Voir la source de Inégalité (mathématiques)

{{Voir homonymes|inégalité}}
{{exemple encadré|contenu=[[22 / 7 dépasse π|{{math|22/7 > π}}]]|légende=Une inégalité stricte}}
En [[mathématiques]], une '''inégalité''' est une [[formule (mathématiques)|formule]] reliant deux expressions [[nombre|numériques]]<ref>Formellement, on peut parler d’inégalité pour n’importe quelle [[relation d'ordre]], mais on parlera plus généralement de ''relation'' hors du cas des nombres réels.</ref> avec un symbole de comparaison. Une '''inégalité stricte''' compare nécessairement deux valeurs différentes tandis qu’une '''inégalité large''' reste valable en cas d’égalité.

Contrairement à une interprétation [[étymologie|étymologique]], la [[négation logique|négation]] d’une [[égalité (mathématiques)|égalité]] (avec le symbole <math>\ne </math>) n’est pas considérée comme une inégalité<ref>« L’inégalité […] n’est pas l’absence d’égalité » selon [[Stella Baruk]].</ref> et se traite différemment.

Les inégalités permettent d’[[encadrement (analyse)|encadrer]] ou de distinguer des valeurs réelles, de préciser une [[approximation]], de justifier le comportement asymptotique d’une [[série (mathématiques)|série]] ou d’une [[intégrale généralisée|intégrale]]…

La détermination du domaine de validité d’une inégalité revient à la résolution d’une [[inéquation]].

== Vocabulaire et notations ==
=== Ordre numérique ===
[[Image:Real number line.svg|vignette|Droite numérique réelle]]
{{Article détaillé|Ordre numérique}}
La définition des inégalités repose sur la relation d’ordre de la [[droite numérique]] [[nombre réel|réelle]].

À partir d’une comparaison de petites quantités, se traduisant par des inégalités sur les [[entier naturel|entiers naturels]], puis sur les [[entier relatif|entiers relatifs]] par [[symétrie]] par rapport à [[0]], la [[notation décimale positionnelle]] étend ces inégalités aux [[nombre décimal|nombres décimaux]], et les règles de mise au même dénominateur permettent de traiter toutes les [[fraction (mathématiques)|fractions]] d’entiers.

La définition de l’ordre sur la droite réelle dépend de la [[construction des nombres réels|construction de {{math|'''R'''}}]] choisie. Elle est illustrée par la position relative sur un axe horizontal orienté usuellement vers la droite : un nombre situé à droite est toujours supérieur à un nombre situé plus à gauche, qui est donc inférieur.

=== Formulation ===
Une inégalité stricte peut s’écrire de l’une des deux manières suivantes :
* <math>a<b </math> (« <math>a</math> est '''strictement inférieur''' à <math>b</math> ») ;
* <math>a>b</math> (« <math>a</math> est '''strictement supérieur''' à <math>b</math> »).
Une inégalité large peut comparer deux nombres égaux ou différents, sous la forme :
* <math>a\leqslant b </math> (« <math>a</math> est '''inférieur ou égal''' à <math>b</math> ») ;
* <math>a\geqslant b</math> (« <math>a</math> est '''supérieur ou égal''' à <math>b</math> »).

Les symboles <math>\leqslant </math> et <math>\geqslant </math>, recommandés<ref>[https://people.engr.ncsu.edu/jwilson/files/mathsigns.pdf Norme ISO 80000-2], partie 7 page 14.</ref> par la norme [[ISO/CEI 80000-2|ISO 80000-2]], sont souvent remplacés par les symboles <math>\leq </math> et <math>\geq</math>, parfois plus accessibles sur les claviers<ref><code>Alt-Gr</code> + <code><</code> sur la disposition fr-oss</ref> et défini par un [[#Symbole|code plus court]] en [[LaTeX]].

