Voir la source de Intégrale multiple

[[Image:Integral as region under curve.svg|vignette|Fig. 1. Intégrale simple comme [[Aire (géométrie)|aire]] de la figure délimitée par [[Représentation graphique d'une fonction mathématique|une courbe]], deux droites <math>x=a</math> et <math>x=b</math>, et l'axe des abscisses.]]
[[Fichier:Volume under surface.png|vignette|Fig. 2. Intégrale double comme [[volume]] du [[solide géométrique|solide]] situé entre un domaine du plan <math>xy</math> et la surface image de ce domaine par une fonction.]]

En [[analyse (mathématiques)|analyse mathématique]], l''''intégrale multiple''' est une forme d'[[Intégration (mathématiques)|intégrale]] qui s'applique aux [[fonction de plusieurs variables|fonctions de plusieurs variables]] réelles. Les deux principaux outils de calcul sont le [[#Changement de variables|changement de variables]] et le [[#Théorème de Fubini|théorème de Fubini]]. Ce dernier permet de ramener de proche en proche un calcul d'intégrale multiple à des calculs d'intégrales simples, et d'interpréter le « volume » d'un domaine « simple » de dimension <math>n</math> (ou son [[Espace à quatre dimensions|hypervolume]] si <math>n>3</math>) comme l'intégrale d'une fonction de <math>n-1</math> variables (Fig. 2), de même que l'[[intégrale définie]] d'une fonction continue positive d'une variable est égale à « l'[[Aire (géométrie)|aire]] sous la [[graphe d'une fonction|courbe]] » associée (Fig. 1).

== Définition ==
{{Voir|Intégrale de Riemann}}
Soit <math>f : D \rightarrow \R</math> une [[fonction bornée]] sur une [[partie bornée]] <math>D</math> de <math>\R^n</math>. Pour définir (au sens de [[Bernhard Riemann|Riemann]]) l'intégrabilité de <math>f</math> et, le cas échéant, la valeur de son intégrale, notée
<center><math>\int\!\dots\!\int_Df(x_1,\dots,x_n)\;\mathrm dx_1\dots\mathrm dx_n</math></center>
ou plus simplement <math>\int f</math>, on se ramène d'abord au cas où <math>D</math> est un [[Subdivision d'un intervalle#Généralisation en dimensions supérieures|pavé fermé]] <math>P=I_1\times\ldots\times I_n</math>, en choisissant un tel <math>P</math> qui contient <math>D</math> et en [[Ensemble de définition#Prolongement d'une fonction|prolongeant]] <math>f</math> par <math>0</math> (on démontre après coup que les définitions suivantes sont indépendantes du choix de <math>P</math>). Les définitions sont ensuite identiques, ''[[mutatis mutandis]]'', à celles dans le cas <math>n=1</math> : à l'aide des notions de [[Subdivision d'un intervalle#Généralisation en dimensions supérieures|volume et subdivision de {{math|''P''}} et de pas, marquage et raffinement d'une telle subdivision]], on définit l'intégrabilité et l'intégrale soit en termes d'[[Intégrale de Darboux|intégrales inférieure et supérieure]], soit en termes de [[Intégrale de Riemann#Définition|sommes de Darboux inférieure et supérieure]], soit en termes de [[Somme de Riemann|sommes de Riemann]], et l'on montre que ces trois définitions sont équivalentes<ref>{{Ouvrage|auteur1=[[Jean-Pierre Ramis]]|auteur2=[[André Warusfel]]|et al.=oui|titre=Mathématiques Tout-en-un pour la Licence 3|éditeur=[[Dunod]]|année=2015|passage=130-137|lire en ligne={{Google Livres|1s9kCgAAQBAJ|page=130}}}}.</ref>. La première, par exemple, s'écrit :
<center><math>\int f=\int_*f=\int^*f</math></center>
(c'est-à-dire que <math>f</math> est intégrable si et seulement si ses intégrales inférieure, <math>\int_*f</math>, et supérieure, <math>\int^*f</math>, sont égales, et l'intégrale de <math>f</math> est alors par définition cette valeur commune), et la troisième s'écrit :
<center><math>\int f=\lim_{\delta\to0}\sum_{1\le k\le N}f(\xi_k)\operatorname{vol}(P_k),</math></center>
où chaque <math>(P_k,\xi_k)_{1\leq k\leq N}</math> est une [[Subdivision d'un intervalle#Généralisation en dimensions supérieures|subdivision marquée de {{math|''P''}} de pas {{math|''δ''}}]].

