Voir la source de Identité de polarisation

En [[mathématiques]], les '''identités de polarisation''' concernent l'[[algèbre multilinéaire]]. Elles correspondent à une caractérisation des [[forme bilinéaire symétrique|formes bilinéaires symétriques]], des [[Forme sesquilinéaire complexe|formes sesquilinéaires hermitiennes]]. Si ''E'' est un [[espace vectoriel]], ces formes sont des [[Application (mathématiques)|applications]] de ''E''×''E'' dans le [[corps commutatif|corps]] des scalaires ([[nombre réel|réels]] ou [[nombre complexe|complexes]]).  Elles sont intégralement caractérisées par leur comportement sur la diagonale, c'est-à-dire par la connaissance d'une telle forme ''f'' sur l'ensemble des points (''x'', ''x'') où ''x'' est un élément quelconque de ''E''. L'application φ qui à ''x'' associe ''f''(''x'', ''x'') est la [[forme quadratique]] associée.

Il existe ainsi une équivalence entre les formes bilinéaires symétriques et les formes quadratiques.
Une identité de polarisation permet d'exprimer une forme bilinéaire symétrique ou une forme sesquilinéaire hermitienne à partir de la forme quadratique associée.

== Identités de polarisation ==
Les identités de polarisation sont de deux types différents, celles qui s'appliquent sur les formes bilinéaires et celles pour les formes sesquilinéaires.

=== Formes bilinéaires symétriques ===
Le contexte des identités de polarisation est celui d'un espace vectoriel ''E'' quelconque sur un corps ''K'' 
commutatif et de [[Caractéristique d'un anneau|caractéristique]] différente de deux. Soit φ une [[forme quadratique]] sur ''E'', non nécessairement définie et non nécessairement positive (si le corps ''K'' est ordonné).

{{Théorème|Définition|
On appelle '''identité de polarisation''' chacune des trois égalités suivantes, qui définissent l'unique [[forme bilinéaire symétrique]] ''f'' de ''E''×''E'' dans ''K'' telle que <math>f(x,x)=\varphi (x)</math> :
<center><math>\forall x,y\in E\quad f(x,y) = \frac12\bigl(\varphi(x+y)-\varphi(x)-\varphi(y)\bigr),</math></center>
<br/>
<center><math>\forall x,y\in E\quad f(x,y) = \frac12\bigl(\varphi(x)+\varphi(y)-\varphi(x-y)\bigr),</math></center>
<br/>
<center><math>\forall x,y\in E\quad f(x,y) = \frac14\bigl(\varphi(x+y)-\varphi(x-y)\bigr).</math></center>
}}

En particulier, soit ''E'' un [[espace préhilbertien]] réel dont la [[norme (mathématiques)|norme]] d'un vecteur ''x'' est notée : <math>\scriptstyle {\|x\|}</math> et le [[produit scalaire]] de deux vecteurs ''x'' et ''y'' : <math>\scriptstyle {(x|y)}</math>. Les deux égalités suivantes sont vérifiées :
<center><math>\forall x,y  \in E \quad (x|y) = \frac12\bigl(\|x+y\|^2-\|x\|^2-\|y\|^2\bigr)\quad</math> et <math>\quad (x|y)= \frac14 \bigl( \|x+y\|^2 -\|x-y\|^2\bigr).</math></center>

Les identités de polarisation proviennent de la propriété suivante, si ''f'' est une forme bilinéaire de ''E''×''E'' quelconque :
<center><math>\forall x,y\in E\quad f(x+y,x+y)=f(x,x)+f(y,y)+f(x,y)+f(y,x)</math></center>
et l'application qui à (''x'', ''y'') associe (''f''(''x'', ''y'') + ''f''(''y'', ''x''))/2 est symétrique.

Une conséquence des identités de polarisation est que si ''f'' est une forme bilinéaire symétrique telle que  ''f'' (''x'',''x'') = 0 sur un sous-espace vectoriel ''F'', alors ''f'' est nulle sur le sous-espace vectoriel ''F x F'' (''f'' (''x'',''y'') = 0 pour tous éléments de F)<ref name=BourbakiEVT>[[N. Bourbaki]], [[Éléments de mathématique|EVT]], chap. V, p. 2</ref>.

