Voir la source de Intégrale de Gauss

[[Image:E^(-x^2).svg|vignette|La surface comprise entre la courbe d'équation ''y'' = exp(−''x''<sup>2</sup>) et l'axe des abscisses vaut √π.]]
En [[mathématiques]], une '''intégrale de Gauss''' est l'[[intégrale (mathématiques)|intégrale]] d'une [[fonction gaussienne]] sur l'ensemble des [[nombre réel|réels]]. Sa valeur est reliée à la constante [[pi|π]] par la formule
:<math> \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm e^{-\alpha\, x^2}\mathrm d x=\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}},</math>
où ''α'' est un paramètre réel strictement positif. Elle intervient dans la définition de la [[loi de probabilité]] appelée loi gaussienne, ou [[loi normale]].

Cette formule peut être obtenue grâce à une intégrale double et un changement de variable polaire. Sa première démonstration connue est donnée par [[Pierre-Simon de Laplace]].

Ainsi on a par exemple, avec les notations classiques :
:<math>\int_{-\infty}^{+\infty}\frac1{|\sigma|\sqrt{2\pi}}\mathrm e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \mathrm d x=1</math>.

Si l'on travaille à ''n'' dimensions, la formule se généralise sous la forme suivante :
:<math> \int_{\R^n} \mathrm e^{-\alpha\,\|x\|^2} \mathrm d x=\left(\frac{\pi}{\alpha}\right)^{\frac n2}\text{ avec }x= (x_1,\dots,x_n)\text{ et }\|x\| = \sqrt{x_1^2 + \cdots + x_n^2}.</math>

== Intégrabilité de la fonction ==

Comme l'[[intégrande]] est [[Parité d'une fonction|pair]], il suffit, pour montrer qu'il est intégrable sur <math>\R</math>, de prouver qu'il est intégrable sur <math>\R_+</math>. Cela résulte de ce qu'il est positif, continu, et [[Fonction négligeable|négligeable]] à l'infini devant, par exemple, la fonction {{nobr|''x'' ↦ ''x''{{-2}},}} intégrable sur {{math|[1, +∞[}}.

== Calcul de l'intégrale de Gauss ==

Un [[théorème de Liouville (algèbre différentielle)|théorème de Liouville]] montre que l’intégrande de l'intégrale de Gauss n'admet aucune [[primitive]] s'exprimant à l'aide des fonctions usuelles (exponentielle, etc.). Cela oblige pour calculer cette intégrale à recourir à des méthodes plus ou moins « détournées », dont la plus classique et directe est celle qui utilise des intégrales doubles ; d'autres méthodes classiques existent dont une élémentaire, mais nettement plus longue, qui fait appel aux [[intégrales de Wallis]] et une autre qui utilise une fonction définie par une intégrale.

=== Cas particulier {{math|1=α = 1}} ===
La méthode classique de calcul utilise une [[intégrale double]] qu'on exprime en coordonnées cartésiennes, puis en [[coordonnées polaires]]<ref>Voir par exemple {{Note autre projet|wikiversité|Intégrale double/Exercices/Calculs d'intégrales doubles#Exercice 1-12|cet exercice corrigé|début=}}</ref>.

Une variante utilise une fonction définie par une intégrale<ref>Voir [[v:Mathématiques en MP/Exercices/Intégrales dépendant d'un paramètre#Exercice 2-7|cet exercice corrigé]] ou, pour une {{Note autre projet|wikiversité|Intégration de Riemann/Devoir/Intégrale de Gauss|ce devoir corrigé|début=variante plus élémentaire,}}</ref>. Cette seconde méthode n'utilise que des résultats sur les intégrales simples (à une seule [[variable (mathématiques)|variable]]) usuelles (sur un intervalle fermé borné) et est donc plus élémentaire. Elle est cependant plus technique.

Quelle que soit la technique utilisée, elle démontre que <math>\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm e^{-x^2}\,\mathrm dx=\sqrt\pi</math>.