Sans précision supplémentaire, les adjectifs ''supérieur'' et ''inférieur'' sont en général compris au sens large dans les mathématiques françaises<ref>{{CNRTL|Supérieur}}</ref>, tandis que l’usage anglophone (''greater than''/''superior'' et ''less than''/''inferior'') privilégie l’interprétation ''stricte''<ref>http://www.labri.fr/perso/ramet/algonum/files/dico.pdf.</ref>, en cohérence avec les acceptions du [[signe (arithmétique)|signe]] et des variations<ref>Un nombre positif (ou nul) se traduit par {{lang|en|''non-negative''}} en anglais, et une fonction [[variations d'une fonction|croissante]] au sens large sera décrite par l’adjectif {{lang|en|''non-decreasing''}}.</ref>. Cette convention est parfois également utilisée dans les pays francophones en dehors de la France.

Les expressions « plus grand que » et « plus petit que », en usage dans les premières années d’enseignement et dans le vocabulaire courant, peuvent poser problème pour formuler des comparaisons avec des [[nombre négatif|nombres négatifs]]<ref>Stella Baruk remarque qu’« on peut être embarrassé d’avoir à dire que −1000 est plus petit que −1 ».</ref>.

La comparaison des valeurs peut être renforcée en spécifiant un [[ordre de grandeur|rapport de grandeur]] important (par exemple supérieur à <math>10</math>), notamment en [[physique]] :
* La notation <math>a\ll b</math> signifie que <math>a</math> est '''très inférieur''' à <math>b</math> ;
* La notation <math>a\gg b</math> signifie que <math>a</math> est '''très supérieur''' à <math>b</math>.

== Propriétés ==
Par [[transitivité (mathématiques)|transitivité]] de la relation d’ordre, un enchaînement d’inégalités de même sens donne une inégalité entre l’expression initiale et l’expression finale : quels que soient les réels <math>a,b,c </math>,
:si <math>a\leqslant b </math> et <math>b\leqslant c </math> alors <math>a \leqslant c </math>.
En outre, si l’une des deux inégalités en hypothèse est stricte alors la troisième aussi.

Différentes opérations et fonctions disponibles sur l’ensemble des nombres réels présentent aussi des compatibilités avec la relation d’ordre et permettent de transformer des inégalités.

=== Changement de signe ===
Le changement de [[signe (arithmétique)|signe]] change aussi le sens de l’inégalité :
:<math>\forall a,b \in\R^2, \quad a\leqslant b \iff -a \geqslant -b</math>.

=== Addition ===
L’ensemble des nombres réels forme un [[groupe ordonné]], ce qui signifie en particulier que pour tout triplet de réels <math>(a,b,c) </math>,
:<math>a\leqslant b \iff a+c\leqslant b+c</math>.
Cette première propriété permet de démontrer que l’on peut additionner deux inégalités de même sens.
:Si <math>a\leqslant b </math> et <math>a'\leqslant b' </math> alors <math>a+a'\leqslant b+b' </math>.
En outre, si l’une des deux inégalités en hypothèse est stricte alors la troisième aussi.

Plus généralement, si <math>(x_1,\ldots,x_n)</math> et <math>(y_1,\ldots,y_n)</math> sont deux familles de réels alors
:<math>\left(\forall i\in\left\{1, \dots , n\right\}, x_i \leqslant y_i\right) \Rightarrow \sum_{i=1}^n x_i \leqslant \sum_{i=1}^n y_i</math>.
La [[implication réciproque|réciproque]] de cette implication est fausse en général.

En outre, on ne peut soustraire des inégalités de même sens. On peut ajouter une constante négative aux deux membres d’une inégalité, ou additionner la première avec l’opposé de la seconde, mais cette dernière change alors de sens :
:si <math>a\leqslant b </math> et <math>c\leqslant d </math> alors <math>-d\leqslant -c</math> et <math>a-d\leqslant b-c</math>.

