Voir la source de Identité d'Euler

{{Confusion|texte=Ne doit pas être confondue avec l'identité d'Euler du [[théorème d'Euler (fonctions de plusieurs variables)]], ni avec les [[q-symbole de Pochhammer#Identités|deux identités d'Euler liées au théorème q-binomial]].}}
En [[mathématiques]], l''''identité d'Euler''' est une relation entre plusieurs [[Table de constantes mathématiques|constantes]] fondamentales et utilisant les trois opérations arithmétiques d'[[addition]], [[multiplication]] et [[exponentiation]] :
<center><math>\mathrm e^{\mathrm i\pi}+1=0</math></center>

Elle porte le nom du [[mathématicien]] [[Leonhard Euler]] qui la fait apparaître dans son ''[[Introductio in analysin infinitorum|Introductio]]'', publié à [[Lausanne]] en [[1748]]. Avant d'être citée par Euler, cette formule était connue du mathématicien anglais [[Roger Cotes]], mort en 1716.

== Démonstration ==

=== Par l'analyse complexe ===
Puisque {{math|1=cos π = –1}} et {{math|1=sin π = 0}}, cette formule est le cas particulier {{math|1=''x'' = π}} de la [[formule d'Euler]] en [[analyse complexe]] (pour tout [[nombre réel]] {{math|1=''x'', e{{exp|i''x''}} = cos ''x'' + i sin ''x''}}).

C'est aussi le cas particulier ''n'' = 2 de la nullité de la [[racine de l'unité#Expression complexe|somme des racines ''n''-ièmes de l'unité]].

=== Par la géométrie ===

<gallery perrow="4" widths="200" heights="150">
  Image:EulerIdentity2.png|
  Image:EulerIdentity2b.png</gallery><gallery>
  Image:EulerIdentity8.png|Juxtaposition de 8 triangles rectangles
  Image:EulerIdentity16.png|Juxtaposition de 16 triangles rectangles
  Image:EulerIdentity2.svg|Illustration du résultat
</gallery>

L'interprétation géométrique qui fournit une piste de démonstration par une suite est basée sur la juxtaposition de [[Triangle rectangle|triangles rectangles]].
:<math>\forall z\,\in\mathbb{C} \quad \mathrm e^z = \lim_{n\to\infty} \left(1+\dfrac{z}{n}\right)^n </math>
or, les [[Nombre complexe#Interprétation géométrique|multiplications complexes]] se traduisant par des rotations, le point de coordonnées <math>\left(1 + \dfrac{\mathrm i\pi}N\right)^N</math> est obtenu en juxtaposant ''N'' triangles rectangles<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=Tristan Needham|titre=Visual Complex Analysis|lieu=Oxford|éditeur=[[Oxford University Press]]|année=1997|pages totales=592|passage=82-84|isbn=0-19-853447-7}}.</ref>.

== Beauté mathématique ==
L'identité d'Euler est souvent citée comme un exemple de [[beauté mathématique]]<ref name=Gallagher2014>{{article|lang=en|nom=Gallagher|prénom=James|titre=Mathematics: Why the brain sees maths as beauty|url=https://www.bbc.co.uk/news/science-environment-26151062|journal=[[BBC News]] online|date=13 février 2014}}.</ref>.

En effet, outre l'égalité, trois des opérations fondamentales de l'arithmétique y sont utilisées, chacune une fois : l'[[addition]], la [[multiplication]] et l'[[exponentiation]]. L'identité fait également intervenir cinq [[constante mathématique|constantes mathématiques]] fondamentales<ref>{{en}} [[John Allen Paulos]], ''Beyond Numeracy: An Uncommon Dictionary of Mathematics'', [[Penguin Group|Penguin]], 1992 {{ISBN|0-14-014574-5}}, p. 117.</ref> :
* [[0 (nombre)|0]], l'élément neutre de l'addition.
* [[1 (nombre)|1]], l'élément neutre de la multiplication.
* [[pi|{{math|π}}]], omniprésente en [[trigonométrie]], en géométrie dans l'[[espace euclidien]] et en [[analyse mathématique]] ({{math|π}} = 3,14159265...)
* [[e (nombre)|{{math|e}}]], base des [[logarithme]]s qui apparait souvent en analyse, calcul différentiel et [[mathématiques financières]] ({{math|e}} =  2,718281828...). Tout comme {{math|π}}, c'est un [[nombre transcendant]].
* [[Unité imaginaire|{{math|i}}]], l'unité imaginaire à la base des [[nombre complexe|nombres complexes]], qui ont permis l'étude de la résolution des [[Équation polynomiale|équations polynomiales]] avant de voir leur usage élargi.

