaire.

[[Fichier:Somme.svg|thumb|left|Définition de la somme : {{surligner|OC}}={{surligner|OA}}+{{surligner|OB}} si et seulement si OACB est un [[parallélogramme]].]]
Les premières représentations des nombres complexes par des lignes dirigées sont les œuvres de deux praticiens : [[Caspar Wessel]] est un [[Topographie|arpenteur]] et l'un de ses buts avoués est d'utiliser les complexes pour [[résolution d'un triangle|résoudre des triangles]] et manipuler des lignes possédant une longueur et une direction<ref name=Remmert53/> ; quant à [[Jean-Robert Argand]], il consacre une grande partie de son essai à montrer les intérêts pratiques de sa méthode<ref>{{harvsp|Flament|2003|p=195}}.</ref>.  Ils travaillent tous deux sur des ''lignes dirigées'' (on dirait aujourd'hui des [[vecteur]]s) avec une différence cependant : les lignes de Wessel ont toutes même origine alors qu'elles sont flottantes chez Argand. La somme de deux lignes dirigées se fait en utilisant la relation de Chasles et la multiplication se construit, une unité étant choisie, à l'aide de [[triangles semblables]].

{{Double image|right|Produit1.svg|250|Produit2.svg|250|Définition du produit : {{surligner|OC}}{{=}}{{surligner|OA}}×{{surligner|OB}} si et seulement si les triangles uOA et BOC sont directement semblables.|Commutativité du produit : les triangles uOA et BOC sont semblables si et seulement si les triangles uOB et AOC le sont.}}

Mais les écrits de Wessel et d'Argand diffèrent dans leur esprit : Wessel ''construit'' une addition et une multiplication sur les lignes dirigées et a presque en tête la notion de structure algébrique, il associe à la ligne dirigée {{math|''u''}} le nombre 1 et trouve deux lignes dirigées {{math|''v''}} dont le carré vaut –1, la ligne dirigée obtenue en tournant dans le sens direct est appelée {{math|ε}}, et c'est seulement ensuite qu'il associe à chaque ligne dirigée un complexe. Argand, quant à lui, ''construit'' {{math|i}} comme moyenne géométrique entre la ligne 1 et la ligne –1, il définit alors un axe principal, l'axe des réels, un axe secondaire, ou médian, et construit chaque complexe comme somme d'une ligne sur l'axe principal et d'une ligne sur l'axe médian. Il caractérise également chaque ligne dirigée par sa longueur, qu'il appelle [[Module d'un nombre complexe|module]] de {{math|''a''}} + {{math|''b''}}{{racine|–1}} et par l'angle qu'elle forme avec la ligne unité, et montre que le produit sur les complexes consiste à prendre la ligne dont la longueur est le produit des longueurs et l'angle la somme des angles. Tous deux tentent en vain de créer une correspondance analogue entre des objets de l'algèbre et les lignes dirigées de l'espace.

