Voir la source de Intégrale trigonométrique

En [[mathématiques]], les '''intégrales trigonométriques''' sont une [[Famille (mathématiques)|famille]] d'[[Intégration (mathématiques)|intégrales]] basées sur les [[Fonction trigonométrique|fonctions trigonométriques]].

== Intégrales trigonométriques ==
[[Image:sine cosine integral.svg|thumb|Si(''x'') (bleu) et Ci(''x'') (vert).]]
=== Sinus intégral ===
[[Image:Sine integral.svg|thumb|Tracé de {{math|Si(''x'')}} pour {{math|0 ≤ ''x'' ≤ 8 ''π''}}.]]
[[File:Integral sine in the complex plain.svg|thumb|Sinus intégral sur le plan complexe, tracé avec une [[coloration de régions]].]]
{{article détaillé|Sinus intégral}}
Il existe deux fonctions [[sinus (mathématiques)|sinus]] intégrales :
<math display="block">\operatorname{Si}(x) = \int_0^x\frac{\sin t}{t}\,\mathrm{d}t</math>
<math display="block">\operatorname{si}(x) = -\int_x^\infty\frac{\sin t}{t}\,\mathrm{d}t~.</math>

On peut remarquer que l'intégrande {{math|sin(''t'')/''t''}} est la fonction [[sinus cardinal]], et la [[fonction de Bessel sphérique]] d'ordre 0.
Puisque {{math|sinc}} est une [[fonction entière]] [[Parité d'une fonction|paire]] ([[Fonction holomorphe|holomorphe]] sur tout le plan complexe), {{math|Si}} est entière, impaire, et l'intégrale dans sa définition peut être calculée [[Théorème intégral de Cauchy|le long de tout chemin]] reliant les extrémités.

Par définition, {{math|Si(''x'')}} et la [[primitive]] de {{math|sin ''x'' / ''x''}} qui s'annule en {{math|''x'' {{=}} 0}}, et {{math|si(''x'')}} est celle qui s'annule pour {{math|1=''x'' → ∞}}. Leur différence est donnée par l'[[intégrale de Dirichlet]] :
<math display="block">\operatorname{Si}(x) - \operatorname{si}(x) = \int_0^\infty\frac{\sin t}{t}\,\mathrm{d}t = \frac{\pi}{2}.</math>

En [[traitement du signal]], les oscillations du [[sinus intégral]] génèrent des [[suroscillation|suroscillations]] en utilisant le filtre sinus cardinal, et des suroscillations fréquentielles en utilisant un filtre sinus cardinal tronqué comme [[filtre passe-bas]].

Ce phénomène est en lien avec le [[phénomène de Gibbs]] : si le sinus intégral est considéré comme la [[Produit de convolution|convolution]] de la fonction sinus cardinal avec la [[fonction de Heaviside]], cela revient à tronquer la [[série de Fourier]], d'où l'apparition du phénomène de Gibbs.
{{clr}} 
=== Cosinus intégral ===
[[Image:Cosine integral.svg|thumb|Tracé de {{math|Ci(''x'')}} pour {{nowrap|0 < {{mvar|x}} ≤ 8{{mvar|π}} .}}]]
[[File:Plot of the cosine integral function Ci(z) in the complex plane from -2-2i to 2+2i with colors created with Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D.svg|thumb|Tracé de {{math|Ci(''x'')}} sur le plan complexe entre {{math|-2-2i}} et {{math|2+2i}}.]]
[[File:Cosc.svg|thumb|Cosinus intégral sur le plan complexe. On peut voir la coupure le long du demi-axe des réels négatifs.]]
{{article détaillé|Cosinus intégral}}
Il existe deux fonctions [[cosinus]] intégrales :
<math display="block">\operatorname{Ci}(x) = -\int_x^\infty \frac{\cos t}{t}\,\mathrm{d}t </math>
<math display="block">\operatorname{Cin}(x) = \int_0^x \frac{1 - \cos t}{t}\,\mathrm{d}t = \gamma + \ln x - \operatorname{Ci}(x)
\qquad ~\text{ pour } ~\left|\operatorname{Arg}(x)\right| < \pi~,</math>

où {{math|1=''γ'' ≈ 0.57721566 ...}} est la [[constante d'Euler-Mascheroni]]. Certains textes utilisent la notation {{math|ci}} au lieu de {{math|Ci}}.

