Voir la source de Hypercube

{{Voir homonymes|Hypercube (homonymie)}}

[[Image:Hypercubecentral.svg|vignette|Une [[diagramme de Schlegel|projection]] d'un hypercube (dans une image bidimensionnelle).]]

Un '''hypercube''' est, en [[géométrie]], un analogue ''n''-dimensionnel d'un [[carré]] (''n'' = 2) et d'un [[cube]] (''n'' = 3). C'est une figure [[Fermé (topologie)|fermée]], [[espace compact|compacte]], [[ensemble convexe|convexe]] constituée de groupes de [[Segment (mathématiques)|segments]] [[parallélisme (géométrie)|parallèles]] opposés alignés dans chacune des [[dimension d'un espace affine|dimensions]] de l'espace, à [[angle droit]] les uns par rapport aux autres.

Un hypercube ''n''-dimensionnel est aussi appelé un '''''n''-cube'''. Le terme « polytope de mesure » a aussi été utilisé (notamment par [[Coxeter]]), mais il est tombé en désuétude. Enfin, le cas particulier du 4-cube est souvent désigné par le terme de [[tesseract]].

== Définition ==
Si ''E'' est un [[espace euclidien]] de dimension ''n'' muni d'une [[base orthonormale]], on définit un hypercube unité comme l'hypervolume délimité par les {{unité|2<sup>''n''</sup>|points}} dans ''E'' ayant des coordonnées égales à 0 ou 1 reliés par des segments de droite. Les hypercubes sont les figures obtenues à partir de l'hypercube unité par des [[Similitude (géométrie)|similitudes]].

== Représenter un hypercube de dimension ''n'' ==
[[Fichier:From Point to Tesseract (Looped Version).gif|vignette|Animation montrant comment construire un tesseract à partir d'un point.]]

Pour représenter un hypercube de dimension ''n'', on procède comme suit :
* dimension 1 : un [[point (géométrie)|point]] est un hypercube de dimension zéro. Si l'on déplace ce point d'une longueur unité, il balaiera un segment de droite, qui est un hypercube unité de dimension 1
[[Image:Hypercube-dim1.PNG]]
* dimension 2 : si l'on déplace ce segment d'une longueur unité dans une direction [[perpendiculaire]] à partir de lui-même ; il balaie un carré bidimensionnel.
[[Image:Hypercube-dim2.PNG]]
* dimension 3 : si l'on déplace le carré d'une longueur unité dans la direction perpendiculaire à l'emplacement de celui-ci, il engendrera un cube tridimensionnel.
[[Image:Hypercube-dim3.PNG]]
* dimension 4 : si on déplace le cube d'une longueur unité dans la quatrième dimension, il engendrera un hypercube unité quadridimensionnel (un tesseract unité).
[[Image:Hypercube-dim4.PNG]]
*…
(Dimension ''n'' > 3 : on trace un hypercube de dimension ''n'' – 1, on reproduit son image et on lie les points deux à deux.)

En résumé, la construction d'un hypercube se fait par la translation du cube de dimension inférieure selon un axe perpendiculaire aux dimensions de ce cube.

[[Image:Hypercube construction fr.png|vignette|centré|upright=2|Chaque nouvelle dimension est perpendiculaire aux précédentes.]]

Les hypercubes constituent l'une des trois familles de [[polytope régulier|polytopes réguliers]] qui sont représentés dans un nombre quelconque de dimensions (les deux autres sont les [[simplexe]]s et les [[hyperoctaèdre]]s).
Le [[polytope dual]] d’un hypercube est un [[hyperoctaèdre]].
Le 1-[[squelette (topologie)|squelette]] d’un hypercube est un [[graphe d'hypercube]].

Une généralisation du cube aux dimensions ''n'' plus grandes que 3 est appelée un hypercube ''n''-dimensionnel ou ''n''-cube. Le tesseract est l'hypercube quadridimensionnel ou 4-cube. C'est un [[polytope régulier]]. C'est aussi un cas particulier de [[parallélotope]] : un hypercube est un parallélotope droit dont les arêtes sont de même longueur.

[[Image:Tesseract2.svg|vignette|Un [[Patron (géométrie)|patron]] d'hypercube.]]

