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En [[mathématiques]], et plus particulièrement en [[algèbre]], un '''idéal''' est un sous-ensemble remarquable d'un [[anneau unitaire|anneau]] : c'est un [[sous-groupe]] du groupe additif de l'anneau qui est, de plus, [[Sous-espace stable|stable]] par multiplication par les éléments de l'anneau. À certains égards, les idéaux s'apparentent donc aux [[sous-espace vectoriel|sous-espaces vectoriels]] — qui sont des sous-groupes additifs stables par une multiplication [[loi de composition externe|externe]] ; à d'autres égards, ils se comportent comme les [[sous-groupe distingué|sous-groupes distingués]] — ce sont des sous-groupes additifs à partir desquels on peut construire une structure d'[[anneau quotient]].

Apparus à la fin du {{s-|XIX}} en [[théorie algébrique des nombres]] pour généraliser à des [[entier algébrique|entiers algébriques]] la [[décomposition en facteurs premiers]] des [[entier relatif|entiers]], les idéaux ont rapidement joué un rôle central en [[algèbre générale|algèbre]] et en [[géométrie algébrique]], en particulier à la suite des travaux d'[[Emmy Noether]] isolant l'importance des [[conditions de chaîne]]. Au-delà de l'algèbre, ils interviennent de façon centrale dans les développements du {{s-|XX}} de certains chapitres d'[[analyse fonctionnelle (mathématiques)|analyse fonctionnelle]], notamment l'étude des [[algèbre de Banach|algèbres de Banach]] et l'[[analyse harmonique commutative]].

En [[algèbre commutative]], deux types d'idéaux sont omniprésents : les [[idéal maximal|idéaux maximaux]] et, sans doute encore davantage, les [[idéal premier|idéaux premiers]]. Dans l'anneau des entiers relatifs, tant les idéaux maximaux que les idéaux premiers (non nuls) sont les ''p'''''Z''', où ''p'' est un [[nombre premier]] ; dans les [[anneau commutatif|anneaux commutatifs]] plus abstraits ces familles d'idéaux généralisent la notion de nombre premier.

En [[théorie des anneaux]] non commutatifs, il faut prendre garde à l'existence juxtaposée de deux concepts distincts d'idéaux : les '''idéaux à gauche''' (ou '''à droite'''), qui sont des [[sous-module]]s, et les '''idéaux bilatères''', ceux par lesquels on peut quotienter. Alors que la structure des anneaux non commutatifs les plus généraux peut être extrêmement complexe, on a plus de prise sur ceux vérifiant les conditions de finitude découvertes par [[Emmy Noether]] et [[Emil Artin]], à savoir des [[conditions de chaîne]] sur leurs idéaux à gauche ou à droite.

== Définitions ==
Deux notions d'idéaux coexistent, qui coïncident dans le cas d'un [[anneau commutatif]] mais jouent des rôles bien différents sans hypothèse de commutativité de la multiplication.

=== Les idéaux comme sous-modules : idéaux à gauche et à droite ===
Une partie ''I'' d'un anneau ''A'' est appelée un '''idéal à gauche''' (respectivement '''à droite''') de ''A'' lorsque<ref name=Bbk98>{{Ouvrage | auteur1=[[Nicolas Bourbaki|N. Bourbaki]] | titre=Algèbre | sous-titre=Chapitres 1 à 3 | éditeur=[[Hermann (éditions)|Hermann]] | année=1970 | passage=98-99 | isbn= | id=Bourbaki}}.</ref> :

* ''I'' est un [[sous-groupe]] additif de ''A''.
* Pour tout ''a'' de ''A'' et tout ''x'' de ''I'', ''ax'' ∈ ''I'' (resp. ''xa'' ∈ ''I''). Autrement dit, on demande à ''I'' d'être stable sous multiplication à gauche (resp. à droite) par tout élément de ''A'', même ceux qui ne sont pas dans ''I''.

En utilisant le langage des [[module sur un anneau|modules]], on peut définir plus brièvement<ref>C'est par exemple le choix fait dans {{Ouvrage | langue=en | auteur1=Carl Faith | titre=Algebra | volume=I | titre volume=Rings, Modules, and Categories | lieu=Berlin | éditeur=[[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]] | année=1973 | pages totales=565 | passage=123 | isbn=978-0-387-05551-0}}.</ref> un idéal à gauche (resp. à droite) comme un [[sous-module]] pour la structure de ''A''-module à gauche (resp. à droite) sur ''A''.

