Voir la source de Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques

{{titre en italique}}

[[Fichier:Gabriel Cramer- Introduction a l’analyse de lignes courbes algébriques - front page.jpeg|alt=Page de titre de l’''Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques'' de Gabriel Cramer (publié à Genève en 1750)|vignette|Page de titre de l’''Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques'' de [[Gabriel Cramer]] (publié à [[Genève]] en [[1750 en science|1750]])]]

L’'''''Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques''''' est un livre de géométrie écrit par [[Gabriel Cramer]] et publié en [[1750 en science|1750]] à [[Genève]] par les imprimeurs-libraires Frères Cramer{{note|texte=Ces frères Cramer sont des cousins de l'auteur, l'un d'entre eux étant même un homonyme, [[Gabriel Cramer (éditeur)]], connu pour avoir été l'éditeur de [[Voltaire]] à Genève.|groupe=note}} et Claude Philibert. Il traite de l'étude des [[Courbe algébrique|courbes algébriques planes]] des différents ordres par le seul moyen de l'[[algèbre]], sans recours au [[Calcul différentiel et intégral|calcul différentiel]], et ambitionne d'établir une classification des courbes algébriques des cinq premiers ordres.

Il est resté célèbre essentiellement pour ses annexes, qui présentent les formules permettant de calculer ce que l'on appellerait aujourd'hui les solutions d'un [[système d'équations linéaires]] à une inconnue par la méthode des [[Déterminant (mathématiques)|déterminants]], plus connues aujourd'hui sous le nom de [[règle de Cramer]].

== Contexte historique ==
La publication de cet important ouvrage vient clore plus d'un siècle de recherches sur une possible classification des courbes algébriques planes, entamées après la parution de ''[[La Géométrie (Descartes)|La Géométrie]]'' de [[René Descartes]] en 1637. Dès la fin des années 1660, [[Isaac Newton]] travaille à la classification des courbes du troisième ordre, mais ne publie ses résultats qu'en 1704, dans un court mémoire intitulé ''Enumeratio linearum tertii ordinis'' placé en annexe de son ''[[Opticks]]''. La classification de [[Isaac Newton|Newton]] se base sur une généralisation des définitions et propriétés habituellement utilisées pour les [[Conique|coniques]] aux courbes du troisième ordre ; après avoir réduit l'[[équation]] générale des courbes du troisième ordre à quatre cas différents, il énumère et nomme 72 espèces en se basant sur le nombre et la nature des racines du second membre commun à ces quatre équations.

Comme souvent, [[Isaac Newton|Newton]] publie ses résultats sans démonstration, ce qui oblige ses successeurs à reconstituer les méthodes utilisées pour obtenir ces résultats, et qui fera dire à [[Gabriel Cramer]] en préface de son propre ouvrage : {{Citation|Il est facheux que Mr. NEWTON se soit contenté d’étaler ses découvertes sans y joindre les Démonstrations, & qu’il ait préféré le plaisir de se faire admirer à celui d’instruire}}<ref>{{Ouvrage|langue=fr|auteur1=Gabriel Cramer|titre=Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques|lieu=Genève|éditeur=Frères Cramer et Cl. Philibert|année=1750|passage=p. viii-ix|lire en ligne=https://www.e-rara.ch/zut/content/titleinfo/1233318}}</ref>. Le livre du Genevois s'inscrit ainsi dans une tradition d'explicitation des méthodes newtoniennes pour l'étude des courbes, qui permettra à plusieurs auteurs de proposer des ouvrages et des mémoires relatifs à ce sujet pendant toute la première moitié du {{S|XVIII}} : ainsi, des ''Lineæ tertii ordinis Neutonianæ, sive Illustratio tractatus D. Neutoni De enumeratione linearum tertii ordinis'' de [[James Stirling (mathématicien)|James Stirling]] publié à Oxford en 1717 (qui ajoute 2 espèces à la liste de Newton), du ''Traité des lignes du troisième ordre, ou courbes du second genre'' de [[François Nicole (mathématicien)|François Nicole]] (qui en découvre une de plus) et de l'''Examen des lignes du quatrième ordre, ou courbes du troisième genre'' de l'abbé [[Christophe-Bernard de Bragelongne]], tous deux publiés dans les Mémoires de l'[[Académie des sciences (France)|Académie royale des sciences de Paris]] au début des années 1730, ou encore des ''Usages de l’Analyse de Descartes pour découvrir, sans le secours du Calcul Differentiel, les Proprietés, ou Affections principales des Lignes Géométriques de tous les Ordres'', de [[Jean-Paul de Gua de Malves]], publié à Paris en 1740.