D'après Cauchy, Henri Dominique Truel aurait proposé une représentation géométriques des complexes dès 1786 mais le texte est perdu. Le papier de Wessel, daté de 1797, n'eut aucun succès parmi ses contemporains. Le travail de Wessel est totalement ignoré pendant près d'un siècle, mentionné seulement par Jürgensen en 1843 parmi d'autres mémoires de l'Académie jugés sans grande importance scientifique, et c'est quasiment par hasard qu'il est mentionné dans une thèse de Christensen (''Mathematikens udrikling i danmark oy Norge i det 18-aarkundrede'', Odense, 1896) qui le tire définitivement de l'oubli. Il est alors publié en français en 1897. Argand écrit le sien en 1806, ignorant les travaux de Wessel. Il envoie son essai à [[Adrien-Marie Legendre]], qui l'envoie à [[François Français]]. Le texte est découvert par [[Jacques Frédéric Français]], frère du précédent, qui le publie  en 1813. Jacques Frédéric Français, grâce à davantage de formalisme, améliore la rigueur des résultats exposés par Argand<ref>{{harvsp|Flament|2003|p=196}}.</ref>. Il est également à l'origine d'une notation privilégiant les éléments caractéristiques de la ligne dirigée : si sa longueur est {{math|''r''}} et l'angle qu'elle forme avec la direction principale est θ, il la note {{math|''r''}}{{ind|θ}} – le complexe {{racine|–1}} s'écrit alors {{math|1{{ind|+π/2}}}} – puis il énonce les égalités : {{math|''r''}}{{ind|θ}} = {{math|''r''e}}{{exp|θ{{racine|–1}}}} = {{math|''r'' cosθ + ''r'' sinθ}} {{racine|–1}}. Dans les tentatives de cette époque, on peut également citer l'« algèbre langue »<ref>[[Adrien-Quentin Buée]], ''[https://archive.org/details/philtrans02941923 Mémoire sur les quantités imaginaires]'', Royal Society of London, 1806.</ref> de l'abbé [[Adrien-Quentin Buée]] (1748-1826) en 1806 et les essais de John Warren<ref>{{en}} John Warren, ''[https://books.google.fr/books?id=wjSI66PI_ggC&hl=fr&source=gbs_navlinks_s Treatise on the geometrical representation of the square roots of negative quantities]'', printed by John Smith, 1828.</ref> et de C. V. Mourey<ref>C. V. Mourey, ''La vraie théorie des quantités négatives et des quantités prétendues imaginaires'', 1828, [https://books.google.fr/books?id=8YxKAAAAYAAJ&hl=fr&source=gbs_navlinks_s seconde édition 1862].</ref> en 1828, Vallès (1813), [[Giusto Bellavitis|Bellavitis]] (1832)<ref>Giusto Bellavitis, ''Exposition de la méthode des équipollences'', 1854, traduit par [[Charles-Ange Laisant|Laisant]] en 1874.</ref>, Faure, De Gap (1845), [[Adhémar Barré de Saint-Venant|Saint-Venant]], {{Lien|lang=de|trad=Hermann Scheffler (Physiker)|Hermann Scheffler|texte=Scheffler}}<ref>{{Ouvrage|langue=de|prénom1=Hermann|nom1=Scheffler|titre=Der Situationskalkül|éditeur=Braunschweig|année=1851|pages totales=|lire en ligne=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/resolveppn/?PPN=PPN584239564}}.</ref>, Siebeck<ref>{{Article|langue=de|nom=Siebeck|titre=Über die graphische Darstellung imaginärer Funktionen|lien périodique=Journal für die reine und angewandte Mathematik|revue=Journal für die reine und angewandte Mathematik|vol=55|année=1858|passage=221-253|url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN243919689_0055&DMDID=DMDLOG_0016}}.</ref>, Dillner<ref>{{mul|sv|de}} Göran Dillner, ''Geometrisk kalkyl eller geometriska qvantiteters räknelagar'', thèse, [[Université d'Uppsala]], 1860-1861.</ref>…

[[Fichier:Carl Friedrich Gauss.jpg|thumb|left|upright|[[Carl Friedrich Gauss]] popularise la représentation des complexes par des points et leur donne le nom de ''nombre complexe'' (1831).]]
Ces différents écrits rencontrent peu d'écho chez les mathématiciens de renom. Ainsi [[François-Joseph Servois]] écrit en 1813 qu'il n'y voit qu'un {{citation|masque géométrique appliqué sur des formes analytiques dont l'usage immédiat (est) plus simple et plus expéditif}}<ref>{{harvsp|Flament|2003|p=214}}.</ref>. Quant aux mathématiciens de l'école anglaise qui cherche, à cette époque,  à faire sortir l'algèbre du carcan géométrique qui selon eux la pollue, ils ne peuvent que rejeter, par la voix de [[George Peacock]], cette explication géométrique des complexes<ref>{{harvsp|Flament|2003|p=227-228}}.</ref>.

