Voir la source de Histoire des notations mathématiques

{{à wikifier|date=avril 2023}}
{{Traduction à revoir|date=avril 2023}}
{{Article connexe|Histoire des mathématiques|Fondations des mathématiques}}

L{{'}}'''histoire des notations mathématiques'''{{sfn|Cajori|2011}} décrit les débuts, les progrès et la [[Diffusionnisme|diffusion culturelle]] des [[Table de symboles mathématiques|symboles mathématiques]] et les conflits entre méthodes de notation qui ont mené à leur généralisation ou leur marginalisation. La [[notation (mathématiques)|notation mathématique]]<ref>{{ouvrage |langue=en |titre=A Dictionary of Science, Literature, & Art |volume=2 |auteur1=[[William Thomas Brande]] |responsabilité1=éd. |auteur2= {{lien |trad=George William Cox}} |passage=683 |lire en ligne= {{Google Livres |id=J5tPAAAAMAAJ |page=683}} |lieu= Longmans |éditeur= Green and Company |année= 1866}}.</ref> comprend les [[symbole]]s utilisés pour écrire des [[équation]]s et [[Formule (mathématiques)|formule]]s mathématiques. La notation implique généralement un ensemble de signes servant à definir des quantités et d'opérateurs symboliques<ref>{{mathWorld|titre=Notation|nom_url=Notation}}.</ref>. L'histoire inclut les [[Système de numération indo-arabe|nombres indo-arabes]], lettres des alphabets [[Alphabet latin|latin]], [[Alphabet grec|grec]], [[Alphabet hébreu|hébreu]] et [[Écriture gothique|gothique]], ainsi qu'un ensemble de symboles inventés par les mathématiciens au cours des siècles.

Le développement des notations mathématiques peut être divisé en étapes<ref>{{ouvrage |langue=en |titre=Diophantos of Alexandria: A Study in the History of Greek Algebra |auteur=Sir Thomas Little Heath |passage=77 |lire en ligne=https://archive.org/details/diophantosalexa00heatgoog/page/n91 |éditeur=University Press |année=1885}}.</ref>{{,}}<ref>{{ouvrage |langue=en |titre=Mathematics: Its Power and Utility |auteur=Karl J. Smith |passage=86 |lire en ligne= {{Google Livres|id=-0x2JszrkooC|page=86}} |éditeur=Cengage Learning |année= 2008 |numéro d'édition=9}}.</ref>. L'étape ''rhétorique'' correspond à l'époque où les calculs sont réalisés par des mots, sans symboles<ref>{{ouvrage |langue=en |titre=The Commercial Revolution and the Beginnings of Western Mathematics in Renaissance Florence, 1300-1500 |auteur=Warren Van Egmond |année=1976 |passage=233 |oclc=5894519971}}.</ref>. L'étape ''syncopée'' en vient à utiliser des abréviations syntaxiques pour les opérations et quantités fréquemment utilisées. De l'Antiquité jusqu'à l'ère post-classique<ref group="note">ou le Moyen Âge</ref> des éclats de créativité mathématique ont souvent été suivis par des siècles de stagnation. Au début de l'[[époque moderne]] et que l'accès à la connaissance s'est facilité, des exemples écrits de développements mathématiques sont apparus. L'étape ''symbolique'' est atteinte quand des systèmes compréhensibles de notation l'emportent sur la rhétorique. Commençant en Italie au {{s-|XVI}}, de nouveaux développements mathématiques, en interaction avec de nouvelles découvertes scientifiques, sont faits à vitesse croissante qui continue encore de nos jours. Cette étape symbolique était déjà d'actualité chez les mathématiciens indiens médiévaux et en Europe depuis le milieu du {{s-|XVII}}<ref>{{article |langue=en |auteur= {{lien|trad=Solomon Gandz}} |titre=The Sources of al-Khowarizmi's Algebra |année=1936 |périodique=Osiris |volume=1 |pages=263-277}}.</ref> et a continué de se développer à l'[[époque contemporaine]].

Le domaine d'étude connu comme l'[[histoire des mathématiques]] est avant tout une investigation des origines des découvertes en mathématiques et, ce qui constitue le sujet de cet article, une étude des méthodes mathématiques et des notations du passé.

== Étape rhétorique ==
{{article détaillé|Mesure physique}}
Bien que l'histoire commence avec celle des écoles ioniennes, il est établi que ces [[Grèce antique|Grecs anciens]] qui s'y sont intéressés ont largement bénéficié des travaux précédents des [[Égypte antique|Égyptiens]] et des [[Phéniciens]]. La caractéristique de la notation numérique, à savoir des symboles avec des valeurs locales et intrinsèques ([[arithmétique]]), implique un état de [[civilisation]] au moment de son invention. La connaissance actuelle des niveaux mathématiques de ces peuples anciens, auxquelles cette section est consacrée, est imparfaite et les notes suivantes doivent être considérées comme un résumé des conclusions les plus probables, et l'histoire des mathématiques commence avec les sections symboliques.

De nombreux domaines des mathématiques sont apparus avec l'étude de [[Mathématiques appliquées|problèmes réels]], avant que les règles et concepts sous-jacents soient identifiées et définies comme {{lien|trad=Abstraction (mathematics) |fr=Abstraction (mathématiques)|texte=structures abstraites}}. Par exemple, la géométrie trouve ses origines dans le calcul de [[longueur]]s et d'[[aire (géométrie)|aire]]s dans le monde réel ; l'algèbre est apparue avec le besoin de résoudre des problèmes en [[arithmétique]].

Il n'y a aucun doute sur le fait que la plupart des peuples qui ont laissé derrière eux des documents maitrisaient la [[numération]] et la [[mécanique (science)|mécanique]], et que quelques-uns maitrisaient également des éléments de l'[[arpentage]]. En particulier, les Égyptiens se sont intéressés à la géométrie et aux nombres, et les Phéniciens à l'arithmétique pratique, à la [[comptabilité]], la [[navigation]] et l'arpentage.

Les [[Transfert de connaissances|résultats atteints par ses peuples semblent avoir été accessibles]], sous certaines conditions, aux voyageurs. Il est probable que le savoir des Égyptiens et des Phéniciens sont le résultat d'[[observation]]s et de [[mesure physique|mesure]], et représente l'expérience accumulée de plusieurs âges.

=== Débuts de la notation ===
[[Fichier:Ybc7289-bw.jpg|thumb|Tablette babylonienne ({{Circa|1800|1600|lk=on}} {{Av JC}}), donnant une approximation de {{racine|2}} en [[système sexagésimal|sexagésimal]] (1 24 51 10) dans le contexte du [[théorème de Pythagore]] pour un [[triangle isocèle]].]]

L'écriture des mathématiques a commencé avec des nombres désignés par des [[marques de dénombrement]], chaque encoche représentant une seule unité. Les symboles numériques consistaient probablement en traits ou encoches taillés dans le bois ou la pierre, et compréhensibles de la même manière pour toutes les nations<ref group="note">De tels caractères, en fait, sont conservés avec peu de modifications dans la [[numération romaine]], dont un compte rendu peut être trouvé dans ''Philosophy of Arithmetic'' de [[John Leslie (scientifique)|John Leslie]].</ref>. Par exemple, une encoche dans un os représentait un animal, ou une personne, ou n'importe quoi d'autre. Les peuples avec lesquels les Grecs d'Asie Mineure (parmi lesquels commence la notation dans l'histoire occidentale) étaient susceptibles d'être entrés en contact fréquent étaient ceux qui habitaient le [[littoral]] oriental de la Méditerranée, et la tradition grecque assignait uniformément le développement spécial de la géométrie aux Égyptiens, et celle de la [[théorie des nombres|science des nombres]]<ref group="note">La [[théorie des nombres]] est la branche des mathématiques pures consacrée principalement à l'[[Entier naturel|étude des nombres entiers]]. Les théoriciens des nombres étudient les [[Nombre premier|nombres premiers]] ainsi que les propriétés des objets constitués d'entiers (par exemple, les [[nombres rationnels]]) ou définis comme des généralisations des [[Entier relatif|nombres entiers]] (par exemple, les [[Entier algébrique|entiers algébriques]]).</ref> soit aux Égyptiens, soit aux Phéniciens.

Les [[Égypte antique|Égyptiens antiques]] ont une notation symbolique reposant sur la [[Numération égyptienne|numération par hiéroglyphes]]<ref>{{ouvrage |langue=en |titre=Encyclopædia Americana |auteur=Thomas Gamaliel Bradford |passage=314 |lire en ligne={{Google Livres |id=hrRPAAAAMAAJ|page=314}} |lieu=Desilver |éditeur=Thomas, & Company |année= 1835 }}.</ref>{{,}}<ref>{{ouvrage |langue=en |titre=Mathematical Excursion, Enhanced Edition |éditeur=Cengage Learning |année= 2009 |auteur1=Richard N. Aufmann |auteur2=Joanne Lockwood |auteur3=Richard D. Nation |auteur4=Daniel K. Clegg |passage=186 |lire en ligne= {{Google Livres |id=GTgTnSGMukgC|page=186}}}}.</ref>. Les [[mathématiques dans l'Égypte antique|mathématiques égyptiennes]] ont un symbole pour 1, 10, 100, 1000, {{formatnum:10000}}, {{formatnum:100000}} et {{formatnum:1000000}}. Des chiffres plus petits sont placés à gauche du nombre, car ils sont en chiffres indo-arabes. Plus tard, les Égyptiens utilisent l'[[écriture hiératique]] au lieu de [[Écriture hiéroglyphique égyptienne|hiéroglyphique]] pour désigner les nombres. Le hiératique est proche de la cursive et remplace plusieurs groupes de symboles par des symboles individuels. Par exemple, les quatre lignes verticales utilisées pour représenter 4 sont remplacés par une seule ligne horizontale. On peut le voir dans le [[papyrus Rhind]] (vers 2000-1800 {{av JC}}) et le [[papyrus de Moscou]] (vers 1890 {{av JC}}). Le système utilisé par les Égyptiens a été découvert et modifié par de nombreuses autres civilisations méditerranéennes. Les Égyptiens ont aussi des symboles pour les opérations de base : les jambes qui avancent représentent l'addition et les jambes qui reculent sous-entendent la [[soustraction]].

Les [[Mésopotamie]]ns avaient des symboles pour chaque puissance de 10. Ils écrivent par la suite leurs nombres d'une façon similaire à la numération décimale moderne : au lieu de symboles pour chaque puissance de 10, il ne donne que le coefficient associé à chacune. Chaque chiffre est séparé seulement par un espace, mais du temps d'[[Alexandre le Grand]], ils avaient déjà un symbole désignant le zéro comme [[Marque substitutive|emplacement réservé]]. Les Mésopotamiens utilisaient également un [[système sexagésimal]], de base 60, qui est encore utilisé de nos jours pour les mesures de temps et d'angles. Les mathématiques babyloniennes sont dérivées de plus de {{nobr|400 tablettes}} d'argile découvertes dans des fouilles depuis les années 1850<ref>{{chapitre |langue=en |nom1=Boyer |prénom1= C. B. |auteur2=[[Uta Merzbach|Uta C. Merzbach]] |responsabilité2=rév. |titre ouvrage=A History of Mathematics |numéro d'édition=2 |lieu=New York |éditeur=Wiley |année=1989 |isbn1=0-471-09763-2 |isbn2=0-471-54397-7 |titre chapitre=Mesopotamia |passage=25 |oclc=1244458613}}.</ref>. Écrites en [[cunéiforme]], ces tablettes étaient marquées alors que l'argile était encore mou, avant d'être durcies à la cuisson au four ou par le soleil. Certaines sont des devoirs notés. La preuve la plus ancienne de mathématiques écrites date des anciens [[Sumer|Sumériens]] et leur système de [[métrologie]] de 3000 {{av JC}} À partir d'environ 2500 {{av JC}}, les Sumériens écrivent leurs [[Table de multiplication|tables de multiplication]] sur des tablettes d'argile et résolvent des exercices de [[géométrie]] et des problèmes de [[division]]. Les traces les plus anciennes de nombres babyloniens datent de la même période.

La majorité des tablettes d'argile mésopotamiennes date d'entre 1800 et 1600 {{av JC}}, et parlent de sujets comme les fractions, l'algèbre, les équations quadratiques et cubiques, et le calcul de nombres {{lien|trad=Regular number |fr= Nombre régulier|texte= réguliers}}, [[inverse]]s et [[Nombres premiers jumeaux|premiers jumeaux]]<ref>{{ouvrage |langue=en |auteur= [[Asger Aaboe]] |titre= Episodes from the Early History of Mathematics |année= 1998 |éditeur= The Mathematical Association of America |lieu= Washington D. C. |passage= 30-31|oclc=716281303 |isbn=9780883856130 |collection=New mathematical library }}.</ref>. Les tablettes incluent aussi des tables de multiplication et des méthodes de résolution des équations [[équation linéaire|linéaires]] et [[équation du second degré|quadratiques]]. La tablette babylonienne [[YBC 7289]] donne une approximation de {{racine|2}} exacte à 5 décimales. Les mathématiques babyloniennes utilisant un [[système sexagésimal]] (en base 60), dont il reste de nos jours l'usage des 60 seconds en une minute, {{nobr|60 minutes}} en une heure, et 360 (60&nbsp;×&nbsp;6) degrés dans un cercle, ainsi que les [[Sous-unités du degré|minutes et secondes d'arc]] pour les fractions de degré. Les avancées babyloniennes en mathématiques ont été facilitées par la [[Fonction nombre de diviseurs|grande divisibilité]] de 60 : l'inverse de tout entier qui est un multiple de diviseurs de 60 a un développement fractionnaire fini en base 60 (dans la base 10, seuls les inverses des multiples de 2 et 5 ont des développements décimaux finis). Aussi, contrairement aux Egyptiens, aux Grecs et aux Romains, les Babyloniens avaient un véritable système à [[notation positionnelle]], où les nombres écrits dans les colonnes de gauche représentaient des valeurs plus grandes, comme dans le système décimal. Il leur manquait cependant un [[Séparateur décimal et séparateur de milliers|séparateur décimal]], aussi la valeur désignée devait souvent être déduite du contexte.

== Étape syncopée ==
[[Fichier:Domenico-Fetti Archimedes 1620.jpg|thumb|''[[Archimède]] pensif'' par Fetti (1620)
----
Les derniers mots attribués à Archimède sont {{citation|''{{lien|trad=Noli turbare circulos meos! |fr=Noli turbare circulos meos!|texte=Ne perturbe pas mes cercles}}''}}({{lang-el|μή μου τοὺς κύκλους τάραττε}}), une référence aux cercles dans le schéma qu'il étudiait alors qu'un soldat romain le dérangeait.]]

{{Article connexe|Théorème fondamental de l'arithmétique|Théorie naïve des ensembles}}

L'histoire des mathématiques ne peut être reliée avec certitude à une école ou période avant celle des Grecs ioniens, mais l'histoire consécutive peut être divisée en périodes, avec des distinctions assez clairement marquées. Les mathématiques grecques, qui ont débuté avec l'étude de la géométrie, ont tendu dès le début à être déductives et scientifiques. Depuis le {{s-|IV}}, [[Pythagore]] est communément reconnu pour avoir découvert le [[théorème de Pythagore|théorème qui porte son nom]], un théorème de géométrie qui stipule que dans un triangle rectangle, l'aire du carré de l'[[hypoténuse]] est égal à la somme des carrés des deux autres côtés<ref group="note">Ce qui est synthétisé dans l'égalité <math>a^2 + b^2 = c^2</math>.</ref>.

Les textes mathématiques anciens sont disponibles avec la notation des Égyptiens antiques mentionnée précédemment et avec [[Plimpton 322]] (mathématiques babyloniennes vers 1900 {{av JC}}). L'étude des mathématiques en tant que matière à part entière commence au {{-s-|VI}} avec les Pythagoriciens, qui inventèrent le terme « mathématiques » du grec ancien ''{{lang|he|μάθημα|trans=máthêma}}'', signifiant « sujet de l'instruction »<ref>{{article |langue=en |auteur=Heath |titre=A Manual of Greek Mathematics |journal=Nature |année=1931 |volume=128 |numéro=3235 |pages=5 |doi=10.1038/128739a0 |bibcode=1931Natur.128..739T |s2cid=3994109}}.</ref>.

L'influence de [[Platon]] a été particulièrement forte en mathématiques et en sciences. Il a contribué à faire la distinction entre les [[mathématiques pures]] et les [[mathématiques appliquées]] en creusant le fossé entre « l'arithmétique », ce qui désigne la [[théorie des nombres]], et la « logistique », ce qu'on appelle aujourd'hui l'[[arithmétique]]. Les [[mathématiques de la Grèce antique|mathématiques grecques]] ont grandement affiné les méthodes (en particulier grâce à l'introduction du raisonnement déductif et de la [[Logique mathématique|rigueur mathématique]] dans la [[démonstration (logique et mathématiques)|démonstration]]) et élargi le sujet des mathématiques<ref>{{ouvrage |langue=en |auteur=Sir Thomas L. Heath |titre=A Manual of Greek Mathematics |lieu=New York |éditeur=Dover |année=1963 |passage=1 |oclc=5894429800 }}
{{Citation étrangère bloc|langue=en|In the case of mathematics, it is the Greek contribution which it is most essential to know, for it was the Greeks who made mathematics a science.}}</ref>. [[Aristote]] est crédité de ce qui sera plus tard appelée le [[principe du tiers exclu]].

Les ''mathématiques abstraites''<ref name="EncyclopaediaPerthensis" />{{référence à confirmer}} sont ce qui traite de la magnitude<ref group="note">{{lien|trad=Magnitude (mathematics)|fr=Magnitude (mathématiques)|texte=Magnitude (mathématiques)}}, la taille relative d'un objet ; Magnitude (vecteur), un terme pour la [[Norme (mathématiques)|norme d'un vecteur]] ; [[Scalaire (mathématiques)]], une quantité définie uniquement par sa valeur ; [[Vecteur euclidien]], une quantité définie à la fois par sa norme et sa direction ; [[Ordre de grandeur]], la classe d'échelle ayant un rapport de valeur fixe à la classe précédente.</ref> ou [[quantité]], absolument et généralement conférée, sans égard à aucune espèce de grandeur particulière, telle que l'[[arithmétique]] et la [[géométrie]]. En ce sens, les mathématiques abstraites s'opposent aux [[mathématiques appliquées]], où les propriétés simples et abstraites, et les relations de quantités originellement considérées en mathématiques, sont appliquées aux objets, et par ce moyen se mêlent à des considérations physiques, comme dans l'[[hydrostatique]], l'[[optique]] et la [[navigation]]<ref name="EncyclopaediaPerthensis">{{ouvrage |langue=en |titre=The new encyclopædia; or, Universal dictionary of arts and sciences |éditeur=Encyclopædia Perthensis |passage=49}}.</ref>.

[[Archimède]] est généralement considéré comme le plus grand [[mathématicien]] de l'Antiquité et l'un des plus grands de tous les temps<ref>{{ouvrage |langue=en |auteur1= Ronald Calinger |auteur2= Joseph E. Brown |auteur3=Thomas R. West |titre=A contextual history of mathematics : to Euler |année=1999 |éditeur=Prentice-Hall |isbn=0023182857 |passage=150}}
{{Citation étrangère bloc|langue=en|Shortly after Euclid, compiler of the definitive textbook, came Archimedes of Syracuse (ca. 287&nbsp;212 BC), the most original and profound mathematician of antiquity.}}</ref>{{,}}<ref>{{MacTutor |id=Archimedes |titre=Archimedes of Syracuse |consulté le=01/05/2023 |date=Janvier 1999}}.</ref>. Il a utilisé la [[méthode d'exhaustion]] pour calculer l'[[Aire (géométrie)|aire]] sous l'arc d'une [[parabole]] avec la [[Série (mathématiques)|sommation d'une série infinie]], et a donné une approximation remarquablement précise de [[pi|{{mathPi}}]]<ref>{{MacTutor |titre = A history of the calculus  |classe= HistTopics |id= The_rise_of_calculus |date=February 1996 |consulté le = 01/05/2023}}.</ref>. Il a également défini la [[spirale d'Archimède|spirale]] portant son nom, des formules pour les [[volume]]s de [[surface de révolution|surfaces de révolution]] et une système ingénieux pour exprimer de très grands nombres.

[[Fichier:Euclid Vat ms no 190 XI prop 31.jpg|thumb|Les ''Éléments'' d'Euclide. Les propriétés 31, 32 et 33 du livre {{XI}}, dans le {{2e}} volume du manuscrit, pages 207 et 208.]]

Dans le développement historique de la géométrie, les étapes de l'abstraction de la géométrie ont été franchies par les Grecs anciens. Les [[Éléments (Euclide)|''Éléments'' d'Euclide]] étant la plus ancienne documentation existante des axiomes de la géométrie plane {{Incise|bien que Proclus parle d'une axiomatisation antérieure par [[Hippocrate de Chios]]<ref>{{MacTutor |classe=Extras |id=Proclus_history_geometry |titre= Proclus and the history of geometry as far as Euclid |version=August 2006  |auteur=- |consulté le=01/05/2023 }}.</ref>|oui}}. Les ''Éléments'' d'Euclide (vers 300 {{av JC}}) sont l'un des plus anciens traités mathématiques grecs existants<ref group="note">''De la Sphère en mouvement'' d'[[Autolycos de Pitane]] est un autre manuscrit mathématique antique de la même période.</ref> et consiste en treize ouvrages écrits en Alexandrie, réunissant des théorèmes démontrés par d'autres mathématiciens, augmenté de travaux originaux<ref group="note">[[Proclus]], un mathématicien grec qui vécut plusieurs siècles après Euclide, écrit dans son commentaire des ''Éléments'' : {{citation|Euclide, qui a réuni les ''Éléments'', réunissant plusieurs des théorèmes d'[[Eudoxe de Cnide|Eudoxe]], perfectionnant plusieurs de [[Théétète d'Athènes|Théétète]], et en apportant des démonstrations irréfutables aux choses qui n'étaient que vaguement prouvées par ses prédécesseurs.}}.</ref>.