{{math|Ci(''x'')}} est la primitive de {{math|cos(''x'')/''x''}} qui s'annule pour {{math|1=''x'' → ∞}}.

{{math|Cin}} est une [[fonction entière]] [[Parité d'une fonction|paire]]. Pour cela, certains auteurs préfèrent définir {{math|Cin}} puis en déduire {{math|Ci}}.

{{clr}}

=== Généralisations ===


Les fonctions intégrales généralisées sont définies, pour {{mvar|x}} réel positif, par<ref>{{article |lang=de |titre=Über den allgemeinen Integralsinus Si(''z'', ''a'') |auteur=E. Kreyszig |périodique=Acta Mathematica |volume=85 |pages=117-181 |année=1951 |doi=10.1007/BF02395744}}</ref>:
:<math>\forall z \in\C,\ 0<\Re(z)<2,\ \mathrm{Si}(x,z)= \int_0^x \frac{\sin(t)}{t^z}~\mathrm dt,</math>
:<math>\forall z \in\C,\ 0<\Re(z)<1,\ \mathrm{Ci}(x,z)= \int_0^x \frac{\cos(t)}{t^z}~\mathrm dt</math>
On a alors :
:<math>\mathrm{Si}(x,0) = 1 - \cos(x),\ \mathrm{Ci}(x,0)=\sin(x)</math>
:<math>\mathrm{Si}(x,1) = \mathrm{Si}(x),\ \mathrm{Ci}(x,1) = \int_0^{+infty}\frac{\cos(t)}{t^z}~\mathrm dt - \mathrm{Ci}(x)</math>
:<math>\mathrm{Si}(x,1/2) = 2S(\sqrt{x}),\, \mathrm{Ci}(x,1/2) = 2C(\sqrt{x})</math>, où {{mvar|S}} et {{mvar|C}} sont les [[Intégrale_de_Fresnel#Définition|fonctions de Fresnel]].

Ces fonctions ont été utilisées dans l'étude du [[phénomène de Gibbs]].

== Intégrales trigonométriques hyperboliques ==
{{article détaillé|Trigonométrie hyperbolique}}
=== Sinus hyperbolique intégral ===
[[File:Plot of the hyperbolic sine integral function Shi(z) in the complex plane from -2-2i to 2+2i with colors created with Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D.svg|thumb|Tracé de {{math|Shi(''x'')}} sur le plan complexe entre {{math|-2-2i}} et {{math|2+2i}}.]]
Le [[sinus hyperbolique]] intégral est défini par
<math display="block">\operatorname{Shi}(x) =\int_0^x \frac {\sinh (t)}{t}\,\mathrm{d}t.</math>

On peut la relier à la fonction sinus intégral par l'égalité :
<math display="block">\operatorname{Si}(\mathrm{i}x) = \mathrm{i}\operatorname{Shi}(x).</math>
{{clr}}
=== Cosinus hyperbolique intégral ===
[[File:Plot of the hyperbolic cosine integral function Chi(z) in the complex plane from -2-2i to 2+2i with colors created with Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D.svg|thumb|Tracé de {{math|Chi(''x'')}} sur le plan complexe entre {{math|-2-2i}} et {{math|2+2i}}.]]
Le [[cosinus hyperbolique]] intégral est défini par
<math display="block">\operatorname{Chi}(x) = \gamma+\ln x + \int_0^x\frac{\cosh t-1}{t}\,\mathrm{d}t \qquad ~ \text{ pour } ~ \left| \operatorname{Arg}(x) \right| < \pi~,</math>
où <math>\gamma</math> est la [[constante d'Euler-Mascheroni]].

