Voir la source de Invariant de courbure (relativité générale)

{{orphelin|date=mai 2020|tent=juillet 2022}}
En [[relativité générale]], les '''invariants de courbure''' sont un ensemble de [[Scalaire (mathématiques)|scalaires]] formé à partir des [[tenseur]]s de [[Tenseur de Riemann|Riemann]], [[Tenseur de Weyl|Weyl]] et [[Tenseur de Ricci|Ricci]]. Cet ensemble représente la [[courbure]], et éventuellement les opérations telles que les [[Contraction tensorielle|contractions]], les [[Dérivée covariante|dérivées covariantes]] et la [[Dualité de Hodge|dualisation de Hodge]].

Certains invariants formés à partir de ces tenseurs de courbure jouent un rôle important dans la classification des [[espaces-temps]]. Les invariants sont en réalité moins puissants pour distinguer localement les [[Variété pseudo-riemannienne|variétés lorentziennes]] non-[[Isométrie|isométriques]] que pour distinguer les [[Variété riemannienne|variétés riemanniennes]]. Cela signifie qu'ils sont plus limités dans leurs applications que pour les variétés dotées d'un [[tenseur métrique]] positif défini.

== Principaux invariants ==
Les principaux invariants des tenseurs de [[Tenseur de Riemann|Riemann]] et de [[Tenseur de Weyl|Weyl]] sont certains invariants [[Polynôme|polynomiaux]] [[Fonction quadratique|quadratiques]].

Les principaux invariants du [[tenseur de Riemann]] d'une [[variété lorentzienne]] à quatre dimensions sont :
# Le ''scalaire de Kretshmann'' <math>K_1 = R_{abcd} R^{abcd}</math>
# Le ''scalaire de Chern-Pontryagin'' <math>K_2 = {^*R_{abcd}} R^{abcd} </math>
# Le ''scalaire d'Euler'' <math>K_3 = {^*R^*_{abcd}} R^{abcd}</math>

Ce sont des invariants polynomiaux quadratiques (somme des carrés des composants). Quelques auteurs définissent le scalaire de Chern-Pontryagin en utilisant le [[Dualité de Hodge|duale droit]] plutôt que le [[Dualité de Hodge|duale gauche]].

Le premier d'entre eux a été introduit par Eric Kretschmann. Les deux autres noms sont quelque peu anachroniques, mais depuis que les intégrales des deux derniers sont liées au nombre d'[[instanton]] pour l'un et au [[caractéristique d'Euler]] pour l'autre, on peut les comprendre.

Les principaux invariants du [[tenseur de Weyl]] sont :
# <math>I_1 = C_{abcd} C^{abcd} </math>
# <math>I_2 = {^*C_{abcd} }C^{abcd}</math>

(Parce que <math>{^*C^*}_{abcd} = -C_{abcd}</math>, il n'est pas nécessaire de définir un troisième invariant principal pour le tenseur de Weyl.)

== Relation avec la décomposition de Ricci ==
Il existe une relation entre la décomposition de Ricci et les invariants de courbures. Si on applique cette décomposition au [[tenseur de Riemann]] pour donner un [[tenseur de Weyl]] ainsi qu'une somme de tenseurs du [[quatrième rang]], qui sont par ailleurs construits à partir du tenseur du second rang de Ricci et du [[scalaire de Ricci]]., on observe que ces deux ensembles d'invariants sont liés (en dimension 4).

<math>K_1 = I_1 + R_{ab} R^{ab} - {1 \over 3} R^2 </math>

<math>K_3 = -I_1 + R_{ab} R^{ab} - {2 \over 3} R^2 </math>

== Relation avec la décomposition de Bel ==
En quatre dimensions, la décomposition de Bel du tenseur de Riemann par rapport à un [[Champ de vecteurs|champ vectoriel]] de temps <math>\vec{X} </math>, pas nécessairement en [[géodésique]] ou en [[hypersurface]] orthogonal, se compose de trois parties :
# Le tenseur de la gravité électronique <math>E[\vec{X}]_{ab} = R_{ambn} X^m X^n </math>
# Le tenseur de la gravité magnétique <math>B[\vec{X}]_{ab} = {^*R_{ambn}} X^m X^n  </math>
#Le tenseur de la gravité topologique <math>L[\vec{X}]_{ab} = {^*R_{ambn}} X^m X^n  </math>

À cause du fait qu'ils soient tous transversaux, ils peuvent être représentés comme des opérateurs linéaires de vecteurs en trois dimensions, ou comme des matrices réelles 3x3. Ils sont respectivement symétriques, sans [[Trace (algèbre)|trace]], et symétriques (6,8,6 composants linéaires indépendants, pour un total de 20). Si nous nommons ces opérateurs respectivement '''E''','''B''', et '''L''', les principaux [[Invariant de Riemann|invariants de Riemann]] sont obtenus comme suit :

* <math>K_1/4  </math> est la trace de '''E'''² + '''L'''² - 2 '''B''' '''B'''<math>^T  </math>,
* <math>-K_2/8  </math> est la trace de '''B''' ( '''E''' - '''L''' ),
* <math>K_3/8  </math> est la trace de '''E''' '''L''' - '''B'''².

== Expression dans le formalisme de Newman-Penrose ==
En termes de scalaires de Weyl dans le formalisme de Newman-Penrose, les principaux invariants du tenseur de Weyl peuvent être obtenus en prenant les parties réelles et imaginaires de l'expression

<math>I_1-iI_2=16  </math> <math>(3\Psi^2_2+\Psi_0\Psi_4-4\Psi_1\Psi_3)  </math>

Le principal invariant quadratique du [[tenseur de Ricci]], <math>R_{ab}R^{ab}  </math>, peut être obtenu avec une expression plus compliquée impliquant les scalaires de Ricci.

