Voir la source de Icosidodécaèdre

{{anchor|Top}}[[File:3 views of icosidodecahedron as intersection of Platonic_solids_FR.svg|thumb|left|upright=2.4
|Ces  solides  de  Platon  [[solide de Platon#Polyèdre_dual|duaux]]  ont  soixante  arêtes  au  total,   qui  se  coupent<br/>deux  à  deux   à  angle  droit  en  leur  milieu.   L’intersection  des  solides  duaux<br/>est  un  '''icosidodécaèdre''',   dont les arêtes forment six [[décagone]]s [[Polygone régulier|'''réguliers''']] ''':'''<br/>six  [[Dessin technique#Représentations_codifiées|sections]]  équatoriales  communes  aux  trois  solides  [[Concentricité|concentriques]].
]]{{Infobox Polyèdre
| nom=Icosidodécaèdre
| image=icosidodecahedron.jpg
| type=[[Solide d'Archimède]]
| faces=20 [[triangle]]s et 12 [[Pentagone (figure)|pentagones]]
| nb_faces=32 :
| nb_arêtes=60
| nb_sommets=30
| caractéristique=2
| faces_par_sommet=4
| sommets_par_face=3 et 5
| isométries=[[Icosaèdre#Groupe de symétrie|''I''<sub>h</sub>]]
| dual=[[Triacontaèdre rhombique]]
| propriétés=[[Polyèdre quasi régulier|quasi régulier]] et [[Polyèdre convexe|convexe]]
}}{{Clr|left}}Le [[solide d'Archimède]] de '''vingt''' faces [[Triangle équilatéral|triangulaires]] et '''douze''' faces [[Pentagone régulier convexe|pentagonales]] s’appelle un '''icosidodécaèdre'''.  Le mot “icosidodécaèdre” commence par “icos”,  qui signifie “'''vingt'''”,  soit le nombre de faces du [[solide de Platon]] de '''douze''' sommets,  qui est [[Solide de Platon#Polyèdre_dual|le dual]] du “dodécaèdre” de Platon,  dont les douze faces sont pentagonales.

== Description ==

[[File:2 views of icosidodecahedron with 6 regular decagons in 6 colours.svg|thumb|left]]
Cette image‑ci montre l’icosidodécaèdre de face et de dessus,  avec deux faces triangulaires horizontales.  De dessus le contour est un [[dodécagone]],  qui entoure dix triangles et six pentagones.  Une moitié des faces est donc visible de dessus :  seize faces.

Les soixante arêtes d’un icosidodécaèdre sont les côtés de six [[décagone]]s réguliers de même taille,  [[Ensemble convexe|convexes]] et concentriques.  Le centre de leurs six [[Cercle circonscrit|cercles circonscrits]] est le [[Symétrie centrale|centre de symétrie]] de chaque décagone,  donc le centre de symétrie de l’icosidodécaèdre,  centre de sa [[sphère circonscrite]],  tangente aux arêtes des deux solides de Platon,  dont il est [[#Top|l’intersection]].  À gauche,  chacun des décagones réguliers équatoriaux a sa couleur propre.  Les deux projections orthogonales qui se correspondent déforment chaque décagone,  alors que dans la toute [[#Top|première image]],  la première projection de l’icosidodécaèdre respecte la forme du décagone décoré de pois clairs :  celui du contour,  dans un plan parallèle aux deux faces opposées décorées de pois clairs elles aussi.

Symétriques l’une de l’autre par rapport au centre du solide,  deux faces pentagonales opposées ont les mêmes contours bigarrés.  Leurs côtés sont parallèles à ceux du décagone, dont la couleur est absente des deux contours.  N’importe quelle projection respecte un parallélisme ou une symétrie centrale.  Par exemple,  dans trois plans parallèles équidistants, deux pentagones opposés et leur décagone parallèle sont trois polygones réguliers,  qui se projettent de face sur deux segments bicolores du contour octogonal,  et un segment parallèle passant par le centre de la vue.