=== Cas générique ===
Soit la formule générique pour toute intégrale gaussienne :
:<math>\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-a x^2 + b x + c} \mathrm d x 
=\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-a x^2 + b x + c -(\frac{b^2}{4a}+c) + (\frac{b^2}{4a}+c)} \mathrm d x  =
\mathrm{e}^{(\frac{b^2}{4a}+c)}\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-(\sqrt{a}x -\frac{b}{2\sqrt{a}})^2} \mathrm d x  
</math>     (où ''a'', ''b'', ''c'' sont réels et ''a'' > 0).
Par [[Changement de variable (simplification algébrique)|changement de variable]] et en utilisant le résultat précédent :
:<math>\mathrm{e}^{(\frac{b^2}{4a}+c)}\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-(\sqrt{a}x -\frac{b}{2\sqrt{a}})^2}\mathrm d x  =
 \mathrm{e}^{(\frac{b^2}{4a} + c)} \sqrt{\frac{\pi}{a}} </math>       (où ''a'', ''b'', ''c'' sont réels et ''a'' > 0).

== L'intégrale de Gauss comme valeur particulière de la fonction Gamma ==
La valeur en {{sfrac|1|2}} de la [[fonction Gamma d'Euler]] est
:<math>\Gamma\left(\frac12\right)=\int_0^{+\infty}t^{\frac{1}2-1}\mathrm e^{-t}\,\mathrm dt=2\int_0^{+\infty}\mathrm e^{-u^2}\,\mathrm du=\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm e^{-u^2}\,\mathrm du</math>.

== Transformée de Fourier d'une fonction gaussienne ==
Soit la fonction gaussienne
:<math>f: \R \to \R,\, x \mapsto \mathrm e^{-\alpha\, x^2}\text{, avec } \alpha > 0.</math>
Elle est intégrable sur ℝ.
Sa [[Transformation de Fourier|transformée de Fourier]]
:<math>F = \mathcal{F}(f): \R \to \Complex</math>
définie par
:<math>F(\xi) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm e^{-i\, \xi\, x} \mathrm dx = \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm e^{-\alpha\, x^2} \mathrm e^{-i\, \xi\, x} \mathrm dx</math>
est telle que
:<math>\forall \xi \in \R\quad F(\xi) = \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\, \mathrm e^{-\frac{\xi^2}{4\alpha}}.</math>

On propose ci-dessous trois démonstrations de ce résultat.

{{démonstration|titre=Par une [[équation différentielle linéaire]]|
On utilise une équation différentielle vérifiée par la fonction {{mvar|f}}.

Par définition : <math>F(0) = \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm e^{-\alpha\, x^2} \mathrm dx\text{ donc }F(0) = \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}.</math>

D'autre part, {{mvar|f}} est (au moins) de [[Classe de régularité|classe C{{exp|1}}]] et vérifie l'équation différentielle linéaire
:<math>\forall x \in \R\quad f'(x) = -2\alpha\, x f(x) = - 2\alpha g(x),\text{ en notant }g: \R \to \R, x \mapsto x f(x).</math>
On justifie (comme plus haut) que {{mvar|g}} (donc {{mvar|f}}) est intégrable sur ℝ. Dès lors (propriétés de la transformation de Fourier relatives à la dérivation) :
* Comme {{mvar|f}} et {{mvar|f’}} sont intégrables et {{mvar|f}} tend vers 0 à l'infini,
:<math>\forall \xi \in \R\quad\mathcal F(f ')(\xi) =\mathrm i\xi\, F(\xi).</math>
* Comme {{mvar|f}} et {{mvar|g}} sont intégrables, {{mvar|F}} est dérivable et
:<math>\forall \xi \in \R\quad\mathcal F(g)(\xi) =\mathrm iF ' (\xi).</math>
De l'équation différentielle ci-dessus, on déduit que <math>\mathcal F(f ')= -2\alpha \mathcal F(g)</math>, qui s'écrit :
:<math>\forall \xi \in \R\quad\mathrm i\xi F(\xi) = -2 \alpha\mathrm iF'(\xi)</math>, ou encore :
:<math>\forall \xi \in \R\quad F'(\xi) = -2\beta\, \xi\, F(\xi),\text{ avec }\beta = \frac1{4 \alpha}.</math>
Ainsi, {{mvar|F}} vérifie une équation différentielle analogue à la précédente : il existe une constante {{mvar|K}} telle que
:<math>\forall \xi \in \R\quad F(\xi) = K\, \mathrm e^{-\beta\, \xi^2}.</math>
On conclut en remarquant que <math>K =  F(0) = \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}.</math>
}}

