Voir la source de Indice de Moran

En [[statistique]]s, l’'''indice de Moran''' (ou '''{{Formule|''I''}} de Moran''') est une mesure de l'[[autocorrélation spatiale]] développée par [[Patrick Moran]]<ref>Moran, P.A.P. (1950), "Notes on Continuous Stochastic Phenomena," ''Biometrika'', '''37''', 17–33. {{doi|10.1093/biomet/37.1-2.17}} {{jstor|2332142}}</ref>. L'autocorrélation spatiale est caractérisée par une corrélation entre les mesures  géographiquement voisines d'un phénomène mesuré.

== Définition ==
Soit un champ réel {{Formule|''X''}} défini sur un réseau discret de {{Formule|''N''}} sites ; soit une matrice de poids positifs {{Formule|''W''}}, carrée de dimension {{Formule|''N''}}, <math>w_{ij}</math> quantifiant les influences de {{Formule|''j''}} sur {{Formule|''i''}}<ref>On peut choisir pour {{Formule|''w''{{ind|''i'',''j''}}}}, par exemple :
* une fonction de la forme {{Formule|(pourcentage de la frontière de {{Formule|''i''}} partagée avec {{Formule|''j''}}){{exp|coefficient {{Formule|''b''}}}} ÷ (distance de {{Formule|''i''}} à {{Formule|''j''}}){{exp|coefficient {{Formule|''a''}}}}}} ;
* ou simplement {{Formule|1 si {{Formule|''i''}} et {{Formule|''j''}} sont contigus, 0 sinon}}.</ref>.
Notant {{surligner|{{Formule|''X''}}}} la moyenne de {{Formule|''X''}}, on définit l'indice {{Formule|''I''}} de Moran pour {{Formule|''X''}} et {{Formule|''W''}} par :

<center><math> I = \frac{N} {\sum_{i} \sum_{j} w_{ij}} \frac {\sum_{i} \sum_{j} w_{ij}(X_i-\bar X) (X_j-\bar X)} {\sum_{i} (X_i-\bar X)^2}  </math></center>

L'espérance mathématique de l'indice de Moran sous des hypothèses de non [[autocorrélation]] spatiale est donnée par :
{{retrait|<math> E(I) = \frac{-1} {N-1}</math>}}

Sa [[Variance (mathématiques)|variance]] est égale à
{{retrait|<math>Var(I) = \frac{NS_4-S_3S_5} {(N-1)(N-2)(N-3)(\sum_{i} \sum_{j} w_{ij})^2}</math>}}
où
{{retrait|<math>S_1 = \frac {1} {2} \sum_{i} \sum_{j} (w_{ij}+w_{ji})^2</math>}}
{{retrait|<math>S_2 = \frac {\sum_{i} ( \sum_{j} w_{ij} + \sum_{j} w_{ji})^2} {1}</math>}}
{{retrait|<math>S_3 = \frac {N^{-1} \sum_{i} (x_i - \bar x)^4} {(N^{-1} \sum_{i} (x_i - \bar x)^2)^2}</math>}}
{{retrait|<math>S_4 = \frac {(N^2-3N+3)S_1 - NS_2 + 3 (\sum_{i} \sum_{j} w_{ij})^2} {1}</math>}}
{{retrait|<math>S_5 = S_1 - 2NS_1 + \frac {6(\sum_{i} \sum_{j} w_{ij})^2} {1}</math>}}

Les valeurs négatives (resp. positives) de l'indice indiquent une autocorrélation spatiale négative (resp. positive). Ses valeurs s'étendent de {{formatnum:-1}} (indiquant une dispersion parfaite) à {{formatnum:+1}} (corrélation parfaite). Une valeur nulle est significative d'un modèle spatial parfaitement aléatoire. Pour le [[test d'hypothèse]] statistique, l'indice {{Formule|''I''}} de Moran peut être transformé en Z-score dans lequel les valeurs plus grandes que {{formatnum:+1.96}} ou plus petites que {{formatnum:-1.96}} indiquent une autocorrélation spatiale significatives avec un [[taux d'erreur]] de 5 %.

L'indice de Moran est relié à celui de [[Indice de Geary|Geary]], mais n'est pas identique. L'indice de Moran est une mesure de l'autocorrélation spatiale globale, tandis que l'[[Indice de Geary]] est plus sensible à l'autocorrélation spatiale locale.

<br />

== Influence de la définition du voisinage ==
En [[analyse spatiale]], la codification de la structure de voisinage influence les observations que l'on peut faire après. C'est pour quoi l'indice de Moran doit être calculé selon plusieurs méthodes de voisinage<ref>{{Ouvrage|langue=français|auteur1=Insee - Eurostat|titre=Manuel d'analyse spatiale|passage=|lieu=|éditeur=Institut national de la statistique et des études économiques|date=Octobre 2018|pages totales=|isbn=|lire en ligne=}}</ref> afin de pouvoir comparer les résultats et proposer des interprétations plus solides. A titre d'exemple, le tableau suivant liste les valeurs de l'indice de Moran pour les demandes de valeur foncière sur Paris en {{date-|Avril 2018}} et selon plusieurs méthodes de voisinages : <br />
[[Fichier:DfMoran.png|centré|vignette|314x314px|Indices de Moran des Demandes de valeur foncière sur Paris en Avril 2018, selon plusieurs méthodes de voisinages]]
En règle générale, plus une méthode de voisinage va accorder de voisins aux entités, moins l'indice de Moran sera élevé. Le fait d'augmenter le nombre de voisins par observation augmente la probabilité d'obtenir des observations hétérogènes dans le voisinage, ce qui a pour conséquence une autocorrélation spatiale moins visible (surtout pour les indices globaux). Le choix de voisinage a donc une importance certaine dans l'identification de l'autocorrélation spatiale.

== Notes et références ==
=== Notes ===
{{Traduction/Référence|en|Moran's I|416326182|type=note}}
<references group="Note"/>

=== Références ===
{{Reflist}}
==Voir aussi==
===Bibliographie===
* {{en}} P.A.P. Moran, ''Notes on Continuous Stochastic Phenomena'', [[Biometrika]], 37, 17–23 (1950) {{jstor|2332142}}, {{doi|10.1093/biomet/37.1-2.17}}

=== Articles connexes ===
* [[Analyse spatiale]]
* [[Système d'information géographique]]
* [[Glossaire du data mining]]
* [[Fouille de données spatiales]]
* [[Indice de Geary]]
* [[Structure spatiale totalement aléatoire]]

=== Liens externes ===
{{en}} Esri,[http://edndoc.esri.com/arcobjects/9.2/net/shared/geoprocessing/spatial_statistics_tools/spatial_autocorrelation_morans_i_spatial_statistics_.htm Spatial Autocorrelation (Morans I) (Spatial Statistics)]

{{Portail|probabilités et statistiques}}

{{DEFAULTSORT:Moran, indice de}}
[[Catégorie:Exploration de données]]
[[Catégorie:Géographie mathématique]]
[[Catégorie:Technique géographique]]
[[Catégorie:Analyse spatiale]]