Dans les applications pratiques, comme l'[[ingénierie]] ou la [[physique appliquée]], on rencontre quasi exclusivement des intégrales simples, doubles ou triples. L'intégrale, sur un domaine <math>D</math> de dimension <math>n=1</math>, <math>2</math> ou <math>3</math>, de la [[fonction constante]] <math>1</math>, est respectivement la longueur, l'aire ou le volume de <math>D</math>.

== Propriétés ==
{{Voir|Intégrale de Riemann#Propriétés{{!}}Propriétés de l'intégrale de Riemann}}

=== Critère de Lebesgue ===
Le théorème de [[Henri Lebesgue|Lebesgue]]-[[Giuseppe Vitali|Vitali]] étend aux fonctions de plusieurs variables le [[Intégrale de Riemann#Propriétés|critère de Lebesgue pour l'intégrabilité de Riemann]] : une fonction bornée sur une partie bornée de <math>\R^n</math> est Riemann-intégrable si et seulement si l'ensemble des points de [[Continuité (mathématiques)|discontinuité]] de son prolongement par <math>0</math> à <math>\R^n</math> est [[Ensemble négligeable#Mesure de Lebesgue|négligeable]]<ref name=ToutEnUn155>{{Harvsp|Ramis|Warusfel|2015|p=155}}.</ref>. En particulier :
{{Théorème||style=display:table|énoncé=Toute fonction continue et bornée sur une partie [[Mesure de Jordan|cubable]] de <math>\R^n</math> est Riemann-intégrable<ref name=ToutEnUn155/>.}}
En effet, une partie de <math>\R^n</math> est cubable (si et) seulement si elle est bornée et de [[Frontière (topologie)|frontière]] négligeable. Cette hypothèse de régularité du domaine est indispensable : une fonction continue sur un compact peut ne pas être intégrable (prendre, sur un [[Ensemble de Smith-Volterra-Cantor|compact non cubable]], une fonction constante non nulle). Mais en pratique, tous les domaines considérés seront cubables, comme intersections finies de domaines « simples », au sens défini [[#Réduction à des intégrales simples|ci-dessous]].

=== Propriétés élémentaires ===
Les [[Intégration (mathématiques)#Propriétés des intégrales|autres propriétés des intégrales simples]] — [[linéarité]], [[Fonction monotone|monotonie]]{{etc.}} se généralisent également. On en déduit par exemple que si <math>D</math> est un [[Compacité (mathématiques)|compact]] [[Connexité (mathématiques)|connexe]] de <math>\R^n</math>, cubable mais non négligeable, et <math>f:D\rightarrow \R</math> une fonction continue, alors il existe un point <math>m</math> de <math>D</math> en lequel la « valeur moyenne » ou « moyenne intégrale » de <math>f</math> sur <math>D</math> est atteinte, c'est-à-dire tel que
:<math>f(m)=\frac1{\operatorname{vol}(D)}\int_Df.</math>
Cette propriété généralise le [[théorème de la moyenne]] en dimension <math>1</math>, à cela près qu'en dimension supérieure, on n'est plus assuré de trouver un <math>m</math> [[Intérieur (topologie)|intérieur]] à <math>D</math>.

=== Théorème de Fubini ===
Le [[théorème de Fubini]] pour les intégrales de Riemann est énoncé ci-dessous pour une intégrale double pour simplifier les notations, mais il se généralise en remplaçant <math>\R\times\R</math> par <math>\R^p\times\R^q</math>. De plus, on peut évidemment intervertir les rôles des deux variables (mono- ou multidimensionnelles) <math>x</math> et <math>y</math>.