=== Formes sesquilinéaires à gauche ===
Si le corps ''K'' sous-jacent à ''E'' n'est pas celui des réels mais est, comme lui, muni d'une [[Valeur absolue#Valeur absolue dans un corps|valeur absolue]], la notion de [[Norme (mathématiques)#Définition formelle|norme]] conserve un sens. Si ''K'' est le corps des complexes, la « valeur absolue » est le [[Module d'un nombre complexe|module]]. De ce point de vue, la notion de [[forme sesquilinéaire]] est l'analogue, sur un [[espace vectoriel complexe]], de celle de forme bilinéaire sur un espace vectoriel réel. Dans ce paragraphe ''E'' est un espace vectoriel complexe.

Soit ''g'' une forme sesquilinéaire (non nécessairement hermitienne)  sur ''E''. On la suppose [[forme sesquilinéaire|sesquilinéaire '''à gauche''']], c'est-à-dire [[Forme sesquilinéaire complexe#Forme semi-linéaire|semi-linéaire]] par rapport à la première variable et [[Application linéaire|'''C'''-linéaire]] par rapport à la seconde. On note φ(''x'') = ''g''(''x'', ''x'').

{{Théorème|Définition|
On appelle '''formule de polarisation'''<ref name=BourbakiEVT/> ou '''forme polaire de''' {{math|φ}}<ref name=RDO>Ramis, Deschamp, Odoux, ''Cours de mathématiques spéciales'', tome 2, Masson, p. 103</ref> l'égalité suivante, permettant de retrouver la forme sesquilinéaire '''à gauche''' {{math|''g''}} de ''E''×''E'' dans ℂ :
<center><math>\forall x,y\in E\quad g(x,y)=\frac14\bigl(\varphi(x+y)-\varphi(x-y)+{\rm i}\varphi(x-{\rm i}y)-{\rm i}\varphi(x+{\rm i}y)\bigr).</math></center>
}}
Ici {{math|i}} désigne l'[[unité imaginaire]].

Une conséquence de la formule de polarisation est que si ''g'' est une forme sesquilinéaire telle que  ''g'' (''x'',''x'') = 0 sur un sous-espace vectoriel complexe ''F'', alors ''g'' est nulle sur le sous-espace vectoriel ''F x F'' ; ''g'' (''x'',''y'') = 0 pour tous éléments ''x'' et ''y'' de F<ref name=BourbakiEVT/>.

=== Formes hermitiennes (à gauche) ===
Si la forme sesquilinéaire {{math|''g''}} de départ est hermitienne, alors l'application  {{math|φ}} est à valeurs réelles.

Réciproquement, si ''g'' est une forme sesquilinéaire (à gauche) et si la fonction {{math|φ}} est à valeurs réelles, la formule de polarisation montre que {{math|''g''}} est hermitienne<ref name=BourbakiEVT/> :
<center><math>g(y,x)=\overline{g(x,y)}</math>.</center>

Si l'application φ (définie par φ(''x'') = ''g''(''x'', ''x''))  est à valeur réelle, cette application définit une [[forme quadratique]] sur l'espace vectoriel réel associé à ''E'', c'est-à-dire qu'elle vérifie : φ (αx) = α² φ (x) si α est un nombre réel.  φ est appelée la forme quadratique hermitienne associée à g<ref>J. M. Arnaudiès et H. Fraysse, ''Algèbre bilinéaire et géométrie'', Dunod Université, p. 128.</ref>.

=== Formes hermitiennes positives ===

La remarque sur les espaces préhilbertiens réels (paragraphe sur les formes bilinéaires) se généralise si ''E'' est un espace préhilbertien complexe  dont la [[norme (mathématiques)|norme]] d'un vecteur ''x'' est notée : <math>\scriptstyle {\|x\|}</math> et le [[produit scalaire]] de deux vecteurs ''x'' et ''y'', noté <math>\scriptstyle {(x|y)}</math> est une forme hermitienne à gauche :
<center><math>\forall x,y  \in E \quad (x|y) = \frac14 \bigl( \|x+y\|^2 -\|x-y\|^2+{\rm i}\|x-\mathrm iy\|^2-{\rm i}\|x+{\rm i}y\|^2\bigr).</math></center>