C'est grâce à [[Carl Friedrich Gauss]] que cet aspect des nombres complexes gagne ses lettres de noblesse.  Gauss, mathématicien rigoureux et prudent, a publié avec parcimonie. Il est l'auteur de la première démonstration rigoureuse du [[théorème fondamental de l'algèbre]]. Dès 1797, il associe au point de coordonnées {{math|(''a, b'')}} le complexe {{math|''a'' + i''b''}} ce qui, selon [[Nicolas Bourbaki|Bourbaki]]<ref>{{harvsp|Bourbaki|1984|p=201}}.</ref>, serait un signe que dès cette époque, il avait conscience de cette correspondance possible, soupçon que confirme une lettre de Gauss à [[Friedrich Wilhelm Bessel|Bessel]] datée de 1811 où il précise cette correspondance<ref>{{harvsp|Bourbaki|1984|p=202}}.</ref>. C'est également lui qui popularise la notation d'Euler de {{math|i}} pour {{racine|–1}}, symbole qu'il utilise dès 1801<ref>{{harvsp|Study|Cartan|1908|p=343}}.</ref> dans ses ''[[Disquisitiones arithmeticae]]'', et qu'il nomme « [[unité imaginaire]] »<ref>{{harvsp|Flament|2003|p=271}}.</ref>. C'est dans son ouvrage de 1831, <cite lang=la>Theoria residuorum biquadraticorum</cite><ref>{{la}} C. F. Gauss, ''Theoria residorum biquadraticorum - Commentatio secunda'', {{lire en ligne|url=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k99402s/f99.image}}.</ref>, qu'il présente son ''plan complexe'' qui est un plan formé de points et non de vecteurs. C'est aussi dans cet ouvrage qu'il rebaptise les nombres imaginaires en nombres complexes<ref group=note>Avant Gauss, le terme de complexe était associé à une somme de plusieurs termes comme un polynôme ou bien à une écriture sous forme [[Système sexagésimal|sexagésimale]] {{harv|Flament|2003|p=264}}.</ref>, qualificatif qui est encore en vigueur actuellement. Il pense ainsi avoir levé l'aura de mystère qui entourait ces nombres et qui était due en partie au vocabulaire choisi<ref group=note>{{citation|Si au lieu de donner à  1, –1, {{racine|–1}}, les noms d'unités positive, négative et imaginaire (ou impossible) on les avait nommés unité directe, inverse, latérale, une pareille obscurité aurait eu de la peine à s'introduire}} Gauss  - Göttingische gelehrte Anzeigen, 22 avril 1831, ''Theoria residuorum biquadraticorum, commentatio secunda'', Werke II, [https://archive.org/stream/werkecarlf02gausrich#page/n187/mode/2up p 178], {{harv|Flament|2003|p=271}}.</ref>. Cet avis est partagé par ses contemporains : {{citation|vous avez rendu possible l'impossible}} est la phrase du discours adressé à Gauss en 1849, lors du cinquantenaire de son doctorat au [[Université technique Carolo-Wilhelmina de Brunswick|Collegium Carolinum]] de [[Brunswick (Basse-Saxe)|Brunswick]]<ref>{{harvsp|Remmert|1998|p=52-53}}.</ref>. C'est également dans cet écrit de 1831 qu'il développe sa théorie sur les [[entier de Gauss|entiers de Gauss]]. On lui doit en outre la notion de norme qui, pour lui, correspond au carré du module : {{math|N(''a''+i''b'') {{=}} ''a''{{2}}+''b''{{2}}}}, la propriété : {{math|N(''zz’'') {{=}} N(''z'')N(''z’'')}} et la dénomination de complexe [[conjugué]]<ref>{{harvsp|Flament|2003|p=272}}.</ref>. Mais l'exigence de rigueur de Gauss ne se satisfait pas d'une justification purement géométrique des complexes et il remet à plus tard une justification plus objective de {{math|i}}<ref>{{harvsp|Flament|2003|p=266}}.</ref>. De nombreux mathématiciens reprennent ses travaux et contribuent à populariser la vision géométrique des complexes<ref>{{harvsp|Flament|2003|p=273}}.</ref>.

