Voir la source de Intégration par parties

{{Voir homonymes|IPP}}

En [[mathématiques]], l''''intégration par parties''' (parfois abrégée en IPP) est une méthode qui permet de transformer l'[[Intégration (mathématiques)|intégrale]] d'un produit de [[fonction (mathématiques)|fonctions]] en d'autres intégrales. Elle est fréquemment utilisée pour calculer une intégrale (ou une [[primitive (mathématiques)|primitive]]) d'un produit de fonctions. Cette formule peut être considérée comme une version intégrale de la [[règle du produit]].

Le mathématicien [[Brook Taylor]] a découvert l'intégration par parties, publiant d'abord l'idée en 1715. [[Intégrale de Stieltjes#Propriétés|Des formulations plus générales d'intégration par parties existent pour l'intégrale de Riemann-Stieltjes]] et pour l'[[Intégration de Lebesgue-Stieltjes|intégrale de Lebesgue-Stieltjes]]. L'analogue discret pour les [[suite (mathématiques)|suites]] est appelé [[sommation par parties]].

== Énoncé type ==

La formule-type est la suivante, où <math>u</math> et <math>v</math> sont deux fonctions [[Dérivabilité|dérivables]], de [[dérivée]]s [[Continuité (mathématiques)|continues]] et {{mvar|a}} et {{mvar|b}} deux [[Nombre réel|réels]] de leur [[Intervalle réel|intervalle]] [[Ensemble de définition|de définition]] :
:<math display="block">\begin{align}
   \int_a^b u(x) v'(x) \, dx 
   & = \Big[u(x) v(x)\Big]_a^b - \int_a^b u'(x) v(x) \, dx\\
   & = u(b) v(b) - u(a) v(a) - \int_a^b u'(x) v(x) \, dx.
 \end{align}</math>.
ou encore, puisque <math>u'(x)\,\mathrm dx</math> et <math>v'(x)\,\mathrm dx</math> sont respectivement les [[Forme différentielle de degré un#Différentielles totales|différentielles]] de <math>u</math> et de <math>v</math> :
:<math>\int_a^b u\,\mathrm dv=[uv]_a^b-\int_a^b v\,\mathrm du</math>.

{{Démonstration|titre=Démonstration|contenu=
La démonstration du théorème découle directement de la [[règle du produit]] :
:<math>(uv)'=u'v+uv'</math>.
On a donc
:<math>uv'=(uv)'-u'v</math>
puis 
:<math>\int_a^bu(x)v'(x)~\mathrm dx=\int_a^b(uv)'(x)~\mathrm dx-\int_a^b u'(x)v(x)~\mathrm dx</math>,
ce qui, d'après le [[second théorème fondamental de l'analyse]], donne l'égalité annoncée.}}

{{Démonstration|titre=Variante de « démonstration » avec la [[notation de Leibniz]]|contenu=
Soit deux fonctions dérivables {{mvar|u}} et {{mvar|v}}. La règle de la dérivation d'un produit nous donne :
:<math>\frac {\mathrm d(uv)}{\mathrm dx}=u\frac {\mathrm dv}{\mathrm dx}+v\frac{\mathrm du}{\mathrm dx}</math>.
En passant aux  [[différentielle]]s, on obtient : 
:<math>\mathrm d(uv)=u\mathrm dv+v\mathrm du</math>.
On réarrange ensuite l'expression de la façon suivante :
:<math>u\mathrm dv=\mathrm d(uv)-v\mathrm du</math>.
Il suffit maintenant d'intégrer l'équation :
:<math>\int_a^b u\,\mathrm dv=\int_a^b\mathrm d(uv)-\int_a^b v\,\mathrm du</math>.
On obtient alors :
:<math>\int_a^b u\,\mathrm dv=[uv]_a^b-\int_a^b v\,\mathrm du</math>.
}}

Dans un cas discret où les fonctions sont remplacées par des séries, il s'agit de [[sommation par parties]].

== Choix des fonctions du produit ==
L'un des deux choix possibles pour les fonctions <math>u</math> et <math>v'</math> peut s'avérer meilleur que l'autre.