=== Multiplication et division ===
L’ensemble des réels forme un [[corps ordonné]], ce qui signifie en particulier que pour tout triplet de réels <math>(a,b,c) </math>,
:<math>a\leqslant b\ \text{et}\ c\geqslant 0 \Rightarrow ac \leqslant bc</math>.
Ce résultat permet de montrer les équivalences suivantes :
:si <math>c > 0 : \quad a\leqslant b \iff ac \leqslant bc \iff \frac ac \leqslant \frac bc</math> (préservation de l’inégalité)
:si <math>c < 0 : \quad a\leqslant b \iff ac \geqslant bc \iff \frac ac \geqslant \frac bc</math> (changement de sens de l’inégalité)
et on peut alors multiplier des inégalités de même sens ''entre nombres positifs'' :
:si <math>0 \leqslant a\leqslant b</math> et <math>0 \leqslant a'\leqslant b'</math> alors <math>aa' \leqslant bb'</math>.
Comme pour l’addition, cette propriété s’étend aux produits finis : si <math>(x_1,\ldots,x_n)</math> et <math>(y_1,\ldots,y_n)</math> sont deux familles de réels positifs alors
:<math>\left(\forall i\in\left\{1, \dots , n\right\}, 0 \leqslant x_i \leqslant y_i\right) \Rightarrow \prod_{i=1}^n x_i \leqslant \prod_{i=1}^n y_i</math>.

=== Passage à l'inverse ===
Le passage à l’[[fonction inverse|inverse]] renverse les inégalités entre nombres (non nuls) ''de même signe'' : pour tout couple de réels <math>(a,b) </math> non nuls,
:<math>0 < a \leqslant b \iff 0 < \frac 1b \leqslant \frac 1a</math>
:<math>a \leqslant b < 0 \iff \frac 1b \leqslant \frac 1a < 0</math>
En revanche, le sens de l’inégalité est préservé entre deux nombres de signes différents :
:<math>a < 0 < b \iff \frac 1a < 0 < \frac 1b</math>

Comme pour la [[soustraction]], on ne peut pas diviser deux inégalités, même entre termes de signe positif, mais on peut multiplier par la première inégalité par l’inverse de la seconde, avec un changement de sens.

=== Fonctions monotones ===
Le [[variations d'une fonction|sens de variation]] des [[fonction réelle d'une variable réelle|fonctions]] peut être utilisé pour transformer une inégalité en une autre de même sens (si la fonction est croissante) ou de sens contraire (si la fonction est décroissante).

On peut par exemple appliquer la [[fonction exponentielle]] aux deux membres d'une inégalité :
:<math>a < b \Leftrightarrow{\rm e}^a <{\rm e}^b.</math>

=== Passage à la limite ===
Si <math>(u_n)</math> et <math>(v_n)</math> sont deux [[suite (mathématiques)|suites réelles]] [[limite d'une suite|convergentes]] telles que pour tout entier <math>n</math> à partir d’un certain rang, <math>u_n\leqslant v_n</math> alors <math>\lim_{n\to\infty} u_n \leqslant \lim_{n\to\infty} v_n</math>.

En particulier, si <math>\sum u_n</math> et <math>\sum v_n</math> sont deux [[série (mathématiques)|séries numériques]] convergentes telles que pour tout entier {{mvar|n}} on ait {{math|{{mvar|u}}{{ind|{{mvar|n}}}} ⩽ {{mvar|v}}{{ind|{{mvar|n}}}}}}, alors <math>\sum_{n=0}^{\infty} u_n \leqslant \sum_{n=0}^{\infty} v_n</math>.

De même si <math>f</math> et <math>g</math> sont deux fonctions [[intégrale (mathématiques)|intégrables]] sur un intervalle <math>I</math> telles que pour tout <math>x\in I</math> on ait <math>f(x)\leqslant g(x)</math>, alors <math>\int_I f(x)\mathrm dx \leqslant \int_I g(x) \mathrm dx</math>.

Si <math>X</math> et <math>Y</math> sont deux [[variable aléatoire réelle|variables aléatoires réelles]] admettant une [[espérance mathématique|espérance]] telles que <math>X\leqslant Y</math> ([[presque sûrement]]), alors <math>\mathbf E(X) \leqslant \mathbf E(Y)</math>.