=== Hamilton et l'algèbre des couples de réels ===
[[Fichier:William Rowan Hamilton painting.jpg|thumb|upright|[[William Rowan Hamilton]], père des [[quaternion]]s, traite les complexes comme des couples de réels munis d’une multiplication particulière (1833).]]
En Irlande, [[William Rowan Hamilton]] entreprend, lui, une démarche purement algébrique. Il s'inscrit dans un mouvement de l'école algébrique anglaise, qui prône la mise en place d'une algèbre symbolique et dont les grands noms sont [[George Peacock]], [[Duncan Farquharson Gregory]], [[George Boole]] et [[Auguste De Morgan]]<ref>{{harvsp|Flament|2003|p=318-352}}</ref>.   En 1833, il présente à l'[[Royal Irish Academy|Académie royale d'Irlande]] sa <cite lang=en>Theory of conjugates functions or algebraic couples</cite>, suivie deux ans plus tard d'une théorie plus générale sur l'algèbre, mais il travaillait sur cette notion depuis 1826<ref>{{harvsp|Flament|2003|p=386}}</ref>. Hamilton s'appuie sur une définition des réels comme des intervalles de temps<ref>W. R. Hamilton, ''Preliminary and Elementary Essay on Algebra as a science of pure time''</ref>. Il présente alors une construction algébrique sur des [[Couple (mathématiques)|couples]] de [[Nombre réel|réels]]. Il définit l'addition comme l'addition terme à terme de chaque membre du couple :
<center><math> (a,b)+(a',b') = (a+a', b+b').</math></center>
Il définit une [[Loi de composition|multiplication externe]] par un réel<ref group=note>La présentation qui est faite ici est simplifiée, Hamilton distinguant deux types de nombres ''réels'', le scalaire, obtenu par prolongement par continuité du rationnel, et le ''nombre step'', intervalle de temps. Pour une présentation plus rigoureuse voir {{harvsp|Flament|2003|p=367-417}}.</ref> :
<center><math> \lambda(a,b)= (\lambda a, \lambda b).</math></center>
Il identifie alors {{math|λ}} au couple {{math|(λ, 0)}} et cherche à construire une multiplication sur les couples qui soit [[Distributivité|distributive]]. Il démontre alors que 
<center><math> (\alpha, \beta)(a,b)=(\alpha a, \alpha b) + (0, \beta a) + (0,\beta)(0,b).</math></center>
Il lui reste alors à définir le dernier terme, qui pour des raisons d'homogénéité doit être proportionnel à {{math|β}} et {{math|''b''}}
<center><math>(0,\beta)(0,b) = (k\beta b,l \beta b).</math></center>
Il obtient alors pour le produit 
<center><math> (\alpha, \beta)(a,b)=(\alpha a + k\beta b, \alpha b + \beta a + l\beta b ).</math></center>
Si, de plus, tout élément non nul doit être inversible, une condition supplémentaire doit s'ajouter 
<center><math> l^2+4k < 0</math></center>
nécessaire et suffisante pour que le déterminant du système d'inconnues {{math|(α, β)}}
<center><math>\begin{cases} \alpha a + k\beta b = 1\\  \alpha b + \beta a + l\beta b=0 \end{cases}</math></center>
soit non nul pour tout couple {{math|(''a, b'')}} différent du couple {{math|(0, 0)}}.

Hamilton choisit alors les valeurs ''les plus simples'' réalisant ces conditions<ref>{{Citation étrangère|langue=en|It is easy to show that no choice simpler than the
following, (…) would satisfy this essential condition}} - R. W. Hamilton, <cite lang=en>Theory of conjugates functions or algebraic couples with a Preliminary and Elementary Essay on Algebra as a science of pure time</cite>, p. 93 de [http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Hamilton/PureTime/PureTime.pdf ce document]</ref> : {{math|''l'' {{=}} 0}} et {{math|''k'' {{=}} –1}}. En réalité ces valeurs sont surtout les seules qui permettent au produit d'être compatible avec la norme définie par {{math|N(''a, b'') {{=}} ''a''{{2}}+''b''{{2}}}} et Hamilton vérifie très vite que, pour les valeurs choisies :
<center><math>N((\alpha, \beta)(a,b))=N(\alpha, \beta)N(a,b).</math></center>
Selon Remmert, le choix de Hamilton est grandement influencé par le désir de cette compatibilité<ref>{{harvsp|Remmert|1998|p=58}}</ref>. Hamilton appelle le couple  (1, 0) l'unité principale et (0, 1) l'unité secondaire. Il démontre ensuite qu'il existe une détermination principale du logarithme, que cette détermination principale induit une détermination principale de la racine {{math|''n''}}-ième et donc une détermination principale de la racine carrée de –1 qui se trouve coïncider avec l'unité secondaire. Donc, selon Hamilton, il est tout à fait légitime de parler de ''la'' racine carrée de –1 et d'écrire le couple {{math|(''a, b'')}} sous la forme {{math|''a''}} + {{racine|–1}} {{math|''b''}}.

Hamilton tente également de construire des opérations sur des triplets de réels avec un produit qui conserverait la norme, mais en vain. [[Théorème de Frobenius (algèbre)|Cette impossibilité]] sera démontrée par [[Ferdinand Georg Frobenius]] en 1877. Mais il a plus de chance avec les quadruplets de réels : c'est la création en 1843 du [[Corps gauche|corps]] des [[quaternion]]s.