On appelle ensuite '''idéal bilatère''' de ''A'' (ou '''idéal''' tout court lorsqu'il n'y a pas de risque de confusion) toute partie de ''A'' qui est simultanément un idéal à gauche et un idéal à droite<ref name=Bbk98/>. Lorsque l'anneau est commutatif, ces notions se confondent toutes<ref name=Bbk98/> mais elles jouent des rôles très dissemblables en algèbre non commutative. De fait, bien qu'intervenant occasionnellement en théorie non commutative (ainsi dans la définition des [[anneau simple|anneaux simples]]), les idéaux bilatères sont dans ce contexte difficiles à manipuler, et de ce fait moins omniprésents que les idéaux à gauche ou à droite<ref>{{Ouvrage | langue=en | auteur1=Louis Rowen | titre=Ring theory | volume=1 | lieu=Boston | éditeur=[[Academic Press]] | année=1988 | numéro d'édition=1 | passage=21 | isbn=978-0-12-599841-3}}. Si les idéaux bilatères sont relativement peu présents dans l'arsenal théorique de l'algèbre non commutative, ils n'en demeurent pas moins essentiels comme mode de construction d'exemples par passage au quotient ; voir en ce sens plusieurs des exemples au chapitre I de {{Ouvrage|lang=en|prénom1=T. Y.|nom1=Lam|lien auteur=Tsit Yuen Lam|titre=A First Course in Noncommutative Rings<!--|éditeur=Springer-->|collection=[[Graduate Texts in Mathematics|GTM]]|numéro dans collection=131|numéro d'édition=1|éditeur=Springer-Verlag|lieu=New York|année=1991|isbn=978-0-387-97523-8|url={{Google Livres|f15FyZuZ3-4C}}}}.</ref>. On peut remarquer<ref>{{Harvsp|Rowen|1988|p=16}}.</ref> que les idéaux bilatères sont les sous-structures pour la structure de ''A''-''A''-[[bimodule]] sur ''A''.

=== Les idéaux comme noyaux : idéaux bilatères et anneaux-quotients ===
{{Article détaillé|Anneau quotient}}
En répétant ce qui vient d'être dit pour se focaliser sur les seuls idéaux bilatères, on peut réécrire explicitement leur définition :

Une partie ''I'' d'un anneau ''A'' est appelée un '''idéal bilatère''' de ''A'' (ou '''idéal''' quand on ne craint pas de confusion, notamment en algèbre commutative) lorsque<ref>{{Ouvrage | auteur1=[[Roger Godement]] | titre=Cours d'Algèbre | éditeur=[[Hermann (éditions)|Hermann]] | année=1966 | numéro d'édition=2 | id=Godement}}, p. 148 pour un exemple d'ouvrage qui définit les idéaux bilatères sans référence préalable aux idéaux à gauche et à droite.</ref> :

* ''I'' est un [[sous-groupe]] additif de ''A'' ;
* Pour tout ''a'' de ''A'' et tout ''x'' de ''I'', ''ax'' ∈ ''I'' et ''xa'' ∈ ''I''. Autrement dit, on demande à ''I'' d'être stable sous multiplication par tout élément de ''A'' (que ce soit à gauche ou à droite), même ceux qui ne sont pas dans ''I''.

Un intérêt spécifique aux idéaux bilatères vient de ce qu'il est possible d'en donner une autre description, qui les lie au concept d'[[anneau quotient]]. Étant donné un idéal bilatère ''I'' d'un anneau ''A'', le [[groupe quotient]] ''A'' / ''I'' peut être muni d'une structure d'anneau, pour laquelle la [[projection canonique sur un groupe quotient|projection canonique]] est un [[morphisme d'anneaux]], de [[noyau (algèbre)|noyau]] ''I''. Réciproquement, tout noyau est un idéal bilatère. On peut synthétiser ces informations par l'énoncé suivant<ref>Cet énoncé est utilisé comme définition d'un idéal bilatère par {{Harvsp|Faith|1973|p=113}}.</ref> :

{{énoncé|Un sous-ensemble ''I'' d'un anneau ''A'' est un idéal (bilatère) si et seulement s'il existe un morphisme d'anneaux dont ''A'' est l'anneau de départ et dont le [[noyau (algèbre)|noyau]] est ''I''.}}

Certaines propriétés des idéaux bilatères peuvent être lues à travers la structure de l'anneau quotient<ref>{{Ouvrage | langue=fr | auteur1=Annette Paugam | titre=Agrégation de mathématiques. Questions délicates en algèbre et en géométrie | lieu=Paris | éditeur=[[Éditions Dunod|Dunod]] | année= | pages totales=271 | passage=92 et 156-158 | isbn=978-2-10-051378-9}} (y compris pour l'exemple des idéaux maximaux).</ref> : ainsi dans un [[anneau commutatif]], un idéal bilatère est [[idéal maximal|maximal]] si et seulement si l'anneau quotient est un [[corps commutatif|corps]].

== Exemples d'idéaux ==
* Si ''A'' est un anneau, {0} et ''A'' sont des idéaux de ''A'', appelés '''[[idéaux triviaux]]'''. On appelle '''idéal propre''' un idéal différent de ''A''.

