Voir la source de Intégrale de Lebesgue

[[Fichier:RandLintegrals.png|vignette|Comparaison entre l'intégration de Riemann (bleu) et l'intégration de Lebesgue (rouge).]]
En [[mathématiques]], l’'''intégrale de [[Henri Léon Lebesgue|Lebesgue]]''' désigne à la fois une théorie relative à l'[[Intégration (mathématiques)|intégration]] et à la [[Théorie de la mesure|mesure]], et le résultat de l'intégration d'une fonction à valeurs [[Nombre réel|réelles]] définie sur <math>\mathbb{R}</math> (ou sur <math>\mathbb{R}^n</math>) muni de la [[mesure de Lebesgue]].

Généralisant l'[[intégrale de Riemann]], l'intégrale de Lebesgue joue un rôle important en [[Analyse (mathématiques)|analyse]], en [[théorie des probabilités]] et dans beaucoup d'autres domaines des mathématiques.

Dans les cas simples, l'intégrale d'une fonction positive {{mvar|f}} peut être vue comme l'aire comprise entre l'axe des {{mvar|x}} (l'axe horizontal) et la courbe de la fonction {{mvar|f}}. En étendant cette notion, la construction de l'intégrale de Lebesgue s’applique à un ensemble plus riche de fonctions définies sur des espaces plus généraux que <math>\mathbb R</math> ou <math>\mathbb R^n</math>.

== Intérêt pratique de l'intégrale de Lebesgue ==

Après la construction de l'intégrale de Cauchy-Riemann, l’intérêt s’est porté sur des extensions du théorème fondamental du calcul intégral :
{{Énoncé||Soit {{mvar|f}} une fonction à valeurs réelles, définie sur l'axe réel et supposée [[Régularité par morceaux|continue par morceaux]]. Alors, pour tout intervalle fermé {{math|[''a'', ''b'']}}, {{mvar|f}} est Riemann-intégrable et elle admet une [[primitive]] continue sur {{math|[''a'', ''b'']}}. Si {{mvar|F}} désigne une primitive de {{mvar|f}} sur {{math|[''a'', ''b'']}}, alors pour tout {{mvar|x}} dans {{math|[''a'', ''b'']}} :
<center><math> \int_a^x f(u)\mathrm du = F(x)-F(a)</math>.</center>}}

Les études réalisées sur l'intégrale de Riemann aboutissent au théorème suivant qui est le « meilleur qu'on sache démontrer » :
{{Énoncé||Si {{mvar|F}} est différentiable sur {{math|[''a'', ''b'']}} et si sa dérivée {{mvar|F'}} est Riemann-intégrable sur {{math|[''a'', ''b'']}}, alors pour tout {{mvar|x}} dans {{math|[''a'', ''b'']}}
<center><math> \int_a^x F'(u)\mathrm du = F(x)-F(a)</math>.</center>}}

Cependant, il existe des fonctions {{mvar|F}} dérivables sur {{math|[''a'', ''b'']}} sans que leur dérivée soit Riemann-intégrable.

L'objectif premier de l'intégrale de Lebesgue est de lever cette restriction afin de satisfaire à l'énoncé :
{{Énoncé||Si {{mvar|F}} est différentiable sur {{math|[''a'', ''b'']}} et si sa dérivée {{mvar|F'}} est bornée sur {{math|[''a'', ''b'']}}, alors, pour tout {{mvar|x}} dans {{math|[''a'', ''b'']}}, elle est Lebesgue-intégrable sur {{math|[''a'', ''x'']}} et
<center><math> \int_a^x F'(u)\mathrm du = F(x)-F(a)</math>.</center>}}

Par la suite, d’autres constructions d'une intégrale ont été élaborées ([[intégrale de Kurzweil-Henstock]], Denjoy, Perron, Khintchine, etc.) et elles satisfont à l'énoncé plus général

{{Énoncé||Si {{mvar|F}} est différentiable sur {{math|[''a'', ''b'']}}, alors, pour tout {{mvar|x}} dans {{math|[''a'', ''b'']}}, {{mvar|F'}} est intégrable sur {{math|[''a'', ''x'']}} et
<center><math> \int_a^x F'(u)\mathrm du = F(x)-F(a)</math>.</center>}}