{{Théorème|nom=Théorème<ref>{{Lien web|lang=en|auteur=Xinwei Yu|site=[[Université de l'Alberta]]|url=https://www.math.ualberta.ca/~xinweiyu/217.1.13f/217-20131113.pdf|titre=Fubini|année=2013}} {{Lang|en|(Honors Advanced Calculus I: Math 217)}}.</ref>|
|style=display:table|énoncé=Pour toute application <math>f : [a, b]\times[c, d] \rightarrow \R</math> :
<center><math>\int_*f\le\int_*\left(\int_*f(x,y)\,{\rm d}y\right)\,{\rm d}x\le\int^*\left(\int^*f(x,y)\,{\rm d}y\right)\,{\rm d}x\le\int^*f.
</math></center>}}
{{énoncé|
|Corollaire<ref>Démontré directement dans {{Harvsp|Ramis|Warusfel|2015|p=160-161}}.</ref> — Lorsque <math>f</math> est Riemann-intégrable, les deux fonctions (intégrales inférieure et supérieure)<center><math>[a,b]\to\R,\quad x\mapsto\int_*f(x,y)\,{\rm d}y\quad{\rm et}\quad x\mapsto\int^*f(x,y)\,{\rm d}y</math></center>
sont Riemann-intégrables et de même intégrale que <math>f</math>.}}
L'énoncé de la conclusion se simplifie<ref>{{Harvsp|Ramis|Warusfel|2015|p=162}}.</ref> lorsque de plus, pour tout <math>x\in [a,b]</math>, la fonction <math>y\mapsto f(x,y)</math> est intégrable (sur <math>[c,d]</math>) : alors, son intégrale (fonction de <math>x\in [a,b]</math>) est intégrable et
<center><math>\iint_{[a,b]\times[c,d]}f(x,y)\,{\rm d}x{\rm d}y=\int_a^b\left(\int_c^df(x,y)\,{\rm d}y\right)\,{\rm d}x.</math></center>

=== Changement de variables ===
Soient <math>U</math> et <math>V</math> deux [[Ouvert (topologie)|ouverts]] de <math>\R^n</math>, <math>\Phi : U\rightarrow V</math> un [[Classe de régularité|C{{1}}]]-[[difféomorphisme]] et <math>f</math> une application de <math>V</math> dans <math>\R</math>.
{{Théorème|nom=Théorème<ref>{{Harvsp|Ramis|Warusfel|2015|p=165}}.</ref>|énoncé=Si <math>U</math> et <math>V</math> sont bornés et si <math>f</math> et {{math|(''f''∘Φ) × {{!}}[[Jacobien|det ''J''{{ind|Φ}}]]{{!}}}} sont Riemann-intégrables, alors
<center><math>\int_V f=\int_U(f\circ\Phi)\times {{|}}{\det}J_{\Phi}{{|}}.</math></center>|style=display:table}}
Ces hypothèses sont vérifiées dès que <math>U</math> et <math>V</math> sont cubables, <math>f</math> est continue bornée, et <math>\det J_\Phi</math> est borné<ref>{{Harvsp|Ramis|Warusfel|2015|p=166}}.</ref>.

== Méthodes d'intégration ==

=== Examen direct ===

==== Linéarité ====
Par [[Forme linéaire#Exemples|linéarité]], pour toute constante <math>c</math>,
{{Retrait|<math>\int(cf)=c\int f.</math>}}
En particulier, l'intégrale d'une fonction constante égale à <math>c</math>, sur un domaine cubable <math>D</math> de <math>\R^n</math>, est le produit de <math>c</math> par le [[Mesure de Jordan|volume]] de <math>D</math>.

De même, l'intégrale d'une somme de fonctions intégrables peut être transformée en la somme de leurs intégrales :
{{Retrait|<math>\int_D(f_1+f_2)=\int_Df_1+\int_Df_2.</math>}}

En particulier, on peut [[Partition (mathématiques)|partitionner]] le domaine d'intégration en un nombre fini de sous-domaines — ce qui revient à écrire <math>f</math> comme la somme des produits de <math>f</math> par les [[indicatrice]]s de ces sous-domaines — puis appliquer la règle précédente. C'est ce qui remplace, en dimensions supérieures, la [[Relation de Chasles#Intégration|relation de Chasles]] propre à la dimension <math>1</math> :
{{Retrait|<math>\int_{D_1\sqcup D_2}f=\int_{D_1}f+\int_{D_2}f.</math>}}

==== Exploitation des symétries ====
Si la fonction est [[Fonction impaire|impaire]] par rapport à une variable <math>x_i</math> et si le domaine est [[invariant]] par la [[Symétrie (transformation géométrique)|symétrie]] par rapport à l'[[hyperplan]] <math>x_i=0</math>, l'intégrale s'annule.

