Voir la source de Invariance de Lorentz

{{Confusion|Jauge de Lorenz}}
{{sources|date=septembre 2015}}{{TI|date=septembre 2015}}
L'{{terme défini|invariance de Lorentz}}, quelquefois aussi appelée '''invariance de Lorentz et Poincaré'''<ref>{{Ouvrage|langue=en|prénom1=Jong-Ping|nom1=Hsu|prénom2=Yuan-Zhong|nom2=Zhang|titre=Lorentz and Poincaré Invariance: 100 Years of Relativity|éditeur=World Scientific|date=2001|isbn=978-981-281-098-4|lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=jryk42J8oQIC&printsec=frontcover&dq=|consulté le=2024-01-16}}</ref> est la propriété d'une quantité physique d'être inchangée par [[Transformations de Lorentz|transformation de Lorentz]]{{sfn|Taillet|Villain|Febvre|2018|loc={{s.v.}}invariance de Lotentz|p=396, {{col.|1}}}}. Il s'agit de quantités physiques qui, lorsqu'elles sont exprimées de manière tensorielle, sont des [[Scalaire (physique)|scalaires]] ou [[pseudoscalaire]]s{{sfn|Taillet|Villain|Febvre|2018|loc={{s.v.}}invariance de Lotentz|p=396, {{col.|1}}}}.

L'{{terme défini|invariance de Lorentz locale}} est une des trois hypothèses composant le [[principe d'équivalence]] d'Einstein{{sfn|Peter|Uzan|2012|loc={{§|1.1.3}}|p=29}}.

Dans les cadres de la [[relativité restreinte]] et donc de la [[relativité générale]], une quantité est dite '''invariante de Lorentz''', '''scalaire de Lorentz''' ou encore '''invariante relativiste''', lorsqu'elle n'est pas modifiée sous l'application d'une [[Transformations de Lorentz|transformation de Lorentz]]. Sa valeur est donc la même dans tous les [[Référentiel galiléen|référentiels galiléens]].

== Grandeurs invariantes ==
Les grandeurs suivantes sont des invariants relativistes<ref>Georges Lochak et al., ''Diverses questions de mécanique et de thermodynamique classiques et relativistes'', 1995 ([https://doi.org/10.1007/978-3-540-49267-2_9 en ligne]). </ref> :
* l'[[Action (physique)|action]] ;
* l'[[entropie]] ;
* la [[charge électrique]] ;
* la [[vitesse de la lumière]] dans le vide (''c''<sub>0</sub>) ;
* la [[Quadrivecteur#Quadriscalaires et norme|pseudonorme]] d'un [[quadrivecteur]]{{sfn|Semay|Silvestre-Brac|2021|p=146}} ;
* le [[Genre (relativité)|genre]] {{incise|temps, lumière ou espace}} de celui-ci{{sfn|Semay|Silvestre-Brac|2021|p=146}} ;
* le signe de la [[Composantes d'un vecteur|composante]] temporelle d'un quadrivecteur de genre temps ou de genre lumière{{sfn|Semay|Silvestre-Brac|2021|p=146}}.
<!-- la pression ? -->

== Espace de Minkowski ==
Le premier exemple de quantité invariante de Lorentz est la [[métrique de Minkowski]]{{note|groupe=N|texte=On utilise par la suite ici la [[signature (arithmétique)|signature]] <math>(-,+,+,+)\,</math> pour la métrique.}} <math>\eta_{\mu\nu}\,</math>. Si on considère une transformation de Lorentz représentée par <math>\Lambda\,</math>{{note|groupe=N|texte=C'est une [[matrice (mathématiques)|matrice]] <math>4\times 4</math>.}}, alors on a, par ''définition'', des transformations de Lorentz

<center>
<math>
\Lambda^t\eta\Lambda=\eta
\,</math>
</center>

si on utilise la notation matricielle, ou

<center>
<math>
{\Lambda^{\mu'}}_\mu{\Lambda^{\nu'}}_\nu\eta_{\mu' \nu'}=\eta_{\mu\nu}
\,</math>
</center>

si on adopte la notation d'indices plus commune en [[physique]]. On a adopté pour cette dernière la [[convention de sommation d'Einstein]] qui somme implicitement selon les quatre directions tout indice apparaissant à la fois en haut et en bas d'une expression.

