Voir la source de Incertitude de mesure

[[Fichier:Colonne de mesure.jpg|vignette|[[Mesurage]] avec une colonne de mesure.]]

En [[métrologie]], une '''incertitude de mesure''' liée à un [[mesurage]] {{citation|caractérise la [[Dispersion statistique|dispersion]] des [[Mesurage (métrologie)#Valeur d'une grandeur|valeurs]] attribuées à un [[Mesurage (métrologie)#Mesurande|mesurande]], à partir des informations utilisées}} (d'après le [[Bureau international des poids et mesures]]).

Elle est considérée comme une dispersion et fait appel à des notions de [[statistique]]. Les causes de cette dispersion, liées à différents facteurs, influent sur le résultat de mesurage, donc sur l'incertitude et in fine sur la [[Qualité métrologique d'un appareil de mesure|qualité de la mesure]]. Elle comprend de nombreuses composantes qui sont évaluées de deux façons différentes : certaines par une [[Analyse des données|analyse statistique]], d'autres par d'autres moyens.

== Définition ==
L'incertitude de mesure est définie par le [[Bureau international des poids et mesures]] (BIPM) dans ''Vocabulaire international de métrologie'' (VIM)<ref>{{harvsp|VIM collectif|2008|p=25, n° 2.26.}}.</ref>{{,}}<ref>Dans sa version de 2012, le VIM précise : {{citation|paramètre non négatif qui caractérise la dispersion des valeurs attribuées à un mesurande, à partir des informations utilisées}}.</ref> : elle {{citation|caractérise la [[Dispersion statistique|dispersion]] des [[Mesurage (métrologie)#Valeur d'une grandeur|valeurs]] attribuées à un [[Mesurage (métrologie)#Mesurande|mesurande]], à partir des informations utilisées}}.

La méthode de détermination de l'incertitude de mesure fait l'objet d'un fascicule métrologique du BIPM intitulé ''Guide pour l'expression de l'incertitude de mesure'' (GUM)<ref>''Guide pour l'expression de l'incertitude de mesure'' {{harvsp|JCGM|2008|p=2, n° 2.2.3}}.</ref>. Dans ce guide on retrouve la définition sous une forme plus ancienne datant de 1993 :

{{citation bloc|paramètre, associé au résultat d'un mesurage, qui caractérise la dispersion des valeurs « qui pourraient
raisonnablement » être attribuées au mesurande}}

Le paramètre peut être, par exemple, un [[écart-type]].

== Approche statistique ==

Dans le cas de mesurages comportant plusieurs mesures individuelles, on peut appliquer les lois de la statistique à ces mesurages{{sfn|Collectif AFNOR|1996|p=149-173.}}.

La [[Indicateur de dispersion|dispersion]] d'un ensemble de mesures sur une grandeur peut se caractériser par l'[[Estimateur (statistique)|estimateur]] de son [[écart-type]], dit aussi écart-type expérimental :
<center><math>s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2}</math></center>
Lorsque cette dispersion sur n mesures est déterminée elle caractérisera alors toute mesure ultérieure :
* si, plus tard, on effectue un mesurage de la grandeur considérée ne comprenant qu'une seule mesure, le résultat de cette mesure individuelle est la valeur mesurée avec l'écart-type initial ''s'' ;
* pour ''n'' mesures individuelles, la dispersion des mesures sur la [[moyenne]] se caractérise par l'estimateur de l'écart-type de la moyenne :
<center> <math>s_{\bar x}=\frac{s}{\sqrt{n}}</math> </center><br />

L'incertitude (''{{lang|en|uncertainty}}'') étant un paramètre qui caractérise la dispersion, on utilisera des notations statistiques classiques : écart-type, écart-type composé (pour différentes composantes) et étendue de dispersion pour un nombre arbitraire d'écarts-types de 2<ref group="N"> Ce nombre est un choix lié à l'entité effectuant l'étude. En France, dans le domaine industriel il est le plus souvent de 2 ou 3.</ref>.

