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{{homon|Intervalle}}
En [[mathématiques]], un '''intervalle (réel)''' (du [[latin]] ''{{Langue|la|intervallum}}'') est  un [[ensemble]] de [[Nombre réel|réels]] compris entre deux [[Borne supérieure et borne inférieure|bornes]], éventuellement infinies. Il est noté à l'aide des deux bornes placées entre crochets. Par exemple <math>[0; 1]</math> est l’ensemble des réels compris entre <math>0</math> et <math>1</math>.

Cette notion existe également dans tout [[Relation d'ordre|ensemble ordonné]]. Elle se développe par ailleurs en la notion de [[Boule (topologie)|boule]] dans un [[espace métrique]].

== Définition et notations ==

=== Définition ===
Initialement, on appelle '''intervalle réel''' un [[ensemble]] de [[nombre]]s délimité par deux [[Nombre réel|nombres réels]] <math>a</math> et <math>b</math> constituant une [[Borne (mathématiques)|borne inférieure et une borne supérieure]]. Un intervalle contient tous les nombres réels compris entre ces deux bornes.

En fonction de si les bornes sont incluses ou non dans l'intervalle, on distingue les intervalles{{Sfn|Ramis|Warusfel|2022|p=520|loc=Définition 8}} :

* [[Ouvert (topologie)|Ouvert]] : <math>\{x\in\R \mid a < x < b \} = \;]a;b[</math>
* [[Fermé (topologie)|Fermé]] : <math>\{x\in\R \mid  a \leq x \leq b \} = [a;b]</math>
* Semi-ouvert à gauche : <math>\{x\in\R \mid a < x \leq b \} = \;]a;b]</math>
* Semi-ouvert à droite : <math>\{x\in\R \mid a \leq x < b \} = [a;b[</math>

Si <math>a > b</math>, alors ces intervalles sont [[Ensemble vide|vides]].

À ces intervalles se sont ajoutés les ensembles des réels inférieurs à une valeur, ou supérieurs à une valeur. On ajoute donc les intervalles de ce type{{Sfn|Ramis|Warusfel|2022|p=520|loc=Définition 8}} :
* <math>\left\{x \in\R \mid x < a\right\} = \;]{-\infty};a[\;</math> (ouvert et non fermé)
* <math>\left\{x \in\R \mid x \leq a\right\} = \;]{-\infty};a]</math> (fermé et non ouvert)
* <math>\left\{x \in\R \mid x > a \right\} = \;]a;+\infty[\;</math> (ouvert et non fermé)
* <math>\left\{x \in\R \mid x \geq a\right\} = [a;+\infty[\;</math> (fermé et non ouvert)

Auxquels se sont ajoutés les intervalles{{Sfn|Ramis|Warusfel|2022|p=520|loc=Remarque}} :
* l'[[ensemble vide]] <math>\varnothing</math> (à la fois ouvert et fermé) ;
* les [[Singleton (mathématiques)|singletons]] <math>\{a\} = [a; a]</math> (fermé et non ouvert) ;
* l'ensemble des nombres réels <math>\R= \;]{-\infty};+\infty[\;</math> (à la fois ouvert et fermé).
Un intervalle réel est dit non [[trivial]] s'il est non vide et non réduit à un point.

Plus généralement, un intervalle de <math>\R</math> est une partie [[ensemble convexe|convexe]] de <math>\R</math>, c'est-à-dire un ensemble <math>I</math> de réels vérifiant la propriété suivante{{Sfn|Ramis|Warusfel|2022|p=521|loc=Proposition 15}} :
:<math>\forall(x,y)\in I^2,\ (x\le y\Rightarrow[x;y]\subset I)</math>
autrement dit :
:<math>\forall(x,y)\in I^2,\ \forall z\in\R,\ (x\le z\le y\Rightarrow z\in I)\ .</math>

=== Notations ===
Une autre notation, fréquente dans la littérature anglophone<ref>{{lien web|titre=ISO 80000-2:2009(E)|url=https://webusers.imj-prg.fr/~jean-yves.ducloux/Typographie/ISO80000-2.pdf}}, p. 6</ref>, utilise, pour les intervalles ouverts et semi-ouverts, une parenthèse au lieu d'un crochet, et une virgule séparatrice au lieu d'un point-virgule : les intervalles ci-dessus sont alors notés respectivement :
:<math>(a,b)\qquad[a,b]\qquad(a,b]\qquad[a,b)</math>
Il est à noter un parallèle entre cette notation de l’intervalle <math>[a,b)</math> et celle de la [[demi-droite]] [AB).