== Exemples ==
=== Par étude de fonction ===
Des inégalités dites grossières expriment simplement les [[ensemble image|ensembles images]] de [[Fonction de référence|fonctions de référence]], en particulier :
*<math>\forall x \in \R, \quad x^2 \geqslant 0, \quad e^x > 0</math>
*<math>\forall x \in \R^+, \quad \sqrt x \geqslant 0</math>
*<math>\forall x \in \R, \quad -1 \leqslant \sin(x) \leqslant 1, \quad -1 \leqslant \cos(x) \leqslant 1</math>.
D’autres inégalités s’obtiennent facilement par une [[étude de fonction|étude]] de la différence entre les deux membres :
*<math>\forall x \in \R, \quad \mathrm e^x \geqslant 1+x</math>
*<math>\forall x \in \R^{+*}, \quad \ln(x) \leqslant x-1</math>
*<math>\forall x \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right[, \quad \sin(x) \leqslant x \leqslant \tan(x), \quad \cos(x) \geqslant 1-\frac{x^2}{2}</math>.

=== Par récurrence ===
La [[démonstration par récurrence]] permet de justifier certains résultats :
* l’[[inégalité de Bernoulli]] : pour tout entier <math>n\geqslant 0</math>, pour tout réel <math>x\geqslant -1, \ (1+x)^n\geqslant 1+nx </math>, 
* certaines comparaisons de suites sous-linéaires ou sous-géométriques :
*:si pour tout entier <math>n\geqslant 0</math> on a <math>u_{n+1}\leqslant u_n+r</math>  alors on a aussi <math>u_n\leqslant u_0+nr</math> pour tout <math>n\geqslant 0</math>
*:si pour tout entier <math>n\geqslant 0</math> on a <math>0\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n\times q </math> alors on a aussi <math>u_n\leqslant u_0\times q^n</math> pour tout <math>n\geqslant 0</math>.

=== Par convexité ===
De nombreuses inégalités classiques découlent des propriétés de [[Fonction convexe|convexité]] ou de concavité d’une fonction réelle d’une ou plusieurs variables réelles. La formulation discrète est généralisée par l’[[inégalité de Jensen]] qui, appliquée à la fonction [[logarithme]] (qui est concave), permet de démontrer l’[[inégalité arithmético-géométrique]] puis une kyrielle d’autres résultats :
* [[inégalité de Carleman]], [[inégalité de Gibbs]], 
* [[inégalité de Young]], [[inégalité de Hölder]], [[inégalité de Minkowski]], [[inégalité de Hardy]],
* [[inégalités de Newton]], [[inégalité de Maclaurin]]

=== Analyse complexe ===
Il n’y a pas d’inégalités entre [[nombre complexe|nombres complexes]] du fait de l’absence de relation d’ordre compatible avec la structure de [[corps (mathématiques)|corps]] sur {{math|'''C'''}}. Cependant, l’utilisation du [[module d'un nombre complexe|module]] permet d’étendre l’[[inégalité triangulaire]] dans ce cadre, et de formuler d’autres inégalités comme le [[fonction analytique#Le principe du maximum|principe du maximum]] ou l’[[inégalité de Cauchy]].

=== Géométrie ===
* [[inégalité triangulaire]]
* [[inégalité isopérimétrique]]
* [[inégalité de Cauchy-Schwarz]]
=== Théorie des probabilités ===
* [[inégalité de Boole|Inégalités de Boole et de Bonferroni]]
* [[inégalité de Markov]], [[inégalité de Bienaymé-Tchebychev]], [[inégalité de Chernoff]]
* [[inégalité de corrélation]], [[inégalité FKG]], [[inégalité de Harris]] et [[inégalité de Tchebychev pour les sommes]]
=== Théorie des nombres ===
* [[inégalité de Bonse]]

== Succession d'inégalités ==
La notation <math>a<b<c</math> est équivalente à <math>a<b</math> et <math>b<c</math>, d'où l'on peut déduire, avec les propriétés de transitivité, que <math>a<c</math>. Avec les autres propriétés des inégalités, on peut ajouter ou soustraire n'importe quel terme à l'ensemble des termes comparés, ou les multiplier (ou diviser) par un nombre, en faisant attention à changer le signe si nécessaire. Par exemple, <math>a<b+e<c</math> est équivalent à <math>a-e<b<c-e</math>.