{| class="wikitable centre"
|+ Notations
|-
| Incertitude type
| <math> u (x) </math>
|-
| Incertitude type A
| <math> u (a) </math>
|-
| Incertitude type A sur une moyenne
| <math>u(a)_{\bar x}=\frac{u(a)}{\sqrt{n}}</math>
|-
| Incertitude type A & B composée
| <math>u_c (y)=\sqrt{ (u_a)^2 + (u_b)^2} </math>
|-
| Facteur d'élargissement
| <math> k = 2 </math>
|-
| Incertitude élargie
| <math>U = k u_c (y)</math>
|-
| Résultat de mesurage
| <math>Y = y \pm U </math> <math>(k = 2)</math>
|}

Le plus souvent, la distribution de la dispersion n'est pas identifiée, elle peut avoir différentes formes ; donc, pour k = 2 on ne peut pas dire qu'on a un risque d'environ 5 %, ou un [[intervalle de confiance]] de 95 % comme dans une [[Loi normale|population gaussienne]]. Néanmoins on montre que pour une distribution quelconque, le risque ne sera jamais supérieur à 25 % (par l'[[inégalité de Bienaymé-Tchebychev]]) ; ce qui montre l'humilité des termes de la définition du GUM : « dispersion des valeurs qui pourraient raisonnablement être attribuées… ».

== Causes d'incertitudes ==
Les causes de la [[Indicateur de dispersion|dispersion]], due à l'influence des différents facteurs du [[Mesurage (métrologie)#Processus de mesure|processus de mesure]], interviennent dans le résultat de mesurage, donc sur l'incertitude ; il est bon de les rechercher pour en différencier les effets.

[[Fichier:2361 Facteurs d'erreurs.jpg|500px|sans_cadre|centré]]

{| class="wikitable centre"
|-
! Facteurs
! Causes possibles d'incertitude
|-
| rowspan="2" | 1 - Étalon
| Écart entre la valeur vraie et la valeur mesurée
|-
| Incertitude sur la mesure de l'étalon…
|-
| rowspan="3" | 2 - Instrument
| Étalonnage de l'instrument
|-
| Incertitude associée
|-
| Pression de contact…
|-
| rowspan="2" | 3 - Mesurande
| Défauts géométriques
|-
| Déformation pièce…
|-
| rowspan="3" | 4 - Opérateur
| Manipulation
|-
| Lecture
|-
| Mise en place étalon et pièce…
|-
| rowspan="2" | 5 - Méthode
| Suivi de la procédure
|-
| Lecture…
|-
| rowspan="2" | 6 - Grandeurs d'influence
| Température ambiante
|-
| Coefficient de dilatation, vibrations…
|}

Ces différentes causes pourraient aussi bien être présentées sous forme de [[Diagramme de causes et effets|diagramme causes-effet]] avec les « 5 M » : Matière (pièce), Moyen de mesure à la place de Machine, Main d'œuvre, Méthode, Milieu ; la finalité de l'analyse est de ne pas oublier de facteurs influents dans le calcul de l'incertitude.

== Composantes ==
{{citation|L'incertitude de mesure comprend en général de nombreuses composantes :
* certaines peuvent être évaluées par une évaluation de type A de l'incertitude à partir de la distribution statistique des valeurs provenant de séries de mesurages et peuvent être caractérisées par des écarts-types ;
* les autres composantes, qui peuvent être évaluées par une évaluation de type B de l'incertitude, peuvent aussi être caractérisées par des écarts-types, évalués à partir de fonctions de densité de probabilité fondées sur l'expérience ou d'autres informations{{sfn|VIM collectif|2008|p=25, n° 2.26.}}.}}

=== Évaluation de type A de l'incertitude ===
On désigne par type A une {{citation|évaluation d'une composante de l'incertitude de mesure par une analyse statistique des valeurs mesurées obtenues dans des conditions définies de mesurage<ref>{{harvsp|VIM collectif|2008|p=26 ; n° 2.28.}}</ref>.}}

Divers types de conditions :
* condition de [[répétabilité]] : condition de mesurage comprenant la même procédure de mesure, les mêmes opérateurs, le même système de mesure, les mêmes conditions de fonctionnement et le même lieu, ainsi que des mesurages répétés sur le même objet ou des objets similaires pendant une courte période de temps ;
* condition de reproductibilité : condition de mesurage comprenant le même objet ou des objets similaires{{sfn|VIM collectif|2008|p=23-24 ; n° 2.20 et 2.24. }}.