Les deux systèmes de notations sont décrits dans la norme [[ISO 31]] (pour les mathématiques : [[ISO 31-11]]).

== Propriétés ==

=== Union et intersection ===
Une [[Intersection (mathématiques)|intersection]] d'intervalles de <math>\R</math> est toujours un intervalle. Par exemple,
* <math>[-3;5[\; \cap \;]{-\infty};2] = [-3;2]</math>
* <math>[-3;5[\; \cap \;[2;+ \infty[\; = [2;5[</math>
* <math>[3;5[\; \cap \;]{-\infty};2] = \varnothing</math>

Une [[Union (mathématiques)|union]] d'intervalles de <math>\R</math> n'est pas toujours un intervalle. Ce sera un intervalle si l'ensemble obtenu reste convexe (intuitivement s'il n'y a pas de « trou »). Dans le cas d'une union de deux intervalles, il suffit que l'intersection de ces intervalles soit non vide pour que leur réunion soit convexe. Par exemple,
* <math>]{-\infty};2]\; \cup [-3;5[\;= \;]{-\infty};5[ </math>
* <math>[-3;5[\; \cup \;[2;+\infty[\; = [-3;+\infty[ </math>
* <math>[3;5[\; \cup \;]{-\infty};2] = \;]{-\infty};2] \cup [3;5[</math> (N.B. on note de préférence les deux bornes d’un intervalle dans l’ordre croissant).
Cette union ne forme pas un intervalle étant donné qu'il y a un trou entre 2 et 3.

== Topologie ==
Les intervalles jouent un rôle central dans la [[topologie de la droite réelle]]. Les intervalles ouverts forment une [[Base (topologie)|base]] d'[[Ouvert (topologie)|ouvert]]s de la topologie usuelle de <math>\R</math>, ce qui signifie que tout ouvert est une réunion d'intervalles ouverts. 

Les parties [[Connexité (mathématiques)|connexes]] de <math>\R</math> sont exactement les intervalles. Un intervalle ne peut pas être séparé en deux ouverts disjoints et réciproquement<ref>{{Ouvrage |auteur1=[[Jacqueline Lelong-Ferrand]] |auteur2=[[Jean-Marie Arnaudiès]] |titre=Cours de Mathématiques |sous-titre=Analyse |tome=2 |lieu=Paris |éditeur=[[Éditions Bordas|Bordas]] |année=1977 |isbn=}}, p 106</ref>.

La propriété précédente et le caractère [[Espace localement connexe|localement connexe]] de <math>\R</math> permet de préciser le rôle des intervalles dans la topologie : tout ouvert est une réunion [[Ensemble dénombrable|dénombrable]] d'intervalles ouverts deux à deux disjoints<ref>Voir par exemple {{Ouvrage|auteur=Nawfal El Hage Hassan|titre=Topologie générale et espaces normés|sous-titre=Cours et exercices corrigés|éditeur=[[Dunod]]|année=2018|numéro d'édition=2|année première édition=2011|page=10 et 246|url={{Google Livres|nnhTDwAAQBAJ|page=10}}}}, {{Note autre projet|Wikiversité|Topologie générale/Exercices/Dénombrabilité#Exercice 1|cet exercice corrigé de la leçon « Topologie générale »|début=ou}}</ref> : ses [[Connexité (mathématiques)#Composantes connexes|composantes connexes]].

