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{{Ébauche|algèbre}}
En [[mathématiques]], l''''inverse''' d'un élément {{mvar|x}} (s'il existe) est le nom donné à l'[[élément symétrique]], lorsque la loi est [[notation multiplicative|notée multiplicativement]]. Dans le cas réel, il s'agit du nombre qui, [[multiplication|multiplié]] par {{mvar|x}}, donne [[1 (nombre)|1]]. On le note {{math|''x''{{-1}}}} ou {{sfrac|1|''x''}}.

Par exemple, dans <math>\R</math>, l'inverse de 3 est <math>\frac13=0{,}333\dots</math>, puisque <math>\frac13\times3=1</math>.

== Définition ==
Soit <math>S</math> un [[monoïde]], {{c.-à-d.}} un ensemble muni d'une [[loi de composition interne]] [[associative]], qu'on note <math>\times</math>, et d'un [[élément neutre]] pour <math>\times</math> noté 1.

Un élément <math>x \in S</math> est dit '''inversible à gauche''' (respectivement inversible à droite) s'il existe un élément <math>y \in S</math> tel que <math>y \times x = 1</math> (respectivement <math>x \times y=1</math>)<ref>{{Ouvrage|auteur=[[N. Bourbaki]]|titre=[[Éléments de mathématique|Algèbre]]|page=I.15|url={{Google Livres|4RIDPH1ULXcC|page autre=SA1-PA15}}}}.</ref>.

Il est dit '''inversible''' s'il est à la fois inversible à gauche et inversible à droite. L'élément {{mvar|y}}, qui est alors unique, est appelé l'inverse de {{mvar|x}}, et est noté {{math|''x''{{-1}}}}<ref>{{Harvsp|Bourbaki|p=I.16}}.</ref>.

== Principaux cas ==
Le plus souvent, quand on parle d'éléments inversibles, on se place dans un [[Groupe (mathématiques)|groupe]] ou dans un [[Anneau (mathématiques)|anneau]].

=== Groupe ===
Dans un groupe <math>(G,\times)</math>, la loi de composition interne considérée est <math>\times</math> et par définition tous les éléments de <math>G</math> sont inversibles.

=== Anneau (ou corps) ===
Dans un anneau <math>(A,+,\times)</math>, la loi de composition interne considérée est <math>\times</math> et tous les éléments ne sont pas forcément inversibles.

Les éléments inversibles de l'anneau forment un groupe pour la multiplication de l'anneau, appelé [[groupe des inversibles]] de cet anneau, et souvent noté ''U''(''A'') ou ''A''{{exp|×}}.

Un anneau dont tous les éléments sont inversibles, mis à la part le neutre de la loi <math>+</math> (souvent noté <math>0</math>), est par définition un [[Corps (mathématiques)|corps]].

== Exemples ==

=== Anneaux et corps ===
* Dans l'anneau <math>(\Z,+,\times)</math> des [[Entier relatif|entiers relatifs]], seuls 1 et –1 ont un inverse : eux-mêmes respectivement.
* Dans le corps <math>(\R,+,\times)</math> des [[Nombre réel|nombres réels]] et dans le corps <math>(\Q,+,\times)</math> des [[Nombre rationnel|rationnels]], l'inverse de 2 est {{frac|1|2}} = 0,5 et l'inverse de 4 est 0,25. La [[fonction inverse]] est l'application qui à tout réel non nul associe son inverse.
* Dans le corps <math>(\Complex,+,\times)</math> des [[nombres complexes]], l'inverse de l'[[unité imaginaire]] {{math|i}} est {{math|–i}} car {{math|1=i × (–i) = 1}}. Plus généralement, l'inverse d'un nombre complexe non nul <math>z=a+\mathrm{i}b</math> est le nombre <math>\frac1z=\frac{\bar z}{z \bar z} = \frac{\bar z}{\|z\|^2} = \frac{a - \mathrm{i}b}{a^2 + b^2} = \frac{a}{a^2 + b^2} - \frac{b}{a^2+b^2}\mathrm{i}</math>
*Dans le corps <math>(\mathbb{H},+,\times)</math> des [[Quaternion|quaternions]], l'inverse d'un quaternion non nul <math>q=a+\mathrm ib + \mathrm jc+ \mathrm kd </math> est le quaternion <math>\frac1{\|q\|^2}\bar q</math>, où <math>\bar q</math> est le [[conjugué]] quaternionique de {{mvar|q}}, soit <math>\frac1{\|q\|^2}\bar q=\frac1{a^2+b^2+c^2+d^2}\times(a-\mathrm ib-\mathrm jc-\mathrm kd)</math>. Attention, la multiplication des quaternions n'est pas commutative.
*Dans l'[[Anneau ℤ/nℤ|anneau (ℤ/{{mvar|n}}ℤ, +, ×)]], où {{math|''n'' ≥ 2}}, les inversibles sont exactement les éléments <math>\overline m</math> tels que [[PGCD]]<math>(m, n)=1</math>. En particulier, si {{mvar|n}} est premier, alors cet anneau est un corps. Par exemple, dans l'anneau ℤ/10ℤ, l'inverse de {{surligner|3}} est {{surligner|7}} (car 3 × 7 = 21 est [[Congruence sur les entiers|congru]] à 1 modulo 10), mais [[Inverse modulaire|{{surligner|2}} n'a pas d'inverse]].
* Dans l'anneau <math>(\operatorname M_n(\R),+,\times)</math> des [[Matrice (mathématiques)|matrices]] carrées réelles, où {{mvar|n}} est un naturel fixé, l'ensemble des matrices inversibles est noté <math>\operatorname{GL}_n(\R)</math>. Par exemple, dans l'anneau des matrices 2×2, la matrice{{retrait|<math>A=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}</math>}}a pour [[matrice inverse]]{{retrait|<math>B=\begin{pmatrix}0&1\\1&-1\end{pmatrix}</math>}}car ''A''×''B'' est égal à la [[matrice identité]] d'ordre 2.
Plus généralement, pour une matrice <math>A \in \operatorname{GL}_n(\R)</math>, son inverse {{math|''A''{{exp|-1}}}} s'exprime à partir de son [[Déterminant (mathématiques)|déterminant]] et de sa [[comatrice]] : <math>A^{-1} = \frac{1}{\mathrm{det}(A)}\mathrm{com}(A)^T</math>.

