Voir la source de Infiniment petit

{{Voir homonymes|Infiniment}}
{{Ébauche|mathématiques}}
Les '''infinitésimaux''' (ou '''infiniment petits''') ont été utilisés pour exprimer l'idée d'objets si petits qu'il n'y a pas moyen de les voir ou de les mesurer. Le mot {{citation|infinitésimal}} vient de ''infinitesimus'' (latin du {{s-|XVII|e}}), ce qui signifiait à l'origine l'élément {{citation|infini-ème}} dans une série. Selon la [[notation de Leibniz]], si ''x'' est une quantité, d''x'' et Δ''x'' peuvent représenter une quantité infinitésimale de ''x''.

== Historique ==
Dans le langage courant, un objet '''infiniment petit''' est un objet qui est plus petit que toute mesure possible, donc non pas d'une taille zéro, mais si petit qu'il ne peut être distingué de zéro par aucun moyen disponible. Par conséquent, lorsqu'il est utilisé en tant qu'adjectif, «infinitésimal» dans le [[Langue vernaculaire|langage vernaculaire]] signifie {{citation|extrêmement faible}}.

[[Archimède]] exploita les infinitésimaux dans ''[[Traité de la Méthode|La Méthode]]'' pour trouver des aires de régions et des volumes de solides. Les auteurs classiques avaient tendance à chercher à remplacer les arguments infinitésimaux par des arguments utilisant la [[méthode d'exhaustion]], qu'ils jugeaient plus fiable. Le {{s-|XV|e}} a vu le travail pionnier de [[Nicolas de Cues]], développé au {{s-|XVII|e}} par [[Johannes Kepler]], en particulier le calcul de l'aire d'un cercle en représentant celui-ci comme un polygone d'un nombre infini de côtés. [[Simon Stevin]] élabora un continu de décimaux au {{s-|XVI|e}}. La [[méthode des indivisibles]] de [[Bonaventura Cavalieri]] conduit à une extension des résultats des auteurs classiques. La méthode des indivisibles traitait des figures géométriques comme étant composés d'entités de [[codimension]] 1. Les infinitésimaux de [[John Wallis]] diffèrent des indivisibles en ce sens que des figures géométriques se décomposeraient en des parties infiniment minces de la même dimension que la figure, préparant le terrain pour des méthodes générales du [[Intégration (mathématiques)|calcul intégral]]. Il exploita un infinitésimal noté <math>\frac{1}{\infty}</math> dans les calculs de superficie.

[[Pierre de Fermat]], inspiré par [[Diophante d'Alexandrie|Diophante]], développa le concept d'[[adégalité]], c'est-à-dire égalité « adéquate » ou égalité approximative (avec une erreur infime), qui a fini par jouer un rôle clé dans une mise en œuvre mathématique moderne des définitions infinitésimales de la [[dérivée]] et l'[[Intégration (mathématiques)|intégrale]]. L'utilisation des infinitésimaux chez [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniz]] s'appuya sur un principe heuristique appelé la [[Principe de continuité|loi de continuité]] : ce qui réussit pour les nombres finis réussit aussi pour les nombres infinis, et ''vice versa''. Le {{s-|XVIII|e}} a vu l'utilisation systématique des infiniment petits par les plus grands tels que [[Leonhard Euler]] et [[Joseph-Louis Lagrange]]. [[Augustin Louis Cauchy|Augustin-Louis Cauchy]] exploita les infinitésimaux dans sa définition de la [[Continuité (mathématiques)|continuité]] et dans une forme préliminaire d'une [[Distribution de Dirac|fonction delta de Dirac]]. Lorsque [[Georg Cantor]] et [[Richard Dedekind|Dedekind]] développaient des versions plus abstraites du continu de Stevin, [[Paul David Gustave du Bois-Reymond|Paul du Bois-Reymond]] a écrit une série d'articles sur des continus enrichis d'infinitésimaux sur la base des taux de croissance des fonctions. L'œuvre de du Bois-Reymond a inspiré à la fois [[Émile Borel]] et [[Thoralf Skolem]]. Skolem développa les premiers [[Modèle non standard|modèles non standard]] de l'arithmétique en 1934. Une mise en œuvre mathématique à la fois de la loi de continuité et des infinitésimaux a été réalisée par [[Abraham Robinson]] en 1961, qui a développé l'[[analyse non standard]] basée sur des travaux antérieurs de [[Edwin Hewitt]] en 1948 et {{Lien|lang=de|fr=Jerzy Łoś}} en 1955. Les [[Nombre hyperréel|hyperréels]] constituent un continu enrichi d'infinitésimaux, tandis que le {{Lien|trad=Transfer principle|lang=en|fr=principe du transfert}} met en œuvre la loi de continuité de Leibniz.