[[Fichier:Gabriel Cramer.jpg|alt=Portrait de Gabriel Cramer, attribué à Robert Gardelle|vignette|Portrait de [[Gabriel Cramer]], attribué à [[Robert Gardelle]]]]

Tous ces auteurs sont cités dans la préface de l’''Introduction'' de Cramer pour leurs différents apports, aux côtés de quelques autres (notamment [[Brook Taylor]] et [[Willem Jacob 's Gravesande]] pour l'utilisation du ''parallélogramme analytique'' de Newton et de la méthode des séries). Il faut noter qu'un autre ouvrage traitant du même sujet, quoiqu'en utilisant des méthodes sensiblement différentes, est publié deux ans avant celui de Cramer : il s'agit de l’''[[Introductio in analysin infinitorum]]'' de [[Leonhard Euler]] (plus particulièrement le second volume) publié en 1748 à Lausanne, qui connaîtra également un très grand succès. À ce propos, [[Gabriel Cramer|Cramer]] écrit{{Note|texte=Ibid, p. xi.}} :
{{Citation bloc|J'aurois tiré une grande utilité de l'Introduction à l'Analyse des infiniment petits de Mr. EULER, si ce Livre m'avoit été plus tôt connu. Son objet étant presque le même que le mien, il n’est pas surprenant que nous nous soions souvent rencontrés dans les Conclusions. Mais la différence des Méthodes est aussi grande qu’elle peut l’être quand on travaille sur un même sujet : ce que je ne dis point pour préférer la route que j’ai prise à celle qu’a tenu Mr. EULER ; mais seulement pour avertir le Lecteur de cette diversité.}}Le Genevois connaissait bien les travaux de [[Leonhard Euler]], ce dernier l'ayant même sollicité pour superviser l'édition de son ouvrage qu'il avait confiée à [[Marc-Michel Bousquet]] à Lausanne en 1743, proposition déclinée par [[Gabriel Cramer|Cramer]] mais initiant une correspondance scientifique nourrie entre les deux hommes. Le sujet des courbes algébriques y est d'ailleurs abordé à de nombreuses reprises, on y trouve notamment des échanges intéressants à propos de l'existence des [[Point de rebroussement|points de rebroussement]] de la seconde espèce, que [[Gabriel Cramer]] intégrera dans son ouvrage après avoir été convaincu par les arguments d'[[Leonhard Euler|Euler]]<ref>Voir le détail de cette question des points de rebroussement de la seconde espèce dans {{Ouvrage|langue=fr|auteur1=Siegfried Bodenmann|auteur2=Vanja Hug|auteur3=Mirjana Ilic|auteur4=Andreas Kleinert|titre=Correspondance de Leonhard Euler avec L. Bertrand, Ch. Bonnet, M; M. Bousquet, J. de Castillon, G. Cramer, Ph. Cramer, G. Cuenz, A. Von Haller, G.L. Lesage, J.M. von Loen et J.K. Wettstein|lieu=Bâle|éditeur=Birkhäuser|collection=Leonhardi Euleri Opera Omnia|série=Quarta A Commercium epistolicum|numéro dans collection=VII|année=|passage=p. 167-170|isbn=}}. et également dans : {{Article|langue=fr|auteur1=Thierry Joffredo|titre=Entre algèbre et géométrie : la question des points de serpentement et de rebroussement dans la correspondance de Gabriel Cramer avec Euler et D’Alembert|périodique=Circé. Histoire, savoirs,société.|date=2016|issn=|lire en ligne=http://www.revue-circe.uvsq.fr/entre-algebre-et-geometrie-la-question-des-points-de-serpentement-et-de-rebroussement-dans-la-correspondance-de-gabriel-cramer-avec-euler-et-dalembert/|consulté le=8 avril 2019|pages=}}</ref>. Cette correspondance nous apprend également, ce qui est confirmé par d'autres sources épistolaires, que la rédaction de l’''Introduction'' a débuté en 1740, et que le projet éditorial initial du Genevois a subi beaucoup d'évolutions dans les dix ans qui ont suivi, jusqu'à sa publication lors de l'été 1750 à Genève.