{{Exemple|
Soit la fonction <math>f(x,y,z) = x\exp(y^2 + z^2)</math> avec pour domaine d'intégration la [[boule unité]] de <math>\R^3</math>. Le domaine présente une symétrie par rapport aux trois plans de coordonnées, mais comme la fonction est impaire par rapport à la variable <math>x</math>, il suffit de la symétrie par rapport au plan ''yOz'' pour annuler toute l'intégrale.}}

=== Réduction à des intégrales simples ===
La réduction en intégrales simples utilise le concept de domaine simple, de façon à exprimer l'intégrale en une composition d'intégrales simples. L'intégration est effectuée de l'intérieur vers l'extérieur, chaque fois par rapport à une seule variable en considérant les autres constantes, de la même façon que pour le calcul de [[dérivée partielle|dérivées partielles]].

==== Domaines simples ====
[[Image:Green's-theorem-simple-region.png|vignette|Fig. 3. Un domaine simple <math>D</math> de <math>\R^2</math> est délimité par les courbes <math>C_1</math> et <math>C_3</math> de deux fonctions <math>g</math> et <math>h</math> définies sur <math>A=[a,b]</math>, et par les verticales <math>C_4</math> et <math>C_2</math> au-dessus du [[Frontière (topologie)|bord]] de <math>A</math>.]]

Si <math>A</math> est une partie cubable de <math>\R^{n-1}</math> et si deux fonctions <math>g</math> et <math>h</math>, définies sur <math>A</math>, sont Riemann-intégrables — par exemple si elles sont bornées et continues (éventuellement [[Régularité par morceaux|par morceaux]]) — alors la partie suivante de <math>\R^n</math>, appelée un « domaine simple orhogonal à l'[[hyperplan]] <math>t=0</math> », [[Mesure de Jordan#Propriétés|est cubable]] (Fig. 3) :
<center><math>D=\{(x,t)\in\R^{n-1}\times\R\mid x\in A\quad{\rm et}\quad g(x)<t<h(x)\}.</math></center>

On peut bien sûr, dans cette définition et ce théorème, [[Permutation|permuter]] les composantes des [[n-uplet|''n''-uplets]] de <math>\R^n</math>, pour choisir laquelle joue le rôle de <math>t</math>.

On peut également, dans la définition de <math>D</math>, remplacer un ou deux <math><</math> par des <math>\leq</math>, car le [[graphe d'une fonction]] intégrable sur <math>A</math> est [[Mesure de Jordan#Parties Jordan-négligeables|Jordan-négligeable]].

==== Théorème ====
Si <math>f</math> est une fonction continue bornée sur ce domaine simple <math>D</math>, les hypothèses du [[#Critère de Lebesgue|critère de Lebesgue]] sont vérifiées, et le [[#Théorème de Fubini|théorème de Fubini]] devient :
<center><math>\int_Df=\int_A\left(\int_{g(x)}^{h(x)}f(x,t)\,{\rm d}t\right)\,{\rm d}x.
</math></center>

==== Exemples ====
===== Réduction d'une intégrale double =====
[[Image:Esempio-formulediriduzione-r2.svg|vignette|Fig. 4. Domaine simple défini par <math>g(x)=x^2</math> et <math>h(x)=1</math>, pour <math>A=[0,1]</math>.]]
La région <math>D = \{ (x,y) \mid x\ge0,x^2\le y\le1\}</math> (Fig. 4) se présente comme le domaine simple (orthogonal à l'axe <math>y=0</math>), associé aux deux fonctions <math>g(x)=x^2</math> et <math>h(x)=1</math>, sur l'intervalle <math>A=[0,1]</math> (on trouve l'extrémité <math>1</math>, abscisse du point d'intersection des courbes de <math>g</math> et <math>h</math>, en calculant la solution positive de l'équation <math>g(x)=h(x)</math>).