L'œuvre est une collection réussie de définitions, de postulats (axiomes), de propositions (théorèmes et constructions) et de preuves mathématiques des propositions. Le [[Lemme d'Euclide|Premier théorème d'Euclide]] est un [[Lemme (mathématiques)|lemme]] qui décrit des propriétés de [[nombre premier]]s. Les treize livres influents couvrent la géométrie euclidienne, l'algèbre géométrique et la version grecque ancienne des systèmes algébriques et de la théorie élémentaire des nombres. Il était omniprésent dans le [[Quadrivium]] et joue un rôle déterminant dans le développement de la logique, des mathématiques et des sciences.

[[Diophante d'Alexandrie]] était l'auteur d'une série de livres appelés ''[[Arithmétiques]]'', dont beaucoup sont maintenant perdus. Ces textes traitent de la résolution d'[[équation polynomiale|équations algébriques]]. [[Boèce]] a fourni une place aux mathématiques dans le programme d'études au {{s-|VI}} lorsqu'il a inventé le terme « quadrivium » pour décrire l'étude de l'arithmétique, de la géométrie, de l'astronomie et de la musique. Il a écrit ''De institutione arithmetica'', une traduction libre du grec de l{{'}}''Introduction à l'arithmétique'' de [[Nicomaque de Gérase|Nicomaque]] ; ''De institutione musica'', également dérivé de sources grecques et une série d'extraits des ''Éléments'' d'Euclide. Ses travaux étaient plus théoriques que pratiques et constituaient la base de l'étude mathématique jusqu'à la récupération des travaux mathématiques grecs et arabes<ref>{{chapitre |langue=en |auteur=John Caldwell |année=1981 |titre chapitre=''De Institutione Arithmetica'', ''De Institutione Musica'' |auteurs ouvrage = Margaret Gibson (éd.) |titre ouvrage= Boethius: His Life, Thought, and Influence |lieu=Oxford |éditeur=Blackwell  |isbn= 9780631111412 |oclc= 461855853 }}.</ref>{{,}}<ref>{{ouvrage |langue=de |auteur=Menso Folkerts |titre="Boethius" Geometrie II |lieu=Wiesbaden |éditeur=Franz Steiner Verlag |année=1970 |oclc=5894487134}}.</ref>.

=== Numération acrophonique et milésienne ===
{{article détaillé|Numération grecque}}
Les [[Grèce antique|Grecs]] employaient la [[Numération grecque#Numération acrophonique|numération attique]]<ref>{{ouvrage |langue=en |titre=Mathematics and Measurement |auteur=Oswald Ashton Wentworth Dilke |lire en ligne= {{Google Livres |id=AKJZvXOS7n4C|page=14}} |passage=14 |éditeur=University of California Press |année= 1987 |isbn=9780520060722 |numéro dans collection=2 |collection= Reading the past }}.</ref> qui était basé sur le système des Égyptiens et a ensuite été adapté et utilisé par les [[Rome antique|Romains]]. Les [[Numération grecque|chiffres grecs]] 1 à 4 étaient des lignes verticales, comme dans les hiéroglyphes. Le symbole pour 5 était la lettre grecque {{math|Π}} (pi majuscule), qui est la lettre du mot grec pour cinq, ''pente''. Les nombres 6 à 9 étaient ''pente'' avec des lignes verticales à côté. Le nombre 10 était représenté par la lettre ({{math|Δ}}) du mot pour dix, ''deka'', 100 par la lettre du mot pour cent{{Etc.}}

La [[Numération grecque#Numération alphabétique|numération ionienne]] utilise tout son alphabet dont trois lettres archaïques. La notation numérique des Grecs, bien que beaucoup moins pratique que celle actuellement en usage, était formée sur un plan parfaitement régulier et scientifique<ref name="Brande & Cox 1875, p683">{{ouvrage |langue=en |titre=A dictionary of science, literature and art |auteur1=W.T. Brande |auteur2=G. W. Cox |volume=2 |lire en ligne= {{Google Livres|id=yo4DAAAAQAAJ|page=683}} |passage=683 |éditeur=Longmans, Green, and Company |année= 1875}}.</ref>, et pouvait être utilisé avec un effet acceptable comme instrument de calcul, un cas le système romain était totalement inapplicable. Les Grecs divisaient les vingt-quatre lettres de leur alphabet en trois classes, et, en ajoutant un autre symbole à chaque classe, ils avaient des caractères pour représenter les unités, les dizaines et les centaines<ref>{{ouvrage |auteur=[[Jean-Baptiste Joseph Delambre]] |titre=Histoire de l'astronomie ancienne |tome=ii |éditeur=Courcier |année=1817 |oclc=872415522}}.</ref>

{| class="wikitable center"
 |-
 |[[Α]] (α)
 |[[Β]] (β)
 |[[Г]] (γ)
 |[[Δ]] (δ)
 |[[Ε]] (ε)
 |[[Ϝ]] (ϝ)
 |[[Ζ]] (ζ)
 |[[Η]] (η)
 |[[θ]] (θ)
 |[[Ι]] (ι)
 |[[Κ]] (κ)
 |[[Λ]] (λ)
 |[[Μ]] (μ)
 |[[Ν]] (ν)
 |[[Ξ]] (ξ)
 |[[Ο]] (ο)
 |[[Pi (lettre grecque)|Π]] (π)
 |[[Ϟ]] (ϟ)
 |[[Ρ]] (ρ)
 |[[Sigma|Σ]] (σ)
 |[[Τ]] (τ)
 |[[Υ]] (υ)
 |[[Φ]] (φ)
 |[[Χ]] (χ)
 |[[Ψ]] (ψ)
 |[[Ω]] (ω)
 |[[Ϡ]] (ϡ)
 |-
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 |200
 |300
 |400
 |500
 |600
 |700
 |800
 |900
|}

Ce système est apparu au {{-s-|III}}, avant que les lettres digamma ([[Ϝ]]), koppa ([[Ϟ]]) et sampi ([[Ϡ]]) ne deviennent obsolètes. Lorsque les lettres minuscules se sont différenciées des lettres majuscules, les premières ont été utilisées comme symboles de notation. Les multiples de 1000 étaient écrits comme les neuf nombres avec un trait devant eux : ainsi mille était « , α », deux mille était « , β »{{Etc.}} M (pour ''{{lang|he|μὐριοι}}'', comme dans « myriade ») était utilisé pour multiplier des nombres par dix mille. Par exemple, le nombre {{formatnum:88888888}} s'écrirait ''{{lang|he|M,ηωπη*ηωπη}}''<ref name=Boyer>{{ouvrage |langue=en |auteur1=Carl B. Boyer |titre=A History of Mathematics |numéro d'édition=2 |éditeur=John Wiley & Sons, Inc. |année=1991}}.</ref>.

Le raisonnement mathématique grec était presque entièrement [[géométrie|géométrique]] (bien qu'il soit souvent utilisé pour raisonner sur des sujets non directement liés à la géométrie tels que la [[théorie des nombres]]), et par conséquent les Grecs n'avaient aucun intérêt pour les symboles algébriques. La grande exception était [[Diophante d'Alexandrie]], le grand algébriste<ref>{{lien web |langue=en |url=http://www.ms.uky.edu/~carl/ma330/projects/diophanfin1.html |titre=Diophantine Equations |auteur1=Aaron Zerhusen |auteur2=Chris Rakes |auteur3=Shasta Meece |auteur4= Dr. Carl Eberhart |responsabilité4=rév. |date=16 février 1999 |site=le site du College of Arts and Sciences de l'université du Kentucky }}.</ref>. Son ''[[Arithmétiques|Arithmetica]]'' était l'un des textes à utiliser des symboles dans les équations ; si l'écriture n'était pas complètement symbolique, ce l'était beaucoup plus que les livres précédents. Un nombre inconnu était noté {{Math|§=s}}, son carré était noté <math>\Delta^y</math>, son cube était <math>K^y</math>, sa quatrième puissance était <math>\Delta^y\Delta</math>, et la cinquième puissance était <math>\Delta K^y</math><ref>{{ouvrage |langue=en |titre=A History of Greek Mathematics: From Aristarchus to Diophantus |auteur=Sir Thomas Little Heath |lire en ligne=https://archive.org/details/bub_gb_7DDQAAAAMAAJ |lieu= Oxford |éditeur= Clarendon Press |année=1921 }}.</ref>{{,}}<ref group="note">L'expression <math>2x^4+3x^3-4x^2+5x-6</math> s'écrirait dans ce système : SS2 C3 x5 M S4 u6.</ref>

=== Notation chinoise ===
{{article détaillé|Numération Suzhou}}
{{Article connexe|Numération chinoise}}
[[Fichier:Huama numerals.svg|thumb|Les nombres 0-9 en numération chinoise huāmǎ (花碼)]]
Les Chinois utilisaient des nombres proches du [[système unaire]]<ref>{{article |langue=en |titre=The Evolution of Modern Numerals from Ancient Tally Marks |auteur=Charles E. Woodruff |périodique=The American Mathematical Monthly |volume=16 |numéro=8/9 |date=Août-Sep 1909 |pages=125-133 |jstor=2970818 |doi=10.2307/2970818}}.</ref>. Les nombres 1 à 3 sont représentés par des barres horizontales ; le 4 est symbolisée par un X entre deux traits horizontaux, proche du 10 du système romain. De nos jours, le [[Numération Suzhou|système huāmǎ]] n'est utilisé que pour l'affichage des prix dans les marchés chinois ou les reçus manuscrits.

Dans l'histoire chinoise, il y avait ceux qui connaissaient les sciences de l'arithmétique, de la géométrie, de la mécanique, de l'optique, de la navigation et de l'astronomie. Les [[mathématiques chinoises]] ont émergé indépendamment au {{-s-|XI}}<ref>{{MacTutor |classe= HistTopics |id=Chinese_overview |titre=Overview of Chinese mathematics |version=December 2003  |consulté le=01/05/2023 }}.</ref>. Il est presque certain que les Chinois connaissaient plusieurs résultats mathématiques ou plutôt architecturaux<ref group="note">tels que la [[règle (instrument de géométrie)|règle]], l'[[équerre]], le [[compas (géométrie)|compas]], le [[niveau à bulle]] et le [[fil à plomb]]</ref>; avec des machines mécaniques<ref group="note">telles que la [[roue]] et l'[[essieu]]</ref>; qu'ils connaissaient la propriété caractéristique de l'aiguille aimantée ; et savaient que les événements astronomiques se produisaient par cycles. Les Chinois de cette époque avaient tenté de classer ou d'étendre les règles d'arithmétique ou de géométrie qu'ils connaissaient, et d'expliquer les causes des phénomènes qu'ils connaissaient auparavant. Les Chinois ont indépendamment développé des [[Nombre|nombres très grands]] et les [[nombre négatif|nombres négatifs]], [[Nombre décimal|décimaux]]s, un système décimal à [[notation positionnelle]], un [[système binaire]], l'[[algèbre]], la [[géométrie]] et la [[trigonométrie]].

[[Fichier:Chounumerals.svg|thumb|Système unaire chinois]]

Les [[mathématiques chinoises]] ont apporté leurs premières contributions, y compris un système de [[notation positionnelle]]<ref>{{ouvrage |langue=en |auteur=George Gheverghese Joseph |titre=The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics |éditeur=Penguin Books |lieu=Londres |année=1991 |passage= 140—148 |isbn=9780140125290  |oclc=802923206 }}.</ref>{{,}}<ref>{{ouvrage |langue=de |auteur=Georges Ifrah |titre=Universalgeschichte der Zahlen |éditeur=Campus |lieu=Francfort/New York |année=1986 |passage= 428—437 |isbn= 9783593336664 |oclc=46083164 }}.</ref>. Le théorème géométrique connu des anciens Chinois connaissaient était applicable dans certains cas (à savoir le rapport des côtés)<ref group="note">L'aire du carré décrit sur l'hypoténuse d'un triangle rectangle est égale à la somme des aires de les carrés décrits sur les côtés</ref>. C'est que des théorèmes géométriques qui peuvent être démontrés dans la voie quasi-expérimentale de superposition leur étaient également connus. En arithmétique, leurs connaissances semblent s'être limitées à l'art du calcul au moyen du [[boulier]] et au pouvoir d'exprimer les résultats par écrit.

La connaissance actuelle des premiers résultats des Chinois, si faible soit-elle, est plus complète que celle de la plupart de leurs contemporains. Il est donc instructif et sert à illustrer le fait que l'on peut savoir qu'une nation peut posséder des compétences considérables dans les arts appliqués, mais que la connaissance des mathématiques ultérieures sur lesquelles ces arts sont fondés peut être limitée. La connaissance des mathématiques chinoises avant 254 {{av JC}} est quelque peu fragmentaire, et même après cette date, les traditions manuscrites sont obscures. Les dates des siècles avant la période classique sont généralement considérées comme conjecturales par les érudits chinois à moins qu'elles ne soient accompagnées de preuves archéologiques vérifiées.

Comme dans d'autres sociétés anciennes, l'accent était mis sur l'[[astronomie]] afin de perfectionner le [[calendrier]] agricole et d'autres tâches pratiques, et non sur l'établissement de [[système formel|systèmes formels]]. Les fonctions du Conseil chinois des mathématiques se limitaient à la préparation annuelle d'un almanach, des dates et des prédictions dans lesquelles il était réglementé{{refnec}}. Les anciens mathématiciens chinois n'ont pas développé d'approche axiomatique, mais ont fait des progrès dans le développement d'algorithmes et l'algèbre. La construction de l'algèbre chinoise a atteint son apogée au {{s-|XIII}}, lorsque [[Zhu Shijie]] a inventé la méthode des quatre inconnues.

Du fait d'évidentes barrières linguistiques et géographiques, ainsi que de contenu, les mathématiques chinoises et celles du monde méditerranéen antique sont supposées s'être développées de manière plus ou moins indépendante jusqu'à l'époque où ''[[Les Neuf Chapitres sur l'art mathématique]]'' a atteint sa forme définitive, tandis que le ''[[Livre sur les nombres et le calcul]]'' et le ''[[Huainanzi]]'' sont à peu près contemporains des mathématiques grecques classiques. Un échange d'idées à travers l'Asie à travers des échanges culturels connus depuis au moins l'époque romaine est probable. Souvent, des éléments de mathématiques des premières sociétés correspondent à des résultats rudimentaires trouvés plus tard dans des branches des mathématiques modernes telles que la géométrie ou la [[théorie des nombres]]. Le [[théorème de Pythagore#Histoire|théorème de Pythagore]] par exemple, il [[Zhoubi Suanjing|a été attesté]] à l'époque du [[duc de Zhou]]. Il a également été démontré que la connaissance du [[triangle de Pascal]] existait en Chine des siècles avant [[Blaise Pascal|Pascal]]<ref>{{lien web |langue=en |url=http://www.psupress.psu.edu/books/titles/0-271-01238-2.html |auteur1=Frank J. Swetz |auteur2= T. I. Kao |titre= Was Pythagoras Chinese? |site=le site de Penn State University Press  |consulté le=24/04/2023 }}.</ref>, comme par [[Shen Kuo]].

[[Fichier:Shen Kua.JPG|thumb|Vision d'artiste moderne de [[Shen Kuo]].]]
L'état de la [[trigonométrie]] en Chine a lentement commencé à changer et à progresser pendant la [[dynastie Song]] (960-1279), où les mathématiciens chinois ont commencé à mettre davantage l'accent sur le besoin de trigonométrie sphérique dans la science calendaire et les calculs astronomiques<ref name="needham volume 3 109"/>. Le [[polymathie|polymathe]] scientifique, mathématicien et fonctionnaire chinois [[Shen Kuo]] (1031-1095) a utilisé des fonctions trigonométriques pour résoudre des problèmes mathématiques de cordes et d'arcs<ref name="needham volume 3 109"/>. [[Sal Restivo]] écrit que les travaux de Shen sur les longueurs d'arcs de cercles ont servi de base à la [[trigonométrie sphérique]] développée au {{s-|XIII}} par le mathématicien et astronome [[Guo Shoujing]] (1231-1316). Comme l'affirment les historiens L. Gauchet et [[Joseph Needham]], Guo Shoujing a utilisé la [[trigonométrie sphérique]] dans ses calculs pour améliorer le [[calendrier|système de calendrier chinois]] et l'[[astronomie chinoise]]<ref name="needham volume 3 109">{{ouvrage |langue=en |auteur=Joseph Needham |année=1992 |année première édition=1959 |titre=Science and Civilization in China |volume= 3 |titre volume= Mathematics and the Sciences of the Heavens and the Earth |lieu=Cambridge |éditeur=University Press |isbn= 9780521058018  |oclc=257106241 }}.</ref>.

La science mathématique des Chinois intégrera le travail et l'enseignement des missionnaires arabes ayant des connaissances de la trigonométrie sphérique qui sont venus en Chine au cours du {{s-|XIII}}.

=== Notations et nombres indo-arabes ===
{{Article connexe|Système de numération indo-arabe|Mathématiques arabes|Chiffres arabes}}

Bien que l'origine de notre système actuel de notation numérique soit ancienne, il ne fait aucun doute qu'il était utilisé par les Hindous il y a plus de deux mille ans. La notation algébrique du [[Mathématiques indiennes|mathématicien indien]], [[Brahmagupta]], était [[algèbre syncopée|syncopée]]. L'addition était indiquée en plaçant les nombres côte à côte, la soustraction en plaçant un point sur le terme à soustraire et la division en plaçant le diviseur sous le dividende, de façon similaire à la notation actuelle mais sans la barre. La multiplication, l'évolution et les quantités inconnues étaient représentées par des abréviations de termes appropriés<ref name="Boyer Brahmagupta Indeterminate equations">
{{chapitre |langue=en |nom1=Boyer |prénom1= C. B. |auteur2=[[Uta Merzbach|Uta C. Merzbach]] |responsabilité2=rév. |titre ouvrage=A History of Mathematics |numéro d'édition=2 |lieu=New York |éditeur=Wiley |année=1989 |isbn1=0-471-09763-2 |isbn2=0-471-54397-7 |titre chapitre=China and India |passage=25 |oclc=1244458613}}
{{Citation étrangère bloc |langue=en |he was the first one to give a ''general'' solution of the linear Diophantine equation ax + by {{=}} c, where a, b, and c are integers. [...] It is greatly to the credit of Brahmagupta that he gave ''all'' integral solutions of the linear Diophantine equation, whereas Diophantus himself had been satisfied to give one particular solution of an indeterminate equation. Inasmuch as Brahmagupta used some of the same examples as Diophantus, we see again the likelihood of Greek influence in India - or the possibility that they both made use of a common source, possibly from Babylonia. It is interesting to note also that the algebra of Brahmagupta, like that of Diophantus, was syncopated. Addition was indicated by juxtaposition, subtraction by placing a dot over the subtrahend, and division by placing the divisor below the dividend, as in our fractional notation but without the bar. The operations of multiplication and evolution (the taking of roots), as well as unknown quantities, were represented by abbreviations of appropriate words.}}</ref>. Le [[Système de numération indo-arabe]] et les règles d'utilisation de ses opérations, en usage dans le monde aujourd'hui, ont probablement évolué au cours du premier millénaire {{av JC}} en [[Mathématiques indiennes|Inde]] et a été transmis à l'ouest via les mathématiques islamiques<ref>{{ouvrage |auteur= Robert Kaplan |langue=en |titre= The Nothing That Is: A Natural History of Zero |éditeur= Allen Lane/The Penguin Press |lieu= Londres |année= 1999 |isbn= 9780140279436  |oclc= 44485042}}</ref>{{,}}<ref>{{MacTutor |class=HistTopics |id=Indian_numerals |titre=Indian numerals}}
{{Citation étrangère bloc|langue=en|The ingenious method of expressing every possible number using a set of ten symbols (each symbol having a place value and an absolute value) emerged in India. The idea seems so simple nowadays that its significance and profound importance is no longer appreciated. Its simplicity lies in the way it facilitated calculation and placed arithmetic foremost amongst useful inventions. the importance of this invention is more readily appreciated when one considers that it was beyond the two greatest men of Antiquity, Archimedes and Apollonius. Pierre-Simon Laplace.}}</ref>.

[[Fichier:Image-Al-Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-l-muqābala.jpg|thumb|Une page du ''Algebra'' d'al-Khwārizmī.]]

Malgré leur nom, les [[chiffres arabes]] trouvent leurs racines en Inde. La raison de ce nom impropre est que les Européens ont vu les chiffres utilisés dans un livre arabe, ''Traité du système de numération des Indiens'', par [[Al-Khwârizmî|Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī]]. Ce dernier a écrit plusieurs livres importants sur les chiffres indo-arabes et sur les méthodes de résolution des équations. Son livre ''Traité du système de numération des Indiens'', écrit vers 825, ainsi que l'œuvre de [[Al-Kindi]]<ref group="note">Al-Kindi a également introduit la [[cryptanalyse]] et l'[[analyse fréquentielle]].</ref>, ont joué un rôle déterminant dans la diffusion des [[mathématiques indiennes]] et des [[Système de numération indo-arabe|chiffres indiens]] en Occident. Al-Khwarizmi n'a pas revendiqué les chiffres comme arabes, mais sur plusieurs traductions latines, le fait que les chiffres étaient d'origine indienne a été perdu. Le mot ''[[algorithme]]'' est dérivé de la latinisation du nom d'Al-Khwārizmī, ''{{lang|la|Algoritmi}}'', et le mot ''[[algèbre]]'' du titre d'un de ses ouvrages, ''[[Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison|Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-jabr wa-l-muqābala]]'' (''Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison'').