== En analyse mathématique ==
En [[mathématiques]], le terme infiniment petit peut s'appliquer :

* à une quantité [[Négligeabilité|négligeable]] dans le cadre de méthodes d'étude du comportement d'une fonction au voisinage d'un point (ou de l'infini), en regard du comportement d'une autre fonction, souvent choisie sur une échelle de référence.
* à une notion historique de nombre infinitésimal, abandonnée par les élèves de [[Karl Weierstrass]], qui donna un fondement rigoureux à la notion de [[Limite (mathématiques)|limite]]. Cette notion avait déjà été entrevue mais jamais explicitée<ref>[[Nicolas Bourbaki|N. Bourbaki]], ''[[Éléments de mathématique]]'', diffusion CCLS Paris 1977, {{ISBN|2-903684-03-0}} p. EIV.50-51 souligne : [[Jean Le Rond d'Alembert]] avait pressenti {{citation|que dans la {{citation|métaphysique}} du calcul infinitésimal il n'y a rien d'autre que la notion de limite}} mais {{citation|il ne peut, pas plus que ses contemporains, comprendre le sens véritable des développements en séries divergentes.}}</ref>, en particulier parce que les représentations et la définition des [[Nombre réel|nombres réels]] avaient demandé une longue maturation<ref>Université Laval -[http://archimede.mat.ulaval.ca/amq/ancien/archives/1998/1/1998-1-part7.pdf Jacques Lefebvre, ''Moments et aspects de l'histoire du calcul différentiel et intégral'']</ref>.
* à un [[nombre hyperréel]] plus petit en [[valeur absolue]] que tout inverse d’un entier, dans le cadre de l'[[analyse non standard]] de Robinson qui formalisa les infinitésimaux de [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniz]] ;
* de façon plus classique, en [[analyse réelle]], dans l'expression {{citation|infiniment petits équivalents}} : deux fonctions <math>f</math> et <math>g</math> sont des infiniment petits équivalents au [[voisinage (mathématiques)|voisinage]] de a si, <math>f(x)</math> et <math>g(x)</math> tendant tous deux vers zéro quand x tend vers a, le rapport <math>f(x)/g(x)</math> tend vers 1 : <math>\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = 1.</math>
Ainsi, la [[longueur d'un arc]] de cercle et celle de sa corde, en tant que fonctions de l'angle au centre associé, sont des infiniment petits équivalents au voisinage de l'angle nul.

== Infiniment grands ==
De même, deux fonctions <math>f</math> et <math>g</math> sont des infiniment grands équivalents au voisinage de a si, <math>f(x)</math> et <math>g(x)</math> tendant tous deux vers l'infini quand x tend vers a, le rapport <math>f(x)/g(x)</math> tend vers 1. En analyse non standard, les infiniment grands sont des hyperréels qui sont les inverses des infiniment petits.

== Médias ==
Les expressions {{citation|infiniment petit}} et {{citation|infiniment grand}} sont très notoires et presque jamais utilisées dans leur sens premier, mais pour parler de sujets tels que les galaxies, les quarks, et les nanotechnologies.

== Littérature ==
Dans le fragment 199 des ''[[Pensées (Pascal)|Pensées]]'', [[Blaise Pascal]] écrit que {{citation|l’homme est infiniment éloigné de comprendre les extrêmes}}, coincé entre l'infiniment petit et l'infiniment grand, {{citation|incapable de voir […] l’infini où il est englouti}}. Il imagine des mondes [[Homothétie|homothétiquement]] réduits, de plus en plus petits : {{citation|Qu'un ciron lui offre dans la petitesse de son corps des parties incomparablement plus petites, des jambes avec des jointures, des veines dans ces jambes, du sang dans ces veines, des humeurs dans ce sang, des gouttes dans ces humeurs, des vapeurs dans ces gouttes ; que, divisant encore ces dernières choses, il épuise ses forces en ces conceptions, et que le dernier objet où il peut arriver soit maintenant celui de notre discours ; il pensera peut-être que c'est là l'extrême petitesse de la nature. Je veux lui faire voir là dedans un abîme nouveau. Je lui veux peindre non seulement l'univers visible, mais l'immensité qu'on peut concevoir de la nature, dans l'enceinte de ce raccourci d'atome. Qu'il y voie une infinité d'univers, dont chacun a son firmament, ses planètes, sa terre, en la même proportion que le monde visible; dans cette terre, des animaux, et enfin des cirons, dans lesquels il retrouvera ce que les premiers ont donné<ref>Pensées, Br. 72, Lafuma 199</ref>…}}

Dans le même ouvrage, Pascal évoque la « sphère dont le centre est partout, la circonférence nulle part »<ref>Wikisource, Pensées de Pascal, [[s:Page:Œuvres de Blaise Pascal, XII.djvu/399|section II {{p.|73}}]]</ref>, ce qui est une image traditionnelle dans la pensée occidentale, on la retrouve chez [[Nicolas de Cues]], [[Giordano Bruno]], [[Maître Eckhart]], [[Boèce]], elle a été attribuée à [[Empédocle]].

== Notes et références ==
{{Références}}

== Annexes ==
{{Autres projets|wikibooks=Philosophie/Commentaire du passage à propos des deux infinis|wikibooks titre=Commentaire du passage des ''Pensées'' à propos des deux infinis}}

=== Articles connexes ===
* [[Isaac Newton]]
* ''[[Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes]]'', par le [[Guillaume François Antoine, marquis de L'Hôpital|marquis de L'Hôpital]]
* [[Infini]]
* [[Transformation infinitésimale]]
* [[Archimédien|Ensemble archimédien]]

=== Lien externe ===
* {{SEP|continuity|Continuity and Infinitesimals}}, par [[John Lane Bell|John L. Bell]]

{{Palette|Notion de nombre}}

{{Portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Analyse (mathématiques)]]
[[Catégorie:Zéro]]
[[Catégorie:Infini]]