Voir la source de Intervalle d'espace-temps

Le ''carré'' de l’'''intervalle d'espace-temps''' entre deux [[Événement (espace-temps)|événements]] dans l'[[espace-temps]] de la [[relativité restreinte]] ou [[relativité générale|générale]] est l'équivalent du carré de la distance géométrique entre deux points dans l'[[espace euclidien]]. Cette quantité est invariante par changement de [[Référentiel (physique)|référentiel]] de l'[[observateur (physique)|observateur]].

Quand le ''carré'' de l'intervalle d'espace-temps entre deux [[Événement (espace-temps)|événements]] est positif ou nul (le terme ''carré'' n'est ici employé que de manière formelle), alors les deux événements peuvent être connectés par un [[causalité (physique)|lien de cause à effet]], et l'intervalle d'espace-temps (défini en prenant la [[racine carrée]]) permet de définir le [[temps propre]] entre ces deux événements.

Quand le ''carré'' de l'intervalle d'espace-temps entre deux [[Événement (espace-temps)|événements]] est strictement négatif, alors aucun des deux ne peut être la cause de l'autre, et l'intervalle d'espace temps n'est pas défini (ou au mieux comme étant un [[nombre imaginaire]]), mais en prenant la [[racine carrée]] de l'opposé du ''carré'' on obtient la [[distance propre]] entre ces événements.

Le ''carré'' de l'intervalle d'espace-temps sert de définition de la pseudo-métrique de l'[[espace de Minkowski]] en relativité restreinte, ainsi que de la pseudo-métrique ''infinitésimale'' dans l'espace courbe de la relativité générale.

==Expression en relativité restreinte ==
Dans l'espace euclidien en trois dimensions, le carré de la distance <math>\Delta l</math> entre deux points <math>A</math> et <math>B</math> de coordonnées <math>\left( x_A,\, y_A,\, z_A \right)</math> et <math>\left( x_B,\, y_B,\, z_B\right)</math> par rapport à un [[repère cartésien|repère cartésien orthonormé]] s'exprime sous la forme :
:<math>\,(\Delta l)^2  = (x_\text{B} - x_\text{A})^2 + (y_\text{B}-y_\text{A})^2 + (z_\text{B}-z_\text{A})^2\,,</math>
ce que l'on écrit couramment de façon plus condensée
:<math>\Delta l^2 = \Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2 \,.</math>
Il est évident qu'en [[physique classique]], cette grandeur est invariante par changement de référentiel. Mais ce n'est plus le cas en physique relativiste.

Dans la géométrie de l'espace-temps de la [[relativité restreinte]], on écrit le « carré de l'intervalle d'espace-temps », noté <math>\Delta s^2</math>, entre deux événements <math>A</math> et <math>B</math> de coordonnées <math>\left( t_A,\, x_A,\, y_A,\, z_A\right)</math> et <math>\left( t_B,\, x_B,\, y_B,\, z_B\right) </math> dans un espace-temps à quatre dimensions (une de temps, soit ''t'', et trois d'espace) sous la forme
:<math>(\Delta s)^2 = \, c^2(t_\text{B} - t_\text{A})^2 - (x_\text{B}-x_\text{A})^2 - (y_\text{B}-y_\text{A})^2 - (z_\text{B}-z_\text{A})^2</math>
ou
:<math>\Delta s^2\, =\, c^2\Delta t^2 - \Delta l^2 \,</math>
expression dans laquelle le facteur <math>c^2</math> ([[vitesse de la lumière]] au carré) s'impose par le biais des [[transformations de Lorentz]] ou des principes de la relativité restreinte, suivant la méthode utilisée pour justifier son invariance par changement de [[référentiel inertiel]].

La ''[[tenseur métrique|pseudo-métrique]]'', notée <math>\ \Delta s</math>, est définie par <math>\ \Delta s^{2} = -c^{2}(\Delta t)^2+(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}+(\Delta z)^{2}</math> ou <math>\ \Delta s^{2} =c^{2}(\Delta t)^{2}-(\Delta x)^{2}-(\Delta y)^{2}-(\Delta z)^{2}</math> suivant la convention de signes <math>(-;+;+;+)</math> ou <math>\ (+;-;-;-)</math> choisie<ref>La convention <math>\ (-;+;+;+)</math> correspond au choix fait dans les textes anglo-saxons ; la convention <math>\ (+;-;-;-)</math> correspond au choix fait dans les célèbres textes pédagogiques de [[Lev Landau]], par exemple. Ce dernier choix est considéré comme « plus physique » par [[Roger Penrose]] car la métrique est positive pour les [[Ligne d'univers|lignes d'univers]] de genre temps, qui sont les seules admises pour des particules massives.</ref>.
<!--Alors que le carré de la distance géométrique euclidienne ne contenait que des signes « + » et se révélait donc toujours positif, l'expression de l'intervalle spatio-temporel contient un signe « - » et peut de ce fait être un nombre positif, négatif ou nul, selon la taille respective de la séparation spatiale ''&Delta;l'' et du terme de séparation temporelle ''c&Delta;t'' des deux événements. Il ne faut pas s'étonner que le ''carré'' <math>\Delta s^2</math> puisse se révéler négatif car cette écriture n'est que formelle et est faite pour souligner que « le ''carré'' de l'intervalle d'espace-temps » a la [[analyse dimensionnelle|dimension]] du carré d'une distance. Par conséquent, la notion de « distance » (nous employons d'ailleurs ici le terme d'intervalle d'espace-temps) n'a plus la signification concrète qu'elle possédait en géométrie non relativiste.-->