== Historique ==

Avant les travaux d’[[Henri Léon Lebesgue|Henri Lebesgue]], la théorie de l'intégration s'appuyait sur l'[[intégrale de Riemann]], mais celle-ci était plutôt insatisfaisante pour diverses raisons : problème de définition « efficace » des intégrales dites ''impropres'' (par exemple l’[[intégrale de Dirichlet]]), difficulté à établir des théorèmes de convergence…

En concevant son intégrale, Lebesgue l'a lui-même comparée à l'intégrale de Riemann : {{Citation|Imaginez que je doive payer une certaine somme ; je peux sortir les pièces de mon porte-monnaie comme elles viennent pour arriver à la somme indiquée, ou sortir toutes les pièces et les choisir selon leur valeur. La première méthode est l'intégrale de Riemann, la deuxième correspond à mon intégrale.}} Pour comprendre cette phrase, il faut préciser que l'intégration de Riemann « parcourt » le segment et exploite au fur et à mesure la « hauteur » {{mvar|y}} de la fonction, alors que l'intégration de Lebesgue exploite la « taille » des ensembles de niveau {{mvar|f {{=}} y}} pour toutes les valeurs de {{mvar|y}}.

Cette théorie s'est avérée particulièrement féconde. Elle a permis (via la théorie des [[Tribu (mathématiques)|tribus]]) de formaliser les [[probabilité]]s, de définir de nombreux [[Espace fonctionnel|espaces fonctionnels]] extrêmement importants et elle a marqué le début de la [[théorie de la mesure]].

== Construction formelle ==

L'idée générale consiste à définir l'intégrale de fonctions simples (en l'occurrence les [[Fonction étagée|fonctions étagées]] positives), d’étendre successivement cette notion à toute [[fonction mesurable]] à valeurs positives, puis finalement à une catégorie plus riche : les fonctions mesurables.

Soit <math>(X,\mathcal A,\mu)</math> un [[espace mesuré]]. En [[analyse réelle]], {{mvar|X}} est l'[[espace euclidien]] <math>\mathbb R^n</math>, <math>\mathcal{A}</math> désigne la tribu des [[Tribu borélienne|boréliens]] de <math>\mathbb R^n</math>, et {{mvar|μ}} la mesure de Lebesgue. En probabilité et en statistique, {{mvar|μ}} est une [[probabilité]] sur un [[espace probabilisable]] <math>(X,\mathcal A)</math>.

L'intégrale de Lebesgue des fonctions mesurables définies sur {{mvar|X}} et à valeurs réelles est construite de la manière suivante :

Soit {{mvar|A}} un élément de <math>\mathcal A</math> et soit {{math|'''1'''{{ind|''A''}}}} la [[Fonction caractéristique (mathématiques)|fonction indicatrice]] de {{mvar|A}} : c'est la fonction définie sur {{mvar|X}} qui vaut 1 sur {{mvar|A}} et 0 en dehors.

La valeur attribuée à <math>\int \mathbf 1_A\,\mathrm d\mu</math> est conforme à la mesure {{mvar|μ}} :

<center><math>\int 1_A \,\mathrm d\mu= \mu (A)</math>.</center>

Par linéarité, l’intégrale est étendue à l'[[espace vectoriel]] engendré par les [[fonction caractéristique (théorie des ensembles)|fonctions indicatrices]] (une [[combinaison linéaire]] finie de fonctions indicatrices s'appelle une [[fonction étagée]]) :

<center><math>\int \sum a_k \mathbf 1_{A_k} \,\mathrm d\mu= \sum a_k \mu(A_k) </math></center>

pour toute somme finie et tous coefficients {{mvar|a{{ind|k}}}} réels<ref>{{Ouvrage|auteur=Jean-Pierre Marco|titre=L3 Mathématiques Analyse|sous-titre=Cours complet avec 600 tests et exercices corrigés|passage=234|lieu=Paris|éditeur=[[Pearson (maison d'édition)|Pearson]]|date=2009|pages totales=927|isbn=978-2-7440-7350-2}}.</ref>.