: <math>I=\int_1^2x\ln x\,\mathrm dx </math>.
Si l'on choisit <math>u=\ln</math> et <math>v'(x)=x</math>, on a <math>u'(x)=\frac 1 x</math> et l'on peut prendre <math>v(x)=\frac{x^2}{2}</math>, d'où :
:<math> I=\int_1^2x\ln x\,\mathrm dx = \left[\frac{x^2}2\ln x\right]_1^2 - \frac12 \int_1^2x\,\mathrm dx = \left[\frac{x^2}2\ln x\right]_1^2 - \frac12\left[\frac{x^2}2\right]_1^2</math>.

En revanche, si l'on choisit <math>u(x)=x</math> et <math>v'(x)=\ln </math>, on a <math>u'(x)=1</math> et l'on peut prendre <math>v(x)=x\ln x-x</math>, d'où :
:<math>I= \int_1^2x\ln x\,\mathrm dx = \left[x(x\ln x- x)\right]_1^2 - \int_1^2(x\ln x- x)\,\mathrm dx</math>.

On constate immédiatement que cette intégrale est plus compliquée que l'intégrale initiale, elle s'y ramène cependant puisque <math>\int_1^2(x\ln x- x)\,\mathrm dx = I-3/2</math>.

Il existe également un [[moyen mnémotechnique]] permettant de connaitre l'ordre préférable des fonctions à dériver (à choisir en  <math>u(x)</math> pour les notations de cet article), '''ALPES'''<ref>{{ouvrage|auteur1=Thierry Alhalel|auteur2=Florent Arnal|auteur3=Laurent Chancogne|titre=Mathématiques IUT 1re année - 3e éd|sous-titre=L'essentiel du cours, exercices avec corrigés détaillés|éditeur=Dunod|année=2021|page=44|lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=Ms0iEAAAQBAJ&pg=PA44#v=onepage&q&f=false }}</ref> :

'''A''' pour Arccos, Arcsin et Arctan (à dériver en priorité), '''L''' pour le logarithme (ln et log), '''P''' pour les polynômes, '''E''' pour les fonctions exponentielles (exp) et '''S''' pour les fonctions trigonométriques (sin, cos et tan, à dériver en dernier recours).

== Exemples ==
* Effectuons le calcul de<center><math>\int_0^{\frac\pi3} x\cos x\,\mathrm dx</math></center>grâce à une intégration par parties.<br>Pour cela, posons {{math|''u''(''x'') {{=}} ''x''}}, de telle sorte que {{math|''u' '' {{=}} 1}}, et {{math|''v' '' {{=}} cos}}, de telle sorte que {{math|''v'' {{=}} sin}}, par exemple ({{c.-à-d.}} à une constante additive près, qui de toutes façons disparaîtrait au cours des calculs intermédiaires). Il vient :
*:<math>\begin{align}\int_0^{\frac\pi3}x\cos x\,\mathrm dx
&= \left[u(x)v(x)\right]_0^{\frac{\pi}3} - \int_0^{\frac{\pi}3}u'(x)v(x)\,\mathrm dx\\
&=\left[x\sin x\right]_0^{\frac\pi3} - \int_0^{\frac\pi3}\sin(x)\,\mathrm dx\\
&=\frac{\pi\sqrt3}6 + \left[\cos x\right]_0^{\frac{\pi}3}\\
&=\frac{\pi\sqrt3}6 - \frac12.\end{align}</math>
* Il s'agit de la méthode classique<ref name=Wikiversité/> pour trouver une [[primitive]] du [[logarithme naturel]] :<center><math>\int_{\mathrm e}^x\ln t\,\mathrm dt=x\ln x-x</math>.</center>
* Une [[Intégrale impropre#Intégration par parties|intégration par parties sur une intégrale impropre]] permet d'établir l'[[équation fonctionnelle]] de la [[fonction gamma]].
* Une double intégration par parties (l'intégrale obtenue par l'application de la formule se calcule elle aussi par une nouvelle intégration par parties) permet par exemple de montrer<ref name=Wikiversité>Voir les exemples de la [[#Voir aussi|leçon « Intégration par parties »]] sur [[Wikiversité]].</ref> que<center><math>\int\mathrm e^x\sin x\,\mathrm dx=\frac{\mathrm e^x\left(\sin x-\cos x\right)}2+C</math></center>et de même,<center><math>\int\mathrm e^x\cos x\,\mathrm dx=\frac{\mathrm e^x\left(\sin x+\cos x\right)}2+C</math>,</center>où le réel {{mvar|C}} est une constante d'intégration.