La vue de dessus ne déforme pas la face supérieure :  un triangle équilatéral horizontal,  représenté par un segment horizontal dans la vue de face,  vue qui respecte la mesure des angles [[Angle dièdre|dièdre]]s sur le contour du solide.  Par exemple le sommet du contour octogonal,  en haut à droite,  représente une arête horizontale en bleu terne,  commune à un triangle et un pentagone,  comme toute autre arête.   N’importe quelle arête est celle d’un dièdre partout de même mesure,  propriété ainsi énoncée en abrégé :  les arêtes sont '''uniformes'''.  En effet,  donner à une autre face triangulaire la même orientation,  dans un plan horizontal,  aboutirait au tracé du même angle tout en haut du contour octogonal,  à droite.

Commun à deux triangles et deux pentagones,  chaque sommet est l’extrêmité commune de quatre arêtes,  qui forment partout la “même figure”,  autrement dit trente figures [[Isométrie|isométriques]].  L’icosidodécaèdre est un [[polyèdre quasi régulier]].

== Constructions mathématiques ==

On obtient ce polyèdre entre autres en tronquant un des deux [[Solide de Platon|solides&nbsp;de&nbsp;Platon]] de trente arêtes (l'[[icosaèdre]] ou le [[Dodécaèdre régulier|dodécaèdre]]) à chaque sommet, par une section qui passe par les milieux de toutes les arêtes issues du sommet tronqué. Ses soixante arêtes égales sont les côtés de six décagones [[Polygone régulier|réguliers]] convexes [[Concentricité|concentriques]] : six sections équatoriales du solide tronqué ou du solide initial.

== Travail manuel ==
{{section TI| date=02/2025}}
<!--  Section en chantier,
  voir   https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Discussion:Icosidodécaèdre&oldid=206760167#2_Patrons

  Sur fond rose Barbie par exemple,  j'ai failli
  taper ci‑dessous un lien vers une future image :    c:File:Carrés à encastrer Débuts en SVG.svg
  en projet.  La  présente  section  “Travail manuel”  attend
  une autre image,  avec deux pièces d'une maquette démontable
  de rotonde décagonale,  image exposée en image2 d'une multiple image,
  dont  l'image1  sera  l'actuelle  image  SVG  des  pièces
  décagonales  à  imbriquer  les unes dans les autres.

-->{{multiple image
 | align = left | total_width = 780 | image_gap = 15
 | image1 = Icosidodecahedral net and one of its Johnson halves.svg
 | caption1 = [[Patron (géométrie)|'''Patrons''']].<br
/>Le  pointillé  délimite  un  patron  d’une  [[Rotonde décagonale|moitié]]  du  solide,<br
/>avec  le  décagone  régulier  qui  jouxte  le  triangle  j,   l’une  des<br
/>seize  faces  étiquetées  sur  les  trente‑deux du polyèdre entier.
 | image2 = 6 colours of edges in top view and net of a half-icosidodecahedron FR.svg
 | caption2 = <br/>Moitié  de  l’icosidodécaèdre.<br/>Par  l’évidement  du  socle,   accéder  à  l’intérieur  permet<br/>d’assembler  ou  de  démonter  l’ouvrage.
 | footer = <span style="font-size:120%">Vers   une   maquette   ou   une   autre.</span>
 | footer_align = center
}}{{Clr}}
Imaginons que ci‑dessus,  les deux patrons de la première image,  avec des plis tous saillants,  aient en commun les seize faces étiquetées d’une lettre ou d’un chiffre,  et supposons que le triangle j reste dans le plan du dessin.  Alors derrière ce plan du triangle j,  les patrons se transforment l’un en solide d’Archimède,  l’autre en [[solide de Johnson]].  Le décagone et la face <span style="font-family:monospace;font-size:120%">0</span> sont alors dans deux plans parallèles,  et l’icosidodécaèdre contient sa moitié,  qui était au départ entourée d’un pointillé.  Une moitié appelée “[[rotonde décagonale]]”,  dans le [[Solide de Johnson#Liste_et_noms_de_Johnson|répertoire]] de solides de [[Norman Johnson]].