== Invariance ==
L'invariance, par changement de [[référentiel inertiel]], du carré de l'intervalle d'espace-temps est une propriété centrale de la [[relativité restreinte]]. Selon la présentation choisie, cette invariance peut être posée comme [[axiome]] fondateur de la théorie, ou déduite directement des axiomes originaux de la relativité<ref>Voir, par exemple, {{Landau}}, tome 2 "théorie des champs", chapitre 1, §2.</ref>, à savoir le [[principe de relativité]] et l'invariance de la [[vitesse de la lumière]] par changement de [[référentiel inertiel]], ou encore déduite des transformations de Lorentz qui transforment les coordonnées lors d'un changement de référentiel inertiel (ces transformations pouvant être déduites des deux principes originaux de la relativité restreinte). Depuis [[Hermann Minkowski]], certaines présentations de la théorie choisissent une des deux premières options, en adoptant un point de vue purement [[géométrie|géométrique]] en dimension quatre (trois d'espace et une de temps)<ref>voir par exemple {{en}} E.F. Taylor, J.A. Wheeler, Spacetime physics, Introduction to special relativity, second edition, Freeman, 1992</ref>. La troisième option correspond mieux au développement historique de la théorie.

{{Boîte déroulante|titre=Une démonstration<ref>Voir {{Landau}} Tome 2, §2</ref> de l'invariance à partir des deux axiomes de la relativité restreinte|contenu=
Les deux axiomes sont : le [[principe de relativité]] et l'invariance de la [[vitesse de la lumière]] par changement de référentiel (inertiel, comme tous les référentiels considérés ici).

*Si, dans un certain référentiel, deux événements sont séparés de la distance spatiale <math>\ \Delta l</math> et de la distance temporelle <math>\ \Delta t</math> de telle sorte que <math>| \Delta l / \Delta t |\, = c</math> la vitesse de la lumière, alors on a : <math>\ \Delta s^2 = c^2\Delta t^2 - \Delta l^2 =0</math>.
:Si les deux mêmes événements sont vus depuis un autre référentiel, alors les distances spatiale et temporelle y sont <math>\ \Delta l'</math> et <math>\ \Delta t'</math>, avec <math>| \Delta l' / \Delta t' |\, = c</math> la vitesse de la lumière, qui a la même valeur dans cet autre référentiel, d'après le deuxième axiome. On en déduit que dans ce référentiel aussi, on a <math>\ \Delta s'^2 = c^2\Delta t'^2 - \Delta l'^2 =0</math>
:Ainsi, si <math>\ \Delta s^2 =0</math> dans un référentiel, il en est de même dans tout autre.
*Dans chaque référentiel et pour tout couple d'événements suffisamment proches, <math>\ \Delta s^2 </math> et <math>\ \Delta s'^2 </math> sont des infiniment petits du même ordre de grandeur car les changements de référentiels sont des fonctions affines à coefficients constants, donc les relations entre les <math>\ \Delta l \; , \Delta t</math>, d'un référentiel à l'autre sont linéaires ou affines. <math>\ \Delta s^2 </math> et <math>\ \Delta s'^2 </math> s'annulent simultanément, donc il existe un nombre <math>a</math> tel que <math>\ \Delta s^2 = a.\Delta s'^2</math>. Ce nombre ne peut pas dépendre de la position relative des deux référentiels car l'espace-temps est supposé [[Homogénéité (cosmologie)|homogène]], donc il ne dépend que de la vitesse relative des deux référentiels. Mais il ne peut pas dépendre de la direction de cette vitesse car l'espace-temps est supposé [[isotrope]]. Ainsi il ne dépend que de la valeur absolue de la vitesse relative, ou encore de son carré : <math>\ a = a(v^2)</math>.
*Considérant trois référentiels, le principe de relativité imposant que les lois y soient les mêmes, on a : <math>\ \Delta s^2 = a(v^2).\Delta s'^2 \, ,</math>  <math>\ \Delta s'^2 = a(v'^2).\Delta s''^2</math> et <math>\ \Delta s^2 = a(v''^2).\Delta s''^2</math>. Ainsi <math>\ a(v''^2) =  a(v^2).a(v'^2)</math>. Or <math>\ v''^2</math> dépend de l'angle entre <math>\ v</math> et <math>\ v'</math>, angle n'intervenant pas dans <math>a(v^2).a(v'^2)</math>. Donc, <math>\ a(v^2)= a</math> est un nombre constant, ne dépendant pas de la vitesse relative des référentiels.
*Comme <math>\ \Delta s^2 = 1.\Delta s^2</math>, on a <math>\ a = 1</math>.