Il a pour [[développement limité]]
<math display="block">\operatorname{Chi}(x) = \gamma + \ln(x) + \frac {x^2}{4} + \frac {x^4}{96} + \frac {x^6}{4320} + \frac {x^8}{322560} + \frac{x^{10}}{36288000} + O(x^{12}).</math>
{{clr}}

== Fonctions auxiliaires ==
Les intégrales trigonométriques peuvent être vues en termes de "fonctions auxiliaires"
<math display="block">
\begin{align}
f(x) \equiv& \int_0^\infty \frac{\sin(t)}{t+x} \,\mathrm{d}t &=& \int_0^\infty \frac{\mathrm{e}^{-x t}}{t^2 + 1} \,\mathrm{d}t 
 &=& \operatorname{Ci}(x) \sin(x) + \left[\frac{\pi}{2} - \operatorname{Si}(x) \right] \cos(x)~,  \\[5pt]
g(x) \equiv& \int_0^\infty \frac{\cos(t)}{t+x} \,\mathrm{d}t &=& \int_0^\infty \frac{t \mathrm{e}^{-x t}}{t^2 + 1} \,\mathrm{d}t 
 &=& -\operatorname{Ci}(x) \cos(x) + \left[\frac{\pi}{2} - \operatorname{Si}(x) \right] \sin(x)~.
\end{align}
</math>
À partir de ces fonctions, les intégrales trigonométriques peuvent être réécrites en 
(cf. Abramowitz & Stegun, [http://people.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_232.htm p. 232])
<math display="block">\begin{array}{rcl}
\frac{\pi}{2} - \operatorname{Si}(x) = -\operatorname{si}(x)  &=& f(x) \cos(x) + g(x) \sin(x)~, \qquad \text{ et } \\
\operatorname{Ci}(x) &=& f(x) \sin(x) - g(x) \cos(x)~. \\
\end{array}</math>

== Spirale de Nielsen ==
[[Image:Nielsen's spiral.png|thumb|Spirale de Nielsen.]]
La [[spirale]] paramétrée par les fonctions {{math|si , ci}} est connue comme la [[spirale de Nielsen]] :
<math display="block">
\begin{cases}
x(t) = a \times \operatorname{ci}(t)\\
y(t) = a \times \operatorname{si}(t)
\end{cases}
</math>

La spirale est liée aux [[intégrale de Fresnel|intégrales de Fresnel]] et la [[spirale d'Euler]]. La spirale de Nielsen a des applications en traitement de la vision, constructions de route, entre autres<ref>{{ouvrage|nom=Gray|titre=Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces.|année=1993|isbn=|lieu=Boca Raton|pages=119}}</ref>.

{{clr}}

== Développements ==
Selon la valeur de l'argument, on pourra choisir différentes écritures de développements des intégrales trigonométriques.

=== Séries asymptotiques ===
<math display="block">\operatorname{Si}(x) \sim \frac{\pi}{2} 
 - \frac{\cos x}{x}\left(1-\frac{2!}{x^2}+\frac{4!}{x^4}-\frac{6!}{x^6}\cdots\right)
 - \frac{\sin x}{x}\left(\frac{1}{x}-\frac{3!}{x^3}+\frac{5!}{x^5}-\frac{7!}{x^7}\cdots\right)</math>
<math display="block">\operatorname{Ci}(x) \sim \frac{\sin x}{x}\left(1-\frac{2!}{x^2}+\frac{4!}{x^4}-\frac{6!}{x^6}\cdots\right)
 - \frac{\cos x}{x}\left(\frac{1}{x}-\frac{3!}{x^{3}}+\frac{5!}{x^5}-\frac{7!}{x^7}\cdots\right) ~.</math>

Ces séries sont [[Série asymptotique|asymptotiques]] et divergentes, mais peuvent être utilisées pour des estimations et évaluations dès que {{math|ℜ(''x'') ≫ 1}}.

=== Séries convergentes ===
Les développements suivants se déduisent des séries de Maclaurin du sinus et du cosinus :
<math display="block">\operatorname{Si}(x)= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)(2n+1)!}=x-\frac{x^3}{3!\cdot3}+\frac{x^5}{5!\cdot5}-\frac{x^7}{7! \cdot7}\pm\cdots</math>
<math display="block">\operatorname{Ci}(x)= \gamma+\ln x+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{2n(2n)!}=\gamma+\ln x-\frac{x^2}{2!\cdot2} + \frac{x^4}{4! \cdot4}\mp\cdots</math>

Elles sont convergentes pour tout complexe {{mvar|x}}, mais pour {{math|{{Absolu|''x''}} ≫ 1}}, la convergence lente va imposer d'utiliser un grand nombre de termes.