Les [[mathématiques arabes]] ont développé et développé les mathématiques connues des civilisations d'[[Asie centrale]]<ref>{{ouvrage |langue=de |auteur=Adolf Yushkevich |titre=Geschichte der Mathematik im Mittelalter |éditeur=Teubner |lieu=Leipzig |année=1964}}.</ref>. Al-Khwārizmī a donné une explication exhaustive de la solution algébrique des équations quadratiques à racines positives<ref>{{chapitre |langue=en |nom1=Boyer |prénom1= C. B. |auteur2=[[Uta Merzbach|Uta C. Merzbach]] |responsabilité2=rév. |titre ouvrage=A History of Mathematics |numéro d'édition=2 |lieu=New York |éditeur=Wiley |année=1989 |isbn1=0-471-09763-2 |isbn2=0-471-54397-7 |titre chapitre=The Arabic Hegemony |oclc=1244458613}}
{{Citation étrangère bloc |langue=en |The six cases of equations given above exhaust all possibilities for linear and quadratic equations having positive root. So systematic and exhaustive was al-Khwārizmī's exposition that his readers must have had little difficulty in mastering the solutions.}}</ref>, et Al-Khwārizmī devait enseigner l'algèbre sous une [[Algèbre classique|forme élémentaire]] et pour elle-même<ref>{{ouvrage |langue=en |auteur1=Gandz |auteur2=Saloman |année=1936 |titre=The sources of Khwarizmi's algebra |éditeur=Osiris i |passage=263-77}}
{{Citation étrangère bloc |langue=en |In a sense, Khwarizmi is more entitled to be called {{Citation|the father of algebra}} than Diophantus because Khwarizmi is the first to teach algebra in an elementary form and for its own sake, Diophantus is primarily concerned with the theory of numbers.}}</ref>. Al-Khwārizmī a également discuté de la méthode fondamentale de « réduction » et d'« équilibrage », se référant à la transposition de termes soustraits de l'autre côté d'une équation, c'est-à-dire l'annulation de termes similaires des deux côtés de l'équation. C'est l'opération qu'al-Khwārizmī décrivait à l'origine comme ''al-jabr''<ref name=Boyer-229>{{chapitre |langue=en |nom1=Boyer |prénom1= C. B. |auteur2=[[Uta Merzbach|Uta C. Merzbach]] |responsabilité2=rév. |titre ouvrage=A History of Mathematics |numéro d'édition=2 |lieu=New York |éditeur=Wiley |année=1989 |isbn1=0-471-09763-2 |isbn2=0-471-54397-7 |titre chapitre=The Arabic Hegemony |oclc=1244458613}}
{{Citation étrangère bloc |langue=en |It is not certain just what the terms ''al-jabr'' and ''muqabalah'' mean, but the usual interpretation is similar to that implied in the translation above. The word ''al-jabr'' presumably meant something like "restoration" or "completion" and seems to refer to the transposition of subtracted terms to the other side of an equation; the word ''muqabalah'' is said to refer to "reduction" or "balancing" - that is, the cancellation of like terms on opposite sides of the equation.}}</ref>. Son algèbre ne se préoccupe plus non plus {{citation|d'une série de [[problème|problèmes mathématiques]] à résoudre, mais d'une [[Exposition (théâtre)|exposition]] qui part de termes primitifs dont les combinaisons doivent donner tous les prototypes possibles pour équations, qui constituent désormais explicitement le véritable objet d'étude.}} Al-Khwārizmī a également étudié une équation pour elle-même et {{citation|de manière générique, dans la mesure où elle n'émerge pas simplement au cours de la résolution d'un problème, mais est spécifiquement appelée à définir une classe infinie de problèmes<ref name=Rashed-Armstrong>{{ouvrage |langue=en |auteur1=R. Rashed |auteur2=Angela Armstrong |année=1994 |titre= The Development of Arabic Mathematics | éditeur=[[Springer Science+Business Media|Springer]] | isbn=0-7923-2565-6 | oclc=29181926 | passage= 11-12}}.</ref>}}.

[[Al-Karaji]], dans son traité ''al-Fakhri'', étend la méthode pour incorporer des puissances entières et des racines entières de quantités inconnues<ref group="note">Quelque chose proche d'une [[Démonstration (logique et mathématiques)|preuve]] par [[Induction (logique)|induction mathématique]] apparaît dans un livre écrit par Al-Karaji vers 1000 {{ap JC}}, qui l'a utilisé pour prouver la [[formule du binôme de Newton]], le [[triangle de Pascal]], et l'intégrale d'une fonction cubique.</ref>{{,}}<ref>{{ouvrage |langue=en |auteur=Victor J. Katz |année=1998 |titre=History of Mathematics: An Introduction |passage=255-259 |éditeur=[[Addison-Wesley]] |isbn= 0-321-01618-1}}.</ref>. L'[[historien]] des mathématiquesFranz Woepcke<ref>{{ouvrage |auteur=Franz Woepcke |année=1853 |titre=Extrait du Fakhri, traité d'Algèbre par Abou Bekr Mohammed Ben Alhacan Alkarkhi |lieu=Paris |éditeur=Imprimerie impériale |oclc=1179467225 }}.</ref>, a félicité Al-Karaji d'être {{citation|le premier à avoir introduit la [[théorie]] du calcul algébrique}}. Toujours au {{s-|X}}, [[Abu l-Wafa]] traduisit les œuvres de [[Diophante d'Alexandrie|Diophante]] en arabe. [[Alhazen|Ibn al-Haytham]] développera la [[géométrie analytique]]. Al-Haytham a dérivé la formule de la somme des quatrièmes puissances, en utilisant une méthode facilement généralisable pour déterminer la formule générale de la somme de toutes les puissances intégrales. Al-Haytham a effectué une intégration afin de trouver le volume d'un [[paraboloïde]], et a pu généraliser son résultat pour les intégrales de [[polynôme]]s jusqu'au [[Équation quartique|quatrième degré]]<ref group="note">Il est ainsi venu près de trouver une formule générale pour les [[intégrales]]s des polynômes, mais il n'était pas concerné par les polynômes supérieurs au quatrième degré.</ref>{{,}}<ref name=Katz>{{article |langue=en | auteur1 = Victor J. Katz |année = 1995 | titre = Ideas of Calculus in Islam and India | périodique = Mathematics Magazine | volume = 68 | numéro = 3| pages = 163-74 | doi = 10.1080/0025570X.1995.11996307 }}.</ref>. À la fin du {{s-|XI}}, [[Omar Khayyam]] développera la [[géométrie algébrique]], écrira ''Discussions of the Difficulties in Euclid''<ref group= "note">un livre sur ce qu'il percevait comme des défauts dans les [[Éléments (Euclide)|''Éléments'' d'Euclide]], en particulier l'[[axiome des parallèles]]</ref>, et a écrit sur la solution géométrique générale des [[équation cubique|équations cubiques]]. [[Nasir al-Din al-Tusi]] (Nasireddin) a fait des progrès dans la [[trigonométrie sphérique]]. Les mathématiciens musulmans de cette période incluent l'ajout du [[Séparateur décimal et séparateur de milliers|point décimal]] aux [[chiffres arabes]].

Les symboles des [[chiffres arabes]] modernes utilisés dans le monde sont apparus pour la première fois en [[Afrique du Nord]] islamique au {{s-|X}}. Une variante distincte de l'arabe occidental des [[chiffres arabes orientaux]] a commencé à émerger vers le {{s-|X}} dans le [[Maghreb]] et [[Al-Andalus]] (parfois appelés chiffres ''ghubar'', bien que le terme ne soit pas toujours accepté), qui est l'ancêtre direct des chiffres arabes modernes utilisés dans le monde entier<ref>{{ouvrage |langue=en |auteur=Paul Kunitzsch |chapitre=The Transmission of Hindu-Arabic Numerals Reconsidered |éditeur=J. P. Hogendijk |auteur2=A. I. Sabra |titre=The Enterprise of Science in Islam: New Perspectives |lire en ligne= {{Google Livres |id=_AUtLNtg3nsC |page=3}} |année=2003 |édition=MIT Press |isbn=978-0-262-19482-2 |passage= 3-22 (12-13)}}.</ref>.

De nombreux textes grecs et arabes sur les mathématiques ont alors été [[traductions latines du XIIe siècle|traduits en latin]], ce qui a conduit à un développement ultérieur des mathématiques dans l'Europe médiévale. Au {{s|XII}}, des érudits se sont rendus en Espagne et en Sicile à la recherche de textes scientifiques arabes, y compris d'al-Khwārizmī<ref group="note">traduit en latin par [[Robert de Chester]]</ref> et le texte complet des [[Éléments (Euclide)|Éléments d'Euclide]]<ref>{{chapitre |auteur=[[Marie-Thérèse d'Alverny]] |langue=en |titre chapitre= Translations and Translators |passage= 421-462 |auteurs ouvrage= Robert L. Benson et Giles Constable |titre ouvrage= Renaissance and Renewal in the Twelfth Century |lieu= Cambridge |éditeur= Harvard University Press |année= 1982}}.</ref>{{,}}<ref>{{chapitre |auteur=Guy Beaujouan |langue=en |titre chapitre=  The Transformation of the Quadrivium |passage= 463-487 |auteurs ouvrage= Robert L. Benson et Giles Constable |titre ouvrage= Renaissance and Renewal in the Twelfth Century |lieu=Cambridge |éditeur= Harvard University Press |année= 1982}}.</ref>. L'un des livres européens qui préconisaient l'utilisation des chiffres était ''[[Liber abaci]]'', de Léonard de Pise, mieux connu sous le nom de [[Leonardo Fibonacci|Fibonacci]]. ''Liber Abaci'' est mieux connu pour le problème mathématique que Fibonacci y a écrit à propos d'une population de lapins. La croissance de la population a fini par être une [[suite de Fibonacci]], où un terme est la somme des deux termes précédents.

== Étape symbolique ==
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  at:1962 shift:(0,28) text:"[[intégration (mathématiques)|intégrale]]"
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{{Article connexe|Table de symboles mathématiques}}

=== Débuts de l'arithmétique et de la multiplication ===
{{Article connexe|Époque moderne#Début|Probabilité|Statistique|Révolution scientifique}}

La transition vers l'algèbre symbolique, où seuls les symboles sont utilisés, peut d'abord être vue dans les travaux de [[Ibn al-Banna' al-Marrakushi]] (1256-1321) et [[Al-Qalasadi|Abū al-Ḥasan ibn ʿAlī al-Qalaṣādī]] (1412-1482)<ref>{{MacTutor|id=Al-Banna|titre=al-Marrakushi ibn Al-Banna}}.</ref>{{,}}<ref name=Gullberg>{{ouvrage |auteur={{lien|trad=Jan Gullberg}} |langue=en |titre=Mathematics: From the Birth of Numbers  |année= 1997 |éditeur=W. W. Norton |isbn=0-393-04002-X |lire en ligne= https://archive.org/details/mathematicsfromb1997gull/page/298 |passage=298 }}.</ref>. Al-Qalasādī était le dernier grand [[Mathématiques arabes|algébriste arabe]], qui a amélioré la [[notation (mathématiques)|notation algébrique]] précédemment utilisée dans le [[Maghreb]] par Ibn al-Banna<ref name=Qalasadi>{{MacTutor |id=Al-Qalasadi|titre= Abu'l Hasan ibn Ali al Qalasadi}}.</ref>. Contrairement aux notations syncopées de leurs prédécesseurs, [[Diophante d'Alexandrie|Diophante]] et [[Brahmagupta]], qui manquaient de symboles pour les [[Opération (mathématiques)|opérations mathématiques]]<ref>{{chapitre |langue=en |nom1=Boyer |prénom1= C. B. |auteur2=[[Uta Merzbach|Uta C. Merzbach]] |responsabilité2=rév. |titre ouvrage=A History of Mathematics |numéro d'édition=2 |lieu=New York |éditeur=Wiley |année=1989 |isbn1=0-471-09763-2 |isbn2=0-471-54397-7 |titre chapitre=Revival and Decline of Greek Mathematics |passage=178 |oclc=1244458613}}
{{Citation étrangère bloc |langue=en |The chief difference between Diophantine syncopation and the modern algebraic notation is the lack of special symbols for operations and relations, as well as of the exponential notation.}}</ref>. La notation algébrique d'al-Qalasadi a été la première d'avoir des symboles pour ces fonctions et était donc « les premiers pas vers l'introduction du symbolisme algébrique ». Il a représenté [[Table de symboles mathématiques|symboles mathématiques]] en utilisant des caractères de l'[[alphabet arabe]]<ref name=Qalasadi/>.

[[Fichier:Johannes Widmann-Mercantile Arithmetic 1489.jpg|vignette|Apparition des [[signes plus et moins]] dans un document imprimé.]]
Le {{s-|XIV}} a vu le développement de nouveaux concepts mathématiques pour étudier un large éventail de problèmes<ref>{{ouvrage |nom1=Grant |prénom1= Edward |auteur2=John E. Murdoch |année=1987 |responsabilité1=éd. |responsabilité2=éd. |langue=en |titre= Mathematics and Its Applications to Science and Natural Philosophy in the Middle Ages |lieu=Cambridge |éditeur= Cambridge University Press |isbn=0-521-32260-X}}.</ref>. Les deux symboles arithmétiques largement utilisés sont l'addition et la soustraction, + et -. Le [[signes plus et moins|signe plus]] était utilisé vers 1360 par [[Nicole Oresme]]<ref>{{ouvrage |langue=en |titre= Mathematical Magazine |volume= 1 |auteur= Artemas Martin |année= 1887 |lire en ligne= {{Google Livres |id=mG8yAQAAMAAJ |page=124}} |passage= 124}}</ref>{{,}}<ref group="note">His own personal use started around 1351.</ref> dans son ouvrage ''Algorismus proportionum''<ref>{{ouvrage |lire en ligne={{Google Livres|id=k0U1AQAAMAAJ}} |langue=de |titre= Der Algorismus proportionum des Nicolaus Oresme |sous-titre=  Zum ersten Male nach der Lesart der Handschrift R.40.2. der Königlichen Gymnasial-bibliothek zu Thorn |auteur= [[Nicole Oresme]] |éditeur=Druck von J. Draeger's buchdruckerei (C. Feicht)|année= 1868}}.</ref>. On pense qu'il s'agit d'une abréviation du « et » latin, de la même manière que le signe [[esperluette]] a également commencé par « et ». Oresme de l'[[Ancienne université de Paris|Université de Paris]] et l'italien [[Giovanni di Casali]] ont indépendamment fourni des démonstrations graphiques de la distance parcourue par un corps subissant un mouvement uniformément accéléré, affirmant que l'aire sous la ligne représentant l'accélération constante et représentait la distance totale parcourue. Le [[Signes plus et moins|signe moins]] a été utilisé en 1489 par [[Johannes Widmann]] dans ''Mercantile Arithmetic'' ou ''Behende und hüpsche Rechenung auff allen Kauffmanschafft''<ref>{{ouvrage |langue=en |titre= A New System of Mercantile Arithmetic |sous-titre= Adapted to the Commerce of the United States, in Its Domestic and Foreign Relations with Forms of Accounts and Other Writings Usually Occurring in Trade |auteur= Michael Walsh |éditeur= {{lien|trad=Edmund March Blunt|fr=Edmund Blunt}} |année= 1801 |présentation en ligne= {{Google Livres |id=jdw2AAAAMAAJ}} }}.</ref>. Widmann a utilisé le symbole moins avec le symbole plus, pour indiquer respectivement le déficit et l'excédent. Dans ''[[Summa de arithmetica, geometria, de proportioni et de proportionalita]]''<ref group="note">Summa de arithmetica, geometria, de proportioni et de proportionalita. ''Tr''. Résumé de l'arithmétique, de la géométrie, de la proportion et de la proportionnalité.</ref>, [[Luca Pacioli]] utilisait des symboles pour les [[Signes plus et moins|symboles plus et moins]] et contenait [[algèbre]]<ref group="note">Une grande partie du travail provient de [[Piero della Francesca]] qu'il s'est approprié et a volé.</ref>.

Au {{s-|XV}}, [[Al-Kashi|Ghiyath al-Kashi]] a calculé la valeur de [[Pi|{{mathPi}}]] à la {{16e|décimale}} près. Kashi disposait également d'un algorithme pour calculer les ''n''ièmes racines<ref group="note">C'était un cas particulier des méthodes données plusieurs siècles plus tard par [[Paolo Ruffini (mathématicien)|Ruffini]] et [[William George Horner|Horner]].</ref>. En 1533, la table des sinus et cosinus de [[Regiomontanus]] fut publiée. [[Scipione del Ferro]] et [[Niccolò Fontana Tartaglia]] ont découvert des solutions pour les [[équation cubique|équations cubiques]]. [[Jérôme Cardan|Gerolamo Cardano]] les a publiés dans son livre de 1545 ''[[Ars Magna (Girolamo Cardano)|Ars Magna]]'', ainsi qu'une solution pour les [[équation quartique|équations quartiques]], découverte par son élève [[Ludovico Ferrari]]. Le [[Racine d'un nombre|symbole radical]], soit <math>\sqrt{\cdot}</math> pour la racine carrée, a été introduit par [[Christoff Rudolff]], le symbole évoquant un [[R (lettre)|''r'']] minuscule, pour ''radix''. L'important travail de [[Michael Stifel]] ''Arithmetica integra'' contenait d'importantes innovations dans la notation mathématique. En 1556, Tartaglia a utilisé des parenthèses pour le groupement de priorité. En 1557, [[Robert Recorde]] publie ''{{lien|trad=The Whetstone of Witte}}'' qui introduit le [[signe égal]] (=), ainsi que les signes plus et moins pour le lecteur anglais. En 1564, [[Jérôme Cardan|Gerolamo Cardano]] analyse les [[jeu de hasard|jeux de hasard]], posant les bases de la [[théorie des probabilités]]. En 1572, [[Raphaël Bombelli]] publie ''L'Algebra'' dans laquelle il montre comment traiter les [[Nombre complexe|quantités imaginaires]] qui pourraient apparaître dans la formule de Cardano pour résoudre les équations cubiques. Le livre de [[Simon Stevin]] ''De Thiende'' ("l'art des dixièmes"), publié en néerlandais en 1585, contient un traitement systématique de la [[Système décimal|notation décimale]], qui a influencé tous les travaux ultérieurs sur le [[Nombre réel|système de nombres réels]]. L{{'}}''[[Algèbre nouvelle]]'' (1591) de [[François Viète]] introduit la manipulation notationnelle moderne des expressions algébriques. Pour la navigation et les cartes précises de vastes zones, la [[trigonométrie]] est devenue une branche majeure des mathématiques. [[Pitiscus|Bartholomäus Pitiscus]] a inventé le mot « trigonométrie », publiant ''Trigonometria'' en 1595.

[[John Napier]] est surtout connu comme l'inventeur des [[logarithme]]s<ref group="note">{{chapitre |auteur=John Napier |langue=en |titre chapitre= The Construction of logarythms |titre ouvrage= The Construction of the Wonderful Canon of Logarithms |année=1889 |traducteur= William Rae Macdonald
 |langue originale=la |titre original= Mirifici logarithmorum canonis descriptio |lieu=Édinbourg et Londres |éditeur= William Blackwood and sons |wikisource= :en:The_Construction_of_the_Wonderful_Canon_of_Logarithms}}</ref>{{,}}<ref>{{ouvrage |langue=en |titre= The History of Mathematics |auteur= Anne Rooney |lire en ligne={{Google Livres |id=5O67iqeIHZ8C |page=40}} |passage= 40}}</ref> et a rendu courant l'utilisation du [[point décimal]] en arithmétique et en mathématiques<ref>{{ouvrage |lire en ligne= {{Google Livres |id=husGAAAAYAAJ}} |langue=en |titre= Memoirs of John Napier of Merchiston |auteur=Mark Napier |lieu=Edinburgh |éditeur= W. Blackwood |année=1834}}</ref>{{,}}<ref>{{ouvrage |lire en ligne={{Google Livres|id=JUdkAAAAMAAJ}} |langue=en |titre= An Account of the Life, Writings, and Inventions of John Napier, of Merchiston |auteur1= David Stewart Erskine, comte de Buchan |auteur2= Walter Minto |année=1787}}</ref>. Après Napier, [[Edmund Gunter]] a créé l'[[échelle logarithmique]] sur lesquelles les [[Règle à calcul|règles à calcul]] sont basées, c'est [[William Oughtred]] qui utilisait deux de ces règles glissant l'une par l'autre pour effectuer une [[multiplication]] et une [[division]] directement ; et il est crédité comme l'inventeur de la règle à calcul en 1622. En 1631, Oughtred a introduit le signe de multiplication (×) son signe de proportionnalité, {{math|∷}}, et les abréviations {{Math|§=sin}} et {{Math|§=cos}} pour les fonctions [[sinus (mathématiques)|sinus]] et [[cosinus]]<ref>{{ouvrage |titre= Une histoire des mathématiques |auteur= [[Florian Cajori]] |année= 1919 |éditeur= Macmillan | lire en ligne= https://archive.org/details/ahistorymathema02cajogoog/page/n169 |passage=157 }}.</ref>. [[Albert Girard]] a également utilisé les abréviations {{Math|§=sin}}, {{Math|§=cos}} et {{Math|§=tan}} pour les [[fonctions trigonométriques]] dans son traité.

[[Johannes Kepler]] a été l'un des pionniers des applications mathématiques des [[Infiniment petit|infinitésimaux]]<ref group="note">voir [[Infiniment petit]].</ref>. [[René Descartes]] est crédité comme le père de la [[géométrie analytique]], le pont entre l'algèbre et la géométrie<ref group="note">En utilisant les [[coordonnées cartésiennes]] sur le plan, la distance entre deux points (''x''<sub>1</sub>,&nbsp;''y''<sub>1</sub>) et (''x''<sub>2</sub>,&nbsp;''y''<sub> 2</sub>) est défini par la formule :<br />
<math>d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2},</math><br />
qui peut être considéré comme une version du [[théorème de Pythagore]].</ref>, crucial pour la découverte du [[calcul infinitésimal]] et de l'[[analyse (mathématiques)|analyse mathématique]]. Au {{s-|XVII}}, Descartes a introduit les [[coordonnées cartésiennes]] qui ont permis le développement de la géométrie analytique. [[Bernhard Riemann]] et [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]] ont généralisé les concepts de géométrie pour développer les [[géométrie non euclidienne|géométries non euclidiennes]]. [[Blaise Pascal]] a influencé les mathématiques tout au long de sa vie. Son ''Traité sur le triangle arithmétique'' de 1653 décrit une présentation tabulaire pratique des [[coefficient binomial|coefficient binomiaux]], ce qu'on appelle aujourd'hui le [[triangle de Pascal]]. [[Pierre de Fermat]] et Blaise Pascal étudieront la [[probabilité]]<ref group="note">Par exemple, le « [[Problème des partis]] ».</ref>. [[John Wallis]] a introduit le [[Infini (symbole)|symbole de l'infini]] <math>{\infty}</math>. Il a également utilisé cette notation pour les infinitésimaux<ref group="note">Par exemple, <math>\frac{1}{\infty}.</math></ref>. En 1657, [[Christian Huygens]] publie le traité de probabilité, ''De ratiociniis in ludo aleae''<ref>{{ouvrage |auteur= {{lien|trad=Jan Gullberg}} |langue=en |titre=Mathematics: From the Birth of Numbers  |année= 1997 |éditeur=W. W. Norton |passage= 963-965}}</ref>.