On se propose d'intégrer sur <math>D</math> la fonction <math>f(x,y)=x+y</math>. Appliquons le théorème :
:<math>\iint_D (x+y)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\int_0^1\left(\int_{x^2}^1(x+y)\,\mathrm{d}y\right)\,\mathrm{d}x.</math>
On calcule donc d'abord, pour <math>x</math> fixé :
:<math>\int_{x^2}^1(x+y)\,\mathrm{d}y=\left[xy + \frac{y^2}2\right]^1_{x^2}=x + \frac12- x^3 - \frac{x^4}2</math>
puis l'intégrale définie :
:<math>\int_0^1 \left(x + \frac12- x^3 - \frac{x^4}2\right) \; \mathrm{d}x = \ldots = \frac{13}{20}.</math>

Si l'on avait choisi de redéfinir <math>D</math> comme un domaine simple orthogonal à l'axe <math>x=0</math>, on aurait obtenu les expressions :
:<math>D = \{ (x,y) \mid y\le1,0\le x\le\sqrt y\},</math>
:<math>\iint_D (x+y) \;\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int_0^1\left(\int_0^{\sqrt{y}} (x+y)\mathrm{d}x\right)\,\mathrm{d}y,</math>
conduisant au même résultat.

===== Réduction d'une intégrale triple =====
[[Image:Dominio-normalità r3 esempio.svg|vignette|Fig. 5. Domaine orthogonal au plan <math>xy</math> dans <math>\R^3</math>.]]
Considérons le domaine <math>T</math> de <math>\R^3</math> orthogonal au plan <math>xy</math> (Fig. 5) 
:<math>T =\{(x,y,z)\mid (x,y)\in D,{\rm a}(x,y)<z<{\rm b}(x,y)\}.</math>
Sa projection sur <math>xy</math> est le domaine <math>D</math> de <math>\R^2</math> orthogonal à <math>x</math> défini par<ref>Une coquille s'est glissée dans la Fig. 5 : remplacer f(y) et g(y) par f(x) et g(x).</ref>
:<math>D = \{ (x,y)\in\R^2\mid  a<x<b, f(x)<y<g(x)\}.</math>
:<math>\iiint_T F(x,y,z)\;\mathrm{d}x \mathrm{d}y \mathrm{d}z
=\iint_D\left(\int_{{\rm a}(x,y)}^{{\rm b}(x,y)}F(x,y,z) \;\mathrm{d}z\right)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y
=\int_a^b\left(\int_{f(x)}^{g(x)}\left(\int_{{\rm a}(x,y)}^{{\rm b}(x,y)}F(x,y,z) \;\mathrm{d}z\right)\,{\rm d}y\right)\,{\rm d}x.</math>

=== Changements de variables usuels ===
{{article connexe|intégration par changement de variable}}
Lorsque les méthodes précédentes ne sont pas efficaces (domaine difficile à exprimer ou fonction difficile à intégrer), un [[#Changement de variables|changement de variables]] permet parfois de reformuler l'intégrale de façon plus commode.

==== Coordonnées polaires ====
[[Image:Passaggio in coordinate polari.svg|vignette|upright=2|Fig. 6. Passage d'un secteur annulaire de coordonnées cartésiennes à polaires.]]
[[Image:Esempio trasformazione dominio da cartesiano polare.svg|vignette|upright=2|Fig. 7. Passage d'un anneau des coordonnées cartésiennes aux polaires.]]
Dans <math>\R^2</math>, si le domaine présente une symétrie circulaire (c.-à-d. décrit un secteur annulaire) et que la fonction a des caractéristiques particulières, on peut appliquer une transformation des [[coordonnées cartésiennes]] en [[coordonnées polaires]], pour changer la forme du domaine et faciliter l'intégration.

D'après la définition de ce [[système de coordonnées]], la transformation à effectuer est :
{{bloc emphase|<math>(x,y)=\Phi(r,\theta)=(r\cos\theta,r\sin\theta)</math>}}
(avec <math>r</math> positif, et <math>\theta</math> généralement choisi entre <math>0</math> et <math>2\pi</math>).

{{Exemple|
Soit <math>f(x, y) = x^2 + y^2</math>. Dans ce cas,
:<math>(f\circ\Phi)(r, \theta) = r^2 (\cos \theta^2 + \sin \theta^2) = r^2</math>
(grâce aux [[identité trigonométrique|identités trigonométriques]]).
}}

===== Calcul du nouveau domaine =====
Le calcul du nouveau domaine {{math|1=''U'' = [[image réciproque|Φ{{-1}}(''V'')]]}} s'effectue de façon automatique, en remplaçant <math>x</math> et <math>y</math> en fonction de <math>r</math> et <math>\theta</math> dans les conditions sur <math>(x,y)</math> qui définissent l'ancien domaine <math>V</math>.