[[Gabriel Cramer]] propose donc, avec cet ouvrage, une véritable somme du savoir de son temps sur l'étude des courbes algébriques, augmentée de deux annexes présentant des résultats algébriques qui feront date, la première donnant les formules pour résoudre simultanément plusieurs équations linéaires du premier degré comportant autant d'inconnues ([[Règle de Cramer]]), et la seconde ambitionnant de donner une démonstration rigoureuse du théorème donnant le nombre de points d'intersection de deux courbes algébriques, qui est aujourd'hui connu sous le nom de [[théorème de Bézout]].

== Plan et contenus de l'ouvrage ==
Le livre, qui n'a connu qu'une seule édition [[in-quarto]], contient une préface de 29 pages (numérotées de v à xxiii), suivie de 680 pages de texte et 33 planches de figures, régulièrement insérées dans le corps de l'ouvrage, et se termine par 12 pages présentant l'index et les errata. 

Dans sa préface, [[Gabriel Cramer]] inscrit son traité dans une perspective historique, des courbes étudiées par les Anciens à l’''[[Introductio in analysin infinitorum]]'' de [[Leonhard Euler]], en passant par ''[[La Géométrie (Descartes)|La Géométrie]]'' de [[René Descartes]] et l’''Enumeratio'' d'[[Isaac Newton]]. Il y fait l'apologie des méthodes nouvelles (algèbre et analyse), en réaction à un usage encore très répandu des [[Géométrie synthétique|méthodes géométriques synthétiques]], et précise que {{Citation|l’Algèbre seule fournit le moyen de distribuer les Courbes en Classes, Genres & Espéces : ce qui, comme dans un Arsenal où les armes sont bien rangées, met en état de choisir, sans hésiter, celles qui peuvent servir dans la Résolution d’un Problème proposé}} (p. vii). Il y fait également état des objectifs pédagogiques de cet ouvrage{{Note|texte=Professeur de mathématiques à l'Académie de Genève, Cramer s'est toujours montré soucieux de rendre accessibles à ses étudiants les savoirs qu'il enseignait.|groupe=note}}, en concluant sa préface de la manière suivante (p. xxiii) :
{{Citation bloc|J’ai tant de graces à leur demander, que je ne leur ferai point d’excuses, ni sur le style, où je n’ai cherché que la clarté ; ni sur certains détails, que j’ai crû nécessaires aux jeunes Géométres en faveur desquels j’écris ; ni sur la longueur de cet Ouvrage, dont je suis moi-même surpris. Elle vient principalement du nombre d’Exemples que j’aporte pour illustrer les Règles que je donne. Je sens fort bien que les Savans en voudroient moins, mais en échange les Commençans en désireroient peut-être davantage. Je puis dire aux uns, que je ne crois pas avoir placé un seul Exemple sans quelque raison particuliére ; & j’ose assurer les autres que je ne pense pas qu’ils trouvent dans les Règles aucune difficulté qui ne soit éclaircie par quelque Exemple.}}

[[Fichier:Gabriel Cramer- Introduction a l’analyse de lignes courbes algébriques - page 657.png|alt=Appendice I de l'Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques de Gabriel Cramer (p. 657)|droite|vignette|Appendice I de l’''Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques'' de G. Cramer (p. 657) ]]L'ouvrage se décompose ensuite en treize chapitres (en conservant l'orthographe et la graphie originelle) :

* Chapitre I : De la Nature des Lignes Courbes en général, & de leurs Équations.
* Chapitre II : Des transformations que subit l’Équation d’une Courbe, quand on la rapporte à d’autres coordonnées.
* Chapitre III : Des différens Ordres des Lignes algébriques.
* Chapitre IV : Quelques Remarques sur la construction géométrique des Égalités.
* Chapitre V : Valeur du Produit de toutes les Ordonnées d’une même Abscisse.
* Chapitre VI : Des Diamètres, Contre-Diamètres, & Centres des Lignes Courbes.
* Chapitre VII : Détermination des plus grands termes d’une Équation. Principes de la Méthodes des Séries, ou Suites infinies.
* Chapitre VIII : Des Branches infinies des Courbes.
* Chapitre IX : Divisions générales des Lignes des cinq premiers Ordres.
* Chapitre X : Des Points singuliers ; Points multiples, Points d’Inflexion & de Serpentement.
* Chapitre XI : De la Méthode des Tangentes. Des Points d’Inflexion, &c. Des plus grandes & des plus petites abscisses & ordonnées, &c.
* Chapitre XII : De la Courbure des Lignes Courbes en leurs différens Points.
* Chapitre XIII : Des différentes espèces de Points multiples dont peuvent être susceptibles les Courbes des six premiers Ordres.