Conclusion : <math>\ \Delta s^2 = \Delta s'^2</math>. Le ''carré'' de l'intervalle d'espace-temps est invariant par changement de référentiel.
}}

{{Boîte déroulante|titre=Une démonstration de l'invariance à partir des transformations de Lorentz écrites sous la forme classique|contenu=
On ramene le problème à deux dimensions pour plus de lisibilité, donc on néglige les détails sur les rotations spatiales.

En considérant deux référentiels <math>\mathbb R</math> et <math>\mathbb R'</math> en translation rectiligne uniforme l'un par rapport à l'autre à la vitesse <math>\ v</math>, les [[transformations de Lorentz]] utilisées sont :

:<math>\,~\left\{ \begin{matrix} c \Delta t' = \gamma \left( c \Delta t - \beta \Delta x \right)\\ \Delta x' = \gamma \left( \Delta x-\beta.c \Delta t \right) \\ \Delta y' = \Delta y \\ \Delta z' = \Delta z \end{matrix} \right. \,~</math> avec <math>\beta = \frac{v}{c}</math> et <math>\gamma = 1/\sqrt{1-\beta^2}</math>,

Par quelques calculs algébriques simples, on montre que l'on a bien <math>c^2\Delta t'^2 - \Delta x'^2 - \Delta y'^2 - \Delta z'^2 = c^2\Delta t^2 - \Delta x^2 - \Delta y^2 - \Delta z^2\,,</math>
}}

{{Boîte déroulante|titre=Une démonstration de l'invariance par les transformations de Lorentz exprimées à l'aide des fonctions hyperboliques|contenu=
Le calcul suivant illustre le rapport étroit entre les [[Relativité restreinte#Les transformations de Lorentz|formules de transformations de Lorentz]] et l'invariance du carré de l'intervalle spatio-temporel et la possibilité de passer d'un formalisme à l'autre.

En géométrie euclidienne, une rotation d'angle ''&theta;'' du système de coordonnées autour de l'axe ''Oz'' laisse invariante la distance entre deux points. Les [[Rotation plane#Formules de changement d'axes de coordonnées|formules de changement d'axes de coordonnées]] correspondant à cette rotation et donnant les nouvelles coordonnées en fonction des anciennes s'écrivent :
:<math>\begin{cases}x'=x\cos\,\theta+y\sin\,\theta\\
y'=-x\sin\,\theta + y\cos\,\theta
\\z'=z \,.
\end{cases}</math>
Par conséquent les différences de coordonnées entre les deux points A et B deviennent
:<math>\begin{cases}\Delta x'=\Delta x\cos\,\theta+\Delta y\sin\,\theta\\
\Delta y'=-\Delta x\sin\,\theta + \Delta y\cos\,\theta
\\\Delta z'=\Delta z \,.\end{cases}</math>
On en déduit
:<math>(\Delta x')^2+(\Delta y')^2+(\Delta z')^2 = (\Delta x\cos\,\theta+\Delta y\sin\,\theta)^2 + (-\Delta x\sin\,\theta + \Delta y\cos\,\theta)^2 + (\Delta z)^2 \equiv (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2\,,</math>
formule montrant bien l'invariance de cette somme des carrés.

