Voir la source de Intégration des fonctions réciproques

L''''intégration de la fonction réciproque''' {{math|''f''}} {{-1}} d'une [[bijection]] {{math|''f''}} peut être effectuée au moyen d'une [[formule mathématique]] mettant seulement en jeu la [[bijection réciproque]] {{math|''f''}} {{-1}}
et une [[primitive]] de {{math|''f''}}.

== Énoncé du théorème ==
Soit {{math|''I''{{ind|1}}}} et {{math|''I''{{ind|2}}}} deux [[Intervalle (mathématiques)|intervalles]] de [[Droite réelle achevée|{{surligner|ℝ}}]]. 
Supposons que {{math|''f'' : ''I''{{ind|1}} → ''I''{{ind|2}}}} est une bijection [[Continuité (mathématiques)|continue]] et soit {{math|''f'' {{-1}} : ''I''{{ind|2}} → ''I''{{ind|1}}}} sa bijection réciproque (on démontre que [[Théorème de la bijection|{{math|''f''}} {{-1}} est également continue]], donc [[Premier théorème fondamental de l'analyse|{{math|''f''}} et {{math|''f''}} {{-1}} admettent des primitives]]). Si {{math|''F''}} désigne une primitive de {{math|''f''}}, les primitives de {{math|''f''}} {{-1}} sont de la forme
<center><math>
\int f^{-1}(y)\,{\rm d}y=yf^{-1}(y)-F(f^{-1}(y))+C^{te}.
</math></center>
[[File:FunktionUmkehrIntegral2.svg|thumb|[[Preuve sans mots]] du [[théorème]]]]
== Preuves ==
* Si {{math|''f''}} {{-1}} est supposée [[dérivable]], le théorème ci-dessus s'ensuit immédiatement par dérivation<ref name="La"/>{{,}}<ref>{{Ouvrage|lang=en|prénom=Michael|nom=Spivak|titre=Calculus|numéro chapitre=12|chapitre=Inverse Functions|page=212|année=1967}}.</ref> (première méthode).
* Si {{math|''f''}} est supposée dérivable, le théorème s'obtient [[intégration par changement de variable|par changement de variable]] (en posant {{math|1=''y'' = ''f''(''x'')}}), suivi d'une [[intégration par parties]]<ref>{{Harvsp|Spivak|1967|loc=chap. 18, (« Integration in Elementary Terms »), p. 326}}.</ref>.
Ces deux cas particuliers du théorème sont en fait équivalents puisque ({{cf.}} ci-dessous) son énoncé peut se reformuler de façon symétrique en {{math|''f''}} et {{math|''f''}} {{-1}}. La première méthode s'adapte au cas où {{math|''f''}} {{-1}} est seulement [[Absolue continuité|absolument continue]]<ref name=Bensimhoun/>. La seconde s'adapte au cas général : il suffit de raisonner sur des [[Intégrale de Stieltjes|intégrales de Stieltjes]]<ref name=Bensimhoun>{{article|nom=Bensimhoun|prénom=M.|langue=en|titre =On the antiderivative of inverse functions|année=2013|journal=arXiv|arxiv=1312.3839}}.</ref>. 
*Si {{math|1=''f''(''a'') = ''c''}} et {{math|1=''f''(''b'') = ''d''}}, le théorème se réécrit :<center><math>\int_c^df^{-1}(y){\rm d}y+\int_a^bf(x){\rm d}x=bd-ac.</math></center>La figure ci-contre<ref name="La"/>{{,}}<ref name=Spivak235>{{Harvsp|Spivak|1967|loc=chap. 13, (« Integrals »), [https://archive.org/stream/Calculus_643/Spivak-Calculus#page/n247/mode/2up p. 235]}} et [https://books.google.fr/books?id=7JKVu_9InRUC&pg=PA273 p. 273 de la réédition de 2006].</ref>{{,}}<ref name=Key/> est une [[preuve sans mots]] de cette formule (proche sous cette forme de l'[[inégalité de Young]]), que l'on peut expliciter en termes d'[[Intégrale de Riemann#Définition|intégrales de Riemann-Darboux]]<ref name=Spivak235/>{{,}}<ref name=Key/>.
*{{Refsou|date=avril 2014|On peut aussi vérifier simplement}} qu'en tout point {{math|''y''}} de {{math|''I''{{ind|2}}}}, le [[nombre dérivé]] de la fonction {{math|''y'' ↦ ''yf'' {{-1}}(''y'') – ''F''(''f'' {{-1}}(''y''))}} est bien égal à {{math|''f'' {{-1}}(''y'')}}, c'est-à-dire que<center><math>\forall x\in I_1\quad\lim_{h\to0}\frac{(x+h)f(x+h)-xf(x)-\left(F(x+h)-F(x)\right)}{f(x+h)-f(x)}=x.</math></center>Il suffit pour cela d'appliquer le [[théorème des accroissements finis]] à la fonction {{math|''F''}} entre {{math|''x''}} et {{math|''x + h''}}, puis de se souvenir que [[Théorème de la bijection#Réciproques du théorème|{{math|''f''}} est monotone]].