Les deux premiers chapitres permettent à l'auteur de définir les notions fondamentales : les différentes sortes de courbes (planes ou à double courbure, algébriques ou géométriques, transcendantes ou algébriques, exponentielles, interscendantes{{Note|texte=Les courbes exponentielles sont définies comme les courbes dont l'équation fait apparaître des exposants variables, les courbes interscendantes comme celles dont l'équation contient des exposants irrationnels (p. 8).|groupe=note}}), les équations d'une courbe algébrique puis, après avoir énoncé qu'il est laissé invariant par les changements de coordonnées, l'ordre d'une courbe algébrique (comme degré commun de ses équations). Le troisième chapitre lui donne l'occasion d'introduire le ''parallélogramme analytique de Newton'', dont il adopte, à la suite de [[Jean-Paul de Gua de Malves]], une variante qu'il nomme ''triangle analytique''. Ce triangle algébrique lui permet de démontrer que l'équation générale d'une courbe algébrique d'ordre <math>n</math> contient <math display="inline">\frac{n(n+3)}{2}</math>termes et donc que la donnée, dans le cas général, de <math display="inline">\frac{n(n+3)}{2}</math> points distincts permet de définir l'équation de la courbe passant par ces points (p. 58). C'est alors que, dans une note de bas de page, [[Gabriel Cramer]] indique qu'il a {{Citation|trouvé une Régle assez commode & générale, lorsqu'on a un nombre quelconque d'équations & d'inconnuës dont aucune ne passe le premier degré}} pour résoudre le système d'équations obtenu (p. 60) et renvoie le lecteur vers l'annexe I. Il travaille également dans ce chapitre la question du nombre de points d'intersection de deux courbes algébriques d'ordres <math>m</math> et <math>n</math> dont il énonce que ce nombre est égal, au plus, au produit <math>m\times n</math> de leurs ordres (p. 76). Il souligne que ce résultat a déjà été annoncé par [[Colin Maclaurin]], mais sans que ce dernier ait publié de démonstration, et renvoie le lecteur vers l'annexe II pour prendre connaissance de sa propre démonstration{{Note|texte=La démonstration rigoureuse de ce théorème est due à [[Étienne Bézout]] dans les années 1760, ce qui fait qu'il est aujourd'hui connu sous le nom de [[Théorème de Bézout]].|groupe=note}}. [[Gabriel Cramer]] conclut ce quatrième chapitre en mentionnant une {{Citation|contradiction apparente}} entre ces deux résultats (p. 78-79), remarquant que deux courbes d'ordre 3 se coupent (en général) en neuf points, alors qu'il suffit ''a priori'' de neuf points pour définir une courbe d'ordre 3 : c'est le paradoxe connu aujourd'hui sous le nom de [[paradoxe de Cramer]], partiellement expliqué par [[Leonhard Euler]] dans leur correspondance, et définitivement éclairci par [[Julius Plücker]] en 1828.

Le quatrième chapitre inscrit le travail de [[Gabriel Cramer]] dans la tradition cartésienne de la construction des équations : il s'agit de proposer une construction à la règle et au compas permettant d'obtenir des segments dont les longueurs sont égales aux racines d’une équation donnée, en utilisant pour cela deux courbes algébriques bien choisies, dont les abscisses des points d’intersection sont les racines recherchées.

Le cinquième chapitre expose la démonstration d'un théorème difficile généralisant, pour des courbes d'ordres quelconques, des relations métriques déjà bien connues dans le cas des [[Conique|coniques]], qui lui permettent, dans le sixième chapitre, d'étendre les définitions de [[diamètre]], contre-diamètre{{Note|texte=La notion de contre-diamètre, empruntée aux travaux de [[Christophe-Bernard de Bragelongne]], proche de celle de centre de symétrie d'une courbe, ne connaîtra pas une grande postérité.|groupe=note}} et de centre aux courbes d'ordres supérieurs.