=== Exemples en algèbre commutative ===
* Les seuls idéaux dans un [[corps commutatif]] '''K''' sont les idéaux triviaux. Cette propriété caractérise les corps parmi les anneaux commutatifs.
* Les idéaux de l'anneau '''Z''' des [[Entier relatif|entiers relatifs]] sont les parties de la forme ''k'''''Z''', pour n'importe quel entier ''k''. Le quotient '''Z'''/''k'''''Z''' est l'anneau des [[Congruence sur les entiers|entiers modulo ''k'']].
* Dans l'anneau ''K''[''X''] des [[polynôme]]s à coefficients dans un corps commutatif ''K'', les idéaux sont les parties de la forme ''P''(''X'')''K''[''X''], pour n'importe quel polynôme ''P''(''X''). Si ce polynôme est [[Polynôme irréductible|irréductible]], l'anneau quotient est un corps, appelé [[corps de rupture]] de ''P''(''X'').

=== Exemples en algèbre non commutative ===
* Les seuls idéaux '''à gauche''' dans un [[corps gauche]] sont les idéaux triviaux. Cette propriété caractérise les corps gauches parmi les anneaux non commutatifs. En revanche un anneau non commutatif ne possédant pas d'idéal '''bilatère''' non trivial n'est pas nécessairement un corps, on dit que c'est un [[anneau simple]].
* Soit ''E'' un [[espace vectoriel de dimension finie]] (supérieure ou égale à 2) sur un [[corps (mathématiques)|corps]] (commutatif ou non). L'anneau des [[endomorphisme linéaire|endomorphismes]] de ''E'' n'a pas d'autre idéal bilatère que les deux idéaux triviaux. En revanche, il possède des idéaux à gauche et à droite non triviaux ; pour tout sous-espace ''F'' de ''E'', l'ensemble des endomorphismes de [[noyau (algèbre)|noyau]] contenant ''F'' est un idéal à gauche, tandis que l'ensemble des endomorphismes d'[[image d'une application linéaire|image]] contenue dans ''F'' est un idéal à droite.

== Propriétés élémentaires ==
=== Inversibles et idéaux ===
Un idéal (à gauche, à droite ou bilatère) contient au moins un élément inversible si et seulement s'il est égal à l'anneau tout entier<ref name=Bbk98/>.

=== Morphismes et idéaux ===

Soit ''A'' et ''B'' deux anneaux et ''φ'' un morphisme d'anneaux de ''A'' dans ''B''. Alors :

L'image réciproque d'un idéal à gauche ({{resp.}} à droite, resp. bilatère) de ''B'' sous ''φ'' est un idéal à gauche (resp. à droite, resp. bilatère) de ''A''. On peut ainsi expliquer pourquoi un [[noyau (algèbre)|noyau]] est un idéal bilatère : c'est qu'il est l'image réciproque de l'idéal bilatère nul.

En ce qui concerne l'image directe d'un idéal de ''A'', on peut seulement conclure que c'est un idéal (de même nature) du [[sous-anneau]] ''φ(A)''. Si φ n'est pas [[Surjection|surjectif]], rien n'oblige que ce soit un idéal de ''B'' : qu'on songe à φ l'inclusion canonique de ''A'' = ℤ dans ''B'' = ℚ. Alors φ(''I'') n'est un idéal de ℚ que si ''I'' est l'idéal nul.

Lorsque φ est surjectif, la situation est toutefois particulièrement simple<ref name=Rowen7>{{Harvsp|Rowen|1988|p=7-8}}.</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage|titre=Mathématiques - Tout-en-un pour la Licence 2|numéro d'édition=3|auteur=[[Jean-Pierre Ramis]]|auteur2=[[André Warusfel]]|et al.=oui|éditeur=[[Dunod]]|date=2020|url={{Google Livres|_ujMDwAAQBAJ|page=16}}|page=16}}.</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage|titre=Mathématiques pour l'agrégation|titre volume=Algèbre & géométrie|auteur=Jean-Étienne Rombaldi|éditeur=[[De Boeck Supérieur]]|date=2017|url={{Google Livres|itgyDwAAQBAJ|page=208}}|page=208-209}}.</ref> :

{{énoncé|Soit φ morphisme d'anneaux surjectif de ''A'' vers ''B''. L'application <math>I\mapsto \varphi(I)</math> est une bijection entre l'ensemble des idéaux à gauche (resp. à droite, resp. bilatères) de ''A'' contenant Ker(''φ'') et l'ensemble des idéaux à gauche (resp. à droite, resp. bilatères) de ''B''. Sa [[bijection réciproque]] est <math>J\mapsto \varphi^{-1}(J)</math>.}}

=== Intersection d'idéaux ===

L'intersection de deux idéaux à gauche (resp. à droite, resp. bilatères), ou plus généralement d'une famille d'idéaux, est un idéal du même type.

=== Idéal engendré par un ensemble ===

Si ''P'' est une partie d'un anneau ''A'', on appelle '''idéal à gauche''' (resp. à droite, resp. bilatère) '''engendré par''' ''P'' l'intersection de tous les idéaux à gauche (resp. à droite, resp. bilatères) de ''A'' contenant ''P''. C'est donc le plus petit idéal<ref name=Dummit>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=David Dummit|auteur2=Richard Foote|titre=Abstract algebra|éditeur=Prentice-Hall|année=1991|passage=250-251|isbn=}}.</ref> contenant ''P''.