=== Cauchy et la nouvelle définition de {{math|i}} ===
[[Fichier:Augustin-Louis_Cauchy_1901.jpg|thumb|left|upright|[[Augustin Louis Cauchy]] présente les complexes comme des polynômes (1847).]]
[[Augustin Louis Cauchy]] reste méfiant concernant les nombres complexes qui ne sont, selon lui, que des expressions symboliques, {{citation|une combinaison de signes algébriques qui ne signifie rien en elle-même}} mais qui permet d'{{citation|écrire sous forme abrégée des résultats assez compliqués en apparence}}<ref name=Flament287>{{harvsp|Flament|2003|p=287}}</ref>. Par souci de rigueur, il veut établir l'existence des quantités imaginaires dans un corpus algébrique ne faisant pas appel à l'intuition qui entraîne les paradoxes qui ont agité le siècle précédent (racine carrée, logarithme). Il craint que l'appel à la représentation géométrique ne fasse qu'ajouter d'autres paradoxes et d'autres intuitions fausses<ref name=Flament287/>. Il ne se résout que très tard (1844) à accepter la représentation géométrique des complexes et continue à voir dans le ''signe'' √–1 un simple outil destiné à faciliter les calculs.

Il faut attendre son écrit de 1847, ''Mémoire sur une nouvelle théorie des imaginaires et sur les racines symboliques des équations et des équivalences''<ref>{{Article|prénom=A.|nom=Cauchy|titre=Mémoire sur une nouvelle théorie des imaginaires et sur les racines symboliques des équations et des équivalences|lien périodique=CRAS|revue=Compte rendu des séances de l'Académie des sciences de Paris|volume=24|mois=6|année=1847|passage=1120-1130}}, Œuvres complètes d'A. Cauchy, série 1, tome 10, p. 312 [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k90190w/f319.image lire en ligne]</ref>, pour le voir accepter les complexes comme des quantités et pas seulement comme des expressions symboliques. Dans ce mémoire, il travaille sur les [[Division d'un polynôme|restes des polynômes dans la division]] par le polynôme {{math|''X''{{2}} + 1}}. Pour indiquer qu'il travaille seulement sur les restes et non les polynômes eux-mêmes, il substitue à la variable {{math|''X''}} la variable {{math|i}}. Le polynôme {{math|''X''{{2}} + 1}} ayant un reste nul dans la division par {{math|''X''{{2}} + 1}}, il peut se permettre d'écrire {{math|i{{2}} + 1 {{=}} 0}} en toute légitimité. La quantité indéterminée {{math|i}} sera appelée par lui une racine symbolique du polynôme  {{math|''X''{{2}} + 1}}. Le fait de considérer {{math|i}} comme la variable d'un polynôme lui permet d'écrire l'équivalence
<center><math> a+b~\mathrm i=c+d~\mathrm i \Leftrightarrow a=c \text{ et } b=d.</math></center>
Il reconstitue alors toutes les opérations connues sur les complexes à l'aide de l'algèbre des polynômes. C'est la première esquisse d'une théorie sur les [[extension algébrique|extensions algébriques]] de [[Corps commutatif|corps]], qui mène à la définition de Bourbaki<ref>{{harvsp|Flament|2003|p=303}}</ref> du corps des complexes comme  l'anneau des [[polynôme]]s à coefficients dans <math>\scriptstyle\R</math> [[anneau quotient|quotienté]] par le polynôme {{math|''X''{{2}} + 1}}.

Quelques mois plus tard, dans son ''Mémoire sur les quantités géométriques'', il reconnaît pleinement l'aspect géométrique des complexes. C'est lui qui baptise l'angle polaire de rayon OA ''[[Argument d'un nombre complexe|argument]]'' de la quantité géométrique correspondante<ref>{{harvsp|Flament|2003|p=314}}</ref>. C'est également lui qui nomme ''[[Plan complexe|affixe]]'' du point A le complexe {{math|''a'' + i ''b''}} si {{math|(''a, b'')}} sont les coordonnées de A<ref>{{harvsp|Study|Cartan|1908|p=344}}.</ref>.