== 4 dimensions ==
{{article détaillé|Tesseract}}
Le 4-cube est également appelé tesseract, d'après [[Charles Howard Hinton]].

D'après la formule de [[Duncan Sommerville|Sommerville]] {{infra|Éléments}}, le tesseract est composé de :
* {{unité|16|sommets}} ;
* {{unité|32|arêtes}} ;
* {{unité|24|faces}} planes carrées ;
* {{unité|8|faces}} tridimensionnelles cubiques (cubes).

Pour un 4-cube de côté c, on a les mesures suivantes :
* « volume » (quadridimensionnel) : c<sup>4</sup> ;
* « surface externe » (tridimensionnelle) : 8c<sup>3</sup> ;
* « aire totale » (bidimensionnelle) : 24c<sup>2</sup>.

Les faces d'un 4-cube sont :
* avant / arrière ;
* gauche / droite ;
* haut / bas ;
* ana / kata.

== ''n'' dimensions ==
Pour un ''n''-cube de côté ''c'' :
* le volume est ''c<sup>n</sup>''.
*: Si on le coupe en ''n'' tranches par des hyperplans perpendiculaires à la diagonale, les volumes des tranches sont les nombres d'Euler ;
* l'aire totale est F''<sub>n</sub> c''<sup>2</sup> avec F<sub>''n''</sub> le nombre de 2-faces {{infra|Éléments}} ;
* le polytope dual est l'[[hyperoctaèdre]] à ''n'' dimensions (appelé aussi [[n-polytope|''n''-polytope]] croisé).

== Éléments ==
En notant ''N{{ind|n,k}}'' le nombre de ''k''-cubes sur la frontière d'un ''n''-cube (qui est nul si ''k'' < 0 ou ''k > n'' et qui vaut 1 si ''k = n'' = 0), on a<ref>{{Harvsp|Coxeter|1973|p={{Google Livres|iWvXsVInpgMC|page=122|122}}}}.</ref> :
:<math>N_{n,k}=2N_{n-1,k}+N_{n-1,k-1}</math>.
Par conséquent<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=D. M. Y. Sommerville|titre=An Introduction to the Geometry of n Dimensions|lieu=Londres|éditeur=[[Methuen (maison d'édition)|Methuen]]|année=1929|passage=29|lire en ligne=https://archive.org/stream/in.ernet.dli.2015.220891/2015.220891.An-Introduction#page/n51/mode/1up}}.</ref>,
:<math>\sum_{k=0}^nN_{n,k}X^k=\left(2+X\right)^n</math>
donc
:<math>N_{n,k}=2^{n-k}{\binom nk}</math>.

Par exemple, dans un ''n''-cube :
* le nombre ''N''{{ind|''n'',2}} = ''F{{ind|n}}'' de 2-faces est ''n''(''n'' – 1) 2{{exp|''n''–3}} ;
* le nombre ''N''{{ind|''n'',''n''–1}} de « côtés » est 2''n'' (un segment 1-dimensionnel a deux points aux extrémités ; un carré 2-dimensionnel a quatre bords ; un cube 3-dimensionnel a {{unité|6|faces}} 2-dimensionnelles ; un hypercube 4-dimensionnel (tesseract) a {{unité|8|cellules}}).