Par le [[théorème de Bolzano-Weierstrass]], les intervalles fermés – appelés [[Segment (mathématiques)|segments]] – sont [[Compacité (mathématiques)|compacts]]. Cela sert notamment à montrer que les compacts de <math>\R</math> sont les fermés bornés<ref>{{Ouvrage |auteur1=[[Jacqueline Lelong-Ferrand]] |auteur2=[[Jean-Marie Arnaudiès]] |titre=Cours de Mathématiques |sous-titre=Analyse |tome=2 |lieu=Paris |éditeur=[[Éditions Bordas|Bordas]] |année=1977 |isbn=}}, p 103</ref>, propriété qui peut être généralisée en dimension <math>n</math>, avec le [[théorème de Tykhonov]], donnant ainsi le [[théorème de Borel-Lebesgue]].

== Utilisations ==
Les intervalles jouent un rôle central en [[analyse réelle]]. En raison de leurs propriétés topologiques, de nombreux théorèmes reposent sur cette notion.

Ils sont utilisés pour définir les [[Limite (mathématiques)|limites]] et donc la [[Continuité (mathématiques)|continuité]] et la [[dérivabilité]]. De plus, les propriétés liant les variations d'une fonction au signe de sa dérivée ne sont vraies que sur un intervalle<ref>Une fonction dérivable et à dérivée identiquement nulle sur un intervalle est constante sur cet intervalle. Et une fonction dérivable est [[Fonction monotone|croissante]] (au sens large) sur un intervalle non trivial si et seulement si sa dérivée reste [[Nombre positif|positive]] (au sens large) sur cet intervalle.

Pour plus de détails, voir le [[Fonction monotone#Monotonie et signe de la dérivée|§ Monotonie et signe de la dérivée de l'article sur les fonctions monotones]].</ref>. Par exemple, <math>f : \R^* \to \R</math> définie par <math>f(x) = \dfrac{x}{|x|} </math> est dérivable sur <math>\R^*</math>, et sa dérivée est identiquement nulle ; mais <math>f</math> n'est pas constante. Ceci tient au fait que <math>\R^* = \R\setminus\{0\}</math> n'est pas un intervalle.

Le [[théorème des valeurs intermédiaires]], qui dit que l'image par une fonction continue d'un intervalle de <math>\R</math> est un intervalle de <math>\R</math>, vient du fait que les intervalles sont les parties connexes de <math>\R</math>.

== Généralisation ==

=== Dans un ensemble ordonné ===
Dans tout [[ensemble totalement ordonné]] <math>(S,\leq)</math>, on peut<ref>{{Ouvrage|auteur1=D. Guinin|auteur2=B. Joppin|titre=Algèbre et géométrie MPSI|éditeur=[[Éditions Bréal|Bréal]]|année=2003|passage=Définition 27, p. 176|isbn=978-2-749-50218-2}}</ref> définir les intervalles, de la même façon que dans <math>\R</math>, comme les ensembles convexes (au sens de la définition générale énoncée plus haut). On retrouve parmi eux les types suivants (mais ce ne sont plus les seuls) :
* <math>\left\{z \in S \mid  a < z < b \right\}</math>, <math>\left\{z \in S \mid  a \leq z \leq b \right\}</math>, <math>\left\{z \in S \mid  a < z \leq b \right\}</math>, <math>\left\{z \in S \mid  a \leq z < b \right\}</math>
* <math>\left\{z \in S \mid  z < a\right\}</math>, <math>\left\{z \in S \mid  z \leq a\right\}</math>, <math>\left\{z \in S \mid  z > a \right\}</math>, <math>\left\{z \in S \mid z \geq a\right\}</math>
* <math>\varnothing</math>, <math>\quad S</math>

Les quatre premières notations généralisent respectivement l'intervalle ouvert, l'intervalle fermé, l'intervalle semi-ouvert à gauche et l'intervalle semi-ouvert à droite.
La cinquième notation est un cas particulier de ''[[section commençante]] ouverte''<ref>Ce n'est qu'un cas particulier, car il peut exister des sections commençantes ouvertes dont ''a'' n'est pas la borne supérieure — c'est notamment le cas des [[Coupure de Dedekind|coupures de Dedekind]] qui définissent un nombre réel et n'ont pas nécessairement de borne supérieure dans [[Nombre rationnel|ℚ]].</ref> ; les trois suivantes sont la ''section commençante fermée'', la ''section finissante ouverte''<ref>Remarque analogue : une section finissante n'a pas nécessairement une borne inférieure.</ref> et la ''section finissante fermée'' déterminées par ''a'', respectivement.