En relativité restreinte les transformations de Lorentz permettent de passer du système « fixe » à un système animé d'une vitesse ''v'' le long de l'axe ''Ox''. En utilisant le [[Formulaire de relativité restreinte#Le paramètre angulaire de vitesse|paramètre angulaire]] ''&theta;'' défini par
:<math>\beta=v/c \,,\ \beta \,=\,\tanh\theta</math> &nbsp; soit &nbsp; <math>\theta \,=\, \mathrm{atanh}\beta</math>
les formules de Lorentz s'écrivent comme des formules de rotation d'axes à ceci près que les fonctions trigonométriques sont remplacées par les fonctions hyperboliques. On a les [[Formulaire de relativité restreinte#Les transformations de Lorentz|expressions]] :
:<math>
\begin{cases}
ct'= \ ct\cosh\,\theta - x\sinh\,\theta \\
x' = -ct \sinh\,\theta + x\cosh\,\theta \\
y'=y\\
z'=z
\end{cases}
</math>
Par conséquent si on considère deux événements, les différences de coordonnées se transformeront comme
:<math>
\begin{cases}
c\Delta t'= \ c\Delta t\cosh\,\theta - \Delta x\sinh\,\theta \\
\Delta x' = -c\Delta t \sinh\,\theta + \Delta x\cosh\,\theta \\
\Delta y'=\Delta y\\
\Delta z'=\Delta z
\end{cases}
</math>
On en déduit :
:<math>\,(c.\Delta t')^2 -(\Delta x')^2-(\Delta y')^2-(\Delta z')^2 = (c\Delta t\cosh\,\theta - \Delta x\sinh\,\theta)^2
- ( -c\Delta t \sinh\,\theta + \Delta x\cosh\,\theta )^2 -(\Delta y)^2 - (\Delta z)^2 \,.</math>
[[Fonctions hyperboliques#Propriétés|Comme]]
:<math>\,(\cosh \theta)^2 - (\sinh \theta)^2 = 1</math>
on aboutit bien à la formule d'invariance annoncée
:<math>\,(c.\Delta t')^2 - (\Delta l')^2 = \,(c.\Delta t)^2 - (\Delta l)^2\,.</math>
}}

==Relation entre événements==
Le carré de l'intervalle spatio-temporel entre deux événements peut être de trois types différents :
* genre temps,
* genre espace,
* genre lumière.

Le ''genre'' d'un carré d'intervalle d'espace-temps dépend de son signe, et comme il est invariant par changement de référentiel inertiel, le genre d'un intervalle d'espace-temps sera le même pour tout observateur. Ainsi, on pourra remarquer que si deux événements sont séparés par un carré d'intervalle d'espace-temps de genre temps ou lumière, ils peuvent être liés par un [[causalité (physique)|lien causal]] direct, par contre s'ils sont séparés par un de genre espace, ils ne le peuvent pas, et ceci quel que soit l'observateur et son référentiel inertiel.

=== Genre temps ===
Si l'intervalle temporel ''c&Delta;t'' l'emporte sur la distance spatiale ''&Delta;l'' l'intervalle est dit '''du genre temps''' et l'intervalle d'espace-temps est positif<ref>En [[Analyse dimensionnelle|dimension]] géométrique du [[système d'unités géométriques]] de la [[relativité générale]] l'intervalle ''c&Delta;t'' est dit temporel.</ref> :
:<math>\,\Delta s^2 = c^2\Delta t^2 - \Delta l^2 > 0</math>
Ce cas correspond à la situation où <math>|\Delta l / \Delta t| < c</math> , ce qui signifie que dans le référentiel où les mesures ont été faites, un mobile allant à la vitesse constante <math>|\Delta l / \Delta t| </math> dans la bonne direction peut être à l'endroit exact et au même instant que le premier évènement, puis, après son déplacement, à ceux du deuxième. Par conséquent dans le repère (inertiel) de ce mobile les deux événements se situent au même endroit, mais pas au même moment. Dans ce référentiel particulier, et d'après l'invariance du carré de l'intervalle d'espace-temps, l'écart de temps <math>\Delta \tau</math> séparant les deux événements est appelé le ''[[temps propre]]'' les séparant, et est donné par la formule :
:<math>\Delta s^2 \,=\, c^2 \Delta t^2 - \Delta l^2 ~=~ c^2\Delta \tau^2 - \,0\,, </math>
laquelle montre que le [[temps propre]] <math>\Delta \tau</math> est donné par <math>\Delta \tau = \sqrt{\Delta s^2}/c</math>.

Dans ce cas d'un intervalle de ''genre temps'', les deux événements peuvent être liés par un lien causal : par le biais d'une particule allant assez vite d'un ''événement'' vers l'autre, ou d'une influence véhiculée par de la lumière allant de l'un vers l'autre et dont l'effet déclencherait par la suite le deuxième événement.

Dans la plupart des cas, sur [[Terre]], les situations rencontrées sont de genre temps, puisque les dimensions de notre planète sont réduites (de l'ordre de 10.000km) et que par ailleurs les événements considérés par l'Homme impliquent généralement des durées de l'ordre de la seconde au moins. Cela n'implique pas que tous les évènements ont un lien causal entre eux, mais qu'ils sont physiquement susceptibles d'en avoir.