== Intégration par parties tabulaire ==

Cette méthode également nommée « ''DI method'' » en anglais consiste à tracer un tableau avec trois colonnes, une colonne de signes + et - alternés, une colonne D et une colonne I, avec dans la colonne D des dérivations successives et dans la colonne I des intégrations successives. Cette méthode se base sur l'intégration par parties, et est surtout utile lorsqu'il s'agit de réaliser des intégrations par parties successives. Elle est présentée dans le livre<ref>Thomas, G. B.; Finney, R. L. (1988). Calculus and Analytic Geometry (7th ed.). Reading, MA: Addison-Wesley. {{ISBN|0-201-17069-8}}.</ref> de Thomas et Finney, ainsi que dans un papier librement accessible<ref>Horowitz, David (1990). https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/mathdl/CMJ/Horowitz307-311.pdf (PDF). The College Mathematics Journal. 21 (4): 307–311. doi:10.2307/2686368</ref>. Cette méthode est censée réduire les erreurs et réduire les étapes de calcul. Il y a 3 critères d'arrêts : soit une ligne du tableau comporte un 0, soit une ligne du tableau est identique à la première ligne (à des facteurs numériques près), soit le produit d'une ligne du tableau est facilement intégrable<ref>Cette méthode est illustrée en vidéo sur la chaîne YouTube nommée ''blackpenredpen'' : [https://www.youtube.com/watch?v=2I-_SV8cwsw Integration by parts, DI method, VERY EASY] et une présentation plus détaillée se trouve sur la version anglophone de Wikipédia :[[:en:Integration by parts#Tabular integration by parts]]  </ref>.

Les produits s'effectuent suivant une diagonale. Ainsi, pour intégrer <math> x \mapsto x^3 \cos x</math>, on peut construire le tableau suivant :

{| class="wikitable" style="text-align:center"
!Étapes!! +/- !! Dérivées (D) !!Primitives (I)!! !! Produits
|-
|0||bgcolor=#B2B2B2| ||bgcolor=#B2B2B2| <math>x^3</math>|| <math>\cos x</math>|| || 
|-
|1|| − || <math>3x^2</math> ||bgcolor=#B2B2B2|<math>\sin x</math>|| ||bgcolor=#B2B2B2|  <math> x^3\sin(x)</math>
|-
|2||+ || <math>6x</math> || <math>-\cos x</math>|| || <math> + 3x^2\cos(x)</math>
|-
|3|| − || <math>6</math> || <math>-\sin x</math>|| || <math> - 6x\sin(x)</math>
|-
|4||+ || <math>0</math> || <math>\cos x</math>|| || <math> - 6\cos(x)</math>
|}

<math>\int x^3 \cos x \,\mathrm dx = x^3\sin(x) + 3x^2\cos(x)-  6x\sin(x) - 6\cos(x) + C </math>
{{Boîte déroulante|titre=Détail des calculs|contenu= Le calcul se fait à l'aide de 4 intégrations par parties (la dernière étant d'ailleurs dispensable)
# <math>\int x^3 \cos x \,\mathrm dx = x^3\sin(x) + \int -3x^2 \sin(x) \,\mathrm dx</math>
# <math>\int x^3 \cos x \,\mathrm dx = x^3\sin(x) + 3x^2\cos(x)+ \int -6x \cos(x) \,\mathrm dx</math>
# <math>\int x^3 \cos x \,\mathrm dx = x^3\sin(x) + 3x^2\cos(x)- 6x\sin(x) + \int 6 \sin(x) \,\mathrm dx</math>
# <math>\int x^3 \cos x \,\mathrm dx = x^3\sin(x) + 3x^2\cos(x)-  6x\sin(x) - 6\cos(x) + \int 0 \,\mathrm dx</math>
}}