On peut le décrire comme suit<ref name=Dummit/>, les sommes étant à comprendre comme indexées par un [[ensemble fini]] :

* pour l'idéal à gauche engendré noté ici (''P'')<sub>g</sub> :

:<math>(P)_g\stackrel{\text{def}}{=}\left\{\left.\sum_{\lambda}a_\lambda x_\lambda\,\right|\,a_\lambda\in A,\, x_\lambda\in P\right\}</math> ;

* pour l'idéal à droite engendré noté ici (''P'')<sub>d</sub> :

:<math>(P)_d\stackrel{\text{def}}{=}\left\{\left.\sum_{\lambda}x_\lambda b_\lambda\,\right|\, x_\lambda\in P,\, b_\lambda\in A\right\}</math> ;

* pour l'idéal bilatère engendré noté ici (''P'') :

:<math>(P)\stackrel{\text{def}}{=}\left\{\left.\sum_{\lambda}a_\lambda x_\lambda b_\lambda\,\right|\,a_\lambda\in A,\, x_\lambda\in P,\, b_\lambda\in A\right\}</math>.

Un cas important est celui où ''P'' a un seul élément ''x''. On parle alors de l'[[idéal principal]] (à gauche, à droite ou bilatère) engendré par ''x''.

=== Somme d'idéaux ===
Si ''I'' et ''J'' sont deux idéaux à gauche (resp. à droite, resp. bilatères) d'un anneau ''A'', on appelle '''somme''' de ''I'' et ''J'' l'ensemble des ''x'' + ''y'' où ''x'' parcourt ''I'' et ''y'' parcourt ''J''.

C'est à son tour un idéal du même type. Lorsqu'on interprète les idéaux comme sous-modules, leur somme en tant qu'idéaux est le même idéal que leur [[somme de sous-modules|somme en tant que sous-modules]]. La somme peut aussi être définie comme l'idéal du même type engendré par la réunion ''I'' ∪ ''J''.

Pour l'intersection et la somme, l'ensemble des idéaux à gauche (resp. à droite, resp. bilatères) d'un anneau ''A'' est un [[Treillis (ensemble ordonné)|treillis]]<ref name=Rowen7/>.

Plus généralement, pour une famille quelconque d'idéaux à gauche (resp. à droite, resp. bilatères) <math>(I_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}</math>, la somme de la famille, notée <math>\sum_{\lambda\in\Lambda} I_\lambda </math> est l'ensemble des sommes <math>\sum_{\lambda\in\Lambda} x_\lambda </math>
ne contenant qu'un nombre fini de termes et où <math>x_\lambda </math> varie dans <math>I_\lambda </math>. Cet ensemble est lui aussi un idéal du même type, et c'est aussi l'idéal de ce type engendré par la réunion des <math>(I_\lambda)</math>.

== Idéaux de type fini, conditions de chaîne ==
=== Idéaux de type fini ===
On a déjà mentionné [[#Idéal engendré par un ensemble|plus haut]] l’appellation d'idéal principal pour un idéal (à gauche, à droite ou bilatère) qui peut être engendré par un seul élément.

On définit plus généralement un '''idéal de type fini''' comme un idéal (à gauche, à droite ou bilatère) qui peut être engendré par une partie finie<ref>{{Harvsp|Dummit|Foote|1991|p=250}} pour les idéaux bilatères. Pour les idéaux à gauche ou à droite, les sources consultées se bornent à renvoyer implicitement à la notion de [[module de type fini|sous-module de type fini]].</ref>.

=== Conditions de chaîne sur les idéaux : anneaux noethériens et artiniens ===
Dans cette section on entend par « suite stationnaire » d'idéaux une suite d'idéaux <math>(I_n)</math> constante à partir d'un certain rang (c'est-à-dire pour laquelle il existe un ''n'' tel que <math>I_n=I_{n+1}=I_{n+2}=\cdots</math>).

On appelle [[anneau noethérien à gauche]] (resp. à droite) un anneau dans lequel toute suite d'idéaux à gauche (resp. à droite) croissante pour l'inclusion est stationnaire. On dit aussi qu'il vérifie la « [[condition de chaîne]] ascendante » sur les idéaux du type considéré. Cette propriété est reliée à la notion d'idéal de type fini par l'énoncé suivant, à la démonstration assez simple :

{{énoncé|Un anneau est noethérien à gauche (resp. à droite) si et seulement si tous ses idéaux à gauche (resp. à droite) sont de type fini.}}

On appelle [[anneau artinien à gauche]] (resp. à droite) un anneau dans lequel toute suite d'idéaux à gauche (resp. à droite) décroissante pour l'inclusion est stationnaire. On dit aussi qu'il vérifie la « condition de chaîne descendante » sur les idéaux du type considéré<ref>{{Ouvrage | langue=en | auteur1=J. C. McConnell | auteur2=J. C. Robson | titre=Noncommutative Noetherian Rings | lieu=Providence | éditeur=[[American Mathematical Society|AMS]] | collection=Graduate Studies in Mathematics | numéro dans collection=30 | année=2001 | pages totales=636 | passage=2 | isbn=978-0-8218-2169-5 | lire en ligne={{Google Livres|c3fWk8LoSvgC}}}} (pour l'ensemble de la section jusqu'à cette note).</ref>.