Remarquons que l’intégrale ainsi définie pour une fonction qui est une combinaison linéaire de fonctions indicatrices est indépendante du choix de la combinaison : c'est une condition essentielle à la consistance de la définition ([[Fonction étagée#Intégration d'une fonction étagée|preuve]]).

Soit {{mvar|f}} une fonction mesurable à valeurs dans [[droite réelle achevée|{{math|[0, +∞]}}]]. L’intégrale de Lebesgue de {{mvar|f}} est définie comme étant la [[borne supérieure]] de l'ensemble des <math>\int s\,\mathrm d\mu</math> pour toutes les fonctions étagées positives {{mvar|s}} inférieures à {{mvar|f}} (pour tout {{mvar|x}}, {{math|''s''(''x'') ≤ ''f''(''x'')}})<ref>{{Ouvrage|auteur=Bernard Candelpergher|titre=Calcul intégral|passage=177|lieu=Paris|éditeur=[[Éditions Cassini|Cassini]]|date=2009|pages totales=478|isbn=978-2-84225-053-9}}.</ref>. Lorsque cet ensemble n'est pas borné, <math>\int f\,\mathrm d\mu</math> est donc infinie.

Remarque : cette construction est analogue à celle des sommes inférieures de Riemann, bien qu’elle n’envisage pas de somme supérieure ; ce fait important permet d’obtenir une classe plus générale de fonctions intégrables.

Pour être plus précis, il convient encore de mentionner la mesure et le domaine d'intégration :
<center><math>\int_X f\,\mathrm d\mu = \sup_{s \text{ étagée}, s \le f} \int_X s\,\mathrm d\mu</math>.</center>

L’intégrale est ainsi établie pour toute fonction définie sur {{mvar|X}} et à valeurs positives. Cependant, afin de satisfaire des propriétés de linéarité et de convergence pour des suites, les fonctions considérées sont limitées aux fonctions ''[[Fonction mesurable|mesurables]]'', soit celles pour lesquelles l'[[image réciproque]] de tout intervalle soit dans la tribu <math>\mathcal A</math>.

Une telle fonction {{mvar|f}} mesurable sur l'ensemble {{mvar|X}} et à valeurs dans [[Droite réelle achevée|{{surligner|ℝ}}]] se décompose en une différence de deux [[Partie positive et partie négative d'une fonction|fonctions positives]] {{math|''f'' {{exp|+}}}} et {{math|''f'' {{exp|–}}}}. Si <math>\int_X |f|\,\mathrm d\mu < +\infty</math>, alors {{mvar|f}} est dite ''intégrable au sens de Lebesgue'' ou ''sommable''. Dans ce cas, les deux intégrales <math>\int f^+ \mathrm d\mu</math> et <math>\int f^-\,\mathrm d\mu</math> sont finies et donnent un sens à la définition :

<center><math>\int_X f\,\mathrm d\mu = \int_X f^+\,\mathrm d\mu - \int_X f^-\,\mathrm d\mu</math>.</center>

Il est possible de vérifier que cette définition étend la notion d'intégrale de Riemann.

Les fonctions à valeurs complexes peuvent être intégrées de la même manière, en intégrant séparément la [[partie réelle]] et la [[partie imaginaire]].

== Théorèmes ==

Toute notion raisonnable d'intégrale doit satisfaire les propriétés de [[application linéaire|linéarité]] et de [[Opérateur monotone|monotonie]]. L'intégrale de Lebesgue ne fait pas exception : si {{mvar|f}} et {{mvar|g}} sont des fonctions intégrables et si {{mvar|a}} et {{mvar|b}} sont des nombres réels, alors {{mvar|af + bg}} est intégrable et <math>\int (af+bg)\,\mathrm d\mu= a \int f\,\mathrm d\mu+ b \int g\,\mathrm d\mu</math> ; si {{math|''f'' ≤ ''g''}}, alors <math>\int f\,\mathrm d\mu\le\int g\,\mathrm d\mu</math> (et de même en remplaçant les deux ≤ par des <, si le domaine d'intégration est de mesure non nulle), en particulier <math>\left|\int f\,\mathrm d\mu\right|\le\int|f|\,\mathrm d\mu</math>. On démontre que cette inégalité est vraie aussi pour {{mvar|f}} à valeurs complexes.