== Relation avec l'exponentielle intégrale d'argument imaginaire ==
On considère la fonction [[exponentielle intégrale]] 
<math display="block">\operatorname{E}_1(z) = \int_1^\infty \frac{\exp(-zt)}{t}\,\mathrm{d}t \qquad~\text{ pour }~ \Re(z) \ge 0.</math>
Elle est très proche des fonctions {{math|Si}} et {{math|Ci}} :
<math display="block">
\operatorname{E}_1(\mathrm{i} x) = \mathrm{i}\left(-\frac{\pi}{2} + \operatorname{Si}(x)\right)-\operatorname{Ci}(x) = \mathrm{i} \operatorname{si}(x) - \operatorname{ci}(x) \qquad ~\text{ pour }~ x > 0 ~.
</math>

Comme toutes ces fonctions sont analytiques sauf sur la branche des valeurs négatives de l'argument, le domaine de validité de la relation doit être étendu à (hors de ce domaine, des termes additionnels sous forme de facteurs entiers de {{mathPi}} apparaissent.)

Les cas de l'argument imaginaire pur de la fonction exponentielle intégrale sont 
<math display="block">
\int_1^\infty \cos(ax)\frac{\ln x}{x} \,\mathrm{d}x =
-\frac{\pi^2}{24}+\gamma\left(\frac{\gamma}{2}+\ln a\right)+\frac{\ln^2a}{2}
+\sum_{n\ge 1} \frac{(-a^2)^n}{(2n)!\,(2n)^2} ~,
</math>
qui est la [[partie réelle]] de
<math display="block">
\int_1^\infty \mathrm{e}^{\mathrm{i}ax}\frac{\ln x}{x}\,\mathrm{d}x = 
-\frac{\pi^2}{24} + \gamma\left(\frac{\gamma}{2}+\ln a\right)+\frac{\ln^2 a}{2} 
-\frac{\pi}{2}\mathrm{i}\left(\gamma+\ln a\right) + \sum_{n\ge 1}\frac{(\mathrm{i}a)^n}{n!\,n^2}  ~.
</math>

De façon similaire,
<math display="block">
\int_1^\infty \mathrm{e}^{\mathrm{i}ax}\frac{\ln x}{x^2}\,\mathrm{d}x = 
 1 + \mathrm{i}a\left[ -\frac{\pi^2}{24} + \gamma \left( \frac{\gamma}{2} + \ln a - 1 \right) + \frac{\ln^2 a}{2} - \ln a + 1 \right]
 + \frac{\pi a}{2} \left( \gamma+\ln a - 1 \right) 
 + \sum_{n\ge 1}\frac{(\mathrm{i}a)^{n+1}}{(n+1)!\,n^2}~.
</math>