Un {{Lien|langue=en|trad=Hopkins–Levitzki theorem|fr=théorème de Hopkins-Levitzki|texte=théorème de Hopkins et Levitzki}}, à la démonstration fort substantielle, a le corollaire suivant<ref>{{harvsp|Lam|1991|p=21}}. Lam qualifie le théorème de « hautement non trivial » ({{Citation étrangère|lang=en|highly non trivial}}).</ref> :

{{énoncé|Tout anneau artinien à gauche est noethérien à gauche.}}

== Idéaux en algèbre commutative ==

Les notions détaillées dans cette section admettent des généralisations en algèbre non commutative. Dans cet article d'introduction elles sont présentées dans le seul contexte d'un [[anneau commutatif]], contexte où elles sont particulièrement pertinentes.

=== Produit d'idéaux ===

Si ''I'' et ''J'' sont deux idéaux d'un anneau commutatif, on appelle '''idéal produit''' de ''I'' et ''J'' l'idéal noté ''IJ'' engendré par l'ensemble des produits<ref>{{Ouvrage | langue=en |prénom=Pierre Antoine|nom=Grillet | titre=Abstract Algebra | lieu=New York | éditeur=[[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]] | année=2007 | numéro d'édition=2 | pages totales=669|url={{Google Livres|LJtyhu8-xYwC|page=112}}|page=112}}, fait remarquer qu'il y a un heurt de notations, l'ensemble de ces produits (qui n'est pas un sous-groupe en général) pouvant en principe être lui aussi noté ''IJ''. Cette confusion n'est pas gênante en pratique, cet ensemble de produits étant rarement évoqué en tant que tel.</ref> ''xy'', où ''x'' parcourt ''I'' et ''y'' parcourt ''J''. Il est donc égal à l'ensemble des sommes finies <math>\sum_{k\in E} x_k y_k</math> où ''E'' est un ensemble fini, <math>x_k\in I</math> et <math>y_k\in J</math>.

Exemple : dans l'anneau '''Z''', le produit des idéaux 2'''Z''' et 3'''Z''' est l'idéal 6'''Z''' – donc égal à leur intersection ; en revanche le produit de l'idéal 2'''Z''' par lui-même est l'idéal 4'''Z'''.

On a toujours <math>IJ\subset I\cap J</math> mais l'inclusion peut être stricte comme le montre l'exemple précédent.

=== Quotient d'idéaux ===

Si ''I'' et ''J'' sont deux idéaux d'un anneau commutatif ''A'', on appelle '''idéal quotient''' de ''I'' par ''J'' l'ensemble noté <math>I \colon J</math> défini par :

<center><math>I \colon J=\{x\in A\,\mid\, xJ\subset I\}.</math></center>

C'est un idéal de ''A''.

=== Radical d'un idéal ===
Si <math>I</math> est un idéal d'un anneau commutatif <math>A</math>, on appelle '''[[Radical d'un idéal|radical]]''' de <math>I</math> l'ensemble noté <math>\sqrt{I}</math> formé des éléments <math>x</math> de <math>A</math> pour lesquels il existe un entier naturel <math>n</math> tel que <math> x^n \in I</math>. C'est un idéal de <math>A</math>.

=== Idéaux premiers et idéaux maximaux ===
Les notions d'idéal premier et d'idéal maximal, particulièrement la première, jouent en théorie générale des anneaux un rôle similaire à celui des [[nombre premier|nombres premiers]] en arithmétique sur les entiers. Dans l'anneau '''Z''' des [[entiers relatifs]], les idéaux maximaux sont exactement les ''p'''''Z''' où ''p'' est un nombre premier ; s'y ajoute un et un seul idéal premier non maximal, l'idéal {0}.

Un idéal ''P'' d'un anneau commutatif ''A'' est appelé un '''[[idéal premier]]''' lorsque ''P'' est une partie stricte de ''A'' et, pour tous ''x'', ''y'' de ''A'', quand le produit ''xy'' est dans ''P'', alors ''x'' appartient à ''P'' ou ''y'' appartient à ''P''. Cette condition équivaut à demander à l'[[anneau-quotient]] ''A''/''P'' d'être intègre<ref name="Lang99">{{Lang1}}, p. 99-100 dans l'édition Dunod.</ref>.

Un idéal ''M'' d'un anneau commutatif ''A'' est appelé un '''[[idéal maximal]]''' lorsqu'il existe exactement deux idéaux contenant ''M'', à savoir ''A'' et ''M'' lui-même. Cette condition équivaut à demander à l'[[anneau-quotient]] ''A''/''M'' d'être un [[corps commutatif]]<ref name="Lang99"/>.

