Voir la source de Interpolation d'Hermite

{{ébauche|analyse}}
[[Fichier:HermiteInterpolationSine3P.png|thumb|Comparaison graphique entre interpolation lagrangienne (en rouge) et hermitienne (en bleu) de la fonction <math>x\mapsto x\sin(2x+\tfrac\pi4)+1</math> (en noir) en trois points équidistants -1, 1/2, 2.]]

En [[analyse numérique]], l''''interpolation d'Hermite''', nommée d'après le mathématicien [[Charles Hermite]], est une extension de l'[[interpolation de Lagrange]], qui consiste, pour une fonction dérivable donnée et un nombre fini de points donnés, à construire un [[polynôme]] qui est à la fois '''interpolateur''' (c'est-à-dire dont les valeurs aux points donnés coïncident avec celles de la fonction) et '''osculateur''' (c'est-à-dire dont les valeurs de la dérivée aux points donnés coïncident avec celles de la dérivée de la fonction). Cette méthode d'interpolation permet d'éviter les [[Phénomène de Runge|phénomènes de Runge]] dans l'interpolation numérique ou, plus simplement, de manipuler des polynômes ayant des propriétés proches de celles de la fonction interpolée.

== Définition du problème à l'ordre 1 ==
Soit {{mvar|f}} une fonction de [[Classe_de_régularité|classe]] {{math|C{{exp|1}}}} d'une variable définie sur un segment {{math|[''a'', ''b'']}} et à valeurs réelles et soient {{math|''n'' + 1}} points {{math|(''x''{{sub|0}}, ''x''{{sub|1}}, ... , ''x{{sub|n}}'')}} de {{math|[''a'', ''b'']}} distincts deux à deux. L'objectif est de construire un polynôme {{mvar|P}} de degré minimal tel que :
:<math>\forall i \in \{0,\ldots,n\}\qquad P(x_i)=f(x_i)\quad\text{et}\quad P^\prime(x_i)=f'(x_i)</math>.
Puisque l'on impose {{math|2''n'' + 2}} valeurs pour déterminer le polynôme {{mvar|P}}, celui-ci sera donc de degré au plus {{math|2''n'' + 1}}.

=== Construction ===
Une méthode de construction de {{mvar|P}} consiste à prendre les carrés des [[Polynôme de Lagrange|polynômes de Lagrange]] associés aux points {{math|''x''{{sub|0}}, ''x''{{sub|1}}, ... , ''x{{sub|n}}''}} :
:<math>q_i(X) = (L_i(X))^2 = \prod_{j=0,\,j\neq i}^n \left(\frac{X-x_j}{x_i - x_j} \right)^2</math>,
de degré {{math|2''n''}} et vérifiant :
:<math>q_i(x_i)=1,\quad q_i^\prime(x_i)=\sum_{j=0,j\neq i}^n\frac2{x_i - x_j}\quad{\rm et}\quad\forall j\ne i\quad q_i^\prime(x_j)=q_i(x_j)=0</math>.

Un polynôme {{mvar|P}} de la forme
:<math>P(X)=\sum_{i=0}^n q_i(X)P_i(X)</math>
satisfait donc les {{math|2''n'' + 2}} conditions si et seulement si les polynômes {{mvar|P{{ind|i}}}} vérifient :
:<math>f(x_i)=P_i(x_i)\quad{\rm et}\quad f'(x_i)=P'_i(x_i)+q'_i(x_i)P_i(x_i)</math>,
ce qui équivaut à :
:<math>P_i(x_i)=f(x_i)\quad{\rm et}\quad P'_i(x_i)=f'(x_i)-q'_i(x_i)f(x_i)</math>.

La solution la plus simple est de choisir
:<math>P_i(X)=f(x_i)+(X-x_i)\left(f'(x_i)-q'_i(x_i)f(x_i)\right)</math>
et {{mvar|P}} est alors de degré au plus {{math|2''n'' + 1}}.

=== Unicité ===

L'unicité du polynôme interpolateur d'Hermite se montre de façon similaire à celle du polynôme interpolateur de Lagrange : soient deux polynômes {{mvar|P}} et {{mvar|R}} vérifiant les hypothèses voulues. On a donc deux polynômes de degré au plus {{math|2''n'' + 1}} dont les valeurs et les dérivées coïncident en {{math|''n'' + 1}} points. Ainsi, {{math|''P'' – ''R''}} est divisible par {{math|(''X'' – ''x''{{sub|0}}){{2}}(''X'' – ''x''{{sub|1}}){{2}}…(''X'' – ''x{{sub|n}}''){{2}}}} qui est un polynôme de degré {{math|2''n'' + 2}}. Puisque {{math|''P'' – ''R''}} est de degré au plus {{math|2''n'' + 1}}, il est forcément nul.