==== Exemples ====
:'''Exemple 1 — Répétabilité''' (même opérateur, même instrument, même lieu, même étalon) extraite d'un étalonnage d'un micromètre suivant procédure le concernant ; on mesure cinq fois une [[cale étalon]] de {{unité|25|mm}} ; le nombre de mesures individuelles est réduit pour l'exemple.

{| class="wikitable center" style="text-align: center;"
|+ Répétabilité
|-
! Mesure
! Relevé
! Écart à 25 en μm
|-
| Mesure {{numéro|1}}
| 25,007
| 7
|-
| Mesure {{numéro|2}}
| 25,010
| 10
|-
| Mesure {{numéro|3}}
| 25,008
| 8
|-
| Mesure {{numéro|4}}
| 25,011
| 11
|-
| Mesure {{numéro|5}}
| 25,008
| 8
|- style="border-top: 2px black solid"
| colspan="2" | '''Écart-type estimé u<sub>A</sub>''' <small>(pour une mesure)</small>
| '''1,65 μm'''
|}

:'''Exemple 2 — Répétabilité et reproductibilité''' R & R simultanées dans un processus industriel
<gallery>
2362 R&R.pdf|R & R d'un moyen de mesure, méthode.
2362 10XX R&R.pdf|R & R d'un moyen de mesure, exemple.</gallery>

=== Évaluation de type B de l'incertitude ===
On désigne par type B une {{citation| évaluation d'une composante de l'incertitude de mesure par d'autres moyens qu'une évaluation de
type A de l'incertitude{{sfn|VIM collectif|2008|p=26 n° 2.29.}}.}}

Ces incertitudes sont parfois assez difficiles à quantifier ; elles sont liées à la maitrise du processus de mesurage et à l'expérience de l'opérateur. Elles peuvent être évaluées à partir d'informations :
* de valeurs publiées faisant autorité : notices constructeur ;
* obtenues à partir d'un certificat d'étalonnage avec une incertitude précisée avec son facteur d'élargissement ;
* ou à partir de la classe d'exactitude d'un [[instrument de mesure]] vérifié ;
* obtenues à partir de limites déduites de l'expérience personnelle ;
* autres informations : la résolution d'un indicateur numérique, les effets de la température…

==== Exemples ====
{| class="wikitable centre"
|+ Évaluation d'incertitudes de type B<ref>{{Ouvrage|langue=fr|auteur1=Collectif MFQ Franche-Comté|titre=Guide pour la détermination des incertitudes de mesure|lieu=Nanterre|éditeur=Mouvement Français pour la Qualité|collection=Bibliothèque Qualité|année=1995|pages totales=72|passage=33-35|isbn=2-909430-36-7}}</ref>
|-
! Information
! Évaluation de l'écart-type
|-
| Donnée constructeur || f(donnée)
|-
| Incertitude d'étalonnage || <math>u (x) = \frac{U}{k} </math>
|-
| Classe de vérification donnée ± α || <math>u(x)=\frac{\alpha}{\sqrt{3}}</math>
|-
| Résolution d'un indicateur numérique ''q'' || <math>u(x)=\frac{q}{2\sqrt{3}}</math>
|-
| Effets de la température || Voir exemple type
|}

D'autres exemples sont donnés dans l'exemple type.