=== Genre espace ===
Si l'intervalle spatial ''&Delta;l'' l'emporte sur l'intervalle temporel ''c&Delta;t'', l'intervalle est dit '''du genre espace''' et le carré de l'intervalle d'espace-temps est négatif :
:<math>\,\Delta s^2 ~=~  c^2\Delta t^2  - \Delta l^2  < 0\,.</math>
Ce cas correspond à la situation où <math>|\Delta l / \Delta t| > c</math> , ce qui signifie que dans le référentiel où les mesures ont été faites, aucun mobile allant à une vitesse inférieure à celle de la lumière ni aucun signal lumineux ne peut être à l'endroit exact et au même instant que le premier évènement, puis, après son déplacement ou sa propagation, à ceux du deuxième. Il ne peut donc pas y avoir de lien [[causalité (physique)|causal]] entre les deux évènements. On peut montrer qu'alors il existe un référentiel inertiel dans lequel les événements sont simultanés : dans ce référentiel, l'écart de temps entre les deux événements est nul, d'où
:<math>\Delta s^2 \,=\, c^2 \Delta t^2 - \Delta l^2 ~=~ \,0 - \Delta l^2 \, </math>
Ainsi, dans ce référentiel inertiel particulier, l'écart de temps est nul entre les évènements et leur distance spatiale, appelée [[distance propre]], est <math>\Delta l = \sqrt{-\Delta s^2}.</math>

Cette situation correspond à l'[[expérience de pensée]] du [[paradoxe du train]].

=== Genre lumière ===
Si le carré de l'intervalle spatio-temporel est nul, cela veut dire que la lumière parcourt exactement la distance géométrique entre les deux événements pendant le laps de temps séparant ces deux événements.
:<math>\,\Delta s^2 ~=~  c^2\Delta t^2  - \Delta l^2  = 0\,.</math>
Ce cas correspond à la situation où <math>|\Delta l / \Delta t| = c</math> , ce qui signifie que dans le référentiel où les mesures ont été faites, seuls les [[particule élémentaire|particule]]s de [[masse]] nulle, donc allant à la [[vitesse de la lumière]], peuvent joindre les deux évènements. La vitesse de la lumière étant la même dans tous les référentiels inertiels, il en est de même quand ces événements sont vus depuis tout autre référentiel inertiel. Cela laisse encore la possibilité d'un lien causal entre les deux événements, un lien se faisant à la vitesse de la lumière.

Exemple : si l'événement A consiste en l'envoi d'un signal laser depuis la Terre vers la Lune et l'événement B consiste en la réception de ce signal sur la Lune, l'intervalle spatio-temporel entre A et B sera nul puisque la distance ''&Delta;l'' entre Terre et Lune sera justement égale à la distance ''c&Delta;t'' parcourue par la lumière pendant le temps ''&Delta;t''. Dans ce dernier cas on peut dire que l'intervalle est du '''genre lumière'''.

== Ordre temporel et genre ==
[[Image:InversionEvt.svg|thumb|[[Diagramme de Minkowski]] représentant l'inversion temporelle apparente des évènements A et B pour l'observateur O et O'. Pour O, B a lieu avant A, tandis que pour O', en mouvement rapide par rapport à O, c'est A qui se produit avant B.]]

Par principe, les changements de référentiels physiquement réalistes respectent l'orientation de l'axe du temps : on suppose donc que vues d'un référentiel ou d'un autre les aiguilles d'une montre ne changent pas leur sens de rotation, que si une pomme chute de sa branche vu de l'un, alors elle n'y remonte pas vu depuis un autre. S'ils sont séparés par un intervalle de genre temps, tous les observateurs constatent le même ordre temporel entre deux événements (mais avec des écarts temporels différents).

Par contre, dans certains cas l'ordre temporel ''observé'' entre deux évènements peut changer d'un référentiel à l'autre : si les deux évènements sont séparés par un intervalle de genre espace, leur ordre temporel observé peut changer d'un référentiel à l'autre, et il y a aussi des référentiels pour lesquels les deux évènements sont simultanés.

{{Boîte déroulante|titre=Une démonstration de l'invariance de l'ordre temporel observé pour le genre temps|contenu=L'invariance par changement de référentiel de l'ordre temporel entre deux événements séparés par un intervalle de genre temps est en équivalence [[Tautologie (logique)|tautologique]] avec le principe de non-inversion de l'axe du temps par changement de référentiel<ref>Du fait que le temps est un espace mathématique d'une seule dimension, le sens et l'unité du temps sont définissables à partir de deux événements de ''genre temps'' et ''successifs'' quelconques (les positions successives des aiguilles d'une horloge, le début et la fin de la chute d'une pomme, ou ...). Toute durée de temps étant par hypothèse mesurable par cette unité, le non retournement de l'axe du temps est équivalent au non retournement de cette unité orientée, et cela impose le non retournement de toute durée utilisable comme unité orientée du temps, donc du non retournement du temps entre deux événements ''de genre temps'' quelconques.</ref>.