[[Johann Heinrich Rahn|Johann Rahn]] a introduit le [[Obélus|signe de division]] (÷, une variante de l'[[obélus]] réutilisée) et le [[Implication (logique)|signe donc]] en 1659. [[William Jones (mathématicien)|William Jones]] a utilisé {{mathPi}} dans ''Synopsis palmariorum mathesios''<ref>{{ouvrage |présentation en ligne={{Google Livres |id=b59EAAAAcAAJ}}|langue=la |titre= Synopsis Palmariorum Matheseos |auteur= [[William Jones (mathématicien)|William Jones]] |année= 1706}}.<!-- (Alt: [https://archive.org/details/SynopsisPalmariorumMatheseosOrANewIntroductionToTheMathematics Synopsis Palmariorum Matheseos: or, a New Introduction to the Mathematics]. archive.org.)--></ref> en 1706 parce que c'est la lettre initiale du mot grec {{lang|he|περιμετρον|trans=perímétron}}, qui signifie [[périmètre]] en grec. Cet usage a été popularisé en 1737 par Euler. En 1734, [[Pierre Bouguer]] utilise une double barre horizontale sous le [[Inégalité (mathématiques)|signe d'inégalité]]<ref>{{ouvrage |langue=en |titre= When Less is More: Visualizing Basic Inequalities |auteur1=By Claudi Alsina |auteur2= Roger B. Nelse |lire en ligne={{Google Livres  |id=U1ovBsSRNscC |page=18}} |passage=18}}.</ref>.

=== Notation de la dérivation : Newton et Leibniz ===
{{Article connexe|Histoire du calcul infinitésimal#Newton et Leibniz}}

L'étude de l'[[algèbre linéaire]] a émergé de l'étude des [[déterminant (mathématiques)|déterminant]]s, qui ont été utilisés pour résoudre des [[Système linéaire|systèmes linéaires]]. Le calcul comportait deux principaux systèmes de notation, chacun créé par l'un des créateurs : celui développé par [[Isaac Newton]] et la notation développée par [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Gottfried Leibniz]]. La [[notation de Leibniz]] est la notation la plus utilisée aujourd'hui. Celui de Newton était simplement un point ou un tiret placé au-dessus de la fonction<ref group="note">Par exemple, la dérivée de la fonction ''x'' serait écrite sous la forme <math>\dot{x}</math>. La dérivée seconde de ''x'' s'écrirait <math>\ddot{x}</math>, etc.</ref>. Dans l'usage moderne, cette notation désigne généralement les dérivées de quantités physiques par rapport au temps, et est fréquemment utilisé dans la science de la [[mécanique (science)|mécanique]]. Leibniz, d'autre part, a utilisé la lettre ''d'' comme préfixe pour indiquer la différenciation, et a introduit la notation représentant les dérivés comme s'il s'agissait d'un type spécial de fraction<ref group="note">Par exemple, le dérivée de la fonction ''x'' par rapport à la variable ''t'' dans la notation de Leibniz s'écrirait <math>{ dx \over dt }</math>.</ref>. Cette notation rend explicite la variable par rapport auquel la dérivée de la fonction est prise. Leibniz a également créé la notation de l'intégrale <math>\int_{-N}^{N} f(x)\, \mathrm{d}x</math>. Le symbole est un [[s long|S allongé]], représentant le mot [[latin]] ''Summa'', signifiant « somme ». Lors de la recherche d'aires sous des courbes, l'intégration est souvent illustrée en divisant l'aire en une infinité de rectangles hauts et fins, dont les aires sont ajoutées. Ainsi, le symbole intégral est un ''s'' allongé, pour somme.

=== Fonctions ===
{{Article connexe|Époque moderne}}

Les lettres de l'[[alphabet]] de nos jours sont utilisées comme symboles de [[quantité]] ; et bien qu'il existe une grande diversité quant au choix des lettres, il existe plusieurs conventions établies par la suite<ref name="Brande & Cox 1875, p683"/>. Ici donc dans l'histoire des équations, les premières lettres de l'alphabet étaient à titre indicatif appelées [[coefficient]]s, les dernières lettres les [[inconnue (mathématiques)|inconnues]] (un ''incerti ordinis''). En [[géométrie algébrique]], encore une fois, une règle similaire doit être observée, les dernières lettres de l'alphabet y désignant les [[Système de coordonnées|coordonnées]] variables ou courantes. Certaines lettres, telles que {{mathPi}} ou {{math|e}}, ont été par [[Argumentum ad populum|consentement universel]] appropriées comme symboles des nombres fréquents (en l'occurrence [[Pi|3,14159...]], et [[e (nombre)|2,7182818....]]<ref group="note">Voir aussi : [[Représentations de e]]</ref>), et leur utilisation dans toute autre acception doit être évitée autant que possible<ref name="Brande & Cox 1875, p683" /> Les lettres aussi devaient être employées comme symboles d'opération, et avec elles autres caractères d'opération arbitraires mentionnés précédemment. Les lettres <math>\mathrm{d}</math> et <math>\textstyle{\int}</math> doivent être appropriées comme symboles opératoires dans le [[calcul différentiel]] et le [[Intégration (mathématiques)|calcul intégral]], [[Delta|<math>\Delta</math>]] et <math>\Sigma</math> dans le [[Différence finie|calcul des différences]]<ref name="Brande & Cox 1875, p683"/>. Dans la [[Fonctionnelle|notation fonctionnelle]], une lettre, en tant que symbole d'opération, est combinée avec une autre qui est considérée comme un symbole de [[Quantité#Quantité en mathématiques|quantité]]<ref name="Brande & Cox 1875, p683"/>{{,}}<ref group="note">Ainsi <math>f(x)</math> dénote le résultat mathématique de l'exécution de l'opération <math>f</math> sur le [[Objet mathématique|sujet]] <math>x</math>. Si sur ce résultat la même opération était répétée, le nouveau résultat serait exprimé par <math>f[f(x)]</math>, ou plus précisément par <math>f^2(x)</math>, et ainsi de suite. La quantité <math>x</math> elle-même considérée comme le résultat de la même opération <math>f</math> sur une autre fonction ; le symbole approprié pour lequel est, par analogie, <math>f^{-1} (x)</math>. Ainsi <math>f</math> et <math>f^{-1}</math> sont des symboles d'[[Inverse|opération inverse]], le premier annulant l'effet du second sur le sujet <math>x</math>. <math>f(x)</math> et <math>f^{-1} (x)</math> de la même manière sont appelés [[Bijection réciproque|réciproque]].</ref>.

À partir de 1718, [[Thomas Twining (marchand)|Thomas Twinin]] a utilisé la [[barre oblique]], en la dérivant de la [[Fraction (mathématiques)#Écriture fractionnaire|barre de fraction horizontale]] arabe. [[Pierre-Simon de Laplace]] a développé l'[[Opérateur laplacien|opérateur différentiel laplacien]]<ref group="note">C'est-à-dire <math>\Delta f(p ) </math></ref>. En 1750, [[Gabriel Cramer]] développe la [[règle de Cramer]] pour résoudre les [[système linéaire|systèmes linéaires]].

====Euler et notation prime ====
[[Fichier:Leonhard Euler 2.jpg|vignette|upright|[[Leonhard Euler]].]]

[[Leonhard Euler]] était l'un des mathématiciens les plus prolifiques de l'histoire, et aussi un inventeur prolifique de la notation canonique. Ses [[Leonhard Euler#Contributions aux mathématiques|contributions]] incluent son utilisation de [[e (nombre)|{{math|e}}]] pour représenter la base du [[logarithme naturel]]. On ne sait pas exactement pourquoi {{math|e}} a été choisi, mais c'est probablement parce que les quatre lettres de l'alphabet étaient déjà couramment utilisées pour représenter des variables et d'autres constantes. Euler a utilisé {{mathPi}} pour représenter [[pi]] de manière cohérente. L'utilisation de {{mathPi}} a été suggérée par [[William Jones (mathématicien)|William Jones]], qui l'a utilisé comme raccourci pour [[périmètre]]. Euler a utilisé {{math|i}} pour représenter l'[[unité imaginaire]], à l'époque notée {{Racine|-1}}, {{refnec|bien qu'il ait auparavant utilisé {{math|i}} comme un ''nombre infini''}}<ref group="note">Aujourd'hui, le symbole créé par [[John Wallis]], <math>\infty</math>, est utilisé pour l'infini</ref>{{,}}<ref group="note">Comme dans <math>\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}</math></ref>. Pour la [[Addition|sommation]], Euler a utilisé le [[Sigma|sigma majuscule]], <math>\Sigma</math><ref group="note">la [[Somme (arithmétique)|notation sigma majuscule]] utilise un symbole qui représente de manière compacte la sommation de nombreux termes similaires : le ''symbole de sommation'', ''[[Sigma|Σ]]'', une forme agrandie de la lettre grecque majuscule verticale [[sigma]]. Ceci est défini comme :
<br /><center><math>\sum_{i=m}^n a_i = a_m + a_{m+1} + a_{m+2} +\cdots+ a_{n-1} + a_n. </math></center><br />
Où, ''i'' représente l{{'}}indice de sommation ; ''a<sub>i</sub>'' est une variable indexée représentant chaque terme successif de la série ; ''m'' est la ''borne inférieure de sommation'', et ''n'' est la ''borne supérieure de sommation''. Le ''"i = m"'' sous le symbole de sommation signifie que l'index ''i'' commence pour l'indice ''m''. L'indice, ''i'', est incrémenté de 1 pour chaque terme successif, s'arrêtant lorsque ''i'' = ''n''.</ref>. Pour les [[fonction (mathématiques)|fonctions]], Euler a utilisé la notation <math>f(x)</math> pour représenter une fonction de <math>x</math>. En 1730, Euler décrit la [[fonction gamma]]<ref group="note">Il part de l'égalité <math>n !=\int_{0}^{1}(-\ln s)^{n}\ ,{\rm d}s</math>.<br /> valable pour n > 0.</ref>. En 1736, Euler produit son article sur le [[problème des sept ponts de Königsberg]]<ref>{{article |auteur=[[Leonhard Euler]] |lire en ligne= http://www.math.dartmouth.edu/~euler/docs/originals/E053.pdf |langue=la |titre=Solutio problematis ad geometriam situs relevantis |périodique=Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae |année=1741 |volume= 8 |pages= 128-140}}.</ref> initiant l'étude de la [[théorie des graphes]].

Le mathématicien [[William Emerson]] développe le signe de [[proportionnalité]] {{math|∝}}<ref>{{ouvrage |lire en ligne= https://archive.org/details/elementsgeometr00emergoog |langue=en |titre= The elements of geometry |auteur=William Emerson |année=1794}}.</ref>{{,}}<ref>{{ouvrage |présentation en ligne= {{Google Livres |id=YLxHMwEACAAJ}} |langue=en |titre= The Doctrine of Proportion, Arithmetical and Geometrical. Together with a General Method of Arening by Proportional Quantities |auteur= William Emerson |année=1763}}</ref>{{,}}<ref>{{ouvrage |langue=en |titre= The Mathematical Correspondent |auteur= George Baron |lire en ligne={{Google Livres|id=IXkAAAAAMAAJ|page=83}} |passage= 83 |volume=1 |éditeur=Sage and Clough, |année=1804}}</ref>. Bien plus tard dans les expressions abstraites de la valeur de divers phénomènes proportionnels, la {{lien|trad=Parts-per notation|fr= notation en parties par|texte=notation en "parties par"}} deviendrait utile comme un ensemble de pseudo-unités pour décrire de petites valeurs de diverses [[Grandeur sans dimension|quantités sans dimension]]. Le [[Nicolas de Condorcet|marquis de Condorcet]], en 1768, avança le signe de la [[dérivée partielle]]<ref group="note">Le ''[[d rond]]'' ou ''[[Matrice jacobienne|delta de Jacobi]]''.</ref>. En 1771, [[Alexandre-Théophile Vandermonde]] déduit l'importance des traits topologiques lorsqu'il discute de la [[théorie des nœuds|propriétés des nœuds]] liée à la géométrie de position. Entre 1772 et 1788, [[Joseph-Louis Lagrange]] reformule les formules et les calculs de la mécanique « newtonienne » classique, appelée [[Lagrangien|mécanique lagrangienne]]. Le [[Prime (typographie)|symbole prime]] pour les dérivées a également été créé par Lagrange.

{{citation bloc|Mais à notre [[opinion]] les vérités de ce genre doivent être tirées des notions plutôt que des notations.|Carl Friedrich Gauss<ref group="note">A propos de la preuve du [[théorème de Wilson]]. ''[[Disquisitiones arithmeticae]]''  (1801) Article 76</ref>}}

==== Gauss, Hamilton et notations matricielles ====
Au début du {{s-|XIX}}, [[Carl Friedrich Gauss]] développe le [[Identité (mathématiques)|signe d'identité]] pour la [[Congruence sur les entiers|relation de congruence]] ≡ et, pour la réciprocité quadratique, le symbole [[Partie entière et partie fractionnaire|partie entière]]. Gauss contribue aux [[Fonction (mathématiques)|fonctions]] d'une [[Analyse complexe|variable complexe]], en [[géométrie]], et la convergence des [[série numérique|séries]]. Il donne des preuves satisfaisantes du [[théorème fondamental de l'algèbre]] et la [[loi de réciprocité quadratique]]. Gauss a développé la théorie de la résolution de systèmes linéaires en utilisant l'[[élimination de Gauss-Jordan|élimination gaussienne]], initialement répertoriée comme une avancée en [[géodésie]]<ref>{{lien archive |langue=en |auteur= [[Marie A. Vitulli]] |titre=A Brief History of Linear Algebra and Matrix Theory  |url=http://darkwing.uoregon.edu/~vitulli/441.sp04/LinAlgHistory.html |site=le site du Département de mathématiques de l'Université de l'Oregon |horodatage archive= 20120910034016}}.</ref>. Il développera également le [[Croix de multiplication|signe produit]]. Toujours à cette époque, [[Niels Henrik Abel]] et [[Évariste Galois]]<ref group="note">La [[théorie de Galois]] et la {{lien|trad=Galois geometry|fr=géométrie de Galois|texte=géométrie de Galois}} portent son nom.</ref> leurs travaux sur la [[Théorème d'Abel (algèbre)|racines des équations]], reliant la [[théorie des groupes]] et celle des [[corps commutatif]]s.

Après les années 1800, [[Christian Kramp]] promouvra la notation [[factorielle]] lors de ses recherches sur la fonction factorielle généralisée qui s'appliquait aux non-entiers<ref>{{MacTutor |id=Kramp |titre=Christian Kramp |version=January 2012 |consulté le=2014-06-24}}.</ref>. [[Joseph Diez Gergonne]] a introduit les signes d'[[inclusion (mathématiques)|inclusion]]<ref group="note">C'est-à-dire « sous-ensemble de » et « surensemble de » ; ils seront plus tard redéveloppés par [[Ernst Schröder]].</ref>. [[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]] a développé les [[Série L de Dirichlet|séries L de Dirichlet]] pour donner la pFreuve du [[Théorème de la progression arithmétique|théorème de Dirichlet sur les suites arithmétiques]] et a commencé la [[théorie analytique des nombres]]<ref group="note">Une [[théorie des nombres|science des nombres]] qui utilise des méthodes issues de l'[[analyse (mathématiques)|analyse mathématique]] pour résoudre des problèmes sur les nombres entiers.</ref>. En 1828, Gauss a prouvé son ''[[Theorema egregium]]'' (''théorème remarquable'' en latin), établissant la propriété des surfaces. Dans les années 1830, [[George Green]] a développé la [[fonction de Green]]. En 1829. [[Charles Gustave Jacob Jacobi]] publie ''{{lien|langue=en |trad=Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum}}'' avec ses [[fonction thêta|fonctions thêta]] [[fonction elliptique|elliptiques]]. En 1841, [[Karl Weierstrass]], le « père de l'[[analyse (mathématiques)|analyse]] » moderne, a élaboré le concept de [[valeur absolue]] et de [[Déterminant (mathématiques)|déterminant d'une matrice]].

La {{lien|trad=Matrix notation|fr=Notation matricielle|texte=notation matricielle}} sera plus amplement développée par [[Arthur Cayley]] dans ses trois articles, sur des sujets qui avaient été suggérés par la lecture de la [[mécanique analytique]] de Lagrange<ref>{{ouvrage |titre=Mécanique analytique |auteur= [[Joseph-Louis Lagrange]] |année première édition=1788}}{{commentaire biblio SRL|2 volumes}}
{{commentaire biblio|{{ouvrage |titre=Tome premier |année=1853 |numéro d'édition=3 |lieu=Paris |éditeur=Mallet-Bachelier |lire en ligne= {{Google Livres |id=gmY_AAAAcAAJ |couv=1}}}}}}
{{commentaire biblio|{{ouvrage |titre=Tome second |année=1853 |numéro d'édition=3 |lieu=Paris |éditeur=Mallet-Bachelier |lire en ligne= {{Google Livres |id=hclDyo8wE44C |page=1}}}}}}</ref> et quelques ouvrages de Laplace. Cayley a défini le [[produit matriciel]] et l'[[Matrice inversible|inverse d'une matrice]]. Cayley a utilisé une seule lettre pour désigner une matrice<ref>{{ouvrage |langue=en |titre= The collected mathematical papers of Arthur Cayley |auteur=[[Arthur Cayley]] |volume=11|lire en ligne={{Google Livres |id=tZdQAAAAYAAJ |page=243}} |passage= 243}}.</ref>, traitant ainsi une matrice comme un objet agrégé. Il a également réalisé le lien entre les matrices et les déterminants<ref>{{ouvrage |langue=en |titre=Historical Encyclopedia of Natural and Mathematical Sciences |volume= 1 |auteur= Ari Ben-Menahem |lire en ligne={{Google Livres |id=9tUrarQYhKMC|page=2070}} |passage= 2070}}.</ref>, et écrit {{citation bilingue |lang=en |There would be many things to say about this theory of matrices which should, it seems to me, precede the theory of determinants| Il y aurait beaucoup de choses à dire sur cette théorie des matrices qui devrait, il me semble, précéder la théorie des déterminants.}}<ref name="Vitulli, Marie">{{lien web |format=pdf |langue=en |auteur=[[Marie A. Vitulli]] |titre=A Brief History of Linear Algebra and Matrix Theory |url=https://www.convexoptimization.com/TOOLS/Vitulli.pdf}}.</ref>.

{{citation bloc|[... The mathematical quaternion] has, or at least involves a reference to, four dimensions.|William Rowan Hamilton<ref group="note">Cité dans {{ouvrage |auteur= {{lien |trad=Robert Perceval Graves}} |langue=en |titre=Life of Sir William Rowan Hamilton}} {{commentaire biblio SRL|3 volumes : 1882, 1885, 1889.}}</ref>}}

[[William Rowan Hamilton]] introduit le symbole [[nabla]] <math> \nabla</math> (ou, plus tard appelé ''del'') pour une différentielle vectorielle<ref>{{ouvrage |langue=en |titre=The Words of Mathematics |auteur=Steven Schwartzman |lire en ligne=https://archive.org/details/wordsofmathemati0000schw/page/6 |page=6}}.</ref>{{,}}<ref>{{ouvrage |langue=en |titre=Electro-Magnetism: Theory and Applications |auteur=A. Pramanik |lire en ligne={{Google Livres |id=gnEEwy12S5cC |page=38}} |passage=38 |éditeur= Prentice Hall India Pvt. |année= 2004 }}.</ref>. Celui-ci était auparavant utilisé par Hamilton comme un symbole d'opérateur<ref>{{lien web |langue=en |auteur= Arnold Neumaier |date=19 Jan 1998 |url= http://homepages.math.uic.edu/~hanson/math210/nabla98symbols.html |titre=History of Nabla and Other Math Symbols |site=le blog homepages.math.uic.edu |consulté le=02/5/2023}}.</ref>. Hamilton a réécrit la [[mécanique newtonienne]], maintenant appelée [[mécanique hamiltonienne]]. Ce travail s'est avéré central pour l'étude moderne des théories classiques des champs telles que l'[[électromagnétisme]]. Cela était également important pour le développement de la [[mécanique quantique]]<ref group="note">Voir [[Opérateur hamiltonien]].</ref>. En mathématiques, il est peut-être mieux connu comme l'inventeur de la notation des [[quaternion]]s<ref group="note">C'est-à-dire, [[quaternion|<math>i^2=j^2=k^2=ijk=-1</math>]]</ref> et des [[biquaternion]]s. Hamilton a également introduit le mot « [[tenseur]] » en 1846<ref>{{article |langue=en |prénom=William Rowan |nom=Hamilton |titre=On some Extensions of Quaternions |lire en ligne= http://www.emis.de/classics/Hamilton/ExtQuat.pdf |périodique= Philosophical Magazine |année=1854-1855 |pages=492-499, 125-137, 261-269, 46-51, 280–290 |éditeur=David R. Wilkins |numéro=7–9 |issn=0302-7597}}.</ref>{{,}}<ref group="note">Bien que son utilisation décrive quelque chose de différent de ce que l'on entend maintenant par un tenseur. À savoir, la [[norme (mathématiques)|norme]] dans un certain type de système algébrique (maintenant connu sous le nom d'[[algèbre de Clifford]]).</ref>. [[James Cockle]] développe la [[tessarine]]<ref group="note">C'est-à-dire<br /><math>t = w + x i + y j + z k, \quad w, x, y, z \in \mathbb{R}</math><br />où <br /><math> je j = j je = k, \quad i^2 = -1, \quad j^2 = +1.</math></ref> et, en 1849, les [[coquaternion]]s. En 1848, [[James Joseph Sylvester]] introduit dans l'[[Théorie des matrices|algèbre matricielle]] le terme [[Matrice (mathématiques)|matrice]]<ref group="note">Dérivé de ''Matrix'', le mot latin pour "utérus".</ref>.