=== Cas des formes sesquilinéaires à droite ===
Si la forme de départ était sesquilinéaire '''à droite''', la formule de polarisation serait la suivante :
<center><math>\forall x,y\in E\quad h(x,y)=\frac14\bigl(\varphi(x+y)-\varphi(x-y)+{\rm i}\varphi(x+{\rm i}y)-{\rm i}\varphi(x-{\rm i}y)\bigr)=\frac14\sum_{k=0}^3{\rm i}^k\varphi(x+{\rm i}^ky).</math></center>

=== Autres formules de polarisation ===
Il existe d'autres formules de polarisation (données ici pour une forme sesquilinéaire '''à droite'''<ref name=RDO/>) :
<center><math>\forall x,y\in E\quad h(x,y)=\frac12\bigl(\varphi(x+y)+{\rm i}\varphi(x+{\rm i}y)-(1+{\rm i})(\varphi(x)+\varphi(y))\bigr) </math></center>
:<center><math>\forall x,y\in E\quad h(x,y)=-\frac12\bigl(\varphi(x-y)+{\rm i}\varphi(x-{\rm i}y)-(1+{\rm i})(\varphi(x)+\varphi(y))\bigr). </math></center>

Pour une forme hermitienne positive, à partir des formules précédentes, on obtient en isolant la partie réelle :
:<math>
\begin{array}{l}
\text{Re}\langle u, v \rangle = \frac12\left(\|u+v\|^2 - \|u\|^2 - \|v\|^2\right), \\[3pt]
\text{Re}\langle u, v \rangle = \frac12\left(\|u\|^2 + \|v\|^2 - \|u-v\|^2\right), \\[3pt]
\text{Re}\langle u, v \rangle = \frac14\left(\|u+v\|^2 - \|u-v\|^2\right).
\end{array}</math>
Pour la partie imaginaire d'une forme hermitienne (positive) '''à droite''' :
:<math>
\begin{array}{l}
\text{Im}\langle u, v \rangle = \frac{1}{2}\left(\|u+\mathrm iv\|^2 - \|u\|^2 - \|v\|^2\right), \\[3pt]
\text{Im}\langle u, v \rangle = \frac{1}{2}\left(\|u\|^2 + \|v\|^2 - \|u-\mathrm iv\|^2\right), \\[3pt]
\text{Im}\langle u, v \rangle = \frac{1}{4}\left(\|u+\mathrm iv\|^2 - \|u-\mathrm iv\|^2\right).
\end{array}</math>
Ces formules peuvent être réécrites pour des formes hermitiennes non nécessairement positives.

== Correspondance entre formes bilinéaires symétriques (ou hermitiennes) et formes quadratiques ==
L'application qui, à une forme bilinéaire symétrique (resp. une forme sesquilinéaire à gauche) associe sa forme quadratique (respectivement l'application φ associée) est une application linéaire injective et donc induit un [[isomorphisme d'espaces vectoriels]] (toujours en caractéristique différente de 2) sur son image (l'espace vectoriel des [[Forme quadratique|formes quadratiques]] dans le cas d'une forme bilinéaire symétrique). La forme polaire correspond à l'isomorphisme [[Application réciproque|réciproque]]. Dans le cas des formes sesquilinéaires hermitiennes, l'image est le sous-espace réel des formes quadratiques hermitiennes.

==Normes issues d'un produit scalaire==
Il est possible d'aller plus loin à l'aide de la [[règle du parallélogramme]]. 
=== Cas réel ===
Dans ce paragraphe ''E'' désigne un espace vectoriel réel. Si {{math|φ}} est une forme quadratique, elle vérifie l'égalité suivante dite règle du parallélogramme :
<center><math>\forall x,y \in E \quad  \varphi(x+y) + \varphi(x-y) = 2\bigl( \varphi(x) + \varphi(y)\bigr).</math></center>

La [[réciproque]] est vraie sous l'hypothèse que pour tous vecteurs ''x'' et ''y'', la [[Fonction réelle d'une variable réelle|fonction numérique]] ''t'' ↦ {{math|φ}}(''x + ty'') est [[continue]], ou même seulement [[Fonction mesurable|mesurable]].