==Exemples==
#Supposons que <math>f(x)=\exp(x)</math>, donc <math>f^{-1}(y)=\ln(y)</math>. La formule ci-dessus implique immédiatement{{retrait|<math>\int \ln(y){\rm d}y=y\ln(y)-y+C.</math>}}
#De même, avec <math>f(x)=\cos(x)</math> et <math>f^{-1}(y)=\arccos(y)</math>, il vient{{retrait|<math>\int \arccos(y){\rm d}y=y\arccos(y)-\sin(\arccos(y))+C=y\arccos(y)-\sqrt{1-y^2}+C.</math>}}
#Avec <math> f(x) = \tan(x)</math> et <math> f^{-1}(y)=\arctan(y)</math>, il vient{{retrait|<math>\int \arctan(y){\rm d}y=y\arctan(y)+\ln|\cos(\arctan(y))| + C=y\arctan(y)-\frac12\ln(1+y^2) + C.</math>}}

==Historique==
Ce théorème d'intégration, accompagné de sa justification géométrique en termes d'[[Aire (géométrie)|aire]], et d'une démonstration supposant {{math|''f''}} {{-1}} dérivable, fut publié en 1905 par [[Charles-Ange Laisant]]<ref name="La">{{article|nom=Laisant|prénom=C.-A.|titre=Intégration des fonctions inverses|année=1905|pages = 253-257|numéro=4|volume=5|journal=[[Nouvelles annales de mathématiques]]|url=http://archive.numdam.org/ARCHIVE/NAM/NAM_1905_4_5_/NAM_1905_4_5__253_0/NAM_1905_4_5__253_0.pdf}}.</ref>, qui la jugeait {{Citation|d'une telle simplicité qu'[il avait] peine à croire nouvelle [cette] règle}}, mais cherchait à la répandre dans l'enseignement. Le résultat fut publié indépendamment en 1912 par un ingénieur italien, Alberto Caprilli<ref>{{Ouvrage|lang=it|prénom=Alberto|nom=Caprilli|titre=Nuove formole d'integrazione|url=http://ebooks.library.cornell.edu/cgi/t/text/pageviewer-idx?c=math&cc=math&idno=00420001&view=image&seq=5&size=100|année=1912|pages=178}}.</ref>.

Le théorème a été traité dans des publications destinées à l'enseignement. En 1955, F. D. Parker souligne son intérêt pour les premières années universitaires et en donne plusieurs applications<ref name="Parker">{{article|langue=en|nom=Parker|prénom=F. D.|titre=Integrals of inverse functions|année=1955|mois=Jun. and Jul.|pages = 439–440|volume=62|journal=[[The American Mathematical Monthly]]|doi=10.2307/2307006|numéro=6}}, publié comme « Classroom notes ».</ref>. Dans son ''{{Lang|en|Calculus}}'' de 1967, [[Michael Spivak]] propose en exercice les trois premières preuves [[#Preuves|ci-dessus]], en détaillant la troisième (par les sommes de Darboux), qui traite le cas général. Dans un article de 1994<ref name=Key>{{article|langue=en|nom=Key|prénom=E.|titre=Disks, Shells, and Integrals of Inverse Functions|année=1994|mois=Mar.|pages = 136-138|volume=25|journal=The {{Lien|College Mathematics Journal}}|numéro=2|doi=10.2307/2687137|url=http://www.maa.org/sites/default/files/pdf/mathdl/CMJ/Key136-138.pdf}}.</ref>, Eric Key rédige cette démonstration, qui souligne l'adéquation dans ce cas de la définition formelle de l'[[intégrale de Riemann|intégrale]] à l'intuition géométrique donnée par l'aire et insiste sur l'intérêt du théorème en s'appuyant sur Parker.

==Analogue pour les fonctions holomorphes==
Pour les [[fonctions holomorphes]], on démontre la même formule par la première des preuves ci-dessus (transcrite en termes de [[Fonction holomorphe#Définition|différentiation complexe]]) :

Soient ''U'' et ''V'' deux [[Ouvert (topologie)|ouverts]] [[simplement connexe]]s du [[plan complexe]]. Supposons que {{math|''f'' : ''U'' → ''V''}} est un [[Théorème de l'application conforme|biholomorphisme]], c'est-à-dire une bijection holomorphe dont la réciproque est holomorphe ({{math|''f''}} et {{math|''f''}} {{-1}} admettent donc des primitives). Si {{math|''F''}} désigne une primitive de {{math|''f''}}, les primitives de {{math|''f''}} {{-1}} sont de la forme
<center><math>G(z)=zf^{-1}(z)-F(f^{-1}(z))+C^{te}.</math></center>

== Notes et références ==
<references />
*{{Article|langue=en|titre=An invitation to Integration in finite terms|prénom1=Elena Anne|nom1=Marchisotto|lien auteur1=Elena Marchisotto|prénom2=Gholam-Ali|nom2=Zakeri|revue=The College Mathematics Journal|vol=25|numéro=4|mois=9|année=1994|pages=295-308|doi=10.2307/2687614|url=http://www.rangevoting.org/MarchisottoZint.pdf}}
*{{Ouvrage|lang=en|lien auteur=Richard Courant|prénom=Richard|nom=Courant|titre=Differential & Integral Calculus|volume=1|année=1937|année première édition=1934|numéro d'édition=2|page=219|url=https://archive.org/stream/DifferentialIntegralCalculusVolI/Courant-DifferentialIntegralCalculusVolI#page/n233}}
*{{article|langue=en|prénom = J. H. | nom = Staib | titre=The Integration of Inverse Functions|lien périodique=Mathematics Magazine|revue=Mathematics Magazine|année=1966|mois=9|vol=39|numéro=4|pages=223-224|doi=10.2307/2688087}}

{{portail|analyse}}

[[Catégorie:Analyse réelle]]
[[Catégorie:Théorie de l'intégration]]