Le septième chapitre est tout à fait central et essentiel dans le traité des courbes de [[Gabriel Cramer]] : après avoir indiqué au lecteur comment circuler dans les différents ordres d'infinis, il mobilise le ''triangle analytique'', défini dans le quatrième chapitre, pour donner une méthode permettant de déterminer les termes prépondérants d'une équation d'une courbe à l'origine ou à l'infini. C'est sur ce dispositif que l'auteur s'appuie pour déterminer les branches infinies (hyperboliques ou [[Branche parabolique|paraboliques]]) et les [[Asymptote|asymptotes]] des courbes dans un long huitième chapitre (136 pages !), qui constitue la base de la classification des courbes des cinq premiers ordres présentée dans le neuvième chapitre. Cette classification s'appuie sur le nombre et sur la nature des branches infinies des courbes : commençant par le second ordre, il retombe naturellement sur les résultats déjà connus sur la classification des [[Conique|coniques]], puis il poursuit avec les courbes du troisième ordre, retrouvant ainsi les 78 déjà espèces énumérées par [[Isaac Newton]] et ses successeurs, distribuées en 4 classes et 14 genres. Il s'attaque ensuite aux courbes du quatrième ordre, ce qui débouche sur une division en 9 classes et 58 genres différents. Le travail sur les courbes du cinquième ordre n'est qu'esquissé, mais il annonce tout de même une division en 11 classes.

Dans le dixième chapitre, [[Gabriel Cramer]] étudie les [[Point singulier d'une courbe|points singuliers]] des courbes, qu'il définit [[Tautologie|tautologiquement]] comme des {{Citation|Points qui se distinguent des autres Points de la même Courbe par quelque chose de particulier}} (p. 400). Il s'agit des points multiples, des [[Point d'inflexion|points d'inflexion]] et des points de serpentement, qu'il étudie si besoin à l'aide de développements en [[Série (mathématiques)|série]] obtenus grâce au triangle analytique. Ces points singuliers doivent permettre de subdiviser les ''genres'' obtenus au chapitre précédent en ''espèces''. Les onzième et douzième chapitres donnent les méthodes pour étudier les [[Tangente (géométrie)|tangentes]], les [[Extremum|extrema]] et la [[courbure]] des courbes algébriques. Enfin, le treizième chapitre revient sur une étude détaillée des points multiples d'une courbe algébrique, ce qui permet à l'auteur de donner toute leur place aux [[Point de rebroussement|points de rebroussement]] de la seconde espèce dont il avait été tant question dans sa correspondance avec [[Leonhard Euler]] dans les années 1744-1746.

Pour finir, les appendices situés en fin d'ouvrage ne sont pas les parties les moins intéressantes de l'ouvrage. Le premier expose ce qui est aujourd'hui connu comme la [[Règle de Cramer]], préfigurant la notion de [[Déterminant (mathématiques)|déterminant]] d'un système linéaire d'équations, qui ne sera cependant définie qu'au siècle suivant. Le second, nous l'avons vu, est une tentative remarquée de démonstration du théorème aujourd'hui connu sous le nom de [[théorème de Bézout]] sur le nombre de points d'intersection de deux courbes algébriques, à l'origine de travaux ultérieurs sur la [[théorie de l'élimination]].

== Réception de l'ouvrage ==
Les premières réactions des contemporains de [[Gabriel Cramer]] à la lecture de son traité des courbes sont élogieuses. Ainsi, [[Leonhard Euler]] écrit-il le {{date-|15 octobre 1750}}, après avoir reçu l'exemplaire envoyé par son correspondant genevois : {{Citation|je Vous felicite d’avoir enrichi le public d’un ouvrage accompli sur cette matiere, qui etant delivré de tout defaut explique la theorie des lignes courbes aussi solidement que clairement. J’ai surtout admiré Vos appendices, qui renferment de très importans éclaircissemens pour l’algebre, à laquelle il manque encore, tout comme Vous le remarques quantité de choses : où il faut sans doute raporter l’elimination des inconnues}}{{Note|texte=Lettre de Leonhard Euler à Gabriel Cramer, Berlin, 15 octobre 1750, publiée dans {{Ouvrage|langue=fr|auteur1=Siegfried Bodenmann|auteur2=Vanja Hug|auteur3=Mirjana Ilic|auteur4=Andreas Kleinert|titre=Correspondance de Leonhard Euler avec L. Bertrand, Ch. Bonnet, M; M. Bousquet, J. de Castillon, G. Cramer, Ph. Cramer, G. Cuenz, A. Von Haller, G.L. Lesage, J.M. von Loen et J.K. Wettstein|lieu=Bâle|éditeur=Birkhäuser|collection=Leonhardi Euleri Opera Omnia|série=Quarta A Commercium epistolicum|numéro dans collection=VII|année=|passage=p. 245|isbn=}} }}. 