== Références ==
{{références}}
== Bibliographie ==
* {{article|auteur1=Cherubini, C. |auteur2=Bini, D. |auteur3=Capozziello, S. |auteur4=Ruffini R. | titre=Second order scalar invariants of the Riemann tensor: applications to black hole spacetimes | journal=Int. J. Mod. Phys. D | année=2002 | volume=11 | pages=827–841 | doi=10.1142/S0218271802002037|arxiv = gr-qc/0302095 |bibcode = 2002IJMPD..11..827C | numéro=6 }}  See also the [http://www.arxiv.org/abs/gr-qc/0302095 eprint version].
* {{article|nom=Coley|prénom=A. |auteur2=Hervik, S. |auteur3=Pelavas, N.|titre=Spacetimes characterized by their scalar curvature invariants|journal=Class. Quantum Grav.|année=2009|volume=26|pages=025013|doi=10.1088/0264-9381/26/2/025013|arxiv=0901.0791|bibcode = 2009CQGra..26b5013C }}
* {{Chapitre | langue=en | prénom1=Orlando | nom1=Luongo | prénom2=Hernando | nom2=Quevedo | titre=Toward an invariant definition of repulsive gravity | auteurs ouvrage=[[Thibault Damour]] et Robert T. Jantzen ({{abréviation discrète|éd.|éditeur(s) et/ou éditrice(s) scientifique(s)}}) | titre ouvrage=Proceedings of the twelfth Marcel Grossmann meeting | sous-titre ouvrage=on recent developments in theoretical and experimental general relativity, astrophysics and relativistic field theories | tome={{II}} | titre tome={{nobr|Part B}} : parallel sessions | nature ouvrage=actes du {{XIIe|congrès}} [[Marcel Grossmann|Marcel-Grossmann]], tenu à Paris du {{date-|12 juillet- 2009-}} au {{date-|18 juillet 2009|compact=oui}} | lieu=Singapour | éditeur=[[World Scientific]] | collection=Marcel Grossmann meeting | numéro dans collection=12 | mois={{date-|février|compact=oui}} | année=2012 | numéro d'édition=1 | pages totales={{unité|1|{{abréviation discrète|vol.|volume(s)}}}}, {{LX}}-[755]-1579 | format livre={{abréviation discrète|ill.|illustration(s)}}, {{dunité|18|26|cm}} | isbn10=981-437453-9 | isbn1=978-981-437453-8 | ean=9789814374538 | oclc=801091513 | bnf= | doi=10.1142/8316 | sudoc=160394872 | présentation en ligne=https://www.worldscientific.com/worldscibooks/10.1142/8316 | lire en ligne={{Google Livres|id=WGmdCwAAQBAJ}} | consulté le=28 novembre 2020 | partie={{nobr|{{abréviation discrète|sect.|section(s)}} 15}}, {{chap.|5}} | passage=1029-1031, {{doi|10.1142/9789814374552_0122}}, {{bibcode|2010arXiv1005.4532L}}, [[arXiv]] {{lien web | description=1005.4532 | url=https://arxiv.org/abs/1005.4532}}, {{lien web | description=résumé | url=https://www.worldscientific.com/doi/abs/10.1142/9789814374552_0122}} | libellé=Luongo et Quevedo 2012}}.
* {{Article | langue=fr | prénom1=Jules | nom1=Géhéniau | lien auteur1=Jules Geheniau | prénom2=Robert | nom2=Debever | titre=Les quatorze invariants de courbure de l'espace riemannien à quatre dimensions | périodique=Helvetica Physica Acta | volume=29, {{nobr|suppl. 4}} : Cinquantenaire de la théorie de la relativité | année=1956 | passage=101-103 | oclc=753521392 | doi=10.5169/seals-112727 | lire en ligne=https://www.e-periodica.ch/cntmng?pid=hpa-001:1956:29::941 | format=pdf | libellé=Géhéniau et Debever 1956}} {{commentaire biblio SRL|suivi d'une discussion avec [[Leopold Infeld]] et [[Marie-Antoinette Tonnelat]]}}.
* {{Ouvrage | langue=en | langue originale=ru | prénom=Alekseĭ Zinov'evich | nom=Petrov | traduction=Raymond F. Kelleher et J. Woodrow | titre=Einstein spaces | titre original=Пространства Эйнштейна / {{transl|ru|Prostranstva Ėĭnshteĭna}} | traduction titre=Espaces d'Einstein | lieu=Oxford | éditeur=[[Pergamon Press|Pergamon]], hors {{coll.}} | année=1969 | numéro d'édition=1 | pages totales={{unité|1|{{abréviation discrète|vol.|volume(s)}}}}, {{XIII}}-411 | format livre={{abréviation discrète|ill.|illustration(s)}}, {{dunité|15,2|23,5|cm}} | isbn10=0-08-012315-5 | isbn1=978-0-08-012315-8 | ean=9780080123158 | oclc=421922660 | bnf=44625072j | doi=10.1016/C2013-0-02070-1 | bibcode=1969eisp.book.....P | sudoc=014118653 | présentation en ligne=https://www.sciencedirect.com/book/9780080123158/einstein-spaces | lire en ligne={{Google Livres|id=3Jw3BQAAQBAJ}} | consulté le=28 novembre 2020 | libellé=Petrov 1969}}.

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