==== Maxwell, Clifford et notations de Ricci ====
[[Fichier:James Clerk Maxwell.png|vignette|upright|[[James Clerk Maxwell]].]]

La réalisation la plus importante de Maxwell a été de formuler un [[équations de Maxwell|ensemble d'équations]] qui réunissait des observations, des expériences et des équations auparavant sans rapport avec l'[[électricité]], le [[magnétisme]] et l'[[optique]] en une théorie cohérente<ref>{{lien web |langue=en |titre=James Clerk Maxwell |url= http://www.ieeeghn.org/wiki/index.php/James_Clerk_Maxwell |consulté le=25 mars 2013 |site=IEEE Global History Network }}.</ref>.

En 1864, [[James Clerk Maxwell]] a réduit toutes les connaissances alors actuelles sur l'électromagnétisme en un ensemble lié d'[[équation différentielle|équations différentielles]] avec 20 équations de 20 variables, contenues dans ''{{lien|trad=A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field}}''<ref name="ADTEF">{{article |doi=10.1098/rstl.1865.0008 |auteur= [[James Clerk Maxwell]]  |langue=en |titre=A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field  |périodique= Philosophical Transactions of the Royal Society of London |volume=155 |pages=459–512 |année=1865 |bibcode =1865RSPT..155..459C|s2cid=186207827 }}.{{Commentaire biblio|Cet article accompagnait une présentation du 8 décembre 1864 par Maxwell à la Royal Society.}}</ref>. La méthode de calcul qu'il est nécessaire d'employer a été donnée par Lagrange, et ensuite développée, avec quelques modifications, par les [[Équations de Hamilton-Jacobi|équations de Hamilton]]. Il est généralement appelé [[principe variationnel|principe de Hamilton]] ; lorsque les équations sous leur forme originale sont utilisées, elles sont appelées [[équations de Lagrange]]. En 1871, [[Richard Dedekind]] a appelé un ensemble de nombres réels ou complexes fermé par les quatre opérations arithmétiques un [[champ (mathématiques)|champ]]. En 1873, Maxwell présente ''{{lien |trad=A Treatise on Electricity and Magnetism}}''.

En 1878, [[William Kingdon Clifford]] a publié ''{{lien |trad=Elements of Dynamic}}''<ref>{{Internet Archive|elementsofdynami01clifiala|Livres I, II, III (1878)}} ; {{Internet Archive|elementsofdynami02clifiala|Livre IV (1887)}}.</ref>. Clifford a développé les [[Nombre hypercomplexe|split-biquaternion]]s<ref group="note">C'est-à-dire, [[Nombre hypercomplexe|<math>q = w + xi + yj + zk </math>]]</ref>, qu'il a appelé ''moteurs algébriques''. Clifford a évité l'étude des quaternions en séparant le [[produit scalaire]] et le [[produit vectoriel]] de deux vecteurs de la notation complète des quaternions<ref group="note">Clifford a réuni l'algèbre avec les quaternions de Hamilton en remplaçant la règle de [[Hermann Günther Grassmann|Hermann Grassmann]] ''e<sub>p</sub>e<sub>p</sub>'' = 0 par la règle ''e<sub>p</sub>e<sub>p</sub>'' = 1. Pour plus de détails, voir [[algèbre extérieure]].</ref>. Cette approche a rendu le [[Analyse vectorielle|calcul vectoriel]] disponible pour les ingénieurs et autres personnes travaillant en [[trois dimensions]] et sceptique de l'[[Phase (onde)|effet lead–lag]]<ref group="note">Voir : [[Phaseur]], [[Groupe (mathématiques)]], [[Propagation des ondes]], [[Vitesse d'une onde]] [[Phase (électricité)]], [[oscillateur harmonique]] et [[Circuit RLC]]</ref> dans la [[espace à quatre dimensions|quatrième dimension]]<ref group="note">Ou le concept d'un quatrième dimension spatiale. Voir aussi : [[espace-temps]], l'unification du temps et de l'espace en tant que [[Espace-temps|continuum à quatre dimensions]] ; et, [[espace de Minkowski]], le cadre mathématique de la relativité restreinte.</ref>. Les {{Lien|trad=Vector notation|fr=notation vectorielle |texte=notations vectorielles}} courantes sont utilisées lorsque l'on travaille avec des vecteurs qui sont spatiaux ou plus abstraits membres de [[espace vectoriel]]s, tandis que la {{Lien|trad=Vector notation|fr=Notation d'angle|texte=notation d'angle}} (ou notation [[phaseur]]) est une notation utilisée en [[électronique (technique)|électronique]].

En 1881, [[Leopold Kronecker]] a défini ce qu'il a appelé un « domaine de rationalité », qui est une [[extension de corps]] de l'ensemble des [[nombre rationnel|nombres rationnels]] en termes modernes<ref>{{ouvrage |langue=en |titre=Galois Theory |volume=106 | collection=Pure and Applied Mathematics |prénom=David A. |nom=Cox |numéro d'édition=2 | éditeur=John Wiley & Sons |lieu=Hoboken, NJ  |année=2012 |isbn=978-1118218426 |passage=348 |oclc=784952441 }}.</ref>. En 1882, [[Husseïn Tevfik Pacha]] a écrit le livre intitulé ''Linear Algebra''<ref>{{ouvrage |auteur= Hussein Tevfik (Pacha.) |langue=en |titre=Linear Algebra |année=1882 |lire en ligne={{Google Livres|id=Du0GAAAAYAAJ|couv=1}} |oclc= 493424867 |éditeur= A. H. Boyajian |lieu= Constantinople}}.</ref>. La [[théorie atomique]] de l'[[éther (physique)|éther]] de [[William Thomson (Lord Kelvin)|Lord Kelvin]] (années 1860) a conduit [[Peter Guthrie Tait]], en 1885, à publier une table [[topologie|topologique]] de nœuds avec jusqu'à dix croisements connue sous le nom de [[Conjecture de Tait|conjectures de Tait]]. En 1893, [[Heinrich Weber (mathématicien)|Heinrich M. Weber]] donna la définition claire d'un [[Corps fini|corps abstrait]]<ref group="note">Voir aussi : [[Corps commutatif]] et [[extension de corps]]</ref>. Le [[calcul tensoriel]] a été développé par [[Gregorio Ricci-Curbastro]] entre 1887 et 1896, présenté en 1892 sous le titre ''calcul différentiel absolu''<ref>{{article|prénom=G. |nom=Ricci Curbastro |titre=Résumé de quelques travaux sur les systèmes variables de fonctions associés à une forme différentielle quadratique |journal=Bulletin des Sciences Mathématiques |volume=2 |pages=167–189 |année=1892 |numéro=16}}.</ref>, et l'usage contemporain de « tenseur » a été énoncé par [[Woldemar Voigt]] en 1898<ref>{{ouvrage |prénom=Woldemar |nom=Voigt |langue=de |titre=Die fundamentalen physikalischen Eigenschaften der Krystalle in elementarer Darstellung |lire en ligne={{Google Livres|id=_Ps4AAAAMAAJ}}  |éditeur=Von Veit |lieu=Leipzig |année=1898 |oclc=3196683 }}.</ref>. En 1895, [[Henri Poincaré]] publie ''[[Analysis Situs]]''<ref>{{article |langue=en |auteur=Henri Poincaré |titre=Analysis situs |périodique=Journal de l'École Polytechnique |série=2 |volume=1 |année=1895 |pages=1–123}}.</ref>. En 1897, [[Charles Proteus Steinmetz]] publiera ''Théorie et calcul des phénomènes de courant alternatif''<ref>{{ouvrage |langue=en |titre= Theory and calculation of alternating current phenomena |année première édition=1895 |année=1900 |numéro d'édition= 3 |auteur= Charles Proteus Steinmetz |traduction titre= Théorie et calcul des phénomènes de courant alternatif |présentation en ligne= https://openlibrary.org/books/OL7218906M/Theory_and_calculation_of_alternating_current_phenomena }}</ref>, avec l'aide d'Ernst J. Berg<ref>{{article|nom=Whitehead|prénom=John B. |postnom= Jr.|titre=Review: ''Alternating Current Phenomena'', by C. P. Steinmetz|journal=Bull. Amer. Math. Soc.|année=1901|volume=7|numéro=9|pages=399–408|url=https://www.ams.org/journals/bull/1901-07-09/S0002-9904-1901-00825-7/S0002-9904-1901-00825-7.pdf|doi=10.1090/s0002-9904-1901-00825-7}}.</ref>.

==== Des formules mathématiques aux tenseurs ====
{{citation bloc|1=The above proposition is occasionally useful.|2=Bertrand Russell
(commentaire après la preuve de l'égalité 1+1=2, complété dans ''Principia mathematica'', par Alfred North Whitehead et Bertrand Russell. Volume II, 1st edition (1912))}}
En 1895 [[Giuseppe Peano]] publie son ''[[Formulaire de mathématiques|Formulario Mathematico]]''<ref>
Parmi les nombreuses éditions, on en considère deux :
* {{fr}} {{ouvrage |auteur= Giuseppe Peano |titre=Formulaire des mathématiques |année= 1901 |éditeur= Gauthier-Villars |lieu= Paris |pages totales=  230  |présentation en ligne=  https://openlibrary.org/works/OL15255022W/Formulaire_des_mathematiques |lire en ligne= https://archive.org/details/formulairedesmat00pean }}
* {{ouvrage |auteur= Giuseppe Peano |langue=it |titre=Formulario mathematico |année= 1960 |éditeur= Edizione cremonese |lieu= Rome |pages totales= 463 |présentation en ligne=https://openlibrary.org/books/OL16587658M/Formulario_mathematico.}}.</ref>, un effort pour résumer les mathématiques dans un texte concis basé sur des symboles spéciaux. Il fournit la définition d'un [[espace vectoriel]] et d'une [[application linéaire]]. Il introduit également le [[Intersection (mathématiques)|signe d'intersection]], le [[Union (mathématiques)|signe d'union]], le [[Inclusion (mathématiques)|signe d'inclusion]] (est un élément de) et le [[quantification existentielle|quantificateur existentiel]] (il existe)<ref group="note">Cela soulève des questions sur le [[théorème d'existence|théorèmes d'existence pure]].</ref>. Peano transmettra à [[Bertrand Russell]] son travail en 1900 lors d'une conférence à Paris ; cela a tellement impressionné Russell que celui-ci aussi a été pris par la volonté de rendre les mathématiques de manière plus concise. Le résultat fut ''[[Principia Mathematica]]'' écrit avec [[Alfred North Whitehead]]. Ce traité marque un tournant dans la littérature moderne où le symbole est devenu dominant. Le cinquième est apparu en 1908 et comprenait {{Nombre|4200 formules}} et théorèmes.

[[Gregorio Ricci-Curbastro]] et [[Tullio Levi-Civita]] ont popularisé la [[Tenseur de Ricci|notation tensorielle]] vers 1900<ref>{{article |titre=Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications |auteur1= Gregorio Ricci-Curbastro |auteur2= Tullio Levi-Civita |périodique= Mathematische Annalen |éditeur=Springer|volume=54|numéro=1–2|date=March 1900|pages=125–201|doi=10.1007/BF01454201|s2cid=120009332 |lire en ligne= https://zenodo.org/record/1428270 }}.</ref>.

=== Logique mathématique et abstraction ===
{|align=right
|-
! style="color:#black; background:#f8eaba; font-size:100%; text-align:center;" colspan="2"|Abstraction
|-
|<gallery>
file:Felix_Klein.jpeg| Felix Klein
file:Georg Cantor2.jpg| Georg Cantor
</gallery>
|}

Au début de cette période, le [[programme d'Erlangen]] de [[Felix Klein]] a identifié le thème sous-jacent de diverses géométries, définissant chacune d'elles comme l'étude des [[Invariant|propriétés invariantes]] sous un groupe donné de [[symétrie]]s. Ce niveau d'abstraction a révélé des liens entre la géométrie et l'[[Algèbre générale|algèbre abstraite]]. [[Georg Cantor]], inventeur de la [[théorie des ensembles]], introduira le [[Aleph (lettre)|nombre aleph]] pour les [[nombre cardinal|cardinaux]] d'ensembles transfinis<ref group="note">''L'arithmétique transfinie'' est la généralisation de l'[[arithmétique élémentaire]] à l'[[infini]] des quantités comme les [[ensembles infinis]] ; Voir [[Nombre transfini]], [[Induction transfinie]] et {{lien|trad=Transfinite interpolation|fr=Interpolation transfinie|texte=interpolation transfinie}}. Voir aussi [[Opérations arithmétiques sur les ordinaux]].</ref>. Sa notation pour les nombres cardinaux était la lettre hébraïque <math>\aleph</math> ([[Aleph (nombre)|aleph]]) avec un entier naturel en indice ; pour les ordinaux, il emploie la lettre grecque ω ([[oméga]]). Cette notation est encore utilisée aujourd'hui dans la {{lien|trad=Ordinal notation|fr=notation ordinale}} d'une séquence finie de symboles d'un alphabet fini qui nomme un [[nombre ordinal]] selon un schéma qui donne un sens à la langue. Sa [[théorème de Cantor|théorie]] a provoqué une {{lien|trad=Controversy over Cantor's theory|fr=Controverse sur la théorie de Cantor|texte=grande controverse}}. Cantor, dans son étude des [[séries de Fourier]], considère des ensembles de points dans l'[[espace euclidien]].

Après le tournant du {{s-|XX}}, [[Willard Gibbs|Josiah Willard Gibbs]] introduit en [[chimie physique]] le [[point médian]] pour le [[produit scalaire]] et la [[croix de multiplication]] pour le [[produit vectoriel]]. Il fournira également une notation pour les produits scalaires et vectoriels, qui a été introduite dans ''Analyse vectorielle''. En 1904, [[Ernst Zermelo]] promeut l'[[axiome du choix]] et sa preuve du [[Théorème de Zermelo|théorème du bon ordre]]<ref name="Zermelo, 1904">{{article |prénom=Ernst |nom=Zermelo |année=1904 <!-- lien brisé |lire en ligne= http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/en/dms/load/img/?IDDOC=28526 |format=reprint --> |langue=de |titre= Beweis, dass jede Menge wohlgeordnet werden kann |périodique= Mathematische Annalen |volume=59 |numéro= 4 |pages=514–16 |doi=10.1007/BF01445300 |s2cid=124189935}}.</ref>. Bertrand Russell introduira peu après la [[disjonction logique]] ([[Disjonction logique|OU]]) en 1906. La même année, [[Henri Poincaré]] publiera ''Sur la dynamique de l’électron''<ref>{{Wikisource |lien=Sur_la_dynamique_de_l’électron |titre= Sur la dynamique de l’électron }}</ref> et [[René Maurice Fréchet]] introduit l'[[espace métrique]]<ref>{{ouvrage |auteur=Maurice Fréchet |titre= Sur quelques points du calcul fonctionnel |nature ouvrage=thèse de doctorat |éditeur= [[École normale supérieure (Paris)|École normale supérieure]] |lieu=Paris  |année= 1906}}</ref>. Plus tard, [[Gerhard Kowalewski]] et {{Lien|trad=Cuthbert Edmund Cullis}}<ref>{{ouvrage |langue=en
|auteur1= {{lien|trad=Cuthbert Edmund Cullis}}
|titre=Matrices and determinoids
|volume=2
|date=March 2013
|éditeur=Cambridge University Press
|isbn=9781107620834}}.</ref>{{,}}<ref>{{ouvrage |présentation en ligne= {{Google Livres |id=Sp0KAAAAYAAJ}} |langue=de |titre= Über eine Klasse von Matrizen, die sich einer gegebenen Matrix zuordnen lassen |auteur= [[Issai Schur]] |année=1901 |éditeur=Université Harvard |pages totales=74 |traduction titre= Sur une classe de matrices à laquelle peut appartenir une matrice donnée }}</ref>{{,}}<ref>{{ouvrage |lire en ligne= https://archive.org/details/anintroductiont01cajogoog |langue=en |titre= An Introduction To The Modern Theory Of Equations |auteur=Florian Cajori |année=1904 |lieu= New York, Londres |éditeur= The Macmillan company}}.</ref> vont introduire avec succès les notations matricielles, respectivement avec parenthèses et avec crochets. Après 1907, des mathématiciens tels que [[Max Dehn]], [[James Waddell Alexander II|J. W. Alexander]], étudient les nœuds du point de vue du groupe de nœuds et les invariants par la [[Homologie (mathématiques)|théorie de l'homologie]], comme le [[polynôme d'Alexander]]. En 1908, les théorèmes de structure de [[Joseph Wedderburn]] ont été formulés pour les algèbres sur un [[Corps (mathématiques)|corps]] de dimension finie. Toujours en 1908, [[Ernst Zermelo]] proposa la propriété « définie » et la première [[théorie des ensembles|théorie axiomatique des ensembles]], la [[théorie des ensembles de Zermelo]]. En 1910, [[Ernst Steinitz]] a publié l'article influent ''{{lang|de|Algebraische Theorie der Körper}}'' (''Théorie algébrique des corps'')<ref group="note">Dans cet article Steinitz a étudié axiomatiquement les propriétés des corps et a défini de nombreux concepts théoriques de corps importants comme le [[Caractéristique d'un anneau#Propriétés sur les corps|corps premier]], le [[corps parfait]] et le [[degré de transcendance]] d'une [[extension de corps]].</ref>. En 1911, Steinmetz publiera [[iarchive:theoryandcalcul12steigoog|''Theory and Calculation of Transient Electric Phenomena and Oscillations'']].

[[Fichier:Einstein 1921 by F Schmutzer - restoration.jpg|vignette|upright|Albert Einstein en 1921.]]
[[Albert Einstein]], en 1916, introduit la [[Convention de sommation d'Einstein|notation d'Einstein]]<ref group="note">Les indices parcourent l{{'}}[[Ensemble (mathématiques)|ensemble]] {{math|{1, 2, 3}},
:<math> y = \sum_{i=1}^3 c_i x^i = c_1 x^1 + c_2 x^2 + c_3 x^3 </math>
se réduit en :
:<math> y = c_i x^i \,.</math>
Les indices hauts ne sont pas ici des [[Exponentiation|exposants]] mais des indices de coordonnées, [[coefficient]]s ou [[vecteur de base]].<br />
Voir aussi : [[Tenseur de Ricci]]</ref> qui réduit l'écriture d'une somme sur un ensemble de termes indicés dans une formule. [[Arnold Sommerfeld]] crée le signe de l'[[intégrale curviligne|intégrale de contour]] en 1917. La même année, [[Dmitry Mirimanoff]] propose l'[[axiome de régularité]]. In 1919, [[Theodor Kaluza]] résout les équations de la [[relativité générale]] en utilisant {{lien|trad=Five-dimensional space|fr=Espace à cinq dimensions|texte=cinq dimensions}}, les résultats faisant émerger les équations électromagnétiques<ref>Proceedings of the Prussian Academy of Sciences (1918). Pg 966.</ref>{{référence à confirmer|date=mai 2023}}.

Cela sera publié en 1921 dans ''{{lang|de|Zum Unitätsproblem der Physik}}''<ref>{{ouvrage |lire en ligne= https://archive.org/details/sitzungsberichte1921preussi |langue=de |titre= Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften  |année=1918 |traduction titre= Actes de l'Académie prussienne des sciences }}</ref>{{,}}<ref>[[Théorie de Kaluza-Klein]]</ref>. En 1922, [[Abraham Adolf Fraenkel|Abraham Fraenkel]] et [[Thoralf Skolem]] ont proposé indépendamment de remplacer le [[Schéma d'axiomes de compréhension]] par le [[schéma d'axiomes de remplacement]]. Toujours en 1922, la [[théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel]] a été développée. En 1923, Steinmetz publiera ''Four Lectures on Relativity and Space''<ref>{{ouvrage |langue=en |titre=Four lectures on relativity and space |auteur= Charles Proteus Steinmetz |année=1923 |lieu= New York |éditeur= McGraw-Hill |lire en ligne= https://archive.org/details/fourlecturesonre00stei }}.</ref>. Vers 1924, [[Jan Arnoldus Schouten]] développera la notation et le formalisme moderne pour le cadre du [[tenseur de Ricci]] lors des applications du calcul différentiel absolu à la [[relativité générale]] et à la [[géométrie différentielle]] au début du {{s-|XX}}<ref group="note">La théorie du [[tenseur de Ricci]] pose les règles de notation indicielle et de manipulation pour les [[tenseur]]s et [[Champ tensoriel|Champs tensoriels]]. {{Commentaire biblio|Voir aussi : {{ouvrage |auteur1=J. L. Synge |auteur2= A. Schild  |langue=en |titre=Tensor Calculus |éditeur=first Dover Publications |année= 1978 |année première édition= 1949 |passage= 6-108}}.}}</ref>{{,}}<ref>{{ouvrage |lire en ligne= https://archive.org/details/gravitation00misn_003/page/n109 |passage=85–86  §3.5 |auteur1=J.A. Wheeler |auteur2=C. Misner |auteur3=K.S. Thorne |langue=en |éditeur=W.H. Freeman & Co| année=1973 | isbn=0-7167-0344-0 |titre=[[Gravitation (livre)|Gravitation]] }}.</ref>{{,}}<ref>{{ouvrage |auteur=R. Penrose |langue=en |titre=The Road to Reality |éditeur= Vintage books| année=2007 |année première édition= 2004 | isbn=978-0-679-77631-4| traduction titre=[[À la découverte des lois de l'univers : La prodigieuse histoire des mathématiques et de la physique]] }}.</ref>{{,}}<ref>{{ouvrage |nom=Schouten|prénom=Jan A. |langue=de |titre=Der Ricci-Kalkül |traduction titre=Le calcul de Ricci  |année=1924 |collection=Grundlehren der mathematischen Wissenschaften |numéro dans collection=10 |éditeur= R. Courant, Springer Verlag |lieu=Berlin |lire en ligne= http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN373339186 }}.</ref>. En 1925, [[Enrico Fermi]] décrit un [[Statistique de Fermi-Dirac|système régissant plusieurs particules identiques qui obéissent au principe d'exclusion de Pauli]], développant par la suite l'[[équation de diffusion]]. En 1926, [[Oskar Klein]] développe la [[Théorie de Kaluza-Klein|théorie de Kaluza–Klein]]. En 1928, [[Emil Artin]] résume la [[théorie des anneaux]] avec les [[Anneau artinien|anneaux artiniens]]. En 1933, [[Andreï Kolmogorov]] introduit les ''[[Axiomes des probabilités|Axiomes de Kolmogorov]]''. En 1937, [[Bruno de Finetti]] déduit sa conception {{Citation|{{lien|trad=Coherence (philosophical gambling strategy)|fr=Cohérence (théorie des jeux)|texte=opérationnelle subjective}}}}.