La prudence et les réticences de Cauchy ne l'empêchent cependant pas de travailler durant toute la première moitié du {{s|XIX}} à développer la [[Analyse complexe|théorie des fonctions de la variable complexe]]<ref>{{harvsp|Verley|1998|p=36}}</ref> ainsi que la [[Résidu (analyse complexe)|théorie des résidus]]<ref>Pierre Dugeac, [http://www.persee.fr/web/revues/home/prescript/article/rhs_0151-4105_1981_num_34_1_1749 ''Dragoslav S. Mitrinovic i Jovan D. Keckic, Cauchyjev racun ostataka sa primenama <nowiki>[</nowiki>= Calcul des résidus de Cauchy, avec applications<nowiki>]</nowiki>''], Revue d'histoire des sciences, 1981, vol. 34, n° 1, pp. 79-80.</ref>.

=== Complexe comme matrice de similitude ===
Plus tardivement apparaît une nouvelle présentation des nombres complexes comme matrices de [[Similitude (géométrie)|similitudes]] directes planes. Cette présentation est inspirée par les idées de Wessel et Argand qui voient dans une multiplication d'un complexe par un autre une [[Rotation plane|rotation]] suivie d'une [[homothétie]]. Une telle présentation apparaît en 1935 dans le livre d'[[Edward Thomas Copson]], <cite lang=en>An introduction to the theory of functions of a complex variable</cite><ref name=Remmert100/>. C'est également le choix fait par les programmes de mathématiques de l'enseignement français de 1971<ref>Arrêté du 14 mai 1971 B.O.E.N. 25 (24-6-71). Voir par exemple [[Michel Queysanne|M. Queysanne]] et [[André Revuz|A. Revuz]], ''Mathématiques Terminales C et E'', tome 1, Nathan 1974.</ref>. Cette présentation évite de faire allusion à une quelconque extension du corps des réels, et d'introduire une multiplication sur les couples de réels qui semble arbitrairement créée. Elle s'appuie sur un savoir des élèves concernant les matrices carrées et les similitudes vectorielles directes planes. On démontre que l'ensemble des matrices de la forme 
<center><math> \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}</math></center>
où {{math|''a''}} et {{math|''b''}} sont des réels quelconques, muni de l'addition et de la multiplication usuelle sur les [[Matrice (mathématiques)|matrices]], est un [[corps commutatif]]. Les identifications 
<center><math> \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 1  \text { et } \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}=\mathrm i</math></center>
permettent l'écriture du complexe sous la forme {{math|''a''+i''b''}} avec la remarque {{math|i{{2}} {{=}} –1}}.

== Un outil qui se révèle puissant ==
Dès le milieu du {{s|XIX}}, les complexes ont définitivement intégré le corpus des mathématiques rigoureuses. Leur utilité indéniable a contribué à leur survie tant dans le domaine mathématique que dans le domaine physique.
=== Usages en mathématiques ===
[[Fichier:Julia (Fractal).png|thumb|upright=0.8|Exemple de [[fractale]] : un [[ensemble de Julia]] ({{s|XX|e}}).]]
Les nombres complexes se révèlent très tôt utiles dans la résolution des équations polynomiales, ainsi que l'expose Bombelli dès 1572. Ils permettent également aux mathématiciens de s'intéresser dès 1608 au [[théorème fondamental de l'algèbre]]. Ils sont utilisés dès le début du {{s|XVIII|e}} dans le [[calcul intégral]]. Leur interprétation géométrique permet  de démontrer plus simplement de nombreuses [[Identité trigonométrique|identités trigonométriques]]<ref>{{Ouvrage|prénom1=R.|nom1=Argand|titre=Essai sur une manière de représenter les quantités imaginaires dans les constructions géométriques|éditeur=|année=|pages totales=|passage=26-52|isbn=|lire en ligne=http://openlibrary.org/books/OL23298103M/Essai_sur_une_mani%C3%A8re_de_repr%C3%A9senter_les_quantit%C3%A9s_imaginaires_dans_les_constructions_g%C3%A9om%C3%A9triques}}.</ref> et de nombreux théorèmes de géométrie plane comme le [[théorème de Ptolémée]]<ref>{{harvsp|Argand|p=53-58}}</ref>, le [[théorème de Cotes (cercle)|théorème de Cotes]] et la résolution d'un polygone<ref>{{Ouvrage|prénom1=Gaspar|nom1=Wessel|titre=Essai sur la représentation analytique de la direction|éditeur=Host|année=1897|pages totales=|lire en ligne=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k99681g}}, [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k99681g/f12.image p. IX]</ref>, la [[Droite de Simson|droite de Wallace]]<ref>{{harvsp|Remmert|1998|p=75}}</ref> ou le [[théorème de Napoléon]].

