Voir la source de Holomorphe d'un groupe

En [[mathématiques]], et plus particulièrement en [[théorie des groupes]], l<nowiki>'</nowiki>'''holomorphe''' d'un [[Groupe (mathématiques)|groupe]] G, noté <math>\ \mathrm{Hol}(G)</math>, est un certain groupe qui contient à la fois G et le groupe des [[Automorphisme|automorphismes]] de G, ou du moins des copies de ces deux groupes. Il permet notamment de démontrer les réciproques de certains théorèmes sur les [[Groupe complet|groupes complets]] et sur les [[Groupe caractéristiquement simple|groupes caractéristiquement simples]]. Il en existe deux versions, l'une comme [[produit semi-direct]], l'autre comme [[groupe de permutations]].

==Hol(G) comme produit semi-direct==

Si <math>\mathrm{ Aut}(G)</math> désigne le groupe des [[Automorphisme|automorphismes]] de <math>G</math>, on pose
:<math>\ \mathrm{Hol}(G)=G\rtimes \mathrm{ Aut}(G)</math>
où le [[produit semi-direct]] (externe) correspond à l'opération naturelle de <math>\mathrm{ Aut}(G)</math> sur G. Donc <math>\ \mathrm{Hol}(G)</math> a pour ensemble sous-jacent le produit cartésien de G par <math>\mathrm{ Aut}(G)</math> et sa loi de groupe est définie par
:<math>(g,\alpha)(h,\beta)=(g\alpha(h),\alpha\beta).</math>

==Hol(G) comme groupe de permutations==

Un groupe G opère naturellement (à gauche) sur lui-même, ou plus exactement sur son ensemble sous-jacent, par multiplication à gauche et par multiplication à droite. L'opération (à gauche) par multiplication à gauche correspond à l'homomorphisme
:<math>\lambda : G \rightarrow S_{G} : g \mapsto \lambda_{g} : h \mapsto : gh</math>
de <math>\ G</math> dans <math>\ S_{G}</math>, <math>\ S_{G}</math> étant muni de la loi de groupe <math>(f, g) \mapsto f \circ g : x \mapsto f(g(x))</math>. L'opération (à gauche) par multiplication à droite correspond à l'homomorphisme
:<math>\rho : G \rightarrow S_{G} : g \mapsto \rho_{g} : h \mapsto : hg^{-1}.</math>
(Dans cette seconde opération, il est nécessaire d'inverser ''g'' pour obtenir une opération à gauche, c'est-à-dire un homomorphisme de <math>\ G</math> dans <math>\ S_{G}</math> tel que nous l'avons défini.)

Ces deux homomorphismes sont [[Injection (mathématiques)|injectifs]] et définissent donc des [[Isomorphisme|isomorphismes]] de G sur les sous-groupes <math>\ \lambda(G)</math> et <math>\rho(G)</math> (d'où le [[théorème de Cayley]]). Pour un élément ''g'' donné, la permutation <math>\lambda_{g} : x \mapsto gx</math> de G est souvent appelée<ref>Voir par exemple {{Rotman1}}, {{4e}} éd., tirage de 1999, {{p.|15}}.</ref> la translation à gauche par ''g''.

Définissons maintenant <math>\ \mathrm{Hol}(G)</math> comme le sous-groupe de <math>\ S_{G}</math> [[Partie génératrice d'un groupe|engendré]] par <math>\ \lambda(G)</math> et <math>\ \mathrm{ Aut}(G)</math>. On vérifie facilement que si <math>\sigma</math> est un élément de <math>\mathrm{ Aut}(G)</math>, alors
:<math>(1) \qquad \sigma \circ \lambda_{g} \circ \sigma^{-1} = \lambda_{\sigma(g)}</math>,
ce qui montre que <math>\mathrm{ Aut}(G)</math> [[Normalisateur|normalise]] <math>\ \lambda(G)</math>. Donc, puisque <math>\ \lambda(G)</math> et <math>\mathrm{ Aut}(G)</math> engendrent <math>\ \mathrm{Hol}(G)</math>, <math>\ \lambda(G)</math> est un [[sous-groupe normal]] de <math>\ \mathrm{Hol}(G)</math>. (On peut même montrer que <math>\ \mathrm{Hol}(G)</math> est le [[normalisateur]] de <math>\ \lambda(G)</math> dans <math>\ S_{G}</math>.)

On a de plus <math>\ \lambda(G) \cap \ \mathrm{Aut}(G) = 1 </math> (car si une translation est un automorphisme, sa valeur en 1 doit être égale à 1). Ainsi, <math>\ \mathrm{Hol}(G)</math> est produit semi-direct (interne) de <math>\ \lambda(G)</math> par <math>\ \mathrm{ Aut}(G)</math>. Il résulte dès lors de la relation (1) que l'application <math>(g, \sigma) \mapsto \lambda_{g} \circ \sigma </math> définit un isomorphisme du produit semi-direct externe <math>\ G\rtimes \mathrm{Aut}(G)</math> (correspondant à l'opération naturelle de <math>\ \mathrm{ Aut}(G)</math> sur G) sur <math>\ \mathrm{Hol}(G)</math>. Les deux versions de <math>\ \mathrm{Hol}(G)</math> que nous avons définies sont donc des groupes isomorphes.

On montre<ref name="Rotman">Voir par exemple {{Harvsp|Rotman|texte=Rotman 1999|p=164}}.</ref> facilement que <math>\ \mathrm{Hol}(G)</math> (défini comme [[groupe de permutations]]) est aussi le sous-groupe de <math>\ S_{G}</math> engendré par <math>\rho(G)</math> et <math>\mathrm{ Aut}(G)</math>. (Noter que <math>\ \rho_{g} = \lambda_{g^{-1}} \circ \gamma_{g}</math>, où <math>\gamma_{g}</math> désigne l'automorphisme intérieur <math>x \mapsto gxg^{-1}</math>.)