{{Exemple|
Si <math>D = \{(x, y)\mid a^2 < x^2 + y^2 < b^2, y > 0\}</math> avec <math> b \geq a \geq 0</math> (Fig. 7), <math> T := \Phi^{-1}(D) = \{(r, \theta) \mid a^2 < r^2 < b^2, r\sin \theta > 0\} = \{(r, \theta) \mid a < r < b, \sin\theta > 0\} = ]a, b[\times]0, \pi[.</math>
}}

===== Jacobien, intégration =====
La [[matrice jacobienne]] de l'application <math>\Phi</math> au point <math>(r,\theta)</math> est :
:<math>J_{\Phi}(r,\theta) =
\begin{pmatrix}
\cos\theta & -r\sin\theta \\
\sin\theta &  r\cos\theta \\
\end{pmatrix}.
</math>
Son [[Déterminant (mathématiques)|déterminant]] est donc égal à <math>r</math>, et l'on a, sous les hypothèses du [[#Changement de variables|théorème de changement de variables]] :
{{bloc emphase|<math>\iint_Vf(x,y) \;\mathrm dx\mathrm dy = \iint_Uf(r\cos\theta,r\sin\theta)r \;\mathrm dr\mathrm d \theta.</math>}}

{{Exemple|
Soit <math>f(x, y) = y</math> à intégrer sur l'ouvert <math>D</math> de l'exemple précédent, qui correspond via <math>\Phi</math> à l'ouvert <math>T</math> (<math>r \in ]a, b[</math> et <math> \theta \in ]0, \pi[</math>).
:<math>(f\circ\Phi)(r,\theta) = r\sin\theta</math> donc
:<math>\iint_Dy\;\mathrm dx\mathrm dy=\iint_T r\sin\theta\,r\;\mathrm dr\mathrm d \theta=\int_0^{\pi}\sin\theta\;\mathrm d\theta\int_a^br^2\,\mathrm dr=[-\cos\theta]_0^\pi\left[\frac{r^3}3\right]_a^b=\frac{2(b^3-a^3)}3.</math>}}

==== Coordonnées cylindriques ====
[[Fichier:Cylindrical coordinates2.svg|vignette|Fig. 8. Système de coordonnées cylindriques.]]
Dans <math>\R^3</math>, l'intégration sur des domaines ayant pour base une portion de [[Disque (géométrie)|disque]] peut s'effectuer ''via'' un passage en [[coordonnées cylindriques]] :
{{bloc emphase|<math>(x,y,z)=\Phi(r,\theta,z)=(r\cos\theta,r\sin\theta,z).</math>}}

Puisque la composante <math>z</math> est inchangée, le calcul du nouveau domaine et du jacobien sont calqués sur ceux du passage en coordonnées polaires, et l'on a :
{{bloc emphase|<math>\iiint_Vf(x,y,z) \;\mathrm{d}x \mathrm{d}y \mathrm{d}z = \iiint_Uf(r \cos \theta, r\sin \theta, z) r \;\mathrm{d}r \mathrm{d}\theta \mathrm{d}z.</math>}}

Il est conseillé d'utiliser cette méthode dans les cas de domaines cylindriques, coniques, ou tout du moins de régions pour lesquelles il est commode tant de délimiter l'intervalle des <math>z</math> que de transformer la base circulaire et la fonction.

{{Exemple|
Soit <math> f(x, y) = x^2 + y^2 + z</math> à intégrer sur <math>V = \{ (x,y,z) \mid x^2 + y^2 \leq 9,  0 \leq z \leq 5 \}</math>. Alors,
:<math>(f\circ\Phi)(r,\theta, z) = r^2  + z</math>
et
:<math>U:=\Phi^{-1}(V)=\{ (r,\theta,z)\mid 0 \leq r \leq 3, \ 0 \leq \theta \leq 2 \pi,0\leq z \leq 5 \}.</math>
En toute rigueur, <math>U</math> et <math>V</math> ne sont pas ouverts, le jacobien <math>r</math> s'annule en certains points de <math>U</math>, et <math>\Phi</math> n'est même pas [[Injection (mathématiques)|injective]] de <math>U</math> vers <math>V</math>. Mais il suffirait, pour remédier à tous ces problèmes, de remplacer le [[parallélépipède]] <math>U</math> par son [[Intérieur (topologie)|intérieur]] et le [[cylindre]] <math>V</math> par [[Image directe|{{math|Φ(''U'')}}]], et cela ne modifierait pas les intégrales (puisque les parties [[Fermé (topologie)|fermées]] qu'on supprime sont négligeables). Ce genre de raccourci, fréquent dans l'application du [[#Changement de variables|théorème de changement de variables]] proprement dit, sera désormais tacite. On obtient donc :
:<math>\iiint_V(x^2 + y^2 +z) \ \mathrm{d}x \mathrm{d}y \mathrm{d}z = \iiint_U(r^2 + z) r \ \mathrm{d}r \mathrm{d}\theta \mathrm{d}z=\int_0^{2 \pi} \mathrm{d} \theta\int_0^3\left(\int_0^5(r^3+zr)\; \mathrm{d}z\right)\,\mathrm{d}r= 2 \pi \int_0^3(5r^3+\tfrac{25r}2)\mathrm{d}r=2 \pi\frac{5.3^4+25.3^2}4=315\pi.</math>}}