=== Décompositions d'un idéal ===
La théorie de la [[décomposition en facteurs premiers]] des entiers se reproduit dans une large classe d'anneaux commutatifs, les [[anneau factoriel|anneaux factoriels]]. Pour vaste que soit cette classe, les anneaux non factoriels sont monnaie courante, et des généralisations plus techniques de la décomposition en facteurs premiers se sont avérées des plus utiles. Même dans un cadre factoriel d'ailleurs, la décomposition d'idéaux premiers non principaux concerne aussi des idéaux non principaux sur lesquels la factorisation des éléments n'a pas de prise, et apporte donc un éclairage supplémentaire.

==== Décomposition d'un idéal en idéaux primaires, idéaux irréductibles ====

En « théorie additive » des idéaux, l'opération prépondérante est l'intersection : une décomposition d'un idéal sera une écriture de celui-ci comme intersection d'idéaux d'un type fondamental. Elle n'est pas sans parenté avec la décomposition d'un entier en facteurs [[nombre primaire|entiers primaires]].

Une première étape dans cette voie peut être de décomposer l'idéal en intersection d'idéaux irréductibles, où on définit un '''idéal irréductible''' comme un idéal propre ''I'' qu'on ne peut pas décomposer comme intersection de deux idéaux différents de ''I''. Tout idéal premier est irréductible et, dans un anneau noethérien, tout idéal est intersection finie d'idéaux irréductibles.

On définit ensuite un '''idéal primaire''' ''I'' comme un idéal propre d'un anneau commutatif ''A'' vérifiant la propriété suivante : pour tous ''a'' et ''b'' de ''A'' tels que ''ab'' ∈ ''I'', si ''a'' ∉ ''I'' alors il existe un entier ''n'' > 0 tel que ''b<sup>n</sup>'' ∈ ''I''. Comme ''ab = ba'', cette propriété équivaut à : pour tous ''a'' et ''b'' de ''A'' tels que ''ab'' ∈ ''I'', si ni ''a'', ni ''b'' n'appartient à ''I'' alors ''a'' et ''b'' appartiennent tous deux au [[Radical d'un idéal|radical]] de ''I''. En termes d'anneaux quotients, ''I'' est ainsi primaire si et seulement si tout [[diviseur de zéro]] dans l'anneau ''A''/''I'' est [[nilpotent]].

Dans un anneau noethérien, tout idéal irréductible est primaire.

On déduit de ce qui précède le [[théorème de Lasker-Noether]] :

{{énoncé|Dans un anneau noethérien, tout idéal peut se représenter comme intersection finie d'idéaux primaires.}}

Il n'y a pas unicité de la représentation, même si on exige qu'elle soit minimale, mais on dispose d'énoncés qui assurent que deux représentations distinctes ne sont pas trop éloignées l'une de l'autre.

==== Théorie multiplicative des idéaux, anneaux de Dedekind ====
En exigeant davantage de l'anneau, on peut aller plus loin et décomposer un idéal par une écriture se rapprochant davantage de la factorisation des entiers en facteurs premiers ; on devra alors rechercher une écriture comme produit d'idéaux et non plus comme intersection : dans '''Z''' l'idéal ''p''<sup>2</sup>'''Z''' peut s'écrire comme produit de ''p'''''Z''' par lui-même, mais ne pourrait pas être représenté comme une intersection d'idéaux tous différents de lui-même.

Dans un premier temps, limiter la [[#Dimension de Krull|dimension de l'anneau]] qu'on étudie garantit que la représentation en intersection d'idéaux primaires est aussi une représentation comme produit :

{{énoncé|Soit ''A'' un [[anneau intègre]] noethérien de dimension 1 (c'est-à-dire où tout idéal premier non nul est maximal). Tout idéal de ''A'' peut être représenté comme produit d'idéaux primaires.}}

Dans un second temps, si l'anneau est en outre [[anneau intégralement clos|intégralement clos]], ses idéaux primaires sont exactement les puissances d'idéaux premiers. Ceci conduit à introduire les [[anneau de Dedekind|anneaux de Dedekind]], qui sont les anneaux intègres noethériens de dimension 1 intégralement clos, et mène au résultat suivant, où on a en outre unicité de la décomposition :

{{énoncé|Soit ''A'' un anneau de Dedekind. Tout idéal de ''A'' peut être représenté de façon unique (à l'ordre des facteurs près) comme produit d'idéaux premiers.}}

==== Exemples ====

Dans ces exemples on note (''a'') l'idéal principal engendré par ''a'', et (''a'',''b'') l'idéal engendré par ''a'' et ''b''.