L'inventaire de ces différents éléments est mieux mis en évidence par la [[notation polonaise inverse]] de la formule d'Euler :
:0 ; 1 ; ''e'' ; ''i'' ;π ;  * ; ^ ; +; =
De plus, sous cette forme, l'identité est écrite comme une expression égale à zéro, une pratique courante en mathématique.

On en déduit que l'[[exponentielle complexe]] est {{math|2πi}}-[[Fonction périodique|périodique]].

=== Hommages ===

[[Paul J. Nahin]], professeur émérite de l'[[université du New Hampshire]], écrit dans son ouvrage consacré à l'identité d'Euler et ses applications en [[analyse de Fourier]] que la formule définit {{citation|l'[[étalon-or]] de la [[beauté mathématique]]}}<ref name=Crease>{{en}} {{Lien|Robert P.  Crease}}, « {{lang|en|Equations as icons}} », ''PhysicsWeb'', mars 2007 ([http://physicsworld.com/cws/article/print/27160 accès sur inscription]).</ref>.

Quand l'identité d'Euler fut révélée à [[Benjamin Peirce]], il déclara : {{citation|Messieurs, c’est certainement vrai, c’est absolument paradoxal ; on ne peut pas la comprendre, et on ne sait pas ce qu'elle signifie, mais nous l'avons prouvée, et dès lors, nous savons qu'elle doit être la vérité.}}<ref>{{en}} [[Eli Maor]], ''e: The Story of a number'', [[Princeton University Press]], 1998 {{ISBN|978-0-691-14134-3}}, [https://books.google.com/books?id=eIsyLD_bDKkC&pg=PA160 p. 160] et {{en}} [[Edward Kasner]] et [[James R. Newman]], ''{{Lien|Mathematics and the Imagination}}'', [[Dover Publications|Dover]], 2013 ({{1e}} éd. [[Simon & Schuster]], 1940), [https://books.google.fr/books?id=-bXDAgAAQBAJ&pg=PA103 p. 103-104].</ref>.

Le célèbre physicien [[Richard Feynman]] la considère même comme {{Citation|la formule la plus remarquable des mathématiques<ref>{{Feynman Lectures on Physics}}, vol. I, [https://www.feynmanlectures.caltech.edu/I_22.html chap. 22], formule 22.9 : {{Citation étrangère|lang=en|the most remarkable formula in mathematics}}.</ref>}}.

L'identité d'Euler apparaît également dans le roman ''[[La Formule préférée du professeur]]'' de [[Yōko Ogawa]].

== Histoire ==
Le mathématicien anglais [[Roger Cotes]] (mort en 1716, quand Euler avait seulement {{nb|9 ans}}) connaissait cette identité. Euler pourrait en avoir appris l'existence par son compatriote suisse [[Johann Bernoulli]]<ref>{{en}} Charles Edward Sandifer, ''The Early Mathematics of Leonhard Euler'', American Mathematical Society, {{p.|4}}. {{ISBN|978-0521116602}}</ref>.

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Euler's identity|627132043|type=note}}
{{références}}

{{palette|Nombre e}}
{{Portail|théorie des nombres}}

[[Catégorie:Analyse complexe]]
[[Catégorie:Exponentielle|Identite d'Euler]]
[[Catégorie:Identité mathématique|Euler]]
[[Catégorie:Leonhard Euler]]

[[pl:Wzór Eulera#Tożsamość Eulera]]