On peut généraliser cette notation à un nombre plus important de termes. De fait, <math>a_1\leqslant a_2\leqslant \ldots \leqslant a_n</math> signifie que, pour tout <math>i</math> entre <math>1</math> et <math>n-1</math>, on a  <math>a_i\leqslant a_{i+1}</math>. Par transitivité, cela signifie alors que l'on a <math>a_i\leqslant a_j</math> pour tout <math>1\leqslant i\leqslant j\leqslant n</math>.

Lorsque l'on souhaite résoudre des [[Inéquation|inéquations]] utilisant cette notation, il est parfois nécessaire de devoir résoudre celles-ci de façon séparée. Par exemple, on ne peut, pour résoudre l'inégalité <math>4x<2x+1\leqslant 3x+2</math>, isoler <math>x</math> dans un des termes. Il faut alors résoudre les [[Inéquation|inéquations]] séparément, puis de chercher l'intersection des solutions.

On peut aussi observer de telles notations mélangeant plusieurs comparaisons. Ainsi, <math>a<b = c\leqslant d</math> signifie que <math>a<b</math>, <math>b=c</math> et que <math>c\leqslant d</math> (et donc, par transitivité, que <math>a<d </math>, par exemple).

Une succession d’inégalités permet aussi de définir un [[encadrement (analyse)|encadrement]] de la valeur intermédiaire.

== Inégalités entre moyennes ==
{{Article connexe|Inégalité arithmético-géométrique|Moyenne d'ordre p}}
Il existe des inégalités entre les diverses sortes de moyennes. Par exemple, pour des nombres strictement positifs <math>a_1,a_2,\ldots,a_n</math>, si
:{| style="height:200px"
|-
|<math>H = \frac{n}{1/a_1 + 1/a_2 + \cdots + 1/a_n}</math> &emsp; || ([[moyenne harmonique]]),
|-
|<math>G = \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdots a_n} </math>             || ([[moyenne géométrique]]),
|-
|<math>A = \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n}</math>              || ([[moyenne arithmétique]]),
|-
|<math>Q = \sqrt{\frac{a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2}{n}}</math> || ([[Moyenne#Moyenne quadratique|moyenne quadratique]]),
|}
on a : <math>H\leqslant G\leqslant A\leqslant Q</math>

Plus généralement, en notant <math>a</math> le <math>n</math>-uplet de réels strictement positifs <math>(a_1,\ldots,a_n)</math>, on peut définir la moyenne d'ordre <math>p</math> de <math>a</math> pour tout nombre réel <math>p</math>, notée <math>M_p(a)</math>, de la manière suivante :
: <math>M_p(a) = \begin{cases} 
\left(\displaystyle\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n {a_i}^p\right)^{\frac{1}{p}} & \mbox{si } p \neq 0  \\ 
\sqrt[n]{\displaystyle\prod_{i=1}^n{a_i}} & \mbox{si } p = 0 \end{cases}</math> ;
on a alors l'inégalité qui suit dès que <math>p_i<p_2</math> (ce qui traduit la [[Fonction croissante|croissance]] de la fonction <math>p \mapsto M_p(a)</math>) :
: <math>M_{p_1}(a) \leq M_{p_2}(a)</math>.

(On avait ci-dessus <math>H=M_{-1}(a), \ G=M_0(a),\  A=M_1(a)</math> et <math>Q=M_2(a)</math> ; on peut de plus montrer que la définition de <math>M_0(a)</math> par la moyenne géométrique assure la [[Continuité (mathématiques)|continuité]] en <math>0</math> de <math>p \mapsto M_p(a)</math>.)