[[Jean Le Rond d'Alembert]], qui est en correspondance avec le Genevois depuis son séjour parisien de 1747-48, se montre un lecteur très attentif de l’''Introduction'' : il engage un dialogue avec l'auteur dès la fin {{date-|septembre 1750}}, lui demandant des précisions sur divers points de l'ouvrage. L'échange se termine en {{date-|janvier 1751}} sur ces mots de [[Jean Le Rond d'Alembert|D'Alembert]], qui est alors depuis quatre ans déjà à l'œuvre sur l'[[Encyclopédie ou Dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers|Encyclopédie]] (dont le premier volume paraîtra quelques mois plus tard) : {{Citation|A l’egard de votre ouvrage sur les courbes je persiste toujours dans l’idée que j’en ay, et je viens d’ajouter à l’article courbe de l’Encyclopedie le jugement que j’en porte}}<ref>{{Ouvrage|langue=fr|auteur1=Irène Passeron|responsabilité1=éditeur|et al.=oui|titre=Correspondance générale 1741-1752|lieu=Paris|éditeur=[[CNRS Éditions]]|collection=Œuvres complètes de D'Alembert|série=V|numéro dans collection=2|année=2015|passage=p. 313|isbn=}}</ref>. Et, en effet, le traité des courbes de [[Gabriel Cramer]] est cité dans une dizaine d'articles de l'[[Encyclopédie ou Dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers|Encyclopédie]], dont l'article COURBE (ou plus exactement l'entrée {{Smallcaps|Courbe polygone}}) qui le positionne dans les ouvrages de référence sur les courbes algébriques<ref>{{Ouvrage|langue=fr|auteur1=Jean Le Rond d'Alembert|auteur2=Denis Diderot|auteur3=Louis de Jaucourt|titre=Encyclopédie, ou Dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers|volume=IV|lieu=Paris|éditeur=Briasson, David l'aîné, Le Breton et Durand|année=1754|passage=387-388|lire en ligne=http://enccre.academie-sciences.fr/encyclopedie/article/v4-818-1/}}, souligné par nous.</ref> :

{{Citation bloc|Les meilleurs ouvrages dans lesquels on puisse s’instruire de la théorie des
courbes, sont, 1{{o}} l’''enumeratio linearum tertii ordinis'' de M. Newton, d’où une partie de cet article COURBE est tirée : 2{{o}} l’ouvrage de M. Stirling sur le même sujet, & ''Geometria organica'' de M. Maclaurin, dont nous avons parlé : 3{{o}} les ''usages de l’analyse de Descartes'' par M. l’abbé de Gua, déjà cités ; ouvrage original & plein d’excellentes choses, mais qu’il faut lire avec précaution (Voyez BRANCHE & REBROUSSEMENT.) : '''4{{o}} l’''introduction à l’analyse des lignes courbes'', par M. Cramer, ouvrage très-complet, très-clair & très-instructif, & dans lequel on trouve d’ailleurs plusieurs méthodes nouvelles''' : 5{{o}} l’ouvrage de M. Euler, qui a pour titre, ''introductio in analys. infinitorum'', Lausan. 1748}}

Cet avis porté par D'Alembert sur l'ouvrage de Gabriel Cramer lui assurera, s'il en était besoin, une belle postérité, au moins dans le corpus encyclopédique européen de la fin du {{S|XVIII}} et du début du {{S|XIX}}. Plus de cinquante ans après sa parution, on trouve encore dans l'''Histoire des mathématiques'' de [[Jean-Étienne Montucla]] ce jugement flatteur<ref>{{Ouvrage|langue=fr|auteur1=Jean-Étienne Montucla|auteur2=Jérôme de Lalande|responsabilité2=éditeur|titre=Histoire des mathématiques|volume=III|lieu=Paris|éditeur=Agasse|année=1802|passage=p. 71|lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=PC1WAAAAYAAJ&pg=PA71}}</ref> :