{{Démonstration|titre=Par le [[théorème intégral de Cauchy]] pour les [[fonction holomorphe|fonctions holomorphes]]|
On note encore {{mvar|f}} le prolongement holomorphe à ℂ de la fonction gaussienne {{mvar|f}} :
:<math>f: \Complex \to \Complex, z \mapsto \mathrm e^{-\alpha\, z^2}.</math>
On calcule {{math|''F''(ξ)}} en supposant {{math|ξ > 0}} (le cas où {{math|ξ < 0}} se traite de même ou avec la parité ; le cas où {{math|1=ξ = 0}} est immédiat).

Soient trois réels {{math|''x''{{ind|1}}, ''x''{{ind|2}}, ''h''}} tels que {{math|''x''{{ind|1}} < ''x''{{ind|2}}}} et {{math|''h'' > 0}}, puis dans le plan complexe le rectangle de sommets
{{retrait|<math>A = x_1, B = x_2, C = x_2 +\mathrm ih, D = x_1+\mathrm ih</math> (de côtés parallèles aux axes).}}

D'après le théorème intégral de Cauchy, l'intégrale de ''f'' sur le bord orienté du rectangle est nulle :
:<math>\int_{[A, B]} f(z)\, \mathrm dz + \int_{[B, C]} f(z)\, \mathrm dz + \int_{[C, D]} f(z)\, \mathrm dz + \int_{[D, A]} f(z)\, \mathrm dz = 0.</math>
Or on a les égalités suivantes :
:<math>\int_{[A, B]} f(z)\, \mathrm dz = \int_{x_1}^{x_2} \mathrm e^{-\alpha\, x^2}\, \mathrm dx</math> et <math>\int_{[C, D]} f(z)\, \mathrm dz = -\int_{x_1}^{x_2} \mathrm e^{-\alpha\, (x +\mathrm ih)^2}\, \mathrm dx = - \mathrm e^{\alpha h^2} \int_{x_1}^{x_2} \mathrm e^{-\alpha\, x^2} \mathrm e^{-2{\mathrm i}\alpha\, h x}\, \mathrm dx </math>
:(on paramétrise le segment {{math|[''C'', ''D'']}} par <math>z = x +\mathrm ih,</math> où <math>x\in[x_1, x_2]</math>).
Ainsi :

:<math>\int_{x_1}^{x_2} \mathrm e^{-\alpha\, x^2}\, \mathrm dx - \mathrm e^{\alpha h^2} \int_{x_1}^{x_2} \mathrm e^{-\alpha\, x^2} \mathrm e^{-2{\mathrm i}\alpha\, h x}\, \mathrm dx + \int_{[B, C]} f(z)\, \mathrm dz + \int_{[D, A]} f(z)\, \mathrm dz = 0.</math>
L'intégrale de {{mvar|f}} sur {{math|[''B'', ''C'']}} (resp. {{math|[''D'', ''A'']}}) tend vers 0 quand {{math|''x''{{ind|2}} tend vers {{math|+∞}} (resp. ''x''{{ind|1}}}} tend vers {{math|–∞}}) (voir plus loin). D'où :
:<math>\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm e^{-\alpha\, x^2} \mathrm e^{-2{\mathrm i}\alpha\, h x}\, \mathrm dx = \mathrm e^{-\alpha h^2} \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm e^{-\alpha\, x^2}\, \mathrm dx = \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\, \mathrm e^{-\alpha h^2}\text{ pour tout }h > 0.</math>
Le choix <math>h = \frac{\xi}{2\alpha}</math> dans la relation précédente (re)donne l'expression cherchée de {{math|''F''(ξ)}}.