==== Symbolisme mathématique ====
{{Article connexe|Théorie des catégories|Théorie des modèles}}

L'abstraction mathématique a commencé comme un processus d'extraction de l'[[Essence (philosophie)|essence]] sous-jacente d'un concept mathématique<ref>{{ouvrage |langue=en |auteur=Robert B. Ash |titre=A Primer of Abstract Mathematics |éditeur=Cambridge University Press |date=1er janvier 1998 |lire en ligne=http://www.ams.org/books/clrm/007/clrm007-endmatter.pdf}}.</ref>{{,}}<ref>{{ouvrage |langue=en |auteur=J.A. Hill |titre=The New American Encyclopedic Dictionary |éditeur=Edward Thomas Roe, Le Roy Hooker, Thomas W. Handford |lire en ligne= {{Google Livres |id=KhQLAQAAMAAJ |page=34 }} |passage=34}}.</ref>, supprimant toute dépendance vis-à-vis des objets du monde réel avec lesquels il aurait pu être connecté à l'origine<ref>{{ouvrage |langue=en |auteur1=Sir Isaac Newton |auteur2=John Machin |titre=The Mathematical Principles of Natural Philosophy |volume=1}}.</ref>, et en le généralisant afin qu'il ait des applications plus larges ou qu'il corresponde à d'autres descriptions abstraites de [[phénomènes]] équivalents. Deux domaines abstraits des mathématiques modernes sont la [[théorie des catégories]] et la [[théorie des modèles]]. Bertrand Russell, disait : {{citation|Le langage ordinaire est totalement inadapté pour exprimer ce que la physique affirme réellement, puisque les mots de la vie quotidienne ne sont pas suffisamment abstraits. Seules les mathématiques et la logique mathématique peut en dire aussi peu que le physicien veut dire.}}<ref>{{ouvrage |auteur=Bertrand Russel |langue=en |titre= The Scientific Outlook |année=1931 |éditeur= G. Allen and Unwin |lieu=Londres |oclc=491031572}}.</ref> Cependant, on peut substituer les mathématiques aux objets du monde réel, et errer à travers équation après équation, et peut construire une structure de concept qui n'a aucun rapport avec la réalité<ref>{{ouvrage |langue=en |titre=Mathematics simplified and made attractive: or, The laws of motion explained |auteur=Thomas Fisher |passage=15}} :
{{Citation étrangère bloc|langue=en|But an abstraction not founded upon, and not consonant with Nature and ''(Logical)'' Truth, would be a falsity, an insanity.}}
{{Citation bloc|Mais une abstraction non fondée sur, et non conforme à la Nature et à la Vérité (Logique), serait une fausseté, une folie.}}</ref>.

La [[logique mathématique|logique symbolique]] étudie les propriétés purement formelles des chaînes de symboles. L'intérêt pour ce domaine provient de deux sources. Premièrement, la notation utilisée dans la logique symbolique peut être considérée comme représentant les mots utilisés dans la [[logique philosophique]]. Deuxièmement, les règles de manipulation des symboles trouvées dans la logique symbolique peuvent être implémentées sur un [[ordinateur|machine informatique]]. La logique symbolique est généralement divisée en deux sous-domaines, la [[Calcul des propositions|logique propositionnelle]] et la [[Calcul des prédicats|logique des prédicats]]. D'autres logiques intéressantes incluent la [[logique temporelle]], la [[logique modale]] et la [[logique floue]]. Le domaine de la logique symbolique appelée [[Calcul des propositions|logique propositionnelle]], aussi appelée ''calcul propositionnel'', étudie les propriétés des phrases formées à partir de [[Interprétation (logique)|constantes]]<ref group="note">Ici une ''constante logique'' est un symbole en logique symbolique qui a la même signification dans tous les modèles, comme le symbole « = » pour « égal ».<br />Une ''constante'', dans un contexte mathématique, est un [[Table de constantes mathématiques|nombre qui apparaît naturellement en mathématiques]], tel que {{mathPi}} ou {{math|e}} ; Une telle [[Table de constantes mathématiques|constante mathématique]] ne change pas. Cela peut signifier le [[coefficient constant]] d'un polynôme (le terme de degré 0) ou la {{lien|trad=Constant of integration|fr=constante d'intégration|texte=constante d'intégration}}, un paramètre libre apparaissant dans l'intégration.<br /> En relation, les [[Constante physique|constantes physiques]] sont une physique quantité généralement considérée comme universelle et immuable. Les [[Constante (programmation informatique)|constantes de programmation]] sont des valeurs qui, contrairement à une variable, ne peuvent pas être réassociées à une valeur différente.</ref> et les [[Connecteur logique|opérateurs logiques]]. Les opérations logiques correspondantes sont respectivement appelées [[conjonction logique|conjonction]], [[disjonction logique|disjonction]], [[Implication (logique)|implication]], {{lien|trad=Logical biconditional|fr=bicondition|texte=bicondition}} et [[négation logique|négation]]. Ces opérateurs sont désignés par [[Mot clé|mots-clés]]<ref group="note">Bien qu'il ne s'agisse pas d'un [[Indexation matière|terme d'indexation]], les mots-clés sont des termes qui représentent des informations. Un mot-clé est un mot avec une signification particulière (c'est une définition sémantique), alors que syntaxiquement ce sont des [[Symboles terminaux et non terminaux|symboles terminaux]] dans la grammaire de la phrase.</ref> et par notation symbolique.

Certaines des notations logiques mathématiques introduites à cette époque comprennent l'ensemble de symboles utilisés dans l'[[Algèbre de Boole (logique)|algèbre booléenne]]. Cela a été créé par [[George Boole]] en 1854. Boole lui-même ne considérait pas la logique comme une branche des mathématiques, mais elle en est venue à être englobée de toute façon. Les symboles trouvés dans l'algèbre booléenne incluent <math>\land</math> (ET), <math>\lor</math> (OU) et <math>\lnot</math> (NON). Avec ces symboles et des lettres pour représenter différentes [[vérité]]s, on peut faire des déclarations logiques telles que <math>a\lor\lnot a=1</math>, c'est-à-dire « (''a'' est vrai OU ''a'' est ''pas'' vrai) est vrai », ce qui signifie qu'il est vrai que ''a'' est soit vrai soit faux (c'est-à-dire faux). L'algèbre booléenne a de nombreuses utilisations pratiques telles quelles, mais c'était aussi le début de ce qui serait un grand ensemble de symboles à utiliser en logique<ref group="note">La plupart de ces symboles peuvent être trouvés dans le [[calcul des propositions]], un [[système formel]] décrit comme <math>\mathcal{L} = \mathcal{L}\ (\Alpha,\ \Omega,\ \Zeta,\ \Iota)</math>. <math>\Alpha</math> est l'ensemble des éléments, comme le ''a'' dans l'exemple avec l'algèbre booléenne ci-dessus. <math>\Omega</math> est l'ensemble qui contient les sous-ensembles qui contiennent des opérations, telles que <math>\lor</math> ou <math>\land</math>. <math>\Zeta</math> contient les [[règle d'inférence|règles d'inférence]], qui sont les règles dictant comment les inférences peuvent être logiquement faites, et <math>\Iota</math> contient les [[axiome]]s. Voir aussi : [[calcul des propositions#Formes normales conjonctives, formes normales disjonctives|Formes normales conjonctives, formes normales disjonctives]].</ref>{{référence à confirmer}}. La logique des prédicats, appelée à l'origine ''calcul des prédicats'', étend la logique propositionnelle par l'introduction de [[Variable (mathématiques)|variables]]<ref group="note">Usuellement notés par ''x'', ''y'', ''z'', ou toute autre lettre minuscule. Ici un symbole qui représente une quantité dans une expression mathématique, une [[Variable (mathématiques)|variable mathématique]] telle qu'utilisée de plusieurs sciences.<br />
Des variables peuvent être des noms symboliques associées à une valeur, et celles-ci peuvent être changées ; c'est ce qu'on appelle une [[Variable (informatique)|variable référence]]. Une ''variable'' peut aussi être le moyen [[Opérationnisme|opérationalisée]] dans lequel l'attribut est représenté pour du [[traitement de données]] (e.g., un ensemble logique d'attributs). Voir aussi : {{lien|trad=Dependent and independent variables|fr=Variables dépendantes et indépendantes}} en statistiques.</ref> et par des sentences contenant des variables, ce qu'on appelle des [[prédicat (logique mathématique)|prédicats]], habituellement noté par une lettre majuscule suivi d'une liste de variables, comme P(''x'') or Q(''y'', ''z''). Ici un prédicat logique mathématique, un concept fondamental en logique du premier ordre. Les prédicats grammaticaux sont les composants grammaticaux d'une phrase.

De plus, la logique des prédicats permet l'utilisation de [[Quantificateur (logique)|quantificateurs]] représentant TOUT et IL EXISTE. Avec ces [[Symbole (logique)|symboles logiques]] et des quantificateurs supplémentaires de la logique des prédicats<ref group="note">par ex. ∃ pour « il existe » et ∀ pour « pour tout »</ref>, des [[Démonstration (logique et mathématiques)|preuves]] [[Validité (logique)|valides]] [[Théorie de l'argumentation#Argumentation mathématique|peuvent être faites]] qui sont [[Absurde|irrationnellement artificiel]]<ref group="note">Voir aussi : [[Dialethéisme]], [[Contradiction]], et [[Paradoxe]]</ref>, mais syntaxiquement correctes<ref group="note">{{pas clair|Voir [[dictionary:facetious|facetious]] [[abstract nonsense]] décrit certains types d'arguments et de méthodes liés à la théorie des catégories qui ressemble à comique [[Non séquentiel (dispositif littéraire)|dispositifs non séquentiels littéraires]] (pas [[Non sequitur (logique)|illogical non-sequiturs]])}}.</ref>.

==== Notation de l'incomplétude de Gödel ====
{{Article connexe|Théorèmes d'incomplétude de Gödel}}

{{Citation bloc|À toute classe récursive [[Théorie oméga-cohérente|ω-cohérente]] κ de ''formules'' correspondent des ''signes de classe r'' récursifs, tels que ni ''v'' Gen ''r'' ni Neg (''v'' Gen ''r'') n'appartient à Flg (κ) (où ''v'' est la ''variable libre'' de ''r'').| Kurt Gödel<ref>Traduction de la ''Proposition VI'', dans l'article {{article |langue=de |auteur=Kurt Gödel |titre= {{Lien|langue=en|trad=On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems|fr=Sur les propositions formellement indécidables des Principia Mathematica et des systèmes apparentés|texte=Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme}} |année=1931 |périodique=[[Monatshefte für Mathematik]]}}</ref>}}
Alors qu'il démontrait ses [[Théorèmes d'incomplétude de Gödel|théorèmes d'incomplétude]]<ref group="note">Les [[Théorèmes d'incomplétude de Gödel]] montrent que le [[programme de Hilbert]] pour trouver un ensemble d'axiomes complet et cohérent pour toutes les mathématiques est impossible, donnant une réponse négaitve au [[Problèmes de Hilbert#Deuxième problème|deuxième problème de Hilbert]]</ref>, [[Kurt Gödel]] crée une alternative aux symboles normalement utilisés en logiques. Il utilise le [[codage de Gödel]], qui attribue des nombres aux opérations avec des ensembles de nombres, et des variables pour les nombres premiers supérieurs à 10. Avec les nombres de Gödel, les déclarations logiques peuvent être réécrites en une suite de nombres. Gödel pousse ensuite la réflexion, en prenant les ''n'' premiers nombres premiers et les mettant à la puissance des nombres de la suite. Ces nombres sont alors multiplés ensemble pour obtenir le produit final, associant ainsi à chaque déclaration son propre nombre<ref>{{ouvrage |auteur= John L. Casti |langue=en |titre=5 Golden Rules |sous-titre=great theories of 20th-century mathematics and why they matter |lieu= New York |éditeur= MJF Books |année= 1996 |isbn= 9781567317084  |oclc= 58846711 }}</ref>.
;Exemple
:La déclaration « Il existe un nombre ''x'' tel qu'il n'est pas ''y'' ». Par les symboles de l'algèbre propositionnelle, elle devient :
::<math>(\exists x)(x=\lnot y)</math>.
:Avec les nombres de Gödel, elle devient
::<math>\{8, 4, 11, 9, 8, 11, 5, 1, 13, 9\}.</math>
:Il y a dix nombres, donc on prend les dix premiers nombres premiers, soit
::<math>\{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29\}.</math>
:Le nombre de Gödel de la proposition s'obtient en faisant le calcul
::<math>2^8\times3^4\times5^{11}\times7^9\times11^8\times13^{11}\times17^5\times19^1\times23^{13}\times29^9 \approx 3,096262735\times10^{78}.</math>

=== Notations et domaines contemporains ===
==== Notations du début du {{s-|XX}} ====

L'abstraction de la notation est un processus continu et le développement historique de nombreux sujets mathématiques montre une progression du concret à l'abstrait. Diverses {{lien|trad=Set-builder notation|fr=notation d'ensemble|texte=notations d'ensembles}} seraient développées pour les objets fondamentaux {{Citation|[[ensemble]]s}}. Vers 1924, [[David Hilbert]] et [[Richard Courant]] publient {{lien|trad=Methoden der mathematischen Physik}}<ref>{{ouvrage |auteur1=[[David Hilbert]] et [[Richard Courant]]  |langue=de |titre= Methoden der mathematischen Physik |traduction titre=Méthodes de physique mathématique |année=1924 |lieu=Berlin |éditeur= Verlag von Julius Springer}} {{commentaire biblio SRL|2 volumes.}}</ref>. En 1926, [[Oskar Klein]] et [[Walter Gordon]] ont proposé l'[[équation de Klein-Gordon]] pour décrire les particules relativistes<ref group="note">L'équation de Klein-Gordon est :<br /><center><math> \frac {1}{c^2} \frac{\partial^2 }{\partial t^2} \psi - \nabla^2 \psi + \frac {m^2 c^2}{\hbar^2} \psi = 0. </math></center></ref>. La première formulation d'une [[mécanique quantique|théorie quantique]] décrivant l'interaction rayonnement et matière est due à [[Paul Dirac|Paul Adrien Maurice Dirac]], qui, en 1920, a été capable pour la première fois de calculer le coefficient d'émission spontanée d'un [[atome]]<ref name=dirac>{{article | auteur=[[Paul Dirac|P.A.M. Dirac]] |année=1927 |titre=The Quantum Theory of the Emission and Absorption of Radiation |langue=en
 | périodique= [[Proceedings of the Royal Society]] | volume=114 |numéro= 767 | pages=243-265 | doi=10.1098/rspa.1927.0039 | bibcode=1927RSPSA.114..243D  }}.</ref>.

En 1928, l'[[équation de Dirac]], [[Mécanique quantique relativiste|relativiste]], a été formulée par Dirac pour expliquer le comportement de l'[[électron]] en mouvement relativiste<ref group="note">L'équation de Dirac dans le forme initialement proposée par Dirac est :<br /><center> <math>\left(\beta mc^2 + \sum_{k = 1}^3 \alpha_k p_k \, c \right) \psi (\mathbf{x},t) = je \hbar \frac{\partial\psi(\mathbf{x},t) }{\partial t} </math></center><br />où, {{math|ψ {{=}} ψ('''x''', ''t'')}} est la [[fonction d'onde]] pour l'[[électron]], {{math|'''x'''}} et {{mvar|t}} sont les coordonnées spatiales et temporelles, {{mvar|m}} est la [[masse au repos]] de l'électron, {{mvar|p}} est l'[[Moment linéaire|impulsion]], comprise comme l'{{lien|trad=Momentum operator|fr=opérateur d'impulsion}} dans l'[[Équation de Schrödinger|théorie de Schrödinger]], {{math|''c''}} est la [[vitesse de la lumière]], et {{math|''ħ'' {{=}} ''h''/2π}} est la [[constante de Planck réduite]].</ref>. Dirac a décrit la quantification du champ électromagnétique comme un ensemble d'[[Oscillateur harmonique|oscillateurs harmoniques]] avec l'introduction du concept d'{{lien|trad=Creation and annihilation operators|fr=opérateur de création et d'annihilation|texte=opérateurs de création et d'annihilation}} de particules. Dans les années suivantes, avec les contributions de [[Wolfgang Pauli]], [[Eugene Wigner]], [[Pascual Jordan]] et [[Werner Heisenberg]], et une formulation élégante de l'électrodynamique quantique due à [[Enrico Fermi]]<ref name=fermi>{{article |auteur= [[Enrico Fermi]] | année=1932 | titre=Quantum Theory of Radiation |langue=en |périodique= [[Reviews of Modern Physics]] |volume=4 |numéro= 1 |pages=87-132 |doi=10.1103/RevModPhys.4.87 |bibcode=1932RvMP....4...87F}}.</ref>, les physiciens en sont venus à croire qu'en principe, il serait possible d'effectuer n'importe quel calcul pour n'importe quel processus physique impliquant des photons et des particules chargées.

En 1931, [[Alexandru Proca]] développe l'[[Action de Proca|équation de Proca]] ([[équation d'Euler-Lagrange]])<ref group="note">Soit<br />
<center><math>\partial_\mu(\partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu)+\left(\frac{mc}{\hbar}\right)^2 A^\nu=0</math></center></ref> pour la théorie vectorielle des [[méson]]s des [[Force nucléaire|forces nucléaires]] et la [[théorie quantique des champs]]. [[John Wheeler|John Archibald Wheeler]] en 1937 développe la [[matrice S]]. Des études de [[Félix Bloch]] avec {{lien|trad=Arnold Nordsieck}}<ref name=bloch>{{article |langue=en  |auteur1= [[Félix Bloch]] |auteur2= {{lien|trad=Arnold Nordsieck}} |année=1937 |titre=Note on the Radiation Field of the Electron |périodique= [[Physical Review]] |volume=52 |numéro= 2 |pages=54-59 |doi=10.1103/PhysRev.52.54 |bibcode=1937PhRv...52...54B}}.</ref> et [[Victor Weisskopf]]<ref name=weisskopf>{{article |langue=en  |lien auteur= [[Victor Weisskopf|Victor F. Weisskopf]] |année=1939 |titre=On the Self-Energy and the Electromagnetic Field of the Electron |périodique= [[Physical Review]] |volume=56 |numéro= 1 |pages=72-85 |doi= 10.1103/PhysRev.56.72 |bibcode=1939PhRv...56...72W }}.</ref>, en 1937 et 1939, ont révélé que de tels calculs n'étaient fiables qu'à un premier ordre de [[théorie de la perturbation (mécanique quantique)|théorie des perturbations]], un problème déjà signalé par [[Robert Oppenheimer]]<ref name=oppenheimer>{{article |langue=en |auteur= [[Robert Oppenheimer]] |année=1930 |titre=Note on the Theory of the Interaction of Field and Matter |périodique= [[Physical Review]] |volume=35 |numéro= 5 |pages=461-477 |doi= 10.1103/PhysRev.35.461 |bibcode= 1930PhRv...35..461O }}.</ref>. Aux ordres supérieurs de la série, des infinis ont émergé, rendant ces calculs dénués de sens et jetant de sérieux doutes sur la cohérence interne de la théorie elle-même. En l'absence de solution à ce problème connue à l'époque, il est apparu qu'une incompatibilité fondamentale existait entre la [[relativité restreinte]] et la [[mécanique quantique]].

Dans les années 1930, le Z majuscule à double frappe pour les ensembles de nombres entiers a été créé par [[Edmund Landau]]. [[Nicolas Bourbaki]] a créé le Q majuscule à double frappe pour les ensembles de nombres rationnels. En 1935, [[Gerhard Gentzen]] fabrique des [[quantificateur universel|quantificateurs universels]]. En 1936, le [[Théorème de Tarski|théorème de non définissabilité]] est énoncé par [[Alfred Tarski]] et prouvé<ref group="note">Le théorème s'applique plus généralement à tout système formel suffisamment fort, montrant que la vérité dans le modèle standard de le système ne peut pas être défini dans le système.</ref>. En 1938, [[Kurt Gödel|Gödel]] propose l'[[univers constructible]] dans l'article ''The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum-Hypothesis''<ref>{{Article |auteur1=Kurt Gödel |titre=The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum-Hypothesis |périodique=Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America |volume=24 |numéro=12 |date=01-12-1938 |pages=556 <!-- doublon du paramètre doi |lire en ligne=https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC1077160/ |consulté le=15-04-2023--> |pmid= 16577857 |doi= 10.1073/pnas.24.12.556 }}.</ref>. [[André Weil]] et [[Nicolas Bourbaki]] mettront au point le signe [[ensemble vide]] en 1939. Cette même année, [[Nathan Jacobson]] frappe le C majuscule double pour l'ensemble des [[nombre complexe|nombres complexes]].