==== Coordonnées sphériques ====
[[Fichier:Spherical Coordinates (Colatitude, Longitude).svg|vignette|Fig. 9. Système de coordonnées sphériques.]]
Certains domaines de <math>\R^3</math> présentent une [[Symétrie de rotation|symétrie sphérique]], ainsi il est possible d'exprimer les coordonnées de leurs points à l'aide de deux angles <math>\theta</math> ([[longitude]]) et <math>\varphi</math> ([[colatitude]]) et d'une distance à l'origine <math>\rho</math>. Le passage en [[coordonnées sphériques]] est la transformation :
{{bloc emphase|<math>(x,y,z)=\Phi(\rho,\theta,\varphi)=(\rho \cos \theta \sin\varphi, \rho \sin \theta \sin\varphi, \rho \cos\varphi)</math>}}
(avec <math>\rho</math> positif, <math>\theta</math> compris entre <math>0</math> et <math>2\pi</math>, et <math>\varphi</math> entre <math>0</math> et <math>\pi</math>) et son jacobien est :
:<math>\det J_\Phi (\rho,\theta,\varphi)=
\begin{vmatrix}
\cos \theta \sin\varphi& -\rho \sin \theta \sin\varphi& \rho \cos \theta \cos\varphi\\
\sin \theta \sin\varphi& \rho \cos \theta \sin\varphi& \rho \sin \theta \cos\varphi\\
\cos\varphi& 0 & -\rho \sin\varphi
\end{vmatrix} = -\rho^2 \sin\varphi.
</math>

Dès lors, on a (en se rappelant qu'il faut prendre la ''valeur absolue'' du jacobien) :
{{bloc emphase|<math>\iiint_Vf(x,y,z) \;\mathrm{d}x \mathrm{d}y \mathrm{d}z = \iiint_Uf(\rho \cos \theta \sin\varphi, \rho \sin \theta \sin\varphi, \rho \cos\varphi)\,\rho^2 \sin\varphi\;\mathrm{d} \rho \mathrm{d} \theta \mathrm{d}\varphi.</math>}}

Il est conseillé d'utiliser cette méthode dans le cas de domaines sphériques ''et'' de fonctions facilement simplifiables à l'aide des identités trigonométriques, comme dans l'exemple du [[#Exemples d'applications : calculs de volumes|calcul du volume d'une boule]] ou l'exemple ci-dessous.

{{Exemple|
Intégrons <math>f(x, y, z) = x^2 + y^2</math> sur <math>V = \{(x, y, z) \mid x^2 + y^2 + z^2 \leq R^2</math> ([[Boule (solide)|boule]] de rayon <math>R</math> centrée à l'origine).
:<math>U:=\Phi^{-1}(V)=\{ (\rho, \theta,\varphi)\mid 0\le\rho\le R,\; 0\le\theta\le2\pi,\; 0\le\varphi\le\pi \},</math>
:<math>(f\circ\Phi)(\rho,\theta,\varphi)=\rho^2\cos^2\theta\sin^2\varphi+\rho^2\sin^2\theta\sin^2\varphi=\rho^2\sin^2\varphi,</math>
:<math>\iiint_U\rho^2\sin^2\varphi\,\rho^2 \sin\varphi\;\mathrm{d} \rho \mathrm{d} \theta \mathrm{d}\varphi=\left[\frac{\rho^5}5\right]_0^R[\theta]_0^{2\pi}\int_0^{\pi}\sin^3\varphi\,\mathrm{d}\varphi.</math>
On termine le calcul en utilisant par exemple le [[Règles de Bioche#Cas des polynômes|changement de variable {{math|1=''t'' = –cos ''φ''}}]] :
:<math>\int_0^{\pi}\sin^3\varphi\,\mathrm{d}\varphi=\int_{-1}^1(1-t^2)\,\mathrm{d}t=\left[t-\frac{t^3}3\right]_{-1}^1=\frac43,</math>
et l'on conclut :
:<math>\iiint_Vf=\frac{R^5}5\times2\pi\times\frac43=\frac{8\pi R^5}{15}.</math>
(Le passage en coordonnées cylindriques mènerait à des calculs un peu plus compliqués.) 
}}