{{Citation bloc|Il manquoit cependant encore jusqu’en 1750 un livre sur ce sujet, qui réunît à la profondeur de la doctrine, les développements nécessaires pour le rendre accessible à tous les géomètres. C’est ce que M. Cramer a exécuté avec le plus grand succès, par son ouvrage trop modestement intitulé : Introduction à l’Analyse des Lignes Courbes Algébriques, qui parut à Genève en 1750, in-4{{o}}, ouvrage d’ailleurs original en plusieurs points, et dans lequel au mérite du fond s’ajoute celui de la forme, je veux dire une clarté et une méthode tout-à-fait satisfaisantes. On ne sauroit par toutes ces raisons trop le conseiller à tous ceux qui désirent approfondir cette théorie.}}

Notons enfin que [[Michel Chasles]], en 1837, souligne l'actualité de l’''Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques'' de [[Gabriel Cramer]] en ces termes : {{Citation|Dans le même temps [qu’Euler] Cramer donna, sous le titre ''Introduction à l’analyse des lignes courbes algébriques'' (in-4{{o}}, 1750), un traité spécial, le plus complet, et encore aujourd’hui le plus estimé, sur cette vaste et importante branche de la Géométrie.}}<ref>{{Ouvrage|langue=fr|auteur1=Michel Chasles|titre=Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en géométrie|lieu=Bruxelles|éditeur=Hayez|année=1837|passage=p. 152|lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=SZIKAAAAYAAJ&pg=PA152}}</ref>.

== Bibliographie ==

* {{Ouvrage|langue=fr|auteur1=Gabriel Cramer|titre=Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques|lieu=Genève|éditeur=Frères Cramer et Cl. Philibert|année=1750|lire en ligne=https://www.e-rara.ch/zut/content/titleinfo/1233318}}
*{{Ouvrage|langue=fr|auteur1=Thierry Joffredo|titre=Approches biographiques de l'Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques de Gabriel Cramer|éditeur=|nature ouvrage=thèse de doctorat en épistémologie et histoire des sciences et des techniques|année=2017|isbn=|lire en ligne=https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-01852029}} {{Plume}} {{libre accès}}
*{{Article |langue=fr|titre=Une analyse génétique de l'Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques de Gabriel Cramer (1750) |périodique=Revue d'histoire des mathématiques|date=2019|auteur1=Thierry Joffredo |lire en ligne=https://smf.emath.fr/publications/une-analyse-genetique-de-lintroduction-lanalyse-des-lignes-courbes-algebriques-de|volume=25|éditeur=Société mathématique de France |doi=10.24033/rhm226 |plume=oui}}
*{{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Carl_Benjamin_Boyer|Carl B. Boyer]]|titre=History of analytic geometry|lieu=New York|éditeur=[[Dover Publications|Dover]]|année=2004|isbn=|lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=2T4i5fXZbOYC|titre chapitre=VII et VIII}}
*{{Ouvrage|langue=de|auteur1=[[Moritz Cantor]]|titre=Vorlesungen über Geschichte der Mathematik|volume=III|lieu=Leipzig|éditeur=[[Teubner-Verlag|Teubner]]|année=1898|passage=p. 793-816|lire en ligne=https://www.e-rara.ch/zut/content/pageview/5636600|numéro chapitre=116}}

== Notes et références ==
=== Notes ===
{{Références|groupe=note}}

=== Références ===
{{Références}}

== Articles connexes ==
* ''[[Introductio in analysin infinitorum]]'' de [[Leonhard Euler]] (1748)
* ''[[Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes]]'' de [[Guillaume François Antoine, marquis de L'Hôpital]] (1696)

{{Portail|histoire des sciences|mathématiques|XVIIIe siècle}}
[[Catégorie:Livre historique de mathématiques]]
[[Catégorie:Histoire des mathématiques]]
[[Catégorie:Histoire de la géométrie]]
[[Catégorie:Livre paru en 1750]]