== Méthodes de calcul efficaces ==
Les [[approximant de Padé|approximants de Padé]] des [[Série de Taylor|séries de Taylor]] convergentes donnent une méthode efficace d'évaluation des fonctions pour de petits arguments. Les formules suivantes, données par Rowe et al. (2015)<ref name=RoweEtAl2015>{{article|nom1=Rowe |prénom1=B. |et al.=oui |titre=GALSIM: The modular galaxy image simulation toolkit |journal=Astronomy and Computing |année=2015 |volume=10 |page=121 |doi=10.1016/j.ascom.2015.02.002 |arxiv=1407.7676 |bibcode=2015A&C....10..121R|s2cid=62709903 }}</ref>, sont précises à au moins {{math|10<sup>−16</sup>}} pour {{math|0 ≤ ''x'' ≤ 4}},
<math display="block">\begin{array}{rcl}
\operatorname{Si}(x) &\approx & x \cdot \left( 
\frac{
\begin{array}{l}
1 -4,54393409816329991\cdot 10^{-2} \cdot x^2 + 1,15457225751016682\cdot 10^{-3} \cdot x^4 - 1,41018536821330254\cdot 10^{-5} \cdot x^6 \\
~~~ + 9,43280809438713025 \cdot 10^{-8} \cdot x^8 - 3,53201978997168357 \cdot 10^{-10} \cdot x^{10} + 7,08240282274875911 \cdot 10^{-13} \cdot x^{12} \\
~~~ - 6,05338212010422477 \cdot 10^{-16} \cdot x^{14}
\end{array}
}
{
\begin{array}{l}
1 + 1,01162145739225565 \cdot 10^{-2} \cdot x^2 + 4,99175116169755106 \cdot 10^{-5} \cdot x^4 + 1,55654986308745614 \cdot 10^{-7} \cdot x^6 \\
~~~ + 3,28067571055789734 \cdot 10^{-10} \cdot x^8 + 4,5049097575386581 \cdot 10^{-13} \cdot x^{10} + 3,21107051193712168 \cdot 10^{-16} \cdot x^{12}
\end{array}
}
\right)\\
&~&\\
\operatorname{Ci}(x) &\approx & \gamma + \ln(x) + x^2 \cdot \left(
\frac{
\begin{array}{l}
-0,25 + 7,51851524438898291 \cdot 10^{-3} \cdot x^2 - 1,27528342240267686 \cdot 10^{-4} \cdot x^4 + 1,05297363846239184 \cdot 10^{-6} \cdot x^6 \\
~~~ -4,68889508144848019 \cdot 10^{-9} \cdot x^8 + 1,06480802891189243 \cdot  10^{-11} \cdot x^{10} - 9,93728488857585407 \cdot 10^{-15} \cdot x^{12} \\
\end{array}
}
{
\begin{array}{l}
1 + 1,1592605689110735 \cdot 10^{-2} \cdot x^2 + 6,72126800814254432 \cdot 10^{-5} \cdot x^4 + 2,55533277086129636 \cdot 10^{-7} \cdot x^6 \\
~~~ + 6,97071295760958946 \cdot 10^{-10} \cdot x^8 + 1,38536352772778619 \cdot 10^{-12} \cdot x^{10} + 1,89106054713059759 \cdot 10^{-15} \cdot x^{12} \\
~~~ + 1,39759616731376855 \cdot 10^{-18} \cdot x^{14} \\
\end{array}
}
\right)
\end{array}</math>

Les intégrales peuvent également être évaluées indirectement par les fonctions auxiliaires <math>f(x)</math> et <math>g(x)</math>.

Pour ''x'' ≥ 4, les [[Approximant de Padé|fonctions rationnelles de Padé]] ci-dessous approchent <math>f(x)</math> et <math>g(x)</math> avec une erreur inférieure à {{math|10<sup>−16</sup>}}<ref name=RoweEtAl2015/>:

<math display="block">\begin{array}{rcl}
f(x) &\approx & \dfrac{1}{x} \cdot \left(\frac{
\begin{array}{l}
1 + 7,44437068161936700618 \cdot 10^2 \cdot x^{-2} + 1,96396372895146869801 \cdot 10^5 \cdot x^{-4} + 2,37750310125431834034 \cdot 10^7 \cdot x^{-6} \\
~~~ + 1,43073403821274636888 \cdot 10^9 \cdot x^{-8} + 4,33736238870432522765 \cdot 10^{10} \cdot x^{-10} + 6,40533830574022022911 \cdot 10^{11} \cdot x^{-12} \\
~~~ + 4,20968180571076940208 \cdot 10^{12} \cdot x^{-14} + 1,00795182980368574617 \cdot 10^{13} \cdot x^{-16} + 4,94816688199951963482 \cdot 10^{12} \cdot x^{-18} \\
~~~ - 4,94701168645415959931 \cdot 10^{11} \cdot x^{-20}
\end{array}
}{
\begin{array}{l}
1 + 7,46437068161927678031 \cdot 10^2 \cdot x^{-2} + 1,97865247031583951450 \cdot 10^5 \cdot x^{-4} + 2,41535670165126845144 \cdot 10^7 \cdot x^{-6} \\
~~~ + 1,47478952192985464958 \cdot 10^9 \cdot x^{-8} + 4,58595115847765779830 \cdot 10^{10} \cdot x^{-10} + 7,08501308149515401563 \cdot 10^{11} \cdot x^{-12} \\
~~~ + 5,06084464593475076774 \cdot 10^{12} \cdot x^{-14} + 1,43468549171581016479 \cdot 10^{13} \cdot x^{-16} + 1,11535493509914254097 \cdot 10^{13} \cdot x^{-18}
\end{array}
}
\right) \\
& &\\
g(x) &\approx & \dfrac{1}{x^2} \cdot \left(\frac{
\begin{array}{l}
1 + 8,1359520115168615 \cdot 10^2 \cdot x^{-2} + 2,35239181626478200 \cdot 10^5 \cdot x^{-4} + 3,12557570795778731 \cdot 10^7 \cdot x^{-6} \\
~~~ + 2,06297595146763354 \cdot 10^9 \cdot x^{-8} + 6,83052205423625007 \cdot 10^{10} \cdot x^{-10} + 1,09049528450362786 \cdot 10^{12} \cdot x^{-12} \\
~~~ + 7,57664583257834349 \cdot 10^{12} \cdot x^{-14} + 1,81004487464664575 \cdot 10^{13} \cdot x^{-16} + 6,43291613143049485 \cdot 10^{12} \cdot x^{-18} \\
~~~ - 1,36517137670871689 \cdot 10^{12} \cdot x^{-20}
\end{array}
}{
\begin{array}{l}
1 + 8,19595201151451564 \cdot 10^2 \cdot x^{-2} + 2,40036752835578777 \cdot 10^5 \cdot x^{-4} + 3,26026661647090822 \cdot 10^7 \cdot x^{-6} \\
~~~ + 2,23355543278099360 \cdot 10^9 \cdot x^{-8} + 7,87465017341829930 \cdot 10^{10} \cdot x^{-10} + 1,39866710696414565 \cdot 10^{12} \cdot x^{-12} \\
~~~ + 1,7164723371736605 \cdot 10^{13} \cdot x^{-14} + 4,01839087307656620 \cdot 10^{13} \cdot x^{-16} + 3,99653257887490811 \cdot 10^{13} \cdot x^{-18}
\end{array}
}
\right) \\
\end{array}</math>

== Voir aussi ==
* [[Logarithme intégral]]

== Références ==
{{Traduction/Référence|en|Trigonometric integral|1148310503}}
{{Références}}

* {{Handbook of Mathematical Functions (Abramowitz et Stegun)}}

== Bibliographie ==
* {{lien arXiv|auteur=Richard J. Mathar |eprint=0912.3844 |titre=Numerical evaluation of the oscillatory integral over exp(''iπx'')&middot;''x''<sup>1/''x''</sup> between 1 and ∞ |année=2009 }} <!--|class=math.CA-->{{commentaire biblio SRL|Voir : ''Appendix B''}}
* {{ouvrage|nom1=Press |prénom1=W.H. |nom2=Teukolsky |prénom2=S.A. |nom3=Vetterling |prénom3=W.T. |nom4=Flannery |prénom4=B.P. |année=2007 |titre=Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing |numéro d'édition=3rd  |éditeur=Cambridge University Press |lieu=New York |isbn=978-0-521-88068-8 |chapter=Section&nbsp;6.8.2 – Cosine and Sine Integrals |lire en ligne=http://apps.nrbook.com/empanel/index.html#pg=300}}
* {{article |langue=en|titre=Cardinal Functions and Integral Functions |auteur1=Mircea E. Șelariu |auteur2=Florentin Smarandache |auteur3=Marian Nițu |périodique=International Journal of Geometry |volume=1 |année=2012 |numéro=1 |pages=27-40 |lire en ligne=https://vixra.org/pdf/1202.0032v1.pdf}}
* {{en}} {{DLMF |id=6 |titre=Exponential, Logarithmic, Sine, and Cosine Integrals |prénom=N.M. |nom=Temme}}

== Liens externes ==
* {{mathworld|nom_url=SineIntegral |titre=Sine Integral}}
* {{springer|titre=Integral sine|id=p/i051650}}
* {{springer|titre=Integral cosine|id=p/i051370}}

{{Portail|analyse}}

{{DEFAULTSORT:Integral Trigonométrique}}
[[Catégorie:Trigonométrie]]
[[Catégorie:Fonction spéciale]]
[[Catégorie:Fonction hypergéométrique]]
[[Catégorie:Intégrale]]