* Dans '''Z''', les décompositions des idéaux reproduisent les décompositions des entiers en facteurs primaires ou premiers. Par exemple :<center>(180) = (4) ∩ (9) ∩ (5) = (2)<sup>2</sup> (3)<sup>2</sup> (5).</center>
* Dans un anneau de Dedekind non factoriel, comme '''Z'''[{{math|i}}{{racine|5}}], où l'élément 6 admet deux décompositions distinctes en irréductibles, soit 6 = 2 . 3 = (1 + {{math|i}}{{racine|5}}).(1 – {{math|i}}{{racine|5}}), les décompositions de l'idéal principal (6) font intervenir des idéaux non principaux :<center>(6) = (2) ∩ (3, 2 + {{math|i}}{{racine|5}}) ∩ (3, 2 – {{math|i}}{{racine|5}}) = (2, 1 + {{math|i}}{{racine|5}})<sup>2</sup> (3, 2 + {{math|i}}{{racine|5}}) (3, 2 – {{math|i}}{{racine|5}}).</center>
* Dans l'anneau ''k''[''X'',''Y''] (de [[#Dimension de Krull|dimension de Krull]] 2), l'idéal non primaire (''X''<sup>2</sup>,''XY'')=(''X'') ∩ (''X''<sup>2</sup>,''Y'') = (''X'') ∩ (''X'',''Y'')<sup>2</sup> admet deux décompositions minimales distinctes comme intersection d'idéaux primaires. L'idéal primaire (''X''<sup>2</sup>,''Y'') ne peut pas être représenté comme un produit d'idéaux premiers.
* Dans l'anneau non intégralement clos ''k''[''T''<sup>2</sup>,''T''<sup>3</sup>], l'idéal primaire (''T''<sup>3</sup>) ne peut pas être décrit comme produit d'idéaux premiers.

=== L'ensemble des idéaux premiers ===

==== Effets du quotient et de la localisation ====
On a signalé {{supra|Morphismes et idéaux}} que le passage au quotient d'un anneau ''A'' par un idéal bilatère ''I'' induit une bijection entre les idéaux de ''A'' contenant ''I'' et les idéaux de ''A'' / ''I''. Cette bijection respecte le caractère premier des idéaux.

{{énoncé|2=Soit ''I'' idéal d'un anneau commutatif ''A''. La projection canonique met en bijection l'ensemble des idéaux premiers de ''A'' contenant ''I'' et l'ensemble des idéaux premiers de ''A'' / ''I''.}}

Les idéaux contenus dans ''I'' peuvent pour leur part être isolés des autres par le procédé de [[localisation (mathématiques)|localisation]]. On a alors l'énoncé suivant :

{{énoncé|2=Soit ''I'' idéal premier d'un anneau commutatif ''A''. La localisation met en bijection l'ensemble des idéaux premiers de ''A'' contenus dans ''I'' et l'ensemble des idéaux premiers de l'anneau localisé ''A<sub>I</sub>''.}}

==== Dimension de Krull ====

La structure ordonnée par l'inclusion de l'ensemble des idéaux premiers est à la source d'une des définitions possibles de la dimension d'un anneau, cohérente avec l'intuition géométrique pour les anneaux qui interviennent en [[géométrie algébrique]]. La '''[[dimension de Krull]]''' d'un anneau commutatif ''A'' est définie comme le plus grand ''n'' pour lequel il existe une chaîne strictement croissante d'idéaux premiers de ''A'' de la forme :

<center><math>I_0 \subsetneq I_1 \subsetneq \cdots \subsetneq I_n </math>.</center>

==== Topologie sur le spectre et spectre maximal ====

L'ensemble des idéaux premiers d'un anneau commutatif ''A'' est appelé le '''[[spectre premier]]''' de ''A''. Il est possible de le munir d'une [[espace topologique|topologie]], dite de Zariski, qui généralise la [[topologie de Zariski sur un ensemble algébrique|topologie de Zariski d'un ensemble algébrique]]. Une fois cette topologie définie, l'espace topologique Spec(''A'') peut être équipé d'un [[Préfaisceau#Faisceaux|faisceau]] d'anneaux, localisés de ''A''. L'objet est alors à la base de la définition des [[schéma (géométrie algébrique)|schémas]], qui généralisent les [[variété algébrique|variétés algébriques]].

Si le spectre premier, parce que sa construction est [[foncteur|fonctorielle]], est particulièrement adapté à la géométrie algébrique, le '''spectre maximal''', ensemble des idéaux maximaux, est souvent sollicité en [[analyse fonctionnelle (mathématiques)|analyse fonctionnelle]], particulièrement en théorie des [[algèbre de Banach|algèbres de Banach]] commutatives unitaires. Il peut être muni d'une [[topologie]] [[espace séparé|séparée]]. La {{Lien|trad=Gelfand representation|transformation de Gelfand}} permet alors, lorsqu'elle est injective, d'interpréter les éléments de l'algèbre de Banach comme des fonctions sur le spectre de l'algèbre.

== Aspect historique ==
La théorie des idéaux est relativement récente puisqu'elle fut créée par [[Richard Dedekind]] vers la fin du {{s-|XIX}}. À cette époque, une partie de la communauté mathématique s'intéressait aux [[nombre algébrique|nombres algébriques]] et plus particulièrement aux [[entier algébrique|entiers algébriques]].