Reste à montrer que l'intégrale de {{mvar|f}} sur {{math|[''B'', ''C'']}} tend vers 0 quand {{math|''x''{{ind|2}}}} tend vers {{math|+∞}} :
:<math>\int_{[B, C]} f(z)\, \mathrm dz = \int_0^h \mathrm e^{-\alpha\, (x_2 +{\mathrm i}y)^2}\mathrm i\, \mathrm dy =\mathrm i\,\mathrm e^{-\alpha\, x_2^2} \int_0^h \mathrm e^{\alpha\, y^2} \mathrm e^{-2\mathrm i\alpha\, x_2 y}\, \mathrm dy</math>
:(on paramétrise le segment {{math|[''B'', ''C'']}} par <math>z = x_2 +{\mathrm i}y</math>, avec <math>y \in [0, h]</math>).
D'où la majoration :
:<math>\Big |\int_{[B, C]} f(z)\, \mathrm dz \Big | \leq \mathrm e^{-\alpha\, x_2^2} \int_0^h |\mathrm e^{\alpha\, y^2}||\mathrm e^{-2\mathrm i\alpha\, x_2 y}|\, \mathrm dy = \mathrm e^{-\alpha\, x_2^2} \int_0^h \mathrm e^{\alpha\, y^2}\, \mathrm dy,</math>
qui permet de conclure (l'intégrale au second membre ne dépend pas de {{math|''x''{{ind|2}}}}). De même pour l'intégrale sur {{math|[''D'', ''A'']}}.
}}

{{Démonstration|titre=Par interversion série-intégrale|
<math>\mathrm e^{-\mathrm i\xi x}=\sum_{n\in\N}\frac{(-\mathrm i\xi x)^n}{n!}</math> et <math>x\mapsto\mathrm e^{-\alpha x^2}\sum_{n\in\N}\frac{|\xi x|^n}{n!}=\mathrm e^{-\alpha x^2+|\xi x|}</math> est intégrable donc par [[Théorème de convergence dominée|convergence dominée]],
:<math>F(\xi)=\sum_{n\in\N}\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm e^{-\alpha x^2}\frac{(-\mathrm i\xi x)^n}{n!}\,\mathrm dx=\sum_{n\in\N}\frac{(-\mathrm i\xi)^n}{n!}\times\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm e^{-\alpha x^2}x^n\,\mathrm dx=\sum_{k\in\N}\frac{(-\mathrm i\xi)^{2k}}{(2k)!}\times\frac{(2k)!}{2^kk!}\frac1{(2\alpha)^k}\sqrt\frac\pi\alpha</math>
(d'après l'expression des [[Loi normale#Moments|moments d'une loi normale centrée]]) et finalement,
:<math>F(\xi)=\sqrt\frac\pi\alpha\sum_{k\in\N}\frac{(-\xi^2)^k}{k!(4\alpha)^k}=\sqrt\frac\pi\alpha\mathrm e^{-\frac{\xi^2}{4\alpha}}</math>.
}}

== Notes et références ==
{{Références}}

==Bibliographie==
*{{Abramowitz et Stegun}}, chap. 26
*{{Ouvrage|lang=en
|auteur=  H. M. Antia
|titre= Numerical Methods for Scientists and Engineers
|page=211
|année= 2012|numéro d'édition=3|année première édition=1991
|url={{Google Livres|0_JdDwAAQBAJ|page=211}}
}}

{{Palette|Gauss}}
{{Portail|analyse}}

[[Catégorie:Théorème d'analyse|Gauss (integrale)]]
[[Catégorie:Intégrale|Gauss]]
[[Catégorie:Carl Friedrich Gauss|Integrale]]
[[Catégorie:Loi normale]]