== Détermination de l'incertitude élargie ==
=== Démarche type ===
# Enregistrer, pour ''n'' mesures du même mesurande le résultat brut moyen de mesurage <math>\bar x</math> ;
# Corriger éventuellement des erreurs systématiques : justesse, température… ;
# Rechercher les causes d'incertitudes ; on distinguera :
## Les causes de type A :
##* répétabilité : instrument, méthode, observateur identiques…
##* reproductibilité : observateurs, parfois instruments différents…
## Les causes de type B : justesse résiduelle, résolution, étalons… ;
# Calculer les écarts types :
##* type A : calculer pour l'ensemble des ''n'' mesures l'écart-type expérimental ''u<sub>a</sub>'' ; en déduire, si besoin, l'écart-type sur la moyenne <math>u_ {\bar x} =\frac{u_a}{\sqrt{n}}</math> ;
##* type B : évaluer les écart-types expérimentaux ''u<sub>bj</sub>'' ;
## calculer l'incertitude-type composée (ici sur la moyenne) : <math>u_c =\sqrt{ (u_{\bar x})^2 + \sum_{j=1}^n(u_{bj})^2} </math>
# Exprimer les résultats :
* calculer l'incertitude élargie ''U = k u<sub>c</sub>'' avec un facteur d'élargissement ''k = 2'' ;
* exprimer le résultat corrigé du mesurage avec son incertitude et son facteur d'élargissement<ref> D'après les normes NF E 02-204, E 06-044, E 10-100, X 07-001 et surtout le GUM {{harvsp|JCGM|2008|p=}}</ref>.

=== Exemple type ===
On suppose qu'un opérateur de [[métrologie]], accoutumé, veut mesurer la longueur d'une éprouvette en [[aluminium]] de longueur 100 environ, avec son incertitude. Pour cela il effectue six mesures individuelles avec un [[pied à coulisse]] à vernier au 2/100{{e}} dont [[Erreur de mesure#Approche statistique|l'erreur systématique]] (erreur de justesse) après vérification est Δ = - {{unité|0.02|mm}} ± {{unité|0.002|mm}} par rapport à une valeur vraie de {{unité|100|mm}}<ref group="N">L'étalon de {{unité|100|mm}} est inconnu. Son incertitude — peut-être de ± {{unité|0.3|μm}} pour une cale de classe 0 — est négligée a priori.</ref>. La température de l'environnement général est évaluée à {{unité|30 ± 1 °C}}<ref group="N">On rappelle à titre d'information que la dilatation d'un barreau en acier de longueur {{unité|100|mm}} est d'environ {{unité|11|μm}}, pour une différence de température Δt de 10 °C ; pour un aluminium, elle est de {{unité|25|μm}} dans les mêmes conditions.</ref>.

Il enregistre les résultats suivants : 100,02 ; 100,01 ; 99,99 ; 100,02 ; 100 ; 100,02 dont la somme vaut 600,06.

{| class="wikitable centre"
|+ Mesurage d'une éprouvette (6 valeurs)
|-
! N°
! Étape
! Complément 1
! Complément 2
! Expression*
! valeur finale*
|-
|1
|Résultat brut moyen
|
|
|style="text-align:center;"| ''x''<sub>bar</sub>
| 100,01
|-
| rowspan="3" | 2
| rowspan="3" | Corrections
|
| due à l'erreur de justesse
|
| 0,02
|-
|
| due à la dilatation
|
| - 0,014
|-
| résultat corrigé
|
| style="text-align: center;" | 100,01 + 0,02 - 0,014
| 100,016
|-
| rowspan="6" | 3
| rowspan="6" | Causes d'incertitudes
| de type A
| répétabilité
|
|
|-
| rowspan="5" | de type B
| B0 : incertitude étalon|| ||
|-
| B1 : résolution|| ||
|-
| B2 : justesse résiduelle || ||
|-
| B3 : température || ||
|-
| B4 : coef. de dilatation|| ||
|-
| rowspan="8" | 4
| rowspan="8" | Écarts types
| rowspan="2" | type A
| répétabilité du mesurage
| style="text-align: center;" | ''u <sub>a</sub>''
| 0,01265
|-
| écart type sur la moyenne
| style="text-align: center;" | ''u''<sub>''x'' bar</sub> = 0,01265 / {{racine|6}}
| 0,0052
|-
| rowspan="5" | type B
| U étalon
| style="text-align: center;"| négligé
|
|-
| résolution
| style="text-align: center;" | ''u''<sub>''b''1</sub> = 0,02 / 2 {{racine|3}}
| 0,0058
|-
| erreur de justesse
| style="text-align: center;" | ''u''<sub>''b''2</sub> = 0,002 / 2
| 0,001
|-
| température
| style="text-align: center;" | ''u''<sub>''b''3</sub> = 0,0014 / 3
| 0,00047
|-
| coef. de dilatation
| style="text-align: center;" | négligé
|
|-
| incertitude type composée
| ''u<sub>c</sub>''
| {{racine| 0,0052{{2}} + 0,0058{{2}} + 0,001{{2}} + 0,00047{{2}}}}
| 0,0079
|- style="border-top: 3px solid black;"
| rowspan="2" | 5
| rowspan="2" | Résultats
| incertitude élargie
|
| style="text-align: center;" | ''U'' = 2 x 0,0079
| 0,0158
|-
|* unités : ''mm''
|
| style="text-align: center;" |'''Résultat corrigé du mesurage'''
| '''100,016 ± 0,016 (''k'' = 2)'''
|}