Un même type de tableau peut s'utiliser pour une intégration par parties qui boucle :
{| class="wikitable" style="text-align:center"
!Étapes!! +/- !! Dérivées !!Primitives!! !! Produits
|-
|0|| || <math>\mathrm e^{2x}</math>|| <math>\cos x</math>|| || 
|-
|1|| − || <math>\mathrm 2e^{2x}</math> ||<math>\sin x</math>|| ||  <math> \mathrm e^{2x}\sin(x)</math>
|-
|2||+ || <math>\mathrm 4e^{2x}</math> || <math>-\cos x</math>|| || <math> +\mathrm 2e^{2x}\cos(x)</math><br /> ''(ça boucle)''
|}
* <math>\int \mathrm e^{2x} \cos x \,\mathrm dx = \mathrm e^{2x}\sin(x) + \mathrm 2e^{2x}\cos(x)+ \int -\mathrm 4e^{2x} \cos(x) \,\mathrm dx</math>
* <math>5\int \mathrm e^{2x} \cos x \,\mathrm dx = \mathrm e^{2x}\sin(x) + \mathrm 2e^{2x}\cos(x)+ C</math>

== Généralisations ==
* On peut étendre ce théorème aux fonctions continues et de [[Régularité par morceaux|classe C{{1}} par morceaux]] sur le [[Intervalle compact|segment]] d'intégration (mais la continuité est indispensable).
* Plus généralement, si {{mvar|u}} et {{mvar|v}} sont {{mvar|n}} fois différentiables et si leurs dérivées {{mvar|n}}-ièmes sont [[Fonction réglée|réglées]], on dispose de la {{Citation|''formule d'intégration par parties d'ordre {{mvar|n}}''}}<ref>{{ouvrage|auteur=[[N. Bourbaki]]|année première édition=1949|titre=[[Éléments de mathématique|Fonctions d'une variable réelle]]|url={{Google Livres|N-glBQAAQBAJ|page=60}}}}, chap. II, § 1, {{n°|5}}.</ref> :
*:<math>\int_a^bu(x)v^{(n)}(x)\,\mathrm dx = \left[ \sum_{k=0}^{n-1}(-1)^ku^{(k)}v^{(n-k-1)}\right]_a^b + (-1)^n\int_a^bu^{(n)}(x)v(x) \,\mathrm dx</math>.
* Si, sur {{math|[''a'', ''b'']}}, {{mvar|u}} est [[Absolue continuité|absolument continue]] et {{mvar|g}} est [[intégrable]], alors
::<math>\int_a^bug=[uv]_a^b-\int_a^bu'v</math>,
:pour toute fonction {{mvar|v}} telle que
::<math>\forall x\in[a,b]\quad v(x)=v(a)+\int_a^xg</math>.
:La démonstration<ref>{{Ouvrage|lang=en|titre=The Theory of Lebesgue Measure and Integration|auteur={{Lien|lang=de|Stanisław Hartman}}|auteur2=[[Jan Mikusiński]]|éditeur=[[Pergamon Press|Pergamon]]|année=1961|url={{Google Livres|WcPSBQAAQBAJ|page=103}}|page=103}}.</ref> est essentiellement la même que ci-dessus, avec des dérivées définies seulement [[presque partout]] et en utilisant l'absolue continuité de {{mvar|v}} et {{mvar|uv}}.

== Formules d'intégrations par parties à plusieurs variables ==

L'intégration par parties peut être étendue aux [[fonction de plusieurs variables|fonctions de plusieurs variables]] en appliquant une version appropriée du théorème fondamentale de l'analyse (par exemple une conséquence du [[théorème de Stokes]] comme le [[théorème du gradient]] ou le [[théorème de la divergence]]) à une opération généralisant la [[Identités vectorielles|règle de dérivation d'un produit]].

Il existe donc de nombreuses versions d'intégrations par parties concernant les fonctions à plusieurs variables, pouvant faire intervenir des fonctions à valeurs scalaires ou bien des [[fonction à valeurs vectorielles|fonctions à valeurs vectorielles]].

Certaines de ces intégrations par parties sont appelées [[identités de Green]].