{| class="wikitable" 
|+ 
Éléments d'hypercube
|- 
!Noms
! [[Polygone de Pétrie#La famille des hypercubes|Graphe]]
![[Symbole de Schläfli]]<br />[[Diagramme de Coxeter-Dynkin|Coxeter-Dynkin]]
! Sommets<br />(0-faces)
! Arêtes<br />(1-faces)
! Faces<br />(2-faces)
! Cellules<br />(3-faces)
! (4-faces)
! (5-faces)
|- 
!''n''-cube
|colspan="2"|
!{{math|2{{exp|''n''}}}}
!{{math|''n'' 2<sup>''n''–1</sup>}}
!{{math|''n''(''n'' – 1) 2{{exp|''n''–3}}}}
!{{math|{{sfrac|''n''(''n'' – 1)(''n'' – 2)|3}} 2{{exp|''n''–4}}}}
!{{math|{{sfrac|''n''(''n'' – 1)(''n'' – 2)(''n'' – 3)|3}} 2{{exp|''n''–7}}}}
|etc.
|- 
| 0-cube<br>'''[[Point (géométrie)|Point]]'''
| [[Image:Complete graph K1.svg|70px]]
|
|style="text-align:center;"|1
|
|
|
|
|
|- 
| 1-cube<br>'''[[Segment (mathématiques)|Segment]]'''
| [[Image:Complete graph K2.svg|70px]]
|style="text-align:center;"|{} ou {2}<br><br>[[Image:CDW ring.svg]]
|style="text-align:center;"|2
|style="text-align:center;"|1
|
|
|
|
|- 
| 2-cube<br>'''[[Carré]]'''<br>Tétragone
| [[Image:2-cube.svg|70px]]
|style="text-align:center;"|{4}<br><br>[[Image:CDW ring.svg]][[Image:CDW_4.png]][[Image:CDW dot.svg]]
|style="text-align:center;"|4
|style="text-align:center;"|4
|style="text-align:center;"|1
|
|
|
|- 
| 3-cube<br>'''[[Cube]]'''<br>Hexaèdre
| [[Image:3-cube column graph.svg|70px]]
|style="text-align:center;"|{4,3}<br><br>[[Image:CDW ring.svg]][[Image:CDW_4.png]][[Image:CDW dot.svg]][[Image:CDW_3b.png]][[Image:CDW dot.svg]]
|style="text-align:center;"|8
|style="text-align:center;"|12
|style="text-align:center;"|6
|style="text-align:center;"|1
|
|
|- 
| 4-cube<br>'''[[Tesseract]]'''<br>Octachore
| [[Fichier:4-cube_graph.svg|70px]]
|style="text-align:center;"|{4,3,3}<br><br>[[Image:CDW ring.svg]][[Image:CDW_4.png]][[Image:CDW dot.svg]][[Image:CDW_3b.png]][[Image:CDW dot.svg]][[Image:CDW_3b.png]][[Image:CDW dot.svg]]
|style="text-align:center;"|16
|style="text-align:center;"|32
|style="text-align:center;"|24
|style="text-align:center;"|8
|style="text-align:center;"|1
|
|- 
| 5-cube<br>'''[[5-cube|Penteract]]'''
| [[Fichier:5-cube_graph.svg|70px]]
|style="text-align:center;"|{4,3,3,3}<br><br>[[Image:CDW ring.svg]][[Image:CDW_4.png]][[Image:CDW dot.svg]][[Image:CDW_3b.png]][[Image:CDW dot.svg]][[Image:CDW_3b.png]][[Image:CDW dot.svg]][[Image:CDW_3b.png]][[Image:CDW dot.svg]]
|style="text-align:center;"|32
|style="text-align:center;"|80
|style="text-align:center;"|80
|style="text-align:center;"|40
|style="text-align:center;"|10
|style="text-align:center;"|1
|}

=== Voisinage dans une grille d'hypercube ===
La formule précédente permet de répondre à la question : dans une grille régulière d'hypercubes, combien de voisins <math>v_n</math> possède un hypercube ? Il y a un voisin pour chaque élément de la frontière, c'est-à-dire, en utilisant la [[Formule du binôme de Newton|formule du binôme]] :

:<math> v_n = \sum_{k=0}^{n-1} 2^{n-k}{\binom nk}=3^n - 1</math>.

On peut vérifier par exemple que chaque carré d'un pavage possède 3<sup>2</sup> – 1 = 8 voisins, ou que chaque cube d'un empilement régulier de cubes possède 3<sup>3</sup> – 1 = 26 voisins.

== Rotation d'un ''n''-cube ==
[[Image:8-cell.gif|droite|vignette|Rotation d'un hypercube.]]

La définition des [[Rotation affine|rotations]] dans un espace euclidien quelconque passe par l'[[algèbre linéaire]], et leurs propriétés ne se déduisent pas aisément de celles des rotations en dimension 3. On montre cependant que, de même qu'il est possible de faire tourner un cube autour d'une de ses 12 arêtes (ou d'un axe quelconque), on peut faire tourner un tesseract autour d'une de ses 24 faces carrées<ref>{{en}} ''[http://eusebeia.dyndns.org/4d/8-cell.html The Tesseract]'' et {{en}} ''[http://eusebeia.dyndns.org/4d/vis/09-rot-1.html 4D Visualization]'' expliquent et illustrent avec des animations les rotations quadridimensionnelles.</ref> (ou d'une surface quelconque)
et qu'un hypercube 5-dimensionnel peut tourner autour d'un de ses 40 cubes entier, etc.