À partir de cette quantité invariante fondamentale on peut en construire d'autres. Par exemple, si on considère le [[Relativité restreinte#Le quadrivecteur énergie-impulsion|quadrivecteur d'énergie-impulsion]]{{note|groupe=N|texte=Lorsqu'on se place ''a priori'' dans le cadre de la [[mécanique relativiste]] il est d'usage d'oublier le préfixe ''quadri'' et de parler plus simplement de ''vecteur'' ou d{{'}}''impulsion''.}},

<center>
<math>
P^{\mu}=
\begin{pmatrix}
E\\
\vec{p}\,c
\end{pmatrix}
\,</math>
</center>

constitué de l'[[énergie]] <math>E\,</math> et de l'[[impulsion (physique)|impulsion]] <math>\vec{p}\,</math>. Il n'est ''pas'' invariant de Lorentz, car il se transforme de la façon suivante{{note|groupe=N|texte=C'est la définition même d'un vecteur.}}

<center>
<math>
P^\mu\rightarrow{\Lambda^\mu}_\nu P^\nu
\,</math>
</center>

Mais, par contre, on peut construire la quantité quadratique suivante par contraction de ce quadrivecteur en utilisant la métrique

<center>
<math>
P^2\equiv P^{\mu}P_{\mu}\equiv\eta_{\mu\nu}P^{\mu}P^{\nu}=-E^2+p^2c^2=-m^2c^4
\,</math>
</center>

qui définit la [[masse]] en [[relativité restreinte]]. Cette quantité est un invariant de Lorentz, car si <math>P^\mu</math> subit une transformation de Lorentz, la quantité <math>P^\mu P_\mu</math> devient :
<center>
:<math>P^\mu P_\mu=\eta_{\mu\nu}P^\mu P^\nu\rightarrow\eta_{\mu\nu}({\Lambda^\mu}_\rho P^\rho)({\Lambda^\nu}_\sigma P^\sigma)=\eta_{\rho\sigma}P^\rho P^\sigma=P^\rho P_\rho</math>
</center>
où on a utilisé l'invariance de la métrique énoncée au début de l'article pour l'avant-dernière étape du calcul. Comme <math>\mu</math> et <math>\rho</math> sont des indices muets, on a bien retrouvé la norme du [[quadrivecteur]] <math>P</math>, qui est donc une grandeur invariante{{note|groupe=N|texte=''Invariant'' sous-entend « par transformation de Lorentz », qui est différent de ''conservé'' qui signifie constant dans le temps. La masse d'une particule élémentaire est invariante. En l'absence d'actions extérieures, son vecteur énergie-impulsion est conservé (mais pas invariant).}}.

Dans cette démonstration, nous n'avons à aucun moment utilisé l'expression explicite de <math>P</math>, ce qui signifie que la norme de n'importe quel quadrivecteur est une grandeur conservée par les transformations de Lorentz.

Le fait qu'une quantité soit invariante permet d'obtenir des résultats intéressants en choisissant des référentiels particuliers. Par exemple, si on considère le cas d'une particule de [[masse]] non nulle <math>m\,</math>, alors on peut considérer le référentiel de repos dans lequel on a <math>\vec{p}=0\,</math>. On obtient alors la [[E=mc2|célèbre identité]] : 

<center><math>
E=m\,c^2
\,</math></center>

Par contre, dans le cas d'une particule de masse nulle, comme le [[photon]], il est impossible de trouver un tel référentiel, mais on a alors la relation