=== Un exemple faisant intervenir la divergence ===

Par exemple, si ''u'' est à valeurs scalaires et '''V''' à valeurs vectorielles et toutes deux sont [[Classe de régularité|régulières]], on a la [[Identités vectorielles|règle de la divergence d'un produit]] 
:<math>\operatorname{div} ( u \,\mathbf{V} ) = u\, \operatorname{div} \mathbf V +  \operatorname{grad} u \cdot \mathbf V.</math>

Soit <math>\Omega</math> un [[ouvert (topologie)|ouvert]] de <math>\mathbb R^d</math> qui est [[ensemble borné|borné]] et dont la [[Frontière (topologie)|frontière]] <math>\Gamma=\part \Omega</math> est [[Régularité par morceaux|lisse par morceaux]]. Appliquer le [[théorème de la divergence]] donne:
:<math>\int_{\Gamma} u \,\mathbf{V}\cdot \mathbf n \,\mathrm d\Gamma = \int_\Omega \operatorname{div} ( u \,\mathbf{V} )\,\mathrm d\Omega = \int_\Omega u\, \operatorname{div} \mathbf V\,\mathrm d\Omega + \int_\Omega \operatorname{grad} u \cdot \mathbf V\,\mathrm d\Omega</math>,
où '''n''' est la normale sortante unitaire à <math>\Gamma</math>. On a donc
:<math>\int_\Omega u\,\operatorname{div}(\mathbf V)\,\mathrm d\Omega  = \int_{\Gamma} u\, \mathbf V \cdot \mathbf n\,\mathrm d\Gamma - \int_\Omega  \operatorname{grad}(u)\cdot\mathbf V\,\mathrm d\Omega</math>.

On peut donner des hypothèses plus faibles: la frontière peut être seulement [[Application lipschitzienne|lipschitzienne]] et les fonctions ''u'' et '''V''' appartenir aux [[espace de Sobolev|espaces de Sobolev]] <math>H^1(\Omega)</math> et <math>H^1(\Omega)^d</math>

=== Première identité de Green ===

Soit <math>\left(e_1,e_2,\ldots,e_d\right)</math> la [[base canonique]] de <math>\mathbb R^d</math>. En appliquant la formule d'intégration par parties ci-dessus à ''u''<sub>i</sub> et ''v'' ''e''<sub>i</sub> où ''u'' et ''v'' sont des fonctions scalaires régulières, on obtient une nouvelle formule d'intégration par parties
:<math>\int_\Omega u\,\frac{\partial v}{\partial x_i}\,\mathrm d\Omega   = \int_{\Gamma} u\, v \,n_i\,\mathrm d\Gamma  - \int_\Omega \frac{\partial u}{\partial x_i}\, v\,\mathrm d\Omega</math>,
où '''n''' = (''n''<sub>1</sub>,....,''n''<sub>d</sub>).

Considérons maintenant un [[champ de vecteurs]] régulier 
:<math>\mathbf U = u_1\mathbf e_1+\cdots+u_n\mathbf e_n</math>
En appliquant la formule d'intégration par parties ci-dessus à ''u''<sub>i</sub> et ''v'' ''e''<sub>i</sub> et en sommant sur ''i'', on obtient encore une nouvelle formule d'intégration par parties
:<math> \int_\Omega \mathbf U \cdot \operatorname{grad} v\,\mathrm d\Omega = \int_{\Gamma} v \, \mathbf{U}\cdot \mathbf n\,\mathrm d\Gamma - \int_\Omega v\, \operatorname{div}\mathbf{U}\,\mathrm d\Omega</math>.

La formule correspondante au cas où '''U''' dérive d'un potentiel ''u'' régulier:
:<math>\mathbf{U}=\operatorname{grad} u</math>, 
est appelée ''première [[Identités de Green|identité de Green]]'' :
:<math> \int_\Omega \operatorname{grad} u \cdot \operatorname{grad} v\,\mathrm d\Omega = \int_{\Gamma} v\, \operatorname{grad}  u\cdot \mathbf n\,\mathrm d\Gamma - \int_\Omega v\, \Delta u\,\mathrm d\Omega</math>.

== Notes et références ==
{{Références}}

== Voir aussi ==
{{Autres projets|v=Intégration de Riemann/Intégrale et primitives#Intégration_par_parties}}
{{Lien web|url=http://www.gecif.net/articles/mathematiques/integration_par_parties|titre=L'intégration par parties|description=Nombreux exemples d'intégration par parties bien détaillés|site=gecif.net|auteur=J.-C. Michel}}

=== Article connexe ===
* [[Sommation par parties]]

{{Portail|analyse}}

[[Catégorie:Méthode d'intégration]]

[[es:Métodos de integración#Método de integración por partes]]