Dans les années 1930, la [[notation de Voigt]], du nom de Voigt qui l'a développé en 1898, est mise en point pour l'[[algèbre multilinéaire]] comme un moyen de représenter un [[tenseur symétrique]] en réduisant son ordre. La [[notation Schoenflies]], du nom de [[Arthur Moritz Schoenflies]], est devenue une des deux conventions utilisées pour décrire les [[Groupe ponctuel de symétrie|groupes ponctuels]] (l'autre étant la [[Symboles de Hermann-Mauguin|notation de Hermann-Mauguin]]). À la même période, la [[Symboles de Hermann-Mauguin|notation de van der Waerden]]<ref>{{article |langue=de |titre= Spinoranalyse |nom=Van der Waerden |prénom= B. L. |périodique= Nachr. Ges. Wiss. Göttingen Math.-Phys. |volume=1929 |année=1929 |pages=100-109}}.</ref>{{,}}<ref>{{article |langue=en |titre= Geometry of two-component Spinors |auteur=O. Veblen |périodique= Proc. Natl. Acad. Sci. USA |volume=19 |numéro=4 |année=1933 |pages=462-474 |doi=10.1073/pnas.19.4.462 |pmc=1086023 |bibcode=1933PNAS...19..462V |pmid=16577541}}.</ref> est popularisée pour l'utilisation de [[spineur]]s à deux composantes ({{lien|trad=Weyl spinor|fr=Spineur de Weyl|texte=spineurs de Weyl}}) en quatre dimensions d'espace-temps. [[Arend Heyting]] introduit l'[[algèbre de Heyting]] et l'[[arithmétique de Heyting]].

La flèche horizontale {{math|→}} est utilisée pour les [[fonction (mathématiques)|fonctions]] en 1936 par [[Øystein Ore]] pour désigner les images d'éléments spécifiques<ref group="note">Voir la [[correspondance de Galois]].</ref>{{,}}<ref group="note">Øystein Ore écrit aussi {{ouvrage |lire en ligne={{Google Livres |id=Sl_6BPp7S0AC}} |langue=en |titre=Number Theory and Its History |année=1948 |lieu=New York |éditeur=McGraw-Hill |oclc=1222245278 }}.</ref>. Il écrit pour la première fois en 1940 la forme courante de nos jours, soit {{math|''f'' : ''X'' → ''Y''}}, à travers le travail de [[Witold Hurewicz]]. [[Werner Heisenberg]], en 1941, propose la {{lien|trad=S-matrix theory|fr=théorie de la matrice S}}, d'interactions entre particules.

[[Fichier:P.A.M. Dirac at the blackboard.jpg|vignette|[[Paul Dirac]], décrit ici, apporte des contributions fondamentales pour le développement de la mécanique quantique et l'[[électrodynamique quantique]].]]
La [[notation bra-ket]] (ou notation de Dirac) est une notation standard pour décrire les [[état quantique|états quantiques]], composé de [[crochet (typographie)|crochets]] et de [[Barre verticale|barres verticales]]. Elle est aussi utilisée pour les [[Espace vectoriel|vecteurs]] abstraits et les [[Forme linéaire|formes linéaires]]. Elle est notée ainsi car le [[produit scalaire]] (ou [[produit hermitien]] dans un espace vectoriel complexe) de deux états est notée ⟨bra|ket⟩, soit <math>\langle\phi|\psi\rangle</math>, consistant en une partie gauche, ⟨''φ''|, et une partie droite, |''ψ''⟩. La notation a été introduite en 1939 par [[Paul Dirac]]<ref name=Dirac>{{article |langue=en |auteur=Paul Dirac
|titre=A new notation for quantum mechanics
|périodique=Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society
|année=1939
|volume=35 |numéro=3 |pages=416-418 |doi=10.1017/S0305004100021162 |bibcode=1939PCPS...35..416D |s2cid=121466183
}}
</ref>, même si, {{nobr|100 ans}} auparavant, [[Hermann Günther Grassmann|Hermann Grassmann]] utilisait la notation [''φ''|''ψ''] pour le produit scalaire<ref name=Grassmann>{{ouvrage
|auteur=Hermann Graßmann
|titre=La science de la grandeur extensive : la {{Citation|{{lang|de|texte=Lineale Ausdehnungslehre}}}}
|langue originale= de |titre original= Die lineale Ausdehnungslehre
|éditeur=A. Blanchard |lieu=Paris |année= 1994 |collection=Sciences dans l'histoire
|isbn= 9782853671903  |oclc= 258354683
|année première édition=1844}}.</ref>.

La notation bra-ket est répandue en [[mécanique quantique]] : presque tous les phénomènes expliqués à l'aide de la mécanique quantique, y compris une grande partie de la [[physique moderne]], sont généralement expliqués à l'aide de la notation bra-ket. La notation établit une indépendance de représentation abstraite codée, produisant une représentation spécifique polyvalente (par exemple, ''x'', ou ''p'', ou une base de [[fonction propre|fonctions propres]]) sans trop de contexte, ou un recours excessif à la [[Nature (philosophie)|nature]] des [[espace vectoriel|espaces vectoriels]] impliqués. L'expression de chevauchement ⟨''φ''|''ψ''⟩ est généralement interprétée comme l'[[amplitude de probabilité]] pour l'[[état quantique|état]] ''ψ'' se [[Réduction du paquet d'onde|réduit]] en l'état ''ϕ''. La {{lien|trad=Feynman slash notation|fr=notation de barre oblique de Feynman}} (notation de barre oblique de Dirac<ref>{{Ouvrage |langue=en |auteur=Steven Weinberg
 |année première édition=1964 |titre=The quantum theory of fields  |volume= 2 |éditeur=Cambridge University Press |année= 1995 |isbn=0-521-55001-7 |lire en ligne= {{Google Livres|id=3ws6RJzqisQC|surligne=Dirac|page=358}} |passage=358}}.</ref>) est développée par [[Richard Feynman]] pour l'étude des {{lien|trad=Dirac fields|fr=Champ de Dirac||texte=champs de Dirac}} en [[théorie quantique des champs]].

En 1948, [[Valentine Bargmann]] et [[Eugene Wigner]] proposent les {{lien|trad=Bargmann–Wigner equations|fr=équations de Bargmann-Wigner}} {{lien|trad=Relativistic wave equations|fr=équation d'onde relativiste|texte=relativistes}} pour décrire les {{lien|trad=Free particle|fr=Particule libre|texte=particules libres}} et les équations sont dans la forme de fonctions propres de champs de spineurs à multi-composantes. En 1950, [[William Vallance Douglas Hodge|WIlliam Hodge]] présente ''[[Conjecture de Hodge|The topological invariants of algebraic varieties]]'' dans ''Proceedings of the International Congress of Mathematicians''. Entre 1954 et 1957, [[Eugenio Calabi]] travaille sur la {{lien|trad=Calabi conjecture|fr=conjecture de Calabi}} pour les [[Variété kählérienne|Variétés kählériennes]] et le développement de [[variété de Calabi-Yau|variétés de Calabi-Yau]]. En 1957, [[Tullio Regge]] formule la propriété mathématique de diffraction potentielles dans l'[[équation de Schrödinger]]<ref group="note">Elle dit que l'amplitude de diffraction peut être pensée dans une fonction analytique du moment angulaire, et que la position des pôles déterminent les taux de croissance de l'amplitude dans la région purement mathématique de grandes valeurs du cosinus de l'angle de diffractione.</ref> [[Stanley Mandelstam]], avec Regge, fait le développement initial de la {{lien|trad=Regge theory|fr=théorie de Regge}} de la phénoménologie d'interaction forte. En 1958, [[Murray Gell-Mann]] et [[Richard Feynman]], avec [[George Sudarshan]] et [[Robert Marshak]], déduisent les [[Chiralité|structures chirales]] de l'[[interaction faible]] en physique. [[Geoffrey Chew]], entre autres, promeut la notation matricielles pour l'[[interaction forte]], et le [[Bootstrap (statistiques)|principe bootstrap]] associé, en 1960. Dans les années 1960, la notation {{lien|trad=set-builder notation|fr=constructeur d'ensemble}} a été développé pour décrire un [[ensemble]] en décrivant les propriétés que ses membres doivent satisfaire. Dans la même période, les tenseurs sont abstraits dans la [[théorie des catégories]] aux moyens du concept de la [[catégorie monoïdale]]. Plus tard, la [[Multi-indice|notation multi-indicielle]] élimine des notions conventionnelles utilisées en [[Statistique multivariée|analyse multivariée]], l'étude des [[équation aux dérivées partielles|équations aux dérivées partielles]]s, et la théorie des [[distribution (mathématiques)|distributions]], en étendant le concept d'un indice entier à un [[Uplet|tuple]] ordonné d'indices.

==== Notation mathématique moderne ====
{{Article connexe|Théorie de l'approximation|Propriété universelle|Algèbre tensorielle|Algèbre universelle|Algèbre générale}}
Dans les mathématiques modernes de la [[relativité restreinte]], l'[[électromagnétisme]] et la [[Équation des ondes|théorie des ondes]], l'[[d'alembertien|opérateur d'alembertien]] <math display=inline>\Box</math>, aussi appelé d'Alembertien ou opérateur d'onde, est l'[[opérateur laplacien]] sur un [[espace de Minkowski]]. Le [[symbole de Levi-Civita]] (ou symbole de permutation, symbole antisymétrique ou symbole alternant) est utilisée en [[Tenseur|analyse tensorielle]].

Après les formulations complètes de la [[covariance de Lorentz]] qui étaient finies à tout ordre dans une série de perturbation d'électrodynamique quantique, [[Sin-Itiro Tomonaga]], [[Julian Schwinger]] et [[Richard Feynman]] ont reçu un [[prix Nobel de physique]] commun en 1965<ref name=nobel65>{{lien web |langue=en | titre = The Nobel Prize in Physics 1965 |éditeur= Nobel Foundation |url= http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1965/index.html |consulté le=04/05/2023 }}.</ref>. Leurs contributions, et celles de [[Freeman Dyson]], touchent les formulations d'[[Théorie de jauge|invariance de jauge]] et covariants de jauge d'électrodynamique quantique qui permettent les calculs d'observables à tout ordre de [[Théorie de la perturbation (mécanique quantique)|théorie de la perturbation]]. La technique mathématique de Feynman, basée sur ses [[Diagramme de Feynman|diagrammes]], semble de prime abord très différente de l'approche basée sur les opérateurs pour des champs théoriques, de Schwinger et Tomonaga, mais Dyson montre plus tard que les deux approches sont équivalentes. La [[renormalisation]], le besoin d'attacher un sens physique à certaines divergences apparaissant dans la théorie par des [[intégration (mathématiques)|intégrales]], est devenu par la suite un des aspects fondamentaux de la [[théorie quantique des champs]] et devenu un critère d'acceptabilité générale de la théorie. L'électrodynamique quantique a servi de modèle pour les théories quantiques des champs qui ont suivi. [[Peter Higgs]], [[Jeffrey Goldstone]] et autres, [[Sheldon Glashow]], [[Steven Weinberg (physicien)|Steven Weinberg]] et [[Abdus Salam]] ont montré indépendamment comment la [[Interaction faible|force nucléaire faible]] et l'électrodynamique quantique peuvent être réunis en une unique [[Interaction électrofaible|force électrofaible]]. À la fin des années 1960, le {{lien|trad=particle zoo|fr=zoo de particules}} est composé des [[particule élémentaire|particules élémentaires]] connues alors, avant la découverte des [[quark]]s.

[[Fichier:Standard Model of Elementary Particles.svg|vignette|Modèle standard des particules élémentaires.
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Les [[fermion|fermions fondamentaux]] et les [[Boson|bosons fondamentaux]]. (c.2008)<ref group="note">Notons que les « masses » (e.g., les formes des corps cohérentes non définies) de {{lien vers une page d'homonymie|Particule|particules}} sont périodiquement ''réévaluées'' par la [[communauté scientifique]]. Les valeurs peuvent être ajustées ; l'ajustement par des opérations menées par des instruments afin d'obtenir des indications voulues correspondant aux valeurs données du [[mesurande]]. En ingénierie, mathématiques et géodésie, le {{lien vers une page d'homonymie|Paramètre|paramètre}} optimal d'une telle estimation d'un [[modèle mathématique]] doit approcher au mieux un [[jeu de données]].</ref>.]]

Une avancée vers le [[Modèle standard de la physique des particules|modèle standard]] a été la découverte de [[Sheldon Glashow]], en 1960, d'un moyen de combiner les interactions [[électromagnétisme|électromagnetique]] et [[interaction faible|faible]]<ref>
{{article |langue=en
 | auteur=S.L. Glashow
 | année=1961
 | titre=Partial-symmetries of weak interactions
 | périodique=[[Nuclear Physics (revue)|Nuclear Physics]]
 | volume=22 | numéro=4
 | pages=579-588
 | doi=10.1016/0029-5582(61)90469-2
|bibcode = 1961NucPh..22..579G }}.</ref>. En 1967, [[Steven Weinberg (physicien)|Steven Weinberg]]<ref>
{{article |langue=en
 | auteur=S. Weinberg
 | année=1967
 | titre=A Model of Leptons
 | périodique=[[Physical Review Letters]]
 | volume=19 | numéro=21
 | pages=1264-1266
 | doi=10.1103/PhysRevLett.19.1264
| bibcode=1967PhRvL..19.1264W
}}.</ref> et [[Abdus Salam]]<ref>
{{lien conférence
 | auteur1=A. Salam
 | auteur2=N. Svartholm |responsabilité2=éd.
 | année=1968
 | titre=Elementary Particle Physics: Relativistic Groups and Analyticity |langue=en
 | pages=367
 | conférence= {{8e}} symposium [[Fondation Nobel|Nobel]]
 | éditeur= Almqvist & Wiksell
 | lieu=Stockholm
}}.</ref> ajoute le [[mécanisme de Brout-Englert-Higgs-Hagen-Guralnik-Kibble|mécanisme de Higgs]]<ref>
{{article
 |auteur1=F. Englert |auteur2=R. Brout | année=1964
 | titre=Broken Symmetry and the Mass of Gauge Vector Mesons |langue=en
 | périodique= [[Physical Review Letters]]
 | volume=13 |numéro=9 | pages=321-323
 | doi=10.1103/PhysRevLett.13.321
| bibcode=1964PhRvL..13..321E
| accès doi=libre}}.</ref>{{,}}<ref>
{{article
 | auteur=P.W. Higgs
 | année=1964
 | titre=Broken Symmetries and the Masses of Gauge Bosons |langue=en
 | périodique=[[Physical Review Letters]]
 | volume=13 | numéro=16
 | pages=508-509
 | doi=10.1103/PhysRevLett.13.508
| bibcode=1964PhRvL..13..508H
| accès doi=libre
 }}.</ref>{{,}}<ref>
{{article |langue=en
 |auteur1=G.S. Guralnik |auteur2=C.R. Hagen |auteur3=T.W.B. Kibble | année=1964
 | titre=Global Conservation Laws and Massless Particles
 | périodique=[[Physical Review Letters]]
 | volume=13  |numéro=20 | pages=585-587
 | doi=10.1103/PhysRevLett.13.585
| bibcode=1964PhRvL..13..585G
| accès doi=libre}}.</ref> dans la [[Interaction électrofaible|théorie électrofaible]] de Glashow, lui donnant sa forme moderne. Le mécanisme de Higgs devait accroitre la masse de toutes les particules élémentaires dans le Modèle standard. Il inclut les masses des [[Boson W|bosons W]] et [[boson Z|Z]], et les masses des [[fermion]]s - i.e. les [[quark]]s et les [[lepton]]s. De même en 1967, [[Bryce DeWitt]] publie [[équation de Wheeler-DeWitt|son équation]] sous le nom d'« équation d'Einstein-Schrödinger » (renommée plus tard « équation de [[John Wheeler|Wheeler]]-DeWitt »)<ref>{{lien conférence |langue=en
|auteur=Carlo Rovelli
 |titre=Notes for a brief history of quantum gravity
 |url=http://www.physics.drexel.edu/~vkasli/phys676/Notes%20for%20a%20brief%20history%20of%20quantum%20gravity%20-%20Carlo%20Rovelli.pdf
 |format=PDF
 |conférence= 9th Marcel Grossmann Meeting |lieu conférence= Rome |date conférence=juillet 2000
 |date=February 3, 2008 }}.</ref>. En 1969, [[Yoichiro Nambu]], [[Holger Bech Nielsen]] et [[Leonard Susskind]] décrivent l'espace et le temps en [[Théorie des cordes|termes de cordes]]. En 1970, [[Pierre Ramond]] développe les supersymétries bidimensionnelles. [[Michio Kaku]] et {{lien|trad=Keiji Kikkawa}} formuleront plus tard les variations de cordes. En 1972, [[Michael Artin]], [[Alexandre Grothendieck]] et [[Jean-Louis Verdier]] proposent l'[[univers de Grothendieck]]<ref>{{lien conférence
 |url = http://library.msri.org/books/sga/sga/4-1/4-1t_185.html
 |auteur= [[Nicolas Bourbaki]] |année = 1972 |mois=mars
 |titre = Univers
 |conférence  = [[Séminaire de géométrie algébrique du Bois Marie]]
 |titre livre=1963-64 : Théorie des topos et cohomologie étale des schémas
<!-- paramètres onon supportés |libellé=SGA 4 |collection= {{lang|en|texte=Lecture notes in mathematics}} |numéro dans collection=269-->
|auteurs ouvrage= [[Michael Artin]], [[Alexandre Grothendieck]] et [[Jean-Louis Verdier]] (éds.)
|éditeur= [[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]
|lieu = Berlin, New York |isbn=978-3-540-05896-0 |oclc=7330933131
|passage= 185-217 }}.</ref>.

Après que les {{lien|trad=Neutral current|fr=Courant neutre|texte=courants neutres faibles}} causés par l'échange de bosons Z [[Gargamelle (détecteur)|ont été découverts]] au [[CERN]] en 1973<ref>
{{article |langue=en
 |auteur=F.J. Hasert |année=1973
 |titre=Search for elastic muon-neutrino electron scattering
 |périodique= [[Physics Letters B]]
 |volume=46 |numéro=1
 |pages=121
 |doi=10.1016/0370-2693(73)90494-2
|bibcode = 1973PhLB...46..121H |et al.=oui}}.</ref>{{,}}<ref>
{{article |langue=en
 |auteur=F.J. Hasert |année=1973
 |titre= Observation of neutrino-like interactions without muon or electron in the gargamelle neutrino experiment
 |périodique=[[Physics Letters B]]
 |volume=46 |numéro=1
 |page=138
 |doi=10.1016/0370-2693(73)90499-1
|bibcode = 1973PhLB...46..138H |et al.=oui}}.</ref>{{,}}<ref>
{{article |langue=en
 |auteur=F.J. Hasert|année=1974
 |titre=Observation of neutrino-like interactions without muon or electron in the Gargamelle neutrino experiment
 |périodique=[[Nuclear Physics (revue)|Nuclear Physics B]]
 |volume=73 |numéro=1
 |pages=1
 |doi=10.1016/0550-3213(74)90038-8
|bibcode = 1974NuPhB..73....1H |et al.=oui}}.</ref>{{,}}<ref>
{{lien web
 |auteur=D. Haidt
 |date=3 octobre 2004
 |titre=The discovery of the weak neutral currents |langue=en
 |url=http://cerncourier.com/cws/article/cern/29168
 |site= {{lien|trad=CERN Courier}}
 |consulté le=04/05/2023
}}.</ref>, la théorie électrofaible est devenue largement acceptée et Glashow, Salam et Weinberg reçoivent le [[prix Nobel de physique]] pour sa découverte. La théorie de l'[[interaction forte]], qui a été le travail de plusieurs contributeurs, acquiert sa forme moderne vers 1973-74. Avec l'établissement de la [[chromodynamique quantique]], un ensemble finalisé de particules fondamentales et d'échange, qui permet l'établissement d'un « [[Modèle standard de la physique des particules|modèle standard]] » basé sur les mathématiques d'une [[Théorie de jauge|invariance de jauge]], qui décrivent avec succès toutes les forces sauf la gravité, et qui reste généralement applicable dans les domaines pour lesquels il a été pensé. À la fin des années 1970, [[William Thurston]] introduit la [[géométrie hyperbolique]] dans l'[[théorie des nœuds|étude des nœuds]] avec le [[Géométrisation des 3-variétés|théorème d'hyperbolisation]]. Le système de notation des [[orbifold]]s, inventé par Thurston, a été développée pour représenter les types de [[Groupe de symétrie|groupes de symétrie]] dans des espaces de dimension 2 à courbure constante. En 1978, [[Shing-Tung Yau]] déduit que la {{lien|trad=Calabi conjecture|fr=conjecture de Calabi}} a une métrique {{Lien|trad=Ricci-flat manifold|lang=en|fr=variété Ricci-plate|texte=Ricci-plate}}. En 1979, {{lien|trad=Daniel Friedan}} montre que les équations du mouvement de la [[théorie des cordes]] sont des abstractions des [[équation d'Einstein|équations d'Einstein]] de la [[relativité générale]].