La question était de savoir si les entiers algébriques se comportent comme les [[entier relatif|entiers relatifs]], en particulier la décomposition « unique » en facteurs indécomposables. {{Référence souhaitée|Il semblait bien, dès le début du {{s-|XIX}}, que cela n'était pas toujours le cas}} : 6 par exemple pouvant se décomposer dans l'anneau '''Z'''[{{math|i}}{{racine|5}}] sous la forme 2 × 3 ou sous la forme (1 + {{math|i}}{{racine|5}})(1 – {{math|i}}{{racine|5}}).

[[Ernst Kummer]], mis en garde contre une généralisation hâtive par [[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet|Lejeune Dirichlet]]<ref>[[André Weil]], ''Introduction'' à Ernst Eduard Kummer, ''Collected Papers'', Volume I, Springer, 1975, p. 3.</ref>, s'était rendu compte d'un fait qu'il considérait comme extrêmement déplorable (''maxime dolendum'') : contrairement aux entiers relatifs, les combinaisons linéaires à coefficients entiers relatifs des puissances d'une racine donnée de l'unité (dans une terminologie plus tardive : les entiers d'un [[Extension cyclotomique|corps cyclotomique]]) ne se décomposent pas forcément de façon unique (aux facteurs « unités » près) en produits d'éléments indécomposables. Pour sauver l'unicité de la décomposition, Kummer introduit, dans un article de 1847, la notion de [[Nombre complexe|nombres complexes]] idéaux<ref>Ernst Kummer, « Zur Theorie der complexen Zahlen », ''Journal für die reine und angewandte Mathematik'' '''35''', 319-326 (1847), reproduit dans Ernst Eduard Kummer, ''Collected Papers'', Volume I, Springer, 1975, p. 203-210 : « einer eigenthümlichen Art imaginärer Divisoren, welche ich ''ideale complexe Zahlen'' nenne ». Voir l'introduction d'[[André Weil]] au volume de 1975, p. 5 et 10.</ref>.

L'idée est de rendre unique la décomposition en facteurs premiers en ajoutant artificiellement d'autres nombres (de la même manière qu'on ajoute ''i'' aux [[Nombre réel|nombres réels]] tel que <math>i^2=-1</math> afin de disposer de nombres aux carrés négatifs). Dans l'exemple ci-dessus, on va « inventer » quatre nombres « idéaux » ''a'', ''b'', ''c'' et ''d'' tels que :

:<math>2 = a \cdot b</math>
:<math>3 = c \cdot d</math>
:<math>1+\mathrm i\sqrt5= a \cdot c</math>
:<math>1-\mathrm i\sqrt5=b \cdot d</math>

Ainsi, 6 se décomposera alors de manière unique en :

:<math>6 = a \cdot b \cdot c \cdot d</math>

En 1871, Dedekind crée la notion, définie dans le présent article, d'idéal d'un anneau. Les idéaux de Dedekind sont une nouvelle formalisation et une généralisation des {{Lien|trad=Ideal number|fr=nombre idéal|texte=nombres complexes idéaux}} de Kummer. Dedekind s'intéresse principalement aux anneaux d'entiers algébriques, qui sont intègres. C'est dans ce domaine que se trouvent les résultats les plus intéressants sur les idéaux. Il crée sur l'ensemble des idéaux d'un anneau intègre des opérations semblables à l'addition et la multiplication dans les entiers relatifs.

La théorie des idéaux a permis une avancée significative dans l'[[algèbre générale]], mais aussi dans l'étude des courbes algébriques (géométrie algébrique).

== Quelques notions homonymes ==

Dans d'autres contextes mathématiques, divers objets sont aussi appelés idéaux, chacun apparenté ou analogue en un certain sens aux idéaux d'anneaux traités dans cet article :

* En algèbre commutative, les [[idéal fractionnaire|idéaux fractionnaires]] sont de proches parents des idéaux et interviennent notamment dans l'étude des [[anneau de Dedekind|anneaux de Dedekind]] ;
* On peut définir de façon très analogue un idéal dans une [[algèbre sur un anneau|algèbre]], même non associative. On parle notamment d'[[idéal d'une algèbre de Lie]].
* Dans un [[treillis (ensemble ordonné)|treillis]], il existe un concept d'[[idéal d'un treillis|idéal du treillis]], dont la définition présente une grande analogie formelle avec celle d'un idéal d'un anneau<ref>La définition est formellement la même si l'on note additivement l'opération Sup et multiplicativement l'opération Inf du treillis, cf. {{Harvsp|Grillet|2007|p=552}}.</ref>.

== Sources ==
{{Références|colonnes=2}}
En outre, la section « [[#Aspect historique|Aspect historique]] » a été écrite en utilisant {{BouvItardSallé}}.

{{Palette|Théorie des anneaux}}

{{Portail|algèbre}}

[[Catégorie:Idéal| ]]
[[Catégorie:Anneau]]