Puisque <math>g \mapsto \lambda_{g}</math> définit un isomorphisme de <math>\ G</math> sur <math>\  \lambda(G)</math>, tout [[automorphisme]] de <math> \lambda(G)</math> est de la forme <math>\lambda_{g} \mapsto \lambda_{\sigma(g)}</math> pour un certain automorphisme <math>\sigma</math> de G. La relation (1) montre donc que
* tout automorphisme de <math> \lambda(G)</math> est la restriction d'un [[automorphisme intérieur]] de <math>\ \mathrm{Hol}(G)</math>.
Puisque <math>\ \lambda(G)</math> est isomorphe à G, il en résulte que
* tout groupe G peut être plongé dans un groupe H tel que tout automorphisme de G soit la restriction à G d'un automorphisme intérieur de H.
Il en résulte aussi<ref>Voir par exemple {{Ouvrage|langue=en|prénom1=W. R.|nom1=Scott|titre=Group Theory|éditeur=[[Dover Publications|Dover]]|année=1987|numéro d'édition=2|année première édition=1964|pages totales=479|passage=214|isbn=978-0-486-65377-8|lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=kt4o5ZTwH4wC&pg=PA214}}.</ref> qu'
* un sous-groupe de <math>\ \lambda(G)</math> est [[Sous-groupe caractéristique|caractéristique]] dans <math>\ \lambda(G)</math> si et seulement s'il est normal dans <math>\ \mathrm{Hol}(G)</math>.
(Rappel : [[Sous-groupe caractéristique|un sous-groupe caractéristique d'un sous-groupe normal d'un groupe H est normal dans H]].)

== Deux exemples d'usage du groupe holomorphe ==

* Rappelons qu'un groupe est dit [[Groupe complet|complet]] si son [[Centre d'un groupe|centre]] est réduit à l'élément neutre et si tous ses automorphismes sont [[Automorphisme intérieur|intérieurs]]. On démontre<ref>Voir par exemple {{Harvsp|Scott|1987|p=450}}, ou encore {{Harvsp|Rotman|texte=Rotman 1999|p=163}}.</ref> que si un groupe complet G est sous-groupe normal d'un groupe H, alors G est [[Produit direct (groupes)|facteur direct]] de H. On prouve<ref name="Rotman"/> réciproquement que si un groupe G est facteur direct de tout groupe dont il est sous-groupe normal, G est complet. Pour cela, on utilise le fait que, dans ces hypothèses, λ(G) est facteur direct de Hol(G).
* Rappelons qu'un groupe G est appelé<ref>{{Ouvrage|prénom1=J.|nom1=Calais|titre=Éléments de théorie des groupes|lieu=Paris|éditeur=|année=1984|pages totales=|passage=257|isbn=}}, suppose G non réduit à l'élément neutre. {{Harvsp|Scott|1987|p=73}} ne le suppose pas.</ref> un [[groupe caractéristiquement simple]] si ses seuls sous-groupes caractéristiques sont 1 et G lui-même. On montre facilement<ref>Voir par exemple {{Harvsp|Rotman|texte=Rotman 1999|p=106}} (début de la démonstration du théorème 5.24) ou encore {{Harvsp|Calais|1984|p=257}}, exerc. 3.</ref> que tout [[sous-groupe normal minimal]] d'un groupe est caractéristiquement simple. Prouvons que, réciproquement, tout groupe caractéristiquement simple G non réduit à l'élément neutre peut être plongé dans un groupe dont il est sous-groupe normal minimal. Puisque λ(G) est isomorphe à G, il suffit de prouver que λ(G) est un sous-groupe normal minimal de Hol(G). Cela se tire facilement du fait, noté plus haut, qu'un sous-groupe de λ(G) est caractéristique dans λ(G) si et seulement s'il est normal dans Hol(G).

== Histoire ==
Le mot anglais « holomorph », pour désigner l'holomorphe d'un groupe, fut introduit en 1897 par [[William Burnside]]. La notion avait cependant déjà apparu antérieurement chez d'autres auteurs<ref>{{en}} {{Lien|George Abram Miller|texte=G. A. Miller}}, {{Lien|lang=de|Hans Blichfeldt|texte=H. F. Blichfeldt}} et [[Leonard Eugene Dickson|L. E. Dickson]], ''Theory and Applications of Finite Groups'', New York, 1916, réimpr. Applewood Books, 2012, p. 46, consultable sur [https://books.google.be/books?id=6RRzRt3EtJsC&pg=PA46&lpg=PA46&dq=%22holomorph+of+a+group%22&source=bl&ots=Db8VxcVqy3&sig=3g23rngmjxCN1lx-NyG_9yJ8TSY&hl=fr&sa=X&ei=VOLmUOunBYWV0QWw94DwCw&ved=0CPgBEOgBMBM#v=onepage&q=%22holomorph%20of%20a%20group%22&f=false Google Livres]. Le passage de Burnside est : W. Burnside, ''Theory of groups of finite order'', 1{{e}} éd., Cambridge, 1897, p. 228, consultable sur [http://www.gutenberg.org/ebooks/40395 le site du projet Gutenberg] ou encore sur [https://archive.org/stream/cu31924086163726#page/n249 le site archive.org].</ref>.

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Holomorph (mathematics)|393261656|type=note}}
<references/>

==Voir aussi==
{{Autres projets|v=Théorie des groupes/Holomorphe d'un groupe}}

{{Portail|algèbre}}
[[Catégorie:Théorie des groupes]]