== Quelques inégalités ==
{{Section à sourcer|date=août 2014}}
* [[Inégalité triangulaire]] : Si <math>a,b </math> réels ou complexes, alors <math>|a+b|<|a|+|b|</math> (<math>\mid \ .\mid </math>  est une norme, par exemple la [[valeur absolue]] pour les réels ou le module pour les complexes).
* Si <math>x>0</math>, alors
:: <math>x^x \ge\left( \frac1{\rm e}\right)^{\dfrac{1}{\rm e}}.\,</math>
* Si <math>x>0</math>, alors
:: <math>x^{x^x} \ge x.\,</math>
* Si <math>x,y,z>0</math>, alors
:: <math>(x+y)^z + (x+z)^y + (y+z)^x > 2.\,</math>
* Si <math>x,y,z>0</math>, alors
:: <math>x^x y^y z^z \ge(xyz)^{(x+y+z)/3}.\,</math>
* Si <math>a,b>0</math>, alors
:: <math>a^a + b^b \ge a^b + b^a.\,</math>
* Si <math>a,b>0</math>, alors
:: <math>a^{ea} + b^{eb} \ge a^{eb} + b^{ea}.\,</math> 
* Si <math>a,b,c>0</math>, alors
:: <math>a^{2a} + b^{2b} + c^{2c} \ge a^{2b} + b^{2c} + c^{2a}.\,</math>
* Si <math>a_1,\ldots,a_n>0</math>, alors
:: <math>a_1^{a_2}+a_2^{a_3}+\cdots+a_n^{a_1}>1.\,</math>

== Codage ==
=== Symbole ===
Dans les [[langage de programmation|langages de programmation]], les inégalités larges sont souvent notées à l’aide des opérateurs <code>>=</code> et <code><=</code>, qui n’utilisent que des caractères [[ASCII]].

En [[XML]], les chevrons <code><</code> et <code>></code> étant réservés, leur notation est remplacée par les codes <code>&amp;lt;</code> et <code>&amp;gt;</code>.
{|class="wikitable"
|+ Codages des différents chevrons utilisés pour les inégalités
! Inégalité
! Symbole !! Unicode !! HTML !! LaTeX
|-
| rowspan=2 | stricte
| {{math|<}} || U+003C || <code>&amp;lt;</code> || <code><</code>
|-
| {{math|>}} || U+003E || <code>&amp;gt;</code> || <code>></code>
|-
| rowspan=4 | large
| {{math|≤}} || U+2264 || <code>&amp;le;</code> || <code>\le</code>
|-
| {{math|≥}} || U+2265 || <code>&amp;ge;</code> || <code>\ge</code>
|-
| {{math|⩽}} || U+2A7D || || <code>\leqslant</code>
|-
| {{math|⩾}} || U+2A7E || || <code>\geqslant</code>
|}
D’autres symboles similaires sont disponibles dans les [[table des caractères Unicode|tables de caractères Unicode]] des [[Table des caractères Unicode/U2200|symboles mathématiques]] (U2200) et le [[Table des caractères Unicode/U2A00|supplément d’opérateurs mathématiques]] (U2A00).

=== Enchainement ===
Dans la plupart des langages de programmation, un enchainement d’inégalités <math>a<b<c</math> est encodé par une [[conjonction logique|conjonction]] :
:<code>(a < b) and (b < c)</code>.

En [[Python (langage)|Python]] cependant, un enchainement d’inégalités peut être saisi comme en mathématiques, y compris avec des sens contraires, chaque inégalité étant traitée entre deux termes consécutifs<ref>[https://docs.python.org/fr/3.9/reference/expressions.html#comparisons Comparaisons en Python 3.9]</ref>.

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Inequality (mathematics)|418555051|type=note}}
{{Références}}

== Voir aussi ==
=== Articles connexes ===
* [[Inéquation]]
* [[Intervalle (mathématiques)]]
* [[Optimisation linéaire]] : problèmes d'optimisation, avec comme contraintes certaines inégalités
* [[Ensemble partiellement ordonné]]
* [[Relation binaire]]

=== Bibliographie ===
*{{Chapitre|nom1=Baruk|prénom1=Stella|titre chapitre=Inégalité|titre ouvrage=Dictionnaire de mathématiques élémentaires|édition=Seuil|date=1995}}
*{{Ouvrage|lang=en|auteur=[[Godfrey Harold Hardy|G. H. Hardy]]|auteur2=[[John Edensor Littlewood|J. E. Littlewood]]|auteur3=[[George Pólya|G. Pólya]]|éditeur=[[Cambridge University Press|CUP]]|titre=Inequalities|numéro d'édition=2|année=1952|url={{Google Livres|t1RCSP8YKt8C}}}}

{{Portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Inégalité|*]]
[[Catégorie:Mathématiques élémentaires]]