Mais on peut vouloir se convaincre, par quelques considérations mathématiques, que cette invariance est bien une conséquence de ce principe :

Les seuls changements de référentiel que la physique permette respectent l'orientation de l'axe du temps et l'orientation des repères tridimensionnels (l'orientation unanimement admise étant celle de la [[Règle de la main droite#Repère direct|main droite]]), ce sont aussi les changements ''continus'' à partir du référentiel initial, et sont appelés ''transformations propres et orthochrones''.

Considérons un couple d'événements du genre temps tel que l'intervalle &Delta;''t'' de A vers F soit positif (''t''(F) est plus grand que ''t''(A), ou F est postérieur à A). Pour que cet intervalle change de signe (F devenant antérieur à A) il faudrait qu'il traverse la valeur nulle, ce qui est impossible. En effet le carré &Delta;''t''{{2}} de l'intervalle temporel est égal à la somme de deux carrés selon la formule :<br />
<math>c^2\, \Delta t^2\,=\,\Delta s^2 + \Delta l^2</math>,
où le premier terme du second membre est strictement positif (et invariant par changement de référentiel) et le second terme, carré d'une distance euclidienne, est positif ou nul. Par conséquent ce carré &Delta;''t''{{2}} ne peut pas s'annuler. Il en est de même de l'intervalle temporel &Delta;''t'' lui-même, lequel, ne pouvant pas s'annuler, ne peut pas changer continûment de signe. Ainsi, si A précède F pour un certain observateur, il en sera toujours de même pour tout observateur physiquement admissible. Si A était antérieur à F, F ne peut pas ''agir'' sur A en devenant lui-même antérieur à A.
}}

{{Boîte déroulante|titre=Une démonstration que l'ordre temporel observé peut être inversé pour le genre espace|contenu=
Étant donné deux événements A et B tels que dans le référentiel <math>(R)</math> de l'observateur <math>\ \Delta t = t_B-t_A >0 </math>, et en supposant <math>\ \Delta x = x_B-x_A  >0 </math> avec un bon choix de l'axe <math>\ x</math>.

Considérons un référentiel <math>(R')</math> en translation par rapport au repère (R), à la vitesse <math>\vec{v}=u\,\vec{e}_x</math> le long de l'axe des x, avec <math>0<u<c</math>.

D'après les [[transformations de Lorentz]], la durée entre les deux événements, vue du référentiel <math>(R')</math> vaut :<br />
<math>\Delta t'=\gamma(\Delta t-\frac{u.\Delta x}{c^2})\, ,</math> avec : <math>\, \gamma= \left( 1 - u^2/c^2 \right)^{-1/2} > 0</math>.<br />
<math>\Delta t</math> étant positif, que dire du cas <math>\Delta t'</math> négatif ?<br />
<math>\Delta t'<0 \Longleftrightarrow \Delta t\,<\,\frac{u}{c^2}\Delta x \Longleftrightarrow  \frac{c^2}{u}<\frac{\Delta x}{\Delta t}\;. </math><br />
Or : <math>0<u<c \Longleftrightarrow c< \frac{c^2}{u}</math>.<br />
D'où : <math>\Delta t'<0 \Longleftrightarrow  \Delta t\,<\,\frac{u}{c^2}\Delta x \Longleftrightarrow  \frac{c^2}{u}<\frac{\Delta x}{\Delta t} \Rightarrow c<\frac{\Delta x}{\Delta t} \Longleftrightarrow c^2.\Delta t^2-\Delta x^2<0</math>, d'où les deux événements sont séparés par un intervalle de genre espace.<br />
Une flèche à sens unique <math>\Rightarrow </math> bloque la réciproque, mais on a : <math>c<\frac{\Delta x}{\Delta t} \Rightarrow </math> il existe un nombre positif <math>\epsilon<1</math> tel que <math>c<\epsilon . \frac{\Delta x}{\Delta t}<\frac{\Delta x}{\Delta t} </math>. En posant <math>\ u=c.\epsilon < c</math>, on obtient <math>\frac{c^2}{u}<\frac{\Delta x}{\Delta t}</math> et on peut toujours construire un référentiel <math>(R')</math> en translation à la vitesse <math>\vec{v}=u\,\vec{e}_x</math> pour lequel <math>\ \Delta t'<0</math>.