Le résultat pourrait être arrondi à {{unité|100.02|mm}} ± {{unité|0.02|mm}} (''k'' = 2).

=== Présentation industrielle ===
Voir l'exemple précédent sur [[tableur]].

<gallery>
2361 10PC DDI.pdf|Mesurage avec évaluation d'incertitude, exemple sur tableur.
</gallery>

Voir un autre exemple avec procédure dans l'article [[Métrologie dans l'entreprise#Galerie|Métrologie dans l'entreprise]].

== Incertitude et tolérance ==
Le concept d'incertitude a été développé pour répondre aux besoins d'exactitude dans les laboratoires et l'industrie.
* les produits sont fabriqués dans des tolérances de fabrication, soit {{mvar|IT}} la tolérance d'un mesurande ;
* les mesurages sont effectués dans des processus de mesure avec des moyens de mesure ayant leur incertitude propre, soit {{mvar|U}} l'incertitude élargie du moyen de mesure.
Conventionnellement, il a été créé un rapport admissible entre incertitude et tolérance dans le but, entre autres, de simplifier le choix des moyens de mesure. Cette relation s'écrit
<center> <math>U \le IT / 8 </math> </center>
{{article détaillé|Capabilité d'un moyen de mesure}}

== Notes et références ==
=== Notes ===
{{Références|groupe=N|colonnes=2}}

=== Références ===
{{Références|colonnes=2}}

== Annexes ==
=== Bibliographie ===
{{légende plume}}
* {{plume}} {{Ouvrage|langue=en, fr|auteur1=VIM collectif|titre=JCGM 200 : 2008|sous-titre=Vocabulaire international de métrologie - Concepts fondamentaux et généraux et termes associés|éditeur=BIPM|année=2008|isbn=|lire en ligne=http://www.bipm.org/utils/common/documents/jcgm/JCGM_200_2008.pdf}}.
* {{plume}} {{Ouvrage|langue=fr|auteur1=JCGM|titre=Évaluation des données de mesure|sous-titre=Guide pour l'expression de l'incertitude de mesure GUM|éditeur=BIPM|année=2008|isbn=|lire en ligne=http://www.bipm.org/utils/common/documents/jcgm/JCGM_100_2008_F.pdf}}.
* {{plume}} {{Ouvrage|langue=fr|auteur1=Collectif AFNOR|titre=Métrologie dans l'entreprise|sous-titre=Outil de la qualité|lieu=Paris|éditeur=AFNOR|année=1996|pages totales=310|isbn=2-12-460701-4}}.

=== Articles connexes ===
* [[Capabilité d'un moyen de mesure]]
*[[Chiffre significatif]]
*[[Propagation des incertitudes]]
* [[Qualité métrologique d'un appareil de mesure]]

=== Liens externes ===
{{autres projets
  | wikiversity = Incertitudes en physique
  | wikiversity titre = Incertitudes en physique
}}

* [http://www.uncertainty.de/Ten_Theses.pdf Ten Theses for a New GUM, 2007]
* {{Ouvrage|langue=fr|prénom1=Mathieu|nom1=Rouaud|titre=Calcul d'incertitudes : application aux sciences expérimentales : exercices corrigés|lieu=Querrien|éditeur=Mathieu Rouaud|année=2014|pages totales=189|isbn=978-2-9549309-0-9|oclc=1045747019|lire en ligne=http://www.incertitudes.fr/livre.pdf}}.

{{Palette|Métrologie}}
{{Portail|Sciences|physique|génie mécanique}}

[[Catégorie:Métrologie]]
[[Catégorie:Statistiques]]