La rotonde exhibe nettement une section équatoriale régulière,  contenant dix arêtes de l’icosidodécaèdre.  Par contre,  la rotonde fait disparaître la symétrie centrale du solide d’Archimède.  La disposition circulaire des chiffres et des lettres ci‑dessus évoque une propriété,  commune au solide en entier et à la rotonde initialement en pointillé :  la transformation en lui‑même du polyèdre ou de sa moitié,  par une ou plusieurs [[Rotation dans l'espace|rotations]] successives d’un cinquième de tour,  dans un sens ou dans l’autre,  autour de [[Axe (mathématiques)|l’axe commun]] du décagone et de la face <span style="font-family:monospace;font-size:120%">0</span>.

Imprimer et découper un premier patron de l’icosidodécaèdre,  faire de ses segments intérieurs des plis,  commencer à joindre avec du ruban [[adhésif]] des segments de son contour,  et enfin,  quand il faudrait fermer complètement la chose mollement flexible qu’est devenu ce patron,   devoir admettre qu’appuyer sur un morceau d’adhésif de plus est impraticable,  et abandonner ce projet irréfléchi.

Dans la seconde image ci‑dessus,  la pièce d’un seul tenant disperse les côtés des demi‑décagones à peu près autant que le précédent patron en pointillé.  Par exemple,  les cinq arêtes coplanaires bleu terne de la rotonde font dix segments du pourtour du patron,  dont l’un est isolé en bas à droite.  Le long du bord intérieur du socle décagonal,  un arc est tracé.  Dans cette région pourraient venir se fixer deux pattes,  qui prolongeraient le triangle jaune vif et le pentagone bleu vert,  tout en haut du patron à gauche.  Ces deux pattes,  une fois pliées sous le socle,  pourraient remonter un peu vers l’intérieur du dôme,  et venir se coincer soit dans deux trous,  pratiqués à cet effet dans la couronne,  soit dans deux formes concaves qui leur seraient adaptées,  sur le bord intérieur de l’évidement.

{{anchor|icosdodManu}}[[File:6 decagons designed to intersect pairwise along a diameter in 3D FR.svg|thumb|left|upright=2.4
|Décagones  réguliers  à  assembler  dans  l’espace,   dans  six  plans  deux  à  deux  sécants  selon  un  [[diamètre]],   commun à deux cercles circonscrits à deux décagones.<br/>En  remplaçant  les  pièces  polygonales  par  des  couronnes  circulaires,<br/>nous  représenterons  une  [[sphère]]  dans  l’espace.]]
Ci‑dessus décoré de pois,  le décagone a quatre sommets qui se nomment A,  E,  L et N.  Ainsi nommés,  ils se retrouvent sur les pièces décagonales détachées,  dont les six centres de symétrie se confondront dans la structure assemblée,  en son centre de symétrie dans l’espace.  Les bords extérieurs des pièces imbriquées seront alors les soixante arêtes de l’icosidodécaèdre,  dessiné en perspective dans l’évidement de la pièce <span style="font-family:monospace;font-size:120%">0</span>.  Dessins et découpages précèderont l’assemblage,  bien sûr.  En attendant de géniales découpeuses programmables dans les écoles,  envisagées quand la planète Mars aura perdu tout attrait,  répéter des tracés de polygones réguliers sera beaucoup moins fastidieux grâce au langage [[Scalable Vector Graphics|SVG]].  Mieux vaut débuter en SVG en dessinant les trois carrés imbriqués des arêtes d’un [[octaèdre régulier]],  dans une première phase,  et dans une deuxième phase les quatre sections hexagonales régulières d’un [[cuboctaèdre]],  avant de coder les six pièces ici présentes,  en phase 3.

En attendant,  sur du bristol quadrillé,  tracer trois carrés évidés et leurs douze encoches est à la portée d’un enfant de dix ou douze ans.  Mais que ce soit en phase 1,  2 ou 3,  une seule coupure au cutter ne suffit pas à réaliser une encoche,  qui doit accueillir sans forcer l’épaisseur d’une autre pièce.  Chaque encoche est donc découpée soit au jugé,  en entourant largement un trait d’épaisseur ordinaire,  soit en suivant au cutter le bord d’un trait épais,  obtenu en tirant au crayon ou au stylo‑bille des traits parallèles tout proches.  En SVG,  l’épaisseur d’un trait est la valeur numérique à votre goût,  d’un attribut  [[Feuilles de style en cascade|CSS]] <code style="white-space:nowrap"> stroke-width</code>,  qui spécifie la largeur du bord d’une forme géométrique ou d’un élément de texte,  tel que le numéro '''1''' de l’une des six pièces décagonales,  par exemple.