{{Démonstration/début|titre=Démonstration<ref>Pour une variante utilisant la première identité de polarisation, voir [[Georges Skandalis]], ''Topologie et analyse {{3e|année}}'', Dunod, coll. « Sciences Sup », 2001, {{p.|272}} et 318.</ref>}}
Définissons {{math|''f''}} par l'identité de polarisation :
<center><math>\forall x,y\in E \quad f(x,y)=\frac14\Big(\varphi(x+y)-\varphi(x-y)\Big).</math></center>
* '''{{math|''f''}}(''x'', ''x'') = {{math|φ}}(''x'') = {{math|φ}}(–''x'') :'''
** l'identité du parallélogramme, appliquée à ''y = x'', donne : {{math|φ}}(2''x'') + {{math|φ}}(0) = 4{{math|φ}}(''x''), en particulier {{math|φ}}(0) = 0, donc {{math|''f''}}(''x'', ''x'') = ({{math|φ}}(2''x'') – {{math|φ}}(0))/4 = {{math|φ}}(''x'') ;
** appliquée à ''x'' = 0, elle donne (en réutilisant que {{math|φ}}(0) = 0) : {{math|φ}}(–''y'') = {{math|φ}}(''y'').
*'''{{math|''f''}} (''x + y'', ''z'') = {{math|''f''}} (''x'', ''z'') + {{math|''f''}} (''y'', ''z'') :'''
:[[File:Wikiversity-logo.svg|20px]] {{Note autre projet|Wikiversité|Espaces vectoriels normés/Exercices/Normes#Exercice 1-4 : norme et produit scalaire|début=Voir la question 5.2 de}}
* '''Pour tout vecteur ''z'', l'application {{math|''f''}} (∙, ''z'') est [[Application linéaire|ℝ-linéaire]] :'''<br />Voir l'article [[Équation fonctionnelle de Cauchy]].
* '''L'application {{math|''f''}} est bilinéaire symétrique :'''<br />Le caractère symétrique de {{math|''f''}} provient de la [[Parité d'une fonction|parité]] de {{math|φ}} et la bilinéarité se déduit alors du point précédent.
{{Démonstration/fin}}

On en déduit le théorème suivant :

{{Théorème|Théorème de [[Maurice René Fréchet|Fréchet]]-[[Von Neumann]]-[[Pascual Jordan|Jordan]] cas réel<ref>{{Article|lang=en|auteur=P. Jordan|auteur2=J. von Neumann|titre=On inner products in linear metric spaces|revue=[[Annals of Mathematics|Ann.
of Math.]]|vol=36|numéro=3|année=1935|pages=719-723|url=http://www.math.lmu.de/~michel/jordan-von_neumann_-_parallelogram_identity.pdf |doi=10.2307/1968653 }}.</ref>{{,}}<ref>Cette dénomination est indiquée dans {{ouvrage|id=Brezis|prénom=Haïm|nom=Brezis|lien auteur1=Haïm Brezis|titre=Analyse fonctionnelle : théorie et applications|référence=Référence:Analyse fonctionnelle (Brezis)|passage=87}}.</ref>|
Une norme ''N'' sur ''E'' dérive d'un produit scalaire si et seulement si ''N''{{2}} respecte l'identité du parallélogramme. Ce produit scalaire est alors unique, puisqu'il est donné par l'une quelconque des [[#Formes bilinéaires symétriques|trois identités de polarisation dans le cas réel]].}}

'''Conditions suffisantes.''' Pour qu'une norme ''N'' sur un espace vectoriel réel ''E'' dérive d'un produit scalaire, l'une quelconque des conditions nécessaires suivantes suffit<ref>Pour les conditions 1 et 2, il n'est même pas nécessaire de supposer que ''N'' est une norme : les propriétés de [[Espace séparé|séparation]] et d'[[Fonction homogène|homogénéité]] suffisent, la [[sous-additivité]] n'est pas requise ''a priori'', cf {{article|lang=en|prénom=I. J.|nom=Schoenberg|lien auteur=Isaac Jacob Schoenberg|titre=A remark on M. M. Day's characterization of inner product spaces and a conjecture of L. M. Blumenthal|revue=[[Proceedings of the American Mathematical Society|Proc. Amer. Math. Soc.]]|vol=3|année=1952|pages=961-964|url=http://www.ams.org/journals/proc/1952-003-06/S0002-9939-1952-0052035-9}}.</ref>{{,}}<ref>{{article|lang=en|url=http://www.ams.org/journals/proc/1968-019-06/S0002-9939-1968-0239404-0|titre=A characterization of inner product spaces|prénom=David Albert|nom=Senechalle|revue=Proc. Amer. Math. Soc.|vol=19|pages=1306-1312|année=1968}}.</ref> :