Ils permettent un développement du calcul sur les [[intégrale elliptique|intégrales elliptiques]] dès 1827<ref>{{harvsp|Verley|1998|p=41}}</ref>. Dans l’œuvre de Cauchy, père de l'[[analyse complexe]] et de la [[Résidu (analyse complexe)|théorie des résidus]], dès 1821, c'est un instrument de calcul qui permet de {{citation |rendre plus simples et plus concises, non seulement les formules analytiques, mais encore les méthodes à l'aide desquelles on parvient à les établir}}<ref>{{harvsp|Flament|2003|p=296}}</ref>. Ils sont également à l’œuvre dans les [[Équation polynomiale|équations algébriques]], dans  la démonstration du [[théorème d'Abel (algèbre)|théorème d'Abel]] et dans la [[théorie de Galois]].

[[Bernhard Riemann]] en fait une  partie intégrante de son cours en 1851 et les utilise pour développer les [[surface de Riemann|surfaces de Riemann]] et la [[fonction zêta de Riemann]]. Au {{s|XX}}, ils interviennent dans des domaines aussi variés que les [[fractale]]s ou les [[courbe elliptique|courbes elliptiques]].

=== Représentations en physique ===
[[Fichier:Augustin Fresnel.jpg|thumb|left|upright|[[Augustin Fresnel]] fait usage des nombres complexes en optique (1823).]]
Mais l'utilisation des nombres complexes dépasse également le champ des mathématiques pour servir de représentations de phénomènes physiques et d'outil unificateur. Dès 1823, [[Augustin Fresnel]], dans son ''Mémoire sur la loi de modification que la réflexion imprime à la lumière polarisée''<ref>A. Fresnel, [http://www.academie-sciences.fr/activite/archive/dossiers/Fresnel/Fresnel_pdf/Mem1823_p393.pdf Mémoire sur la loi des modifications que la réflexion imprime à la lumière polarisée], lu à l'Académie des sciences le 7 janvier 1813.</ref>, remarque que dans la [[Lois de Snell-Descartes|loi de Snell-Descartes]] donnant l'angle de rayon réfracté en fonction de l'angle du rayon incident 
<center><math>n_1\cdot\sin(\theta_1)=n_2\cdot\sin(\theta_2),</math></center>
lorsque {{math|''n''{{ind|1}} > ''n''{{ind|2}}}}, pour certaines valeurs de {{math|''θ''{{ind|1}}}}, la valeur de {{math|sin(''θ''{{ind|2}})}} est plus grande que 1. Il obtient alors pour <math display=inline>\cos \theta_2= \sqrt{1-\sin^2\theta_2}</math> une valeur imaginaire<ref>Fresnel, p. 411</ref> dont il réussit à interpréter le sens<!-- Physicien needed -->, unifiant ainsi en une seule formule ce qui se présentait jusqu'alors sous deux formes<ref>{{harvsp|Friedelmeyer|1998|p=316}}</ref>.

En 1860, c'est à l'aide des quaternions que [[James Clerk Maxwell]] écrit ses premières [[Équations de Maxwell|équations]]<ref>{{harvsp|Friedelmeyer|1998|p=287}}</ref>. En 1893, [[Arthur Edwin Kennelly]] remarque que l'on peut généraliser la [[loi d'Ohm]] au courant alternatif en utilisant les complexes<ref>{{harvsp|Friedelmeyer|1998|p=312}}</ref> et [[Charles Proteus Steinmetz]] fait l'inventaire de l'usage des complexes en électricité<ref>{{Chapitre|prénom=Chas. Proteus|nom1=Steinmetz|url=https://www.scribd.com/doc/83021093/Complex-Quantities-and-Their-Use-in-Electrical-Engineering|titre=Complex Quantities and Their Use in Electrical Engineering|année=1893|titre ouvrage=Proc. Int. Electrical Congress|éditeur=AIEE Proceedings|lien éditeur=American Institute of Electrical Engineers|lieu=Chicago, IL|passage=33-74}}</ref>. Les complexes apparaissent également dans les [[série de Fourier|séries de Fourier]] et dans la résolution des [[équation différentielle linéaire|équations différentielles linéaires]].
{{clear}}