== Exemples d'applications : calculs de volumes ==
{{Article détaillé|Volume#Volume et calcul intégral{{!}}Volume et calcul intégral}}
Grâce aux méthodes décrites précédemment, il est possible de démontrer les règles de calcul du volume de certains solides, en calculant l'intégrale triple sur ces solides la fonction constante <math>1</math>.

{{exemple|nom=Cylindre droit|Le volume d'un [[Cylindre (solide)|cylindre]] droit <math> P = D \times [0, h]</math> (de base <math>D</math> et de hauteur <math>h</math>) se ramène à l'intégrale double <math>\iint_D h\ dxdy</math> sur le domaine <math>D</math> du plan <math>xy</math>. On retrouve ainsi, dans le cas particulier d'un cylindre droit, la formule classique :
<math> \text{Volume d'un cylindre} = \text{aire base} \times \text{hauteur}</math>.
}}

{{exemple|nom=Boule|
Le [[volume d'une boule]] de rayon <math>R</math> est :
: <math>V = \int_0^{2 \pi} \mathrm{d}\theta\int_0^\pi \sin\varphi\mathrm{d}\varphi\int_0^R \rho^2 \mathrm{d} \rho =2\pi\left[-\cos\varphi\right]_0^\pi\frac{R^3}3=\frac{4\pi R^3}3.</math>}}
{{exemple|nom=Simplexe|
Grâce aux formules de réduction, on peut calculer le volume du <math>3</math>-[[simplexe]] (le [[tétraèdre]] rectangle dont le sommet est à l'origine et les arêtes génératrices sont placées le long des trois axes et de longueur <math>1</math>), en considérant, par exemple, l'orthogonalité selon le plan <math>xy</math> et l'axe <math>x</math> :
: <math>V = \int_0^1\left(\int_0^{1-x}\!\left(\int_0^{1-x-y}\!\mathrm{d}z\right)\,\mathrm{d}y\right)\,\mathrm{d}x=\int_0^1\left(\int_0^{1-x}\!(1- x - y)\,\mathrm{d}y\right)\,\mathrm{d}x=\int_0^1\frac{ (1-x)^2 }2\,\mathrm{d}x =\frac16,</math>
ce qui est conforme à la formule générale : {{math|1=[[Cône (géométrie)#Volume|Volume d'un cône = aire base × hauteur / 3]]}}, soit ici : <math>\frac{1}{2} \times \frac 1 3</math>.}}

== Intégrale multiple impropre ==
{{article connexe|Intégrale impropre}}{{...}}
Dans le cas de domaines non bornés ou d'intégrandes non bornés sur le bord du domaine, on parle d'intégrale multiple impropre.
{{clr}}

== Notes et références ==
{{Références}}

== Voir aussi ==
{{Autres projets
  | wikiversity = Intégrale double
  | wikiversity titre = Intégrale double
}}
{{Ouvrage|langue=fr|auteur1=Jacques Douchet|auteur2=Bruno Zwahlen|titre=Calcul différentiel et intégral|sous-titre=Fonctions réelles de plusieurs variables réelles|lieu=Lausanne|éditeur=[[PPUR]]|année=2004|numéro d'édition=2|année première édition=1998|pages totales=172|isbn=2-88074-257-9}}

{{Palette|Analyse vectorielle}}
{{Portail|analyse}}

[[Catégorie:Théorie de l'intégration]]
[[Catégorie:Analyse à plusieurs variables]]

[[de:Integralrechnung#Mehrdimensionale Integration]]