Deux fonctions qui diffèrent seulement sur un [[Ensemble négligeable|ensemble de mesure μ nulle]] (on dit alors que {{mvar|f}} et {{mvar|g}} sont égales µ-presque-partout) ont la même intégrale, ou plus précisément : si <math>\mu(\{x \in X, f(x) \neq g(x)\}) = 0 </math>, alors {{mvar|f}} est intégrable si et seulement si {{mvar|g}} est intégrable, et dans ce cas <math>\int f\,\mathrm d\mu= \int g\,\mathrm d\mu</math>.

Toute fonction intégrable à valeurs dans {{surligner|ℝ}} est finie presque partout, c'est-à-dire que l'ensemble des points où elle prend les valeurs {{math|±∞}} est de mesure nulle.

Comparativement à l'intégrale de Riemann, l'un des avantages essentiels de l'intégrale de Lebesgue est la facilité avec laquelle s'effectue un passage à la limite. Les trois théorèmes suivants sont parmi les plus utilisés : 

* [[Théorème de convergence monotone]] : si <math>(f_k)</math> est une [[Suite (mathématiques)|suite croissante]] de fonctions mesurables positives ({{c.-à-d.}} pour tout {{mvar|k}}, {{math|''f{{ind|k}}'' ≤ ''f''{{ind|''k'' + 1}}}}) et si {{math|1=''f'' = lim ''f{{ind|k}}''}}, alors {{mvar|f}} est mesurable et la suite de terme général <math>\int f_k\,\mathrm d\mu</math> converge vers <math>\int f\,\mathrm d\mu</math> (remarque : <math>\int f\,\mathrm d\mu</math> peut être infinie ici) ;
* [[Lemme de Fatou]] : si <math>(f_k)</math> est une [[Suite et série de fonctions|suite de fonctions]] mesurables positives et si {{math|1=''f'' = [[Limite supérieure et limite inférieure|lim inf]] ''f{{ind|k}}''}}, alors <math>\int f\,\mathrm d\mu\leq \liminf \int f_k\,\mathrm d\mu</math> (à nouveau, <math>\int f\,\mathrm d\mu</math> peut être infinie) ;
* [[Théorème de convergence dominée]] : si <math>(f_k)</math> est une suite de fonctions mesurables convergeant ponctuellement presque partout vers une fonction {{mvar|f}}, et s'il existe une fonction intégrable {{mvar|g}} telle que pour tout {{mvar|k}}, <math>| f_k | \leq g</math>, alors {{mvar|f}} est intégrable et la suite de terme général <math>\int f_k\,\mathrm d\mu</math> converge vers <math>\int f\,\mathrm d\mu</math>.

== Références ==
{{Références}}

== Voir aussi ==
{{Autres projets
  |s=Sur une généralisation de l’intégrale définie|wikisource titre=H. Lebesgue, « Sur une généralisation de l’intégrale définie »
}}
=== Articles connexes ===
* [[Espace L1|Espace {{math|L{{exp|1}}}}]]
* [[Intégration (mathématiques)|Intégration]]
* [[Intégrale de Riemann]]
* [[Intégrale de Daniell]]
* [[Intégrale de Kurzweil-Henstock]]
* [[Intégration de Lebesgue-Stieltjes]]
* [[Intégrale de Stieltjes]]
* [[Intégrale d'Itō]]
* [[Intégrale de Bochner]]
* {{Lien|trad=Pettis integral|Intégrale de Pettis}}