== Notes et références ==
=== Notes ===
{{Références|group=note}}

=== Références ===
{{Références}}
=== Bibliographie ===
* {{Ouvrage|prénom1=Dominique|nom1=Flament|titre=Histoire des nombres complexes|sous-titre=Entre algèbre et géométrie|lieu=Paris|éditeur=[[CNRS Éditions]]|année=2003|pages totales=501|isbn=978-2-271-06128-7}}
* {{Chapitre|prénom=Reinhold|nom=Remmert|titre chapitre=Les nombres complexes (suivi de) Le théorème fondamentale de l'algèbre|titre ouvrage=Les nombres, leur histoire, leur place et leur rôle de l'Antiquité aux recherches actuelles|éditeur=Vuibert|année=1998|isbn=978-2-71178901-6}} (trad. de ''Zahlen'', [[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]], 1983)
* {{Ouvrage|langue=fr|nom1=IREM|lien auteur1=Institut de recherche sur l'enseignement des mathématiques|titre=Images, imaginaires, imaginations|sous-titre=une perspective historique pour l'introduction des nombres complexes|lieu=Paris|éditeur=[[Éditions Ellipses|Ellipses]]|année=1998|pages totales=400|isbn=2-7298-4819-3}} (collectif)
** {{Chapitre|nom1=Verley|prénom1=Jean-Luc|titre chapitre=Présentation historique générale|titre ouvrage=Images, Imaginaires, Imaginations|année=1998}}
** {{Chapitre|nom1=Durand-Richard|prénom1=Marie-Josée|titre chapitre=Nombre, grandeur, quantité, opérations : de la transformation conjointe de leurs significations|titre ouvrage=Images, Imaginaires, Imaginations|année=1998}}
** {{Chapitre|nom1=Boyé|prénom1=Anne|titre chapitre=L'origine algébrique|titre ouvrage=Images, Imaginaires, Imaginations|année=1998}}
** {{Chapitre|nom1=Hamon|prénom1=Gérard|titre chapitre=Une approche structurelle|titre ouvrage=Images, Imaginaires, Imaginations|année=1998}}
** {{Chapitre|nom1=Friedelmeyer|prénom1=Jean-Pierre|titre chapitre=Le point de vue vectoriel, son application à la physique|titre ouvrage=Images, Imaginaires, Imaginations|année=1998}}
* {{DahanPeiffer}}
* {{Ouvrage|langue=en|prénom1=Florian|nom1=Cajori|lien auteur1=Florian Cajori|titre=A History of Mathematical Notations|volume=2|éditeur=Open court company|année=1928|pages totales=}}
* {{Chapitre|nom1=Study|prénom1=E.|lien auteur1=Eduard Study|nom2=Cartan|prénom2=É.|lien auteur2=Élie Cartan|titre chapitre=Les nombres complexes|titre ouvrage = Ency. Sci. Math.|tome=1|volume=1|année=1908|lire en ligne = http://math.unice.fr/~coppo/Cartan-Study%20%28copy%29.pdf}}
* {{Ouvrage|langue=en|prénom1=Caspar|nom1=Wessel|lien auteur1=Caspar Wessel|prénom2=Bodil|nom2=Branner|titre=On the analytical representation of direction|sous-titre=an attempt apllied chiefly to solving plane ans spherical polygons, 1797|éditeur=The royal academy of sciences and letters|année=1999|pages totales=|isbn=|lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=idM6nvbz9xgC}}
* {{Article|nom1=Hamon|prénom1=Gérard|titre=De la torture mentale aux images fractales|périodique=Bulletin de l'[[APMEP]]|numéro=448| url texte=http://www.irem.univ-rennes1.fr/ressources/docs_themes/histoire/flash/image-maths.pdf|année=2003}}
* {{Ouvrage|prénom1=Nicolas|nom1=Bourbaki|lien auteur1=Nicolas Bourbaki|titre=[[Éléments d'histoire des mathématiques]]|éditeur=Masson|année=1984|pages totales=|isbn=|référence simplifiée=Référence:Histoire des mathématiques (Bourbaki)}}

{{Portail|mathématiques|histoire des sciences}}

[[Catégorie:Nombre complexe]]
[[Catégorie:Histoire des mathématiques|complexe]]