Voir la source de Intégrale d'Itō

{{Ébauche|probabilités et statistiques}}
[[Fichier:Ito Integral BdB.png|vignette|Tracé d'une trajectoire échantillon d'un processus de Wiener, ou mouvement brownien, B, ainsi que son intégrale d'Itô par rapport à lui-même. L'intégration par parties ou le lemme d'Itō montre que l'intégrale est égale à (B2 - t)/2.]]
L''''intégrale d'Itō''', appelée en l'honneur du mathématicien [[Kiyoshi Itō]], est un des outils fondamentaux du [[calcul stochastique]]. Elle a d'importantes applications en [[Mathématiques financières|mathématique financière]] et pour la résolution des [[Équation différentielle stochastique|équations différentielles stochastiques]].

Elle généralise de façon stochastique l'[[intégrale de Stieltjes]]. L'intégrande ''H'' et l'intégrateur sont tous deux des processus stochastiques :
:<math>Y_t=\int_0^t H_s\,dX_s,</math>
où ''H'' est un processus carré-intégrable localement adapté au filtre (au sens probabiliste) généré par ''X''<ref>{{Harvsp|Revuz|Yor|1999|loc=Chapter IV}}.</ref>, qui est un [[mouvement brownien]] ou, de façon plus générale une semi-[[Martingale (calcul stochastique)|martingale]]. Le résultat de l'intégration, ''Y'', est aussi un processus stochastique. 

== Description ==
Il s'agit d'une intégrale définie de façon similaire à l'[[intégrale de Riemann]] comme limite d'une [[somme de Riemann]]. Si on se donne un processus de Wiener (ou [[mouvement brownien]]) <math>B : [0, T] \times \Omega \to \mathbb{R}\,</math> ainsi que <math>X : [0, T] \times \Omega \to \mathbb{R}</math> un [[processus stochastique]] adapté à la filtration naturelle associée à <math>B_t</math>, alors l'''intégrale d'Itō'' 

:<math>\int_{0}^{T} X_{t} \, \mathrm{d} B_{t} : \Omega \to \mathbb{R}</math>

est définie par la [[Convergence en moyenne quadratique|limite en moyenne quadratique]] de

:<math>\sum_{i = 0}^{k - 1} X_{t_{i}} \left( B_{t_{i+1}} - B_{t_{i}} \right)</math> 

lorsque le pas de la partition <math>0 = t_{0} < t_{1} < \dots < t_{k} = T</math> de <math>[0, T]</math> tend vers 0.

Ces sommes, considérées comme des sommes de [[Intégrale de Stieltjes|Riemann-Stieltjes]] pour chaque chemin du mouvement brownien donné, ne convergent pas en général ; la raison en est que le mouvement brownien n'est pas à [[variations bornées]]. L'usage de la convergence quadratique est le point essentiel de cette définition.

== Propriétés ==

Avec les notations précédentes, le processus stochastique ''Y'' défini, pour ''t'' réel positif, par <math>Y_{t}=\int_{0}^{t}{X_{s} \mathrm{d}B_{s}}</math>, est une [[Martingale (calcul stochastique)|martingale]]. En particulier, son [[Espérance mathématique|espérance]] est constante.

D'autre part, on a la propriété dite d'''isométrie'':
<math>E(Y_{t}^{2})=\int_{0}^{t}{E(X_{s}^{2}) \mathrm{d}s}</math>. Cette dernière intégrale est « classique », c'est-à-dire qu'elle est une intégrale au sens de Riemann par rapport à la variable ''s''.

== Notes et références ==
{{Références}}

== Bibliographie ==
* {{ouvrage |langue=en 
|auteur1=[[Daniel Revuz]]
|auteur2=[[Marc Yor]]
| titre=Continuous martingales and Brownian motion 
|éditeur=Springer| lieu=Berlin 
| année=1999 
| isbn=3-540-57622-3}}

== Articles connexes ==
*[[Processus d'Itō]]
*[[Lemme d'Itō]]
*[[Calcul stochastique]]
*[[Intégrale de Stratonovich]]

{{portail|probabilités et statistiques}}

[[Catégorie:Calcul stochastique]]