<center><math>
E=p\,c
\,.</math></center>

== Notes et références ==

=== Notes ===
{{Références|groupe=N}}

=== Références ===
{{Références}}

== Voir aussi ==

=== Bibliographie ===
{{Légende plume}}
* {{Ouvrage | langue=fr | prénom1=Richard | nom1=Taillet | prénom2=Loïc | nom2=Villain | prénom3=Pascal | nom3=Febvre | titre=Dictionnaire de physique | lieu=Louvain-la-Neuve | éditeur=[[Groupe De Boeck|De Boeck Supérieur]], hors {{coll.}} | mois=janvier | année=2018 | numéro d'édition=4 | année première édition={{date|mai 2008}} | pages totales={{X}}-956 | format livre={{abréviation discrète|ill.|illustration(s)}}, {{abréviation discrète|fig.|figure(s)}} et {{abréviation discrète|graph.|graphique(s)}}, {{dunité|17|24|cm}} | isbn10=2-8073-0744-2 | isbn1=978-2-8073-0744-5 | ean=9782807307445 | oclc=1022951339 | bnf=456469019 | sudoc=224228161 | présentation en ligne=https://www.deboecksuperieur.com/ouvrage/9782807307445-dictionnaire-de-physique | lire en ligne={{Google Livres|id=pjlFDwAAQBAJ}} | consulté le=20 mai 2020 | partie={{s.v.}} invariance de Lotentz | passage=396, {{col.|1}} | libellé=Taillet, Villain et Febvre 2018 | plume=oui}}
* {{Ouvrage | langue=fr | prénom1=Patrick | nom1=Peter | prénom2=Jean-Philippe | nom2=Uzan | lien auteur2=Jean-Philippe Uzan | préface=de [[Thibault Damour]] | titre=Cosmologie primordiale | lieu=Paris | éditeur=[[Belin éditeur|Belin]] | collection=Échelles | mois=février | année=2012 | numéro d'édition=2 | année première édition={{date|mai 2005}} | pages totales=816 | format livre={{abréviation discrète|ill.|illustration(s)}} et {{abréviation discrète|fig.|figure(s)}}, {{dunité|17|24|cm}} | isbn10=2-7011-6244-0 | isbn1=978-2-7011-6244-7 | ean=9782701162447 | oclc=793482816 | bnf=426165015 | sudoc=158540697 | présentation en ligne=https://www.belin-education.com/cosmologie-primordiale | lire en ligne={{Google Livres|id=owiWDgAAQBAJ}} | consulté le=20 mai 2020 | libellé=Peter et Uzan 2012 | plume=oui}}
* {{Ouvrage | langue=fr | prénom1=Claude | nom1=Semay | prénom2=Bernard | nom2=Silvestre-Brac | titre=Relativité restreinte | sous-titre=bases et applications | lieu=Malakoff | éditeur=[[Éditions Dunod|Dunod]] | collection=Sciences sup | série=physique | date=11/2021 | numéro d'édition=4 | année première édition={{date|10/2005}} | pages totales={{X}}-309 | format livre={{dunité|17|24|cm}} | isbn=2-10-082836-3 | isbn2=978-2-10-082836-4 | ean=9782100828364 | oclc=1286364270 | bnf=46915115k | sudoc=258655097 | présentation en ligne=https://www.dunod.com/sciences-techniques/relativite-restreinte-bases-et-applications-cours-et-exercices-corriges-1 | lire en ligne={{Google Livres|id=wmFMEAAAQBAJ}} | consulté le=23/8/2024 | libellé=Semay et Silvestre-Brac 2021}}.

=== Articles connexes ===
{{Autres projets
 | wikiversity = Relativité restreinte | wikiversity titre = Relativité restreinte
}}
* [[Relativité restreinte]]
* [[E=mc2|E=mc{{2}}]]
* [[Calculs relativistes]]
* [[Transformations de Lorentz]]
* [[Covariance (équation)|Covariance]]
* [[Symétrie (physique)|Symétrie]]

{{Portail|physique}}

[[Catégorie:Relativité]]