On remarque que de cette manière on peut aussi déterminer un référentiel pour lequel les deux événements sont simultanés.
}}

== Le cône de lumière ==
{{loupe|cône de lumière}}
[[Image:Conelumiere.png|vignette|Le cône de lumière de l'événement A définit une partition de l'espace-temps permettant en particulier de distinguer le passé du futur de façon absolue.]]
Si on se fixe un événement O particulier comme objet d'étude, on peut partager l'espace-temps en régions regroupant les événements qui sont séparés de O par un intervalle d'espace-temps de genre temps, ceux qui sont séparés de O par un genre lumière et ceux qui sont séparés de O par un genre espace. Cette partition de l'espace-temps à quatre dimensions se fait sous la forme d'un cône à trois dimensions : l'intérieur correspond au premier cas, le bord au deuxième et l'extérieur au troisième. Ces régions correspondent aux différentes possibilités de lien causal avec l'événement O.

Bien entendu, chaque événement possède son propre cône de lumière.

La difficulté de représentation tient en ce que quatre coordonnées, une de temps et trois d'espace, sont nécessaires pour caractériser un événement et qu'il est impossible de figurer un point à quatre coordonnées dans notre espace à trois dimensions. Pour le graphique, on réduit donc le nombre de dimensions spatiales à 2.

== Métrique ==
L'espace-temps de la relativité restreinte est doté par le carré de l'intervalle d'espace-temps d'une sorte de distance qui est invariante par changement de référentiel. Vu de cette manière, l'intervalle d'espace-temps peut être considéré comme une ''[[tenseur métrique|métrique]]'' de l'espace, à partir de laquelle se démontrent nombre de propriétés mathématiques de l'espace et de la théorie relativiste.

Lorsque les deux événements A et B entre lesquels on calcule le carré de l'intervalle d'espace-temps sont très voisins, leurs coordonnées ne différent donc que par les quantités infinitésimales <math>\scriptstyle (dx^\mu)\,=\, (c\, dt, dx, dy, dz)</math>. Cette considération est superflue en relativité restreinte dont l'espace est [[espace affine|affine]], mais est indispensable en relativité générale dont l'espace est une [[Variété différentielle|variété]] ''[[courbure|courbe]]''<ref>Dans cette théorie, la [[courbure]] est l'expression géométrique de la [[gravitation]].</ref> où les <math>\scriptstyle (\Delta x^\mu)\,</math> ne peuvent être définis avec rigueur, mais où les éléments infinitésimaux <math>(dx^\mu)</math> sont définissables et appartiennent à l'[[espace tangent]].

En relativité restreinte, le carré de l'intervalle ''infinitésimal'' d'espace-temps s'écrit alors : <math>\,ds^2 = c^2dt^2 -dx^2 -dy^2 -dz^2</math>.

La métrique de la relativité générale est définissable à partir de celle de la relativité restreinte, en tenant compte du [[principe d'équivalence]] et du [[principe de relativité]] généralisé à tous les référentiels, et c'est un élément de base (d'un point de vue mathématique) pour la construction de cette théorie. Elle permet la définition de l'élément infinitésimal du carré de l'intervalle d'espace-temps dans cette théorie.

En relativité générale, la formule du carré de l'intervalle ''infinitésimal'' d'espace-temps est <math>ds^2 = \sum_{\mu=0}^3 \sum_{\nu=0}^3 g_{\mu\nu}\ {\rm d}x^\mu\ {\rm d}x^\nu  </math>, où les coefficients de la métrique, <math>g_{\mu\nu}</math>, varient d'un point à l'autre de l'espace-temps, en fonction de la [[courbure]] de l'espace.

On écrit aussi, avec la [[convention d'Einstein]] pour les sommations : <math>ds^2 = g_{\mu\nu}\ {\rm d}x^\mu\ {\rm d}x^\nu </math>.

Mais cette définition à partir d'éléments infinitésimaux et la courbure de l'espace-temps rendent délicate la justification de propriétés similaires à celles exposées dans les paragraphes ci-dessus, mis à part localement<ref>L'[[univers de Gödel]] est un exemple de théorie compatible avec la relativité générale et où des propriétés de la relativité restreinte ne sont valables que localement : par exemple la distinction entre le passé et le futur.</ref>. {{référence nécessaire|Toutefois, à partir d'un événement O, on peut toujours faire la partition de l'espace-temps dans son ensemble en événements liés à O par une [[géodésique]] de genre temps, lumière ou espace (le genre correspondant au signe constant de <math>ds^2</math> le long de la géodésique).}}

== Cas de l'invariance comme hypothèse ==
Si l'invariance du carré de l'intervalle d'espace-temps, par changement de référentiel, est posée comme hypothèse initiale dans la théorie de la relativité, les déductions qui en sont faites sont alors mathématiquement cohérentes avec la théorie, mais certaines doivent être écartées pour des raisons physiques.