# <math>\forall x,y\in E~\text{tels que}~N(x)=N(y)=1,\quad N(x+y)^2+N(x-y)^2\le4.</math>
# <math>\forall x,y\in E~\text{tels que}~N(x)=N(y)=1,\quad N(x+y)^2+N(x-y)^2\ge4.</math>
# Il existe une application ''F'' : [0, 2] → ℝ telle que :<br /><math>\forall x,y\in E~\text{tels que}~N(x)=N(y)=1,\quad N(x-y)=F(N(x+y)).</math>

=== Cas complexe ===
Dans ce paragraphe ''E'' désigne un espace vectoriel complexe préhilbertien. L'identité du parallélogramme est encore valable pour la norme.

La situation est ici encore analogue à celle des espaces réels. La norme d'un [[espace hermitien|produit scalaire hermitien]] le caractérise. Toute norme satisfaisant l'égalité du parallélogramme est issue d'un produit scalaire. 

{{Théorème|Théorème de Fréchet-Von Neumann-Jordan cas complexe|Une norme ''N'' sur ''E'' dérive d'un produit scalaire hermitien si et seulement si ''N''{{2}} respecte l'identité du parallélogramme. Ce produit scalaire est alors unique, puisqu'il est déterminé par la formule de polarisation.}}
'''Remarque''' : suivant le choix de la formule de polarisation, on obtient une forme hermitienne à gauche ou à droite (avec unicité dans chacun des deux cas).

{{Démonstration/début}}
Comme le cas réel est déjà traité, si ''E'' est considéré comme un espace vectoriel réel, il est équipé d'un produit scalaire {{math|''f''}} dont la norme dérive. Définissons {{math|''h''}} par :
<center><math>\forall x,y\in E,\quad h(x,y)=f(x,y)+{\rm i}f(x,{\rm i}y).</math></center>
Compte tenu des propriétés acquises pour {{math|''f''}}, il suffit alors, pour démontrer que {{math|''h''}} est une forme sesquilinéaire à droite dont la norme dérive, de vérifier les trois points suivants :
#<math>\forall x\in E,\quad h(x,x)=f(x,x)~;</math>
#<math>\forall x,y\in E,\quad h({\rm i}x,y)={\rm i}h(x,y)~;</math>
#<math>\forall x,y\in E,\quad h(y,x)=\overline{h(x,y)}.</math>
*'''Pour tous vecteurs ''x'' et ''y'', {{math|''h''}}({{math|i}}''x'', ''y'') = {{math|i}}{{math|''h''}}(''x'', ''y'') et {{math|''h''}}(''y'', ''x'') = {{surligner|{{math|''h''}}(''x'', ''y'')}} :'''<br/>En identifiant parties réelles et parties imaginaires, on se ramène à montrer que pour tous vecteurs ''z'' et ''y'', {{math|''f''}}({{math|i}}''z'', {{math|i}}''y'') = {{math|''f''}}(''z'', ''y''), c'est-à-dire que l'opérateur de multiplication par {{math|i}} [[Automorphisme orthogonal|préserve le produit scalaire]] {{math|''f''}}. Cela résulte (via l'une quelconque des trois identités de polarisation dans le cas réel) de ce qu'il est ℝ-linéaire et préserve la norme.
*'''Pour tout vecteur ''x'', {{math|''h''}}(''x'',  ''x'') = {{math|''f''}}(''x'',  ''x'') :'''<br/>D'après le point précédent, {{math|''h''}}(''x'',  ''x'') est égal à sa partie réelle.
{{Démonstration/fin}}

== Notes et références ==
<references />
{{en}} [[Kōsaku Yosida]], ''Functional Analysis'', Springer, 1980 {{ISBN|3-540-10210-8}}

== Liens externes ==
* [http://www.bibmath.net/dico/index.php3?action=affiche&quoi=./f/fq.html Forme quadratique,polarisation] par V. et F. Bayart dans bibmath.net
* [http://www.les-mathematiques.net/b/c/i/node4.php3 Espaces préhilbertiens] par C. Antonini {{et al.}} dans les-mathematiques.net 2001

{{Portail|algèbre}}

[[Catégorie:Algèbre bilinéaire]]
[[Catégorie:Identité mathématique|Polarisation]]