La [[Histoire de la théorie des cordes#1984-1989 : La première révolution des cordes|première révolution des supercordes]] est composée d'équations mathématiques développées entre 1984 et 1986. En 1984, [[Vaughan Jones]] déduit le [[polynôme de Jones]] et ses contributions ultérieures de ceux d'[[Edward Witten]], [[Maxime Kontsevitch]] et d'autres, qui révèle des liens profonds entre la théorie des nœuds et les méthodes mathématiques en [[Physique statistique|mécanique statistique]] et la théorie des champs quantiques. Selon la [[théorie des cordes]], toutes les particules du « zoo de particules » ont un ancêtre commun, soit une [[Corde (physique)|corde vibrante]]. En 1985, {{lien|trad=Philip Candelas}}, {{lien|trad=Gary Horowitz}}<ref>{{lien web |langue=en |url=http://web.physics.ucsb.edu/~gary/ |titre = Gary Horowitz |site=le site de la faculté de Physique de l'[[université de Californie à Santa Barbara]] |nature document=biographie |consulté le=04/05/2023}}.</ref> [[Andrew Strominger]] et Edward Witten publient ''Vacuum configurations for superstrings''<ref>{{article |langue=en | doi = 10.1016/0550-3213(85)90602-9 | bibcode = 1985NuPhB.258...46C | volume=258 | titre=Vacuum configurations for superstrings | année=1985 | périodique=Nuclear Physics B | pages=46-74  | nom1 = Candelas | prénom1 = P.}}.</ref>. Plus tard, le {{lien|trad=Tetrad formalism|fr=formalisme des tétrades}} est introduite comme une approche de la [[relativité générale]] qui remplace le choix d'une {{lien|trad=Holonomic basis|fr=base de coordonnées}} par un choix moins restrictif d'une base locale pour le fibre tangent (un ensemble localement défini de quatre champs vectoriels [[Indépendance linéaire|linéairement indépendants]] appelé {{infobulle |Tétrade (géométrie) |En géométrie, une tétrade forme une base d'un système de coordonnées sur une variété différentielle à quatre dimensions. |tétrade}}{{infobulle |Tétrade (géométrie) |En géométrie, une tétrade forme une base d'un système de coordonnées sur une variété différentielle à quatre dimensions. |tétrade}}<ref>{{ouvrage |nom1=De Felice |prénom1=F. |nom2=Clarke |prénom2= C. J. S. |titre =Relativity on curved manifolds |collection=Cambridge monographs on mathematical physics |langue=en  |isbn=9780521429085 |oclc=59243639 |éditeur=Cambridge University Press  |année=1990 |passage=133 }}.</ref>).

Dans les années 1990, [[Roger Penrose]] propose une {{Lien|trad=Penrose graphical notation|fr=Notation graphique de Penrose|texte=notation graphique}} (notation de diagramme de tenseur) comme, dans les écritures manuscrites, une représentation visuelle des [[application multilinéaire|applications multilinéaires]] ou [[tenseur]]s<ref>{{ouvrage |langue=en |titre=Quantum invariants of knots and 3-manifolds |auteur=V. G. Turaev |année=1994 |passage=71}}.</ref>. Penrose introduit une [[notation en indice abstrait]]<ref group="note">Son usage de la sommation d'Einstein avait pour but de réduire l'inconvénient de décrire les [[Contraction tensorielle|contractions]] et la [[Dérivée covariante|dérivation covariante]] en notation tensorielle abstraire moderne, tout en maintenant une [[covariance]] explicite des expressions utilisées.</ref>. En 1995, Edward Witten suggère la [[théorie M]] et par conséquent l'utilise pour expliquer certaines [[Dualité (mathématiques)|dualités]] observées, initiant la [[Histoire de la théorie des cordes#1995-2000 : La seconde révolution des cordes|seconde révolution des supercordes]]<ref group="note">Voir {{lien|trad=String theory landscape|fr=paysage de la théorie des cordes}} and [[Marécage (physique)]]</ref>.

[[Fichier:John H Conway 2005 (cropped).jpg|thumb|[[John Horton Conway|John H Conway]], mathématicien prolifique de la notation.]]
[[John Horton Conway|John Conway]] introduit plusieurs notations, comme la [[notation des flèches chaînées de Conway]], la {{Lien|langue=en|trad=Conway notation (knot theory)|fr=notation des nœuds de Conway}}, et la [[notation de Conway des polyèdres]]. Le système de {{lien|trad=Coxeter notation|fr=notation de Coxeter}} classifie les groupes de symétrie, décrit les angles intérieurs avec les réflexions fondamentales d'un [[groupe de Coxeter]]. Elle repose sur une notation entre crochets, avec des modificateurs pour indiquer certains sous-groupes. La notation est nommée après [[Harold Scott MacDonald Coxeter|H. S. M. Coxeter]] et [[Norman Johnson]] l'a défini de façon plus compréhensive.

La [[notation LCF]] [[combinatoire]], conçue par [[Joshua Lederberg]] et étendue par [[Harold Scott MacDonald Coxeter|Coxeter]] et [[Robert Frucht|Frucht]], a été développé pour la représentation des [[Graphe cubique|graphes cubiques]] [[Graphe hamiltonien|hamiltonien]]<ref>{{chapitre |langue=en
 |auteur1= {{lien|trad=Tomaž Pisanski}} |auteur2= {{lien|trad=Brigitte Servatius}}
 |titre chapitre = Cubic graphs and LCF notation
 |isbn = 9780817683641
 |passage= 32
 |éditeur = Springer
 |titre ouvrage = Configurations from a Graphical Viewpoint
 |lire en ligne= {{Google Livres|id=bnh2zkuTZr4C|page=32}}
 |année = 2013}}.</ref>{{,}}<ref>{{article |langue=en
 |auteur=R. Frucht
 |titre=A canonical representation of trivalent Hamiltonian graphs
 |périodique= [[Journal of Graph Theory]] |volume=1 |pages=45-60 |année=1976 |numéro=1
 |doi=10.1002/jgt.3190010111}}.</ref>. La [[Permutation circulaire|notation cyclique]] est la convention pour écrire une [[permutation]] en fonction des [[Permutation circulaire|cycles]] qui le constituent<ref>{{ouvrage |auteur=John B. Fraleigh |année=2002 |passage=89 |langue=en |titre=A first course in abstract algebra |numéro d'édition=7 |éditeur= Addison-Wesley |lieu= Boston, Mass. |isbn=9780201763904 |oclc=82363439 }}.</ref>{{référence à confirmer|date=mai 2023}}{{,}}<ref>{{ouvrage |auteur= Thomas W. Hungerford |année=1997 |passage=230 |langue=en |titre=Abstract algebra : an introduction |numéro d'édition=2 |éditeur= Saunders College Publ |lieu=Fort Worth |isbn= 9780030105593  |oclc= 833236562 }}</ref>{{référence à confirmer|date=mai 2023}}. Elle est aussi appelée [[Permutation circulaire|notation circulaire]] et la permutation ''cyclique'' ou ''circulaire''<ref>{{ouvrage |langue=en |auteur=Edgar Dehn |titre=Algebraic Equations |lieu=New York |éditeur= Dover |année= 1960 |année première édition= 1930 |collection=Dover books on advanced mathematics |numéro dans collection=19}}.</ref>.

==== Ordinateurs et notation balisée ====
{{Article connexe|Calcul formel|Dynamique symbolique|Théorie de la complexité (informatique théorique)|Langage de balisage|MathML|Basic Linear Algebra Subprograms|8=Analyse numérique|9=Programmation orientée objet}}

En 1931, [[IBM]] produit le [[Liste de produits IBM|IBM 601 Multiplying Punch]] ; c'est une machine électromécanique qui peut lire deux nombres, d'au plus long de 8 chiffres, d'une carte perforée et perforer le résultat sur la même carte<ref>{{lien archive |horodatage archive= 20140714193122 |langue=en |url= http://www.columbia.edu/cu/computinghistory/601.html |titre=The IBM 601 Multiplying Punch |site=Columbia.edu }}.</ref>. En 1934, {{lien|trad=Wallace John Eckert|fr=Wallace Eckert}} a utilisé une IBM 601 Multiplying Punch trafiquée pour automatiser la résolution d'équations différentielles<ref>{{lien archive |horodatage archive=20230428101755 |langue=en |url=https://www.columbia.edu/cu/computinghistory/switch.html |titre=Interconnected Punched Card Equipment |site=Columbia.edu |date=1935-10-24 }}.</ref>. En 1936, [[Alan Turing]] publie ''On Computable Numbers, With an Application to the Entscheidungsproblem''<ref>{{article |langue=en |auteur=[[Alan Turing]] |titre=On Computable Numbers, With an Application to the Entscheidungsproblem |périodique=Proceedings of the London Mathematical Society |volume=42 |numéro=2 |année=1936 |lire en ligne= https://web.archive.org/web/20130612153637/http://classes.soe.ucsc.edu/cmps210/Winter11/Papers/turing-1936.pdf}}.</ref>, corrigé en 1938<ref>{{article |langue=en | doi = 10.1112/plms/s2-43.6.544 | volume=s2-43 | titre=On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem. A Correction | année=1938 | périodique=Proceedings of the London Mathematical Society | pages=544-546 | nom1=Turing | prénom1=Alan M. }}.</ref>. [[John von Neumann]], pionnier de la programmation et du calcul numérique<ref group="note">Parmi les autres contributions de von Neumann, on compte l'application de la {{lien|trad=Operator theory|fr=théorie des opérateurs}} à la [[mécanique quantique]], le développement de l'[[Analyse fonctionnelle (mathématiques)|analyse fonctionnelle]], et plusieurs formes de la théorie des opérateurs.</ref> en 1945, écrit ''{{lien|trad=First Draft of a Report on the EDVAC}}'' ([[Œuvre d'art inachevée|inachevé]]). En 1962, [[Kenneth Iverson|Kenneth E. Iverson]] développe une notation de partie intégrale, qui est devenu le langage de programmation [[APL (langage)|APL]],<!-- became known as [[Iverson Notation]], but that's a red link, and see<ref name=sourcebook>{{ouvrage|editor-last=McDonnell|editor-first=Eugene|editor-link=Eugene McDonnell|titre=A Source Book in APL, Introduction|éditeur=APL Press|date=1981|url=https://code.jsoftware.com/wiki/Doc/A_Source_Book_in_APL|consulté le=19 avril 2016}}.</ref> The workspace "1 cleanspace" was saved at 1966-11-27 22.53.58 [[Coordinated Universal Time|UTC]]<ref name=APLQA/> APL\360 service began within IBM several weeks before that<ref>{{ouvrage|nom=Breed|prénom=Larry|lien auteur=Lawrence M. Breed|titre=The First APL Terminal Session|journal=APL Quote Quad|volume=22|numéro=1|date=September 1991}}.</ref> --> pour la manipulation de tableaux qu'il enseigne à ses élèves, et décrit dans son livre ''A Programming Language''<ref group="note">{{ouvrage |auteur=Kenneth E. Iverson |langue=en |titre=A programming language |année=1962 |éditeur=Wiley |lieu=New York |oclc=489884069}}.</ref>. En 1970, [[Edgar Frank Codd|Edgar F. Codd]] propose l'[[algèbre relationnelle]] comme un [[modèle relationnel]] de données pour les [[Langage de requête|langage de requête de bases de données]]. En 1971, [[Stephen Cook]] publie ''[[Problème P ≟ NP|{{lang|en|texte=The complexity of theorem proving procedures}}]]''<ref>{{chapitre |langue=en |auteur=[[Stephen Cook]] |année=1971 |titre chapitre= The complexity of theorem proving procedures <!-- doublon du paramètre doi |url= http://portal.acm.org/citation.cfm?coll=GUIDE&dl=GUIDE&id=805047 --> |titre ouvrage= Proceedings of the Third Annual ACM Symposium on Theory of Computing |passage= 151-158 |doi=10.1145/800157.805047 |isbn=9781450374644 |s2cid=7573663}}.</ref>.. Dans les années 1970 avec l'[[architecture (informatique)|architecture d'ordinateur]], une [[Nombre p-adique|notation]] est développée pour la notation des nombres rationnels. Dans la même décennie, la [[notation Z]] (comme le langage [[APL (langage)|APL]]) utilise de nombreux symboles absents du système [[ASCII]], la spécification inclut donc des suggestions pour rendre les symboles de la notation Z en ASCII et en [[LaTeX]]. Il y a plusieurs fonctions mathématiques en C (<code>Math.h</code>) et [[librairie numérique|librairies numériques]], utilisées en [[développement de logiciel]] pour l'exécution de [[Analyse numérique|calcul numérique]]. Ces calculs peuvent être utilisées par des {{lien |trad=Symbolic execution|frexécution symbolique|texte=exécutions symboliques}} ; analyser un programme pour déterminer les entrées entraine l'exécution de chaque partie d'un programme. [[Mathematica]] et [[SymPy]] sont des exemples de logiciels de calcul basés sur le [[Calcul formel|calcul symbolique]].

== Futur de la notation mathématique==
[[Fichier:Calabi yau.jpg|thumb|Un section d'une variété quintique de Calabi-Yau de dimension 3 ({{lien|trad=3D projection|fr=projection 3D}}) ; rappelant la ''théorie du vortex atomique''.]]
Dans l'histoire de la notation mathématique, la notation des symboles idéographiques est revenue à ses origines avec l'ascension des systèmes de visualisations numériques. Les notations peuvent être appliquées aux visualisations abstraites, comme le rendu de projections d'une [[Variété (géométrie)|variété]] de [[Variété de Calabi-Yau|Calabi-Yau]]. Des exemples de [[Infographie#Synthèse d'images|images abstraites]] qui appartiennent spécifiquement à l'imagination mathématique se trouvent dans l'[[infographie]]. Le besoin de tels modèles apparait, par exemple, quand les mesures pour le sujet d'étude sont des [[variable aléatoire|variables aléatoires]] et non des [[fonction (mathématiques)|fonctions mathématiques]] ordinaires.

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|History of mathematical notation|1138568632}}

=== Notes ===
{{références nombreuses| groupe=note}}

=== Références et citations ===
{{références nombreuses}}

== Voir aussi ==
=== Bibliographie ===
;Général
* {{ouvrage |auteur= [[Florian Cajori]] |année première édition= 1928-1929 |langue=en |titre=A History of Mathematical Notations |éditeur=Cosimo |lieu=New York |année=2011 |réimpression= 1951, 1974, 1993, 2007, 2015 |isbn=0-486-67766-4
|oclc=1183711702}}{{Commentaire biblio SRL |édition en un volume ; éditions 1928, 1951 et 1974 en 2 volumes :
# {{lang|en|texte=Notations in Elementary Mathematics}}
# {{lang|en|texte=Notations mainly in higher mathematics}}
}}
* {{ouvrage |lire en ligne={{Google Livres |id=U9zuAAAAMAAJ}} |langue=en |titre= A Short Account of the History of Mathematics |auteur= [[W. W. Rouse Ball|Walter William Rouse Ball]] |éditeur=Macmillan |année=1888}}
* {{ouvrage |lire en ligne= {{Google Livres|id=fYS4AAAAIAAJ }} |langue=en |titre= A Primer of the History of Mathematics |auteur= Walter William Rouse Ball |éditeur=Macmillan |année=1895}}
* {{ouvrage |lire en ligne= https://archive.org/details/cu31924002955130 |langue=en |titre= A History of Elementary Mathematics (with hints on methods of teaching) |auteur= Florian Cajori |année=1897 |éditeur=Macmillan}}
* {{ouvrage |lire en ligne= https://archive.org/details/ahistoryelement01cajogoog |titre= A History of Elementary Mathematics  |langue=en |auteur= Florian Cajori |année=1898 |éditeur=Macmillan}}
* {{ouvrage |lire en ligne= https://archive.org/details/ahistorymathema01cajogoog |titre= A History of Mathematics  |langue=en |auteur= Florian Cajori |année=1898 |éditeur=Macmillan}}
* {{ouvrage |lire en ligne= https://archive.org/details/bub_gb_9d8DAAAAMAAJ  |langue=en |titre= A Short History of Greek Mathematics |auteur= {{lien|trad=James Gow (scholar)|fr=James Gow (enseignant)|texte=James Gow}} |année=1884 |éditeur= Cambridge University Press}}
* {{ouvrage |lire en ligne={{Google Livres|id=it3UAAAAMAAJ}} |langue=en |titre=  On the Development of Mathematical Thought During the Nineteenth Century |auteur= {{lien|trad=John Theodore Merz}} |éditeur= W. Blackwood |année= 1906}}
* {{ouvrage |lire en ligne= https://archive.org/details/newmathematicalp00barluoft |langue=en |titre= A New Mathematical and Philosophical Dictionary |auteur= Peter Barlow |lieu=Londres |éditeur= G. & S. Robinson |année=1814}}
* {{ouvrage |lire en ligne={{Google Livres|id=e1UuAAAAYAAJ}} |langue=en |titre= Historical Introduction to Mathematical Literature |auteur= {{lien|trad=George Abram Miller}} |éditeur= Macmillan |année= 1916 }}
* {{ouvrage |lire en ligne= https://archive.org/details/abriefhistoryma01smitgoog |langue=en |titre= A Brief History of Mathematics |auteur1=Karl Fink |auteur2=Wooster Woodruff Beman |auteur3=[[David Eugene Smith]] |année=1903 |éditeur=Open Court}}
* {{ouvrage |lire en ligne={{Google Livres|id=yUJBAAAAYAAJJ}} |langue=en |titre=  History of Modern Mathematics |auteur= David Eugene Smith |éditeur= Wiley |année=1896 |numéro d'édition=1 |pages totales=69}}
* {{ouvrage |lire en ligne={{Google Livres|id=SlUNAAAAYAAJJ}} |langue=en |titre=  History of modern mathematics |auteur= David Eugene Smith |préface= Mansfield Merriman |éditeur= Wiley |année=1896 |numéro d'édition=4 |pages totales=81}}

;Autres
* {{ouvrage |lire en ligne= https://archive.org/details/principlesofmath01russ/page/456/mode/2up |langue=en |titre= The principles of mathematics |auteur=Bertrand Russell |année=1903 |éditeur=Cambridge University Press}}
* {{ouvrage |langue=en |titre= {{lang|la|texte=Principia Mathematica}} |auteur1= Alfred North Whitehead |auteur2= Bertrand Russell |année=1912}}{{Commentaire biblio SRL|Présentation en ligne : {{Présentation en ligne |url={{Google Livres|id=xgPx6-v70lQC}}|texte=Volume 1}} et  {{Présentation en ligne |url={{Google Livres|id=sbTVAAAAMAAJ}} |texte= Volume 2}}.}}
* {{ouvrage |lire en ligne= https://archive.org/details/bub_gb_exwAAAAAQAAJ |langue=en |titre= The Mathematical Principles of Natural Philosophy |volume=1|numéro=1 |auteur1= Sir Isaac Newton |traducteur=Andrew Motte |auteur2=William Davis |responsabilité2=rédacteur  |auteur3=John Machin |auteur4=William Emerson |éditeur= H. D. Symonds |année=1803}}
* {{ouvrage |lire en ligne= https://archive.org/details/generalinvestig00hiltgoog |langue=en |titre= General investigations of curved surfaces of 1827 and 1825 |auteur= Carl Friedrich Gaus |éditeur=The Princeton university library |année=1902}}

=== Articles connexes ===
<!-- To be included in the page body; help by including these and by placing them in context of the relevant time -->
;Articles importants : [[Formule logique]], [[Notation de Landau]] ([[notation L]]), [[Code de Gauss#Notation de Dowker|Notation de Dowker]], [[Notation hongroise]], [[Notations infixée, préfixée, polonaise et postfixée]], [[notation polonaise inverse]], [[Notation positionnelle]], [[Notation additive (numération)|Notation additive]], [[Système de numération]]

; Nombres et quantités : [[Liste de nombres]], [[Nombre irrationnel|Nombres irrationnels et supposément irrationnels]], [[Constante d'Euler-Mascheroni|γ]], [[Constante d'Apéry|ζ(3)]], [[Racine carrée de deux|{{racine|2}}]], [[Racine carrée de trois|{{racine|3}}]], [[Racine carrée de cinq|{{racine|5}}]], [[Nombre d'or|φ]], [[Nombre plastique|ρ]], [[Nombre d'argent|δ<sub>''S''</sub>]], [[Nombres de Feigenbaum|α]], [[E (nombre)|{{math|e}}]], [[Pi|{{mathPi}}]], [[Nombres de Feigenbaum|δ]], [[Constante physique]], [[Vitesse de la lumière|''c'']], [[Permittivité du vide|''ε''<sub>0</sub>]], [[Constante de Planck|''h'']], [[Constante gravitationnelle|''G'']] ([[Usage des lettres grecques en sciences]], [[Table de constantes mathématiques]], [[Table de symboles mathématiques]], [[table des symboles littéraux en mathématiques]])

;Importance générale : [[Ordre des opérations]], [[notation scientifique]] ([[notation ingénieur]]), [[Notations actuarielles internationales]]

;Notation pointée : [[Formule chimique]] ([[formule de Lewis]]), [[Notation décimale à point]]

;Notation fléchée : [[Notation des puissances itérées de Knuth]], [[théorie de Ramsey#Le théorème de Ramsey infini|Théorème de Ramsey infini]] ([[théorie de Ramsey]])

;Géométries : [[Géométrie projective]], [[géométrie affine]], [[géométrie finie]]

;Autres : [[Problèmes de Hilbert]], [[Coïncidence mathématique]], [[Notation aux échecs]], [[notation musicale]] ([[Point de prolongation]]), [[codification Whyte]]

;People
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=== Liens externes ===
* {{lien web |url= http://www.stephenwolfram.com/publications/mathematical-notation-past-future |langue=en |titre= Mathematical Notation: Past and Future |nature document= transcription d'un discours d'ouverture présenté à MathML and Math on the Web: MathML International Conference 2000 |consulté le=23/04/2023}}
* {{lien archive |horodatage archive= 20060821061824 |url=http://www.roma.unisa.edu.au/07305/symbols.htm |langue=en |titre= History of Mathematical Notation |auteur=Douglas Weaver |auteur2=Anthopny D. Smith }}
* {{MacTutor |classe=Miller |id=mathsym |titre= Earliest Uses of Various Mathematical Symbols |auteur=Jeff Miller  |consulté le=01/05/2023}}
* {{lien archive |horodatage archive= 20121104103101 |url= http://www.files.chem.vt.edu/chem-dept/field/numbers.htm |langue=en |titre= Finger counting |site=le site du département de chimie de Virginia Tech}}
* {{lien web |format=pdf |url= https://www.math.ucdavis.edu/~anne/WQ2007/mat67-Common_Math_Symbols.pdf |langue=en |titre= Some Common Mathematical Symbols and Abbreviations (with History) |site=le site de l'Université de Californie |auteur1= Isaiah Lankham |auteur2= Bruno Nachtergaele |auteur3= Anne Schilling |consulté le=23/04/2023}}.

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[[Catégorie:Histoire des mathématiques|notations mathématiques]]
[[Catégorie:Vocabulaire des mathématiques]]