=== En relativité restreinte ===
Identifier l'espace physique à un espace mathématique à quatre dimensions doté d'une semblable distance (on dit aussi [[Tenseur métrique#Pseudo-métrique|pseudo-norme]]) amène à identifier les [[repère]]s de l'[[espace affine]] à quatre dimensions et les [[référentiel inertiel|référentiels inertiels]] de la physique, et en cherchant tous les changements de repère ayant la propriété de laisser invariant l'intervalle d'espace-temps, on en trouve qui, tout en étant cohérents avec les mathématiques de la théorie relativiste, ne peuvent être retenus comme des changements de référentiel physiquement réalistes car ils ne respectent pas la convention d'orientation des repères tridimensionnels (l'orientation unanimement admise étant celle de la [[Règle de la main droite#Repère direct|main droite]]) ou celle de l'orientation de l'axe du temps (vers ''le futur'')<ref>La conservation de ces orientations comme raison de cette sélection est présentée au chapitre 1, §1.3 de {{en}} ''The geometry of Minkowski Spacetime'' par Gregory L. Naber, Springer-Verlag {{ISBN|3540978488}}, 1992.</ref>.

Les transformations qui préservent les orientations de l'espace et du temps sont les [[transformations de Lorentz]] établies dès l'origine par Lorentz, et sont appelées, dans le cadre de cette problématique, ''transformations de Lorentz propres et orthochrones''.
Les autres transformations ne sont pas utilisées en physique relativiste mais le sont en [[physique quantique]] relativiste pour exploiter les symétries mathématiques des équations. Par exemple, la [[symétrie T]] et la [[symétrie P|parité]] sont interprétées comme de simples changements de convention des orientations des axes de coordonnées spatiales et temporelle. Ainsi, la symétrie P change-t-elle la convention du choix des référentiels par la [[Règle de la main droite#Repère direct|main droite]] en convention du choix par la main gauche.

=== En relativité générale ===
En [[relativité générale]], l'espace-temps étant essentiellement structuré par l'algèbre, il faut prendre garde à écarter les hypothèses ou résultats mathématiquement corrects mais physiquement irréalistes. Cela est vrai en particulier pour le carré de l'intervalle d'espace-temps <math>\textstyle ds^2 = g_{\mu\nu}\ {\rm d}x^\mu\ {\rm d}x^\nu </math> qui est un élément fondateur de la théorie (du point de vue mathématique) du fait de son invariance par changement de référentiel et de son lien avec la gravitation (qui est une manifestation de la courbure). Déjà, les <math> g_{\mu\nu} </math> forment une [[Matrice (mathématiques)|matrice]] qui doit avoir un [[Déterminant (mathématiques)|déterminant]] négatif pour avoir un sens physique<ref>Ce qui est dû au fait que cette matrice est diagonalisable et que sa forme diagonale doit correspondre à la matrice d'une [[tenseur métrique|métrique]] équivalente à [[Métrique de Minkowski|celle de Minkowski]].</ref>.

Ainsi, dans un référentiel ''réaliste''<ref>Le réalisme d'un référentiel pouvant être compris comme : il existe un observateur pour lequel une coordonnée donne le temps mesuré et trois donnent l'espace, avec les orientations valables déjà en relativité restreinte.</ref> pour un observateur, si la coordonnée <math>x_0</math> correspond à la mesure du temps et les coordonnées <math>x_1 ;x_2 ;x_3</math> correspondent à un référentiel spatial quelconque, les termes <math> g_{\mu\nu}</math><ref>qui forment ce que l'on appelle le ''[[tenseur métrique]]'' et qui reflètent la courbure de l'espace-temps</ref> doivent vérifier <math> g_{00} > 0</math>, ainsi que <math> g_{kk} < 0</math> pour k=1, 2, 3 (bref : la signature doit rester inchangée par rapport à celle de la métrique de Minkowski)<ref>{{Landau}}, Tome 2 "Théorie des champs", §82 à §84</ref>. <!--Ces exigences viennent essentiellement du [[principe d'équivalence]] et du [[principe de correspondance]] liant la relativité restreinte et la relativité générale.-->

Toutefois, pour déterminer des propriétés de l'espace-temps, les [[mathématiques]] de la relativité générale autorisent l'utilisation de n'importe quel système de référence dans cet espace à quatre dimensions, sans l'obligation de se préoccuper de ''réalisme''<ref>Un exemple de référentiel non ''réaliste'' s'obtient en remplaçant la coordonnée temporelle par une coordonnée suivant une géodésique de genre lumière.</ref> et dans ce cas les coefficients <math> g_{\mu\nu} </math> ne sont pas soumis à ces contraintes.

== Notes et références ==
{{références}}

== Voir aussi ==
* [[Tenseur métrique]]
* [[Temps propre]]
* [[Paradoxe du train]]
* [[Paradoxe des jumeaux]]

{{Palette|Relativité}}
{{Portail|physique}}

[[Catégorie:Physique théorique]]
[[Catégorie:Relativité|*]]