Il est donc tout à fait possible de définir dans <math>\mathbb Z</math> l'intervalle des [[entier relatif|entiers relatifs]] compris entre <math>-5</math> et <math>3</math> mais il serait dangereux de le noter <math>[-5,3]</math> sans avertissement préalable à cause du risque de confusion avec la notation des intervalles de <math>\R</math>.
On utilise parfois la notation avec des crochets blancs<ref>J.-M. Arnaudiès et H. Fraysse, ''Cours de mathématiques-1 Algèbre'', Dunod, 1987
{{ISBN|2040164502}}, {{p.|52}}.</ref> <math>[\![\!-5,3\ \!]\!]</math> et {{refnec|parfois la notation avec des crochets doubles (usage très répandu en probabilités)|date=juin 2024}}.

Une intersection d'intervalles est encore un intervalle.

=== Boule ===
On considère les intervalles (fermés ou ouverts) bornés de <math>\R</math> de la forme <math>[a;b]</math> ou <math>]a;b[</math> où <math>a</math> et <math>b</math> sont des réels vérifiant <math>a \le b</math>. On note
* <math> m=\frac{a+b}{2}</math>
* <math>r=\frac{b-a}2</math>

Pour <math>\R</math> , muni de la distance usuelle <math>d(x,y)=|y-x|</math>, l'intervalle <math>[a;b]</math> est l'ensemble des réels dont la distance à <math>m</math> est inférieure ou égale à <math>r</math> et l'intervalle <math>]a;b[</math> est l'ensemble des réels dont la distance à <math>m</math> est strictement inférieure à <math>r</math>.

Cette notion se généralise à tout [[espace métrique]]. L'ensemble des éléments <math>x</math> de l'espace métrique  <math>E</math> dont la distance à l'élément <math>m</math> est inférieure ou égale ({{resp.}} strictement inférieure) à <math>r</math> est la [[boule (topologie)|boule]] fermée ({{resp.}} ouverte) de centre <math>m</math> et de rayon <math>r</math>.

Tout comme les intervalles ouverts bornés de <math>\R</math> forment une [[base (topologie)|base]] des [[ouvert (topologie)|ouvert]]s de <math>\R</math>, les [[boule (topologie)|boule]]s ouvertes forment une base pour la [[Espace métrique#Topologie|topologie d'un espace métrique]].

== Notes et références ==
<references/>

== Voir aussi ==

=== Bibliographie ===

* {{Ouvrage|auteur1=[[Jean-Pierre Ramis]]|directeur1=oui|auteur2=[[André Warusfel]]|directeur2=oui|auteur3=Xavier Buff|auteur4=Josselin Garnier|auteur5=Emmanuel Halberstadt|auteur6=François Moulin|auteur7=Monique Ramis|auteur8=Jacques Sauloy|préface=Alain Connes|titre=Mathématiques Tout-en-un pour la Licence 1|lieu=Paris|éditeur=[[Éditions Dunod|Dunod]]|collection=Sciences Sup|année=2022|numéro édition=4|année première édition=2006|pages totales=1040|isbn=978-2-10-084670-2|lire en ligne=https://www.dunod.com/sciences-techniques/mathematiques-tout-en-un-pour-licence-1-0|accès url=payant|consulté le=2024-06-03|numéro chapitre=1.3|titre chapitre=Intervalles de ℝ|id=RamisWarusfel2022}}

=== Article connexe ===
* [[Arithmétique d'intervalles]]

{{Portail|analyse}}

[[Catégorie:Analyse réelle]]
[[Catégorie:Théorie des ordres]]