=== Bibliographie ===
{{Traduction/Référence|en|Lebesgue integration|446147947|type=n}}
* {{Ouvrage
| langue=en
| nom1=[[Robert G. Bartle]]
| titre=The Elements of Integration and Lebesgue Measure
| lieu=New York
| éditeur=[[John Wiley & Sons]]
| collection=Wiley Classics Library
| année=1995
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* {{Ouvrage
| prénom1=N.
| nom1=Bourbaki
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| lieu=Paris
| éditeur=
| année=
| pages totales=xvi+472
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| numéro chapitre=I.1-6
|mr=2018901}}
*{{Ouvrage|auteur=Michel Bouyssel|titre=Intégrale de Lebesgue. Mesure et intégration|sous-titre=Exercices avec solutions et rappels de cours|éditeur=[[Éditions Cépaduès|Cépaduès]]|date=1996|isbn=978-2-854283907}}
* {{Ouvrage
| langue=en
| nom1={{Lien|Richard M. Dudley}}
| titre=Real Analysis and Probability
| lieu=Pacific Grove, CA
| éditeur=Wadsworth & Brooks/Cole Advanced Books & Software
| collection=The Wadsworth & Brooks/Cole Mathematics Series
| année=1989
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}}<!--{{Commentaire biblio|Very thorough treatment, particularly for probabilists with good notes and historical references.}}-->
* {{Ouvrage
| langue=en
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| éditeur=John Wiley & Sons
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* {{Ouvrage
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* {{Ouvrage
| langue=en
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* {{Ouvrage
| langue=en
|auteur1=[[Walter Rudin]]
| titre=Principles of Mathematical Analysis
| lieu=New York
| éditeur=[[McGraw-Hill Education|McGraw-Hill]]
| collection=International Series in Pure and Applied Mathematics
| année=1976
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}}{{Commentaire biblio|Connu comme le ''Petit Rudin''.<!--Contains the basics of the Lebesgue theory, but does not treat material such as [[Théorème de Fubini|Fubini's theorem]].-->}}
* {{Rudin}}{{Commentaire biblio|Connu comme le ''Grand Rudin''.<!--A complete and careful presentation of the theory.  Good presentation of the Riesz extension theorems. However, there is a minor flaw (in the first edition) in the proof of one of the extension theorems, the discovery of which constitutes exercise 21 of Chapter 2.-->}}
*{{Ouvrage
| langue=en
| auteur1=[[Stanisław Saks]]
| traducteur={{Lien|Laurence Chisholm Young}}, with two additional notes by [[Stefan Banach]]
| titre=Theory of the Integral
| volume=7
| lieu=Varsovie-Lviv
| éditeur=G. E. Stechert & Co.
| collection=[http://matwbn.icm.edu.pl/ksspis.php?wyd=10&jez=pl Monografie Matematyczne]
| année=1937
| numéro d'édition=2
| pages totales=VI+347
| lire en ligne=http://matwbn.icm.edu.pl/kstresc.php?tom=7&wyd=10&jez=pl
}} [[Zentralblatt MATH|Zbl]]&nbsp;[http://www.zentralblatt-math.org/zmath/en/search/?q=an:63.0183.05 63.0183.05],&nbsp;[http://www.zentralblatt-math.org/zmath/en/search/?q=an:0017.30004 0017.30004]
* {{Ouvrage
| langue=en
<!-- | langue originale=ru-Latn -->
| nom1=[[Georgiy Shilov|G. E. Shilov]]
| prénom2=B. L.
| nom2=Gurevich
| lien auteur2=Boris Lazarevich Gurevich
| titre=Integral, Measure and Derivative: A Unified Approach|langue originale=ru|traducteur=Richard A. Silverman
| lieu=New York
| éditeur=[[Dover Publications]]
| collection=Dover Books on Advanced Mathematics
| année=1977
| pages totales=xiv+233
| isbn=0-486-63519-8|mr=0466463
}}<!--{{Commentaire biblio|Emphasizes the Daniell integral.}}-->

=== Lien externe ===
{{YouTube|id=h4GHd9vSauo|titre=Cours de Centrale Paris de {{1re}} année sur l’intégrale de Lebesgue}}

{{portail|analyse}}

[[Catégorie:Théorie de la mesure]]
[[Catégorie:Analyse réelle]]
[[Catégorie:Analyse à plusieurs variables]]
[[Catégorie:Théorie de l'intégration]]