=== Autres ===
Dans le monoïde (pour la [[Composition de fonctions|composition]]) des [[Application (mathématiques)|applications]] d'un [[ensemble]] fixé dans lui-même, les applications qui possèdent des inverses à gauche sont les [[Injection (mathématiques)|injections]] et [[Surjection#Réciproque partielle et axiome du choix|celles qui possèdent des inverses à droite sont les surjections]]. Il en est de même dans l'[[Anneau unitaire|anneau]] des [[Endomorphisme linéaire|endomorphismes]] d'un [[espace vectoriel]].

== Remarques ==
Attention, lorsque {{mvar|f}} est à la fois une [[fonction numérique]] et une [[bijection]], il ne faut pas confondre l'inverse avec sa [[bijection réciproque]], dont la notation courante est {{mvar|f}} {{-1}} :
:<math>(f(x))^{-1}\ne f^{-1}(x) </math>.

Exemple pour la fonction [[cosinus]] <math>\cos:[0,\pi]\to[-1,1]</math> : <math>(\cos x)^{-1}=\frac1{\cos x},\quad\cos^{-1}(x)=\arccos x</math>.

== Somme infinies d'inverses et propriétés intéressantes ==
Les [[Série (mathématiques)|séries numériques]] impliquant les inverses des nombres sont des cas d'école
:<math>\sum_{k=1}^n\frac1k\longrightarrow +\infty</math> ([[série harmonique]]).

:<math>\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{(-1)^k}{k}=1-\frac12+\frac13-\frac14+\dots=\ln(2)</math> ([[Série harmonique#Série harmonique alternée|série harmonique alternée]]).

:<math>\sum_{k=1}^{+\infty}\left(\frac{1}{k}\right)^2 = 1+\frac1{2^2}+\frac{1}{3^2}+\dots=\frac{\pi^2}6</math>, et plus généralement, [[Fonction trigonométrique|la fonction zêta de Riemann]] 
::<math>\zeta(2m)=\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{k^{2m}}=1+\frac{1}{2^{2k}}+\frac{1}{3^{2k}}+\cdots =\frac{|B_{2m}|(2\pi)^{2m}}{2(2m)!}, m\in\mathbb{Z}</math>, où  <math>|B_{2m}|</math> est la [[valeur absolue]] du [[nombre de Bernoulli]].

Seuls deux nombres complexes sont opposés à leur inverse (soit <math>\frac1x=-x</math>) : i et –i (car ce sont les solutions de <math>x^2=-1</math>). 

Diviser par un nombre ''b'' revient à multiplier par l'inverse de ''b'', <math>\frac{a}{b}=a\frac{1}{b} (b\neq 0)</math>.

== Voir aussi ==
* [[inverse modulaire]]

== Notes et références ==
{{Références}}

== Liens externes ==
* {{Mathworld|nom_url=MultiplicativeInverse|titre=Multiplicative Inverse}}
* {{Mathworld|nom_url=InvertibleElement|titre=Invertible Element}}

{{Portail|algèbre}}

[[Catégorie:Algèbre]]