Nous obtiendrons d’autres polyèdres remarquables,  en prolongeant chaque polygone à imbriquer par un autre polygone,  séparé du polygone régulier de base par un pli.  La section régulière de base,  carrée,  hexagonale ou décagonale,  sera visible grâce à des prolongements évidés.  Les plis auront en même temps un intérêt mécanique,  ils rigidifient la maquette.  Par exemple,  nos six pièces décagonales peuvent se prolonger par des triangles isocèles,  dont les angles égaux mesurent 36° ou 60°,  selon le solide de Platon désiré :  dodécaèdre ou icosaèdre.  En tronquant de tels prolongements,  nous inventerons les pièces d’un solide tronqué,  par exemple les six pièces d’un [[Icosaèdre tronqué|ballon de foot]].

== Coordonnées et symétries ==

Un icosidodécaèdre possède une [[Groupe alterné#Groupe des rotations du dodécaèdre|symétrie icosaédrique]], et sa première [[stellation]] est le composé d'un [[dodécaèdre]] et de son dual, l'[[icosaèdre]], avec les sommets de l'icosaèdre localisés aux milieux des arêtes du dodécaèdre.

Avec R rayon de la [[sphère circonscrite]] et a longueur de l'arête , on a la relation :
:<math>\frac{a}{R} = \varphi - 1</math>
Des coordonnées commodes pour les 30 sommets d'un icosidodécaèdre sont les [[permutation circulaire|permutations circulaires]] de 
:<math>\left(0, 0, \pm \varphi\right)</math>
:<math>\left(\pm \tfrac{1}{2}, \pm \tfrac{\varphi}{2}, \pm \tfrac{(1+\varphi)}{2}\right)</math>
où <math>\varphi=\tfrac{1+\sqrt5}2</math> est le [[nombre d'or]]. En utilisant <math>\varphi^2 = \varphi + 1</math>, on vérifie que ces sommets sont sur une sphère centrée à l'origine.

== Polyèdres reliés ==

Son [[polyèdre dual]] est le [[triacontaèdre rhombique]]. Un icosidodécaèdre peut être divisé le long de plusieurs plans pour former des [[rotonde décagonale|rotondes décagonales]], qui figurent parmi les [[solide de Johnson|solides de Johnson]].

Dans la nomenclature standard utilisée pour les [[solide de Johnson|solides de Johnson]], un icosidodécaèdre serait appelé une ''gyrobirotonde décagonale'' .
En effet, on obtient un icosidodécaèdre en accolant deux « rotondes » décagonales par leur base, telle que leur face supérieure (les deux pentagones opposés) soient orientées différemment (c'est pourquoi l'on ajoute « gyro- »).

L'icosidodécaèdre est un [[dodécaèdre tronqué]] et aussi un [[icosaèdre tronqué]], lorsque les troncatures des sommets du [[dodécaèdre]] et de l'[[icosaèdre]] sont maximales (rectifications).

== Voir aussi ==
* [[Cuboctaèdre]]
* [[Icosaèdre tronqué]]
* [[Grand icosidodécaèdre tronqué]]
* [[Petit rhombicosidodécaèdre]]
* [[Icosidodécaèdre tronqué]] (ou « grand rhombicosidodécaèdre »)

== Références ==
{{Traduction/Référence|en|Icosidodecahedron|98017728|type=note|point=non}}, dont la référence était {{en}} [[Robert Williams (géomètre)|Robert Williams]], ''The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design'', 1979 {{ISBN|978-0-486-23729-9}}.

=== Liens externes ===
* {{en}} ''[http://www.mathconsult.ch/showroom/unipoly/ The Uniform Polyhedra]'' sur mathconsult.ch
* {{en}} ''[http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/vp.html Virtual Polyhedra]'' sur le site de {{Lien|lang=en|fr=George W. Hart}}

{{Palette|Solides géométriques}}
{{Portail|géométrie}}

[[Catégorie:Polyèdre quasi-régulier]]
[[Catégorie:Solide d'Archimède]]