== Représentations littéraires et artistiques ==
* Dans ''[[La maison biscornue (nouvelle)|La maison biscornue]]'', une nouvelle de [[science-fiction]] de [[Robert Heinlein]], un architecte construit une maison dont le plan est un patron d'hypercube ; à la suite d'un tremblement de terre, la maison se replie pour devenir un véritable hypercube.
* Dans le film de [[science-fiction]] ''[[Cube 2]]'', les héros sont enfermés dans un tesseract, ou du moins ils évoluent en se déplaçant d'un cube à l'autre parmi les faces de l'hypercube. D'un cube à l'autre, l'orientation de la pesanteur peut varier (en tout cas les personnages le ressentent quand ils passent d'un cube à l'autre) le temps peut se dilater ou se contracter, et les personnages sont amenés à rencontrer des doubles d'eux-mêmes à cause de la superposition de futurs possibles. Mais le lien entre ces propriétés et le fait que l'histoire se déroule dans un tesseract n'est pas explicite et peut-être même inutile, la quatrième dimension étant plus abordée que l'hypercube en question.
* En architecture, l'[[Arche de la Défense]] près de [[Paris]] en [[France]], est une projection en trois dimensions d'un hypercube de dimension 4.
* Le tableau ''[[Corpus hypercubus]]'' ([[Salvador Dalí]], [[1954]]) décrit un [[Jésus]] crucifié sur le patron d'un hypercube.
* Le roman ''[[Factoring Humanity]]'' ([[Robert J. Sawyer]], [[1998]]), abordant le thème de la communication avec une civilisation extraterrestre, décrit l'hypothèse selon laquelle les messages extraterrestres se présenteraient sous la forme d'un hypercube.
*Dans le jeu [[Fez (jeu vidéo)|''FEZ'']], le personnage de DOT (qui accompagne le héros) est la projection en 3D d'un hypercube.
* Dans la série britannique [[Doctor Who]], saison 6 épisode 4, le Docteur reçoit un tesseract de la part d'un Seigneur du Temps  en détresse. Dans la série le tesseract agit comme un courrier électronique en audio/vidéo et également comme balise de localisation géo-spatio-temporel.

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Hypercube|108836040|type=note}}
{{Références}}

== Voir aussi ==
{{Autres projets|commons=Category:Hypercubes}}
=== Article connexe ===
[[Hypercube magique]]

=== Liens externes ===
* {{en}} ''[http://mrl.nyu.edu/~perlin/demox/Hyper.html Seeing into four dimensions]'' : comment visualiser un hypercube, par [[Ken Perlin]].
* {{en}} ''[http://hypercube.milosz.ca/ Hypercube]'', par Milosz : projection d'un hypercube avec ou sans perspective, rotation à la souris autour des 4 axes.
* {{fr}} [http://4dimensions.free.fr/ 4dimensions] : explication de la notion d'un espace à quatre dimensions par l'hypercube. Créé par Florian Mounier.

=== Bibliographie ===
* {{Article|lang=en|auteur=[[Jonathan Bowen]]|url=http://www.dankalia.com/science/hyp080.htm|titre=Hypercubes|revue={{Lien|langue=en|fr=Practical Computing}}|vol=5|numéro=4|p.=97-99|année=1982}}.
* {{Ouvrage|langue=en|prénom1=H. S. M.|nom1=Coxeter|lien auteur1=Harold Scott MacDonald Coxeter|titre=[[Regular polytopes]]|éditeur=[[Dover Publications]]|année=1973|numéro d'édition=3|année première édition=1943|pages totales=321|passage=295|isbn=978-0-486-61480-9|lire en ligne=https://books.google.com/books?id=iWvXsVInpgMC&printsec=frontcover}}, {{lang|en|texte=''Table {{I}} (iii): Regular Polytopes, three regular polytopes in n-dimensions (n ≥ 5)''}}.

{{Palette|Polytopes réguliers}}
{{Portail|géométrie}}

[[Catégorie:Polytope]]