=== Majoration de l'erreur ===

L'erreur d'approximation causée par l'interpolation d'Hermite est donnée par le résultat suivant :
{{énoncé|Si {{mvar|f}} est de classe {{math|C{{exp|2''n''+2}}}}, alors pour tout {{mvar|x}} dans {{math|[''a'', ''b'']}}, il existe {{mvar|ξ}} dans {{math|]''a'', ''b''[}} tel que
:<math>f(x)-P(x)=\frac{f^{(2n+2)}(\xi)}{(2n+2)!}\prod_{j=0}^n(x-x_j)^2,\quad a\leqslant\min\{x,x_0,\ldots,x_n\}<\xi<\max\{x,x_0,\ldots,x_n\}\leqslant b</math>.
}}
{{démonstration|contenu=
Si {{mvar|x}} est un des points {{math|''x''{{sub|0}}, ''x''{{sub|1}}, ... , ''x{{sub|n}}''}}, le résultat est évident. Sinon, posons
:<math>w(t)=f(t)-P(t)-(f(x)-P(x))\prod_{j=0}^n\left(\frac{t-x_j}{x-x_j}\right)^2</math>.
On a alors {{math|1=''w''(''x'') = 0}} et pour tout entier {{mvar|i}} entre {{math|0}} et {{mvar|n}}, {{math|1=''w''(''x{{sub|i}}'') = 0}}. 

En appliquant le [[théorème de Rolle]] à {{mvar|w}}, on montre l'existence de {{math|''α''{{sub|0}} < ''α''{{sub|1}} < ... < ''α{{sub|n}}''}} (avec {{mvar|α{{ind|i}}}} différent de {{mvar|x{{sub|j}}}} pour tout {{mvar|i}} différent de {{mvar|j}}) tels que {{math|''w' ''(''α{{sub|i}}'') {{=}} 0}} pour tout {{mvar|i}}. De plus, on a {{math|''w' ''(''x{{sub|i}}'') {{=}} 0}} pour tout {{mvar|i}}. Il existe donc {{math|2''n'' + 2}} points de {{math|[''a'', ''b'']}} deux à deux distincts annulant {{mvar|w}}.

Par applications successives du théorème de Rolle sur {{mvar|w}} et ses dérivées, on finit par prouver l'existence d'un {{mvar|ξ}} comme annoncé.
}}

Ainsi, l'interpolation d'Hermite est d'un ordre très supérieur à celui de l'interpolation lagrangienne (d'ordre {{math|''n'' + 1}}).

== Extension aux ordres supérieurs ==
L'interpolation d'Hermite peut être étendue à l'interpolation des valeurs des dérivées supérieures, en cherchant, pour une fonction {{mvar|f}} de classe {{math|C{{exp|''m''}}}} sur {{math|[''a'', ''b'']}}, un polynôme interpolateur {{mvar|P}} vérifiant :
:<math>\forall k\in\{0,\dots,n\}\quad\forall l\in\{0,\dots,m\}\quad P^{(l)}(x_k)=f^{(l)}(x_k)</math>.

Le polynôme à construire est donc de degré minimal {{math|(''n'' + 1)(''m'' + 1) – 1}}. Une méthode pour le définir consiste à introduire les polynômes
:<math>H_{k,l}(X)=(X-x_k)^l\times Q_{k,l}(X)\times L_k^{m+1}(X)</math>
où les {{mvar|L{{ind|k}}}} sont les polynômes de Lagrange définis précédemment et les {{mvar|Q{{ind|k,l}}}} sont des polynômes de degré {{math|''m – l''}} tels que
:<math>H_{k,l}^{(l)}(x_k)=1</math> et pour tout {{mvar|q}} tel que <math>l+1\leq q\leq m,\, H_{k,l}^{(q)}(x_k)=0</math>.
Ainsi, par construction, on a :
:<math>\forall{i,k}\in\{0,\dots,n\}\quad\forall{j,l}\in\{0,\dots,m\}\quad H_{k,l}^{(j)}(x_i)=\delta_{i,k}\delta_{j,l}</math>.

Le polynôme {{mvar|P}} recherché s'écrit alors :
:<math>P=\sum_{k=0}^n\sum_{l=0}^mf^{(l)}(x_k)H_{k,l}</math>.

Cette méthode apporte plus de régularité à l'interpolation. Elle reste cependant d'un faible intérêt pratique au regard des calculs qu'elle implique<ref>{{Lien brisé |url= http://lumimath.univ-mrs.fr/~jlm/travaux/livretab/node9.html |titre=lumimath.univ-mrs.fr/~jlm/trav… |brisé le=02-06-2023}}.</ref>.

== Applications ==
{{...}}
L'interpolation d'Hermite en deux points est la base des [[Spline#Spline d'interpolation|splines cubiques]]. Voir également l'article [[Spline cubique d'Hermite]].

L'interpolation d'Hermite peut également être utilisée dans la résolution de [[Problème aux limites|problèmes aux limites]] non linéaires<ref>{{article|lang=en|auteur=R. E. Grundy|titre=The application of Hermite interpolation to the analysis of non-linear diffusive initial-boundary value problems|périodique=IMA Journal of Applied Mathematics|volume=70|numéro=6|date=décembre 2005|pages=814–838|lire en ligne=https://doi.org/10.1093/imamat/hxh074}}</ref>.

== Notes et références ==
{{Références}}

== Lien externe ==
{{MathWorld|nom_url=HermitesInterpolatingPolynomial|titre=Hermite's Interpolating Polynomial}}{{Palette Analyse numérique}}{{Portail|analyse}}

[[Catégorie:Interpolation polynomiale]]
[[Catégorie:Charles Hermite]]