Voir la source de Inversion (géométrie)

{{Voir homonymes|Inversion}}
{{ébauche|géométrie}}
[[File:Inversion l b.png|thumb|inversion d'un "lion" et d'un "bonhomme"]]
En [[géométrie]], une '''inversion''' est une [[Transformation géométrique|transformation]] qui inverse les [[Espace euclidien|distances]] par rapport à un point donné, appelé centre de l'inversion. Cela signifie en substance que l'[[Image (mathématiques)|image]] d'un point est d'autant plus éloignée du centre de l'inversion que le point d'origine en est proche. Selon une phrase célèbre, {{Citation|Plaçons une cage sphérique dans le désert, entrons-y et fermons-la. Puis faisons une inversion par rapport à la cage. Le lion est alors à l'intérieur de la cage, et nous sommes à l'extérieur<ref>Extrait et traduit de l'article humoristique {{Article|lang=en|auteur=Hector Pétard (pseudonyme de [[Ralph Philip Boas|Ralph P. Boas]] [https://books.google.fr/books?id=7F_0DwAAQBAJ&pg=PA26 et Frank Smithies])|titre=Contribution to the Mathematical Theory of Big Game Hunting|revue=[[Amer. Math. Monthly]]|vol=46|date=1938|p.=446-447|url=https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Extras/lion_hunting/}}.</ref>}}.

== Définition générale dans le cadre d’un espace affine euclidien ==
Soient <math>\mathcal E</math> un [[espace affine euclidien]], <math>\Omega</math> un point de <math>\mathcal E</math> et <math>k</math> un réel non nul.

{{Théorème|Définition|L'inversion de pôle <math>\Omega</math> et de rapport <math>k</math> est l'application de <math>\mathcal E\setminus\{\Omega\}</math> dans lui-même qui, à un point <math>M</math>, associe l’unique point
<center><math>M'\in(\Omega M)</math> tel que <math>\overline{\Omega M}\times\overline{\Omega M'}=k</math> (produit des [[Mesure algébrique|mesures algébriques]]).</center>
|style=display:table}}

{{Démonstration|titre=Démonstration de l’existence et de l’unicité de <math>M'</math>|contenu=
Pour tout point <math>N</math> de la [[Droite affine|droite]] <math>(\Omega M)</math>,
:<math>\begin{align}\overline{\Omega M}\times\overline{\Omega N}=k&\Leftrightarrow\frac{\overline{\Omega N}}\overline{\Omega M}=\frac k{\Omega M^2}\\
&\Leftrightarrow\overrightarrow{\Omega N}=\frac k{\Omega M^2}\overrightarrow{\Omega M}\\
&\Leftrightarrow N=\Omega+\frac k{\Omega M^2}\overrightarrow{\Omega M}.\end{align}</math>
}}

Soit <math>\mathcal{S}</math> la sphère de centre <math>\Omega</math> et de rayon <math>r</math>.
{{Théorème|Définition|L'inversion par rapport à <math>\mathcal{S}</math> est l'inversion de pôle <math>\Omega</math> et de rapport <math>k=r^2</math>.
|style=display:table}}

== Propriétés ==
* Une inversion de rapport non nul est [[Bijection|bijective]].
* Une inversion est une [[Involution (mathématiques)|involution]] : elle est sa propre [[bijection réciproque]].
* L'inversion par rapport à une sphère <math>\mathcal{S}</math> laisse les points de la sphère fixes, et les points intérieurs et extérieurs sont échangés. L'inversion est la version « sphérique » de la [[Réflexion (mathématiques)|réflexion]].
* On appelle ''sphère d’inversion'' (ou <span id="cerinv">''cercle d’inversion''</span> dans le plan) la sphère de centre <math>\Omega</math> et de rayon <math>\sqrt{|k|}</math>. Elle est toujours [[invariant|globalement invariante]], et elle est fixe (invariante ''point par point'') lorsque le rapport est positif. Toute inversion de rapport positif est l'inversion par rapport à sa ''sphère d’inversion''.
* Les [[hyperplan]]s passant par <math>\Omega</math> sont aussi des invariants globaux.

Le principal intérêt des inversions est la transformation d'hyperplans (droites) en hypersphères (cercles) et réciproquement, tout en préservant les angles :[[File:Inv-kreis-gerade.svg|Inv-kreis-gerade]]
{{Théorème|Toute inversion de centre <math>\Omega</math> et de rapport non nul envoie :
*les hypersphères (cercles) passant par <math>\Omega</math> (exclu) en des hyperplans (droites) ne passant pas par <math>\Omega</math>, et réciproquement ;
* les hypersphères (cercles) ne passant pas par <math>\Omega</math> en des hypersphères (cercles) ne passant pas par <math>\Omega</math> ;
* les (hyper)plans (droites) passant par <math>\Omega</math> en eux-mêmes (ils sont invariants).

L'ensemble constitué par les hypersphères et les hyperplans est donc [[Partie stable|stable]] par inversion.|style=display:table}}

Ainsi si dans le plan <math>A'</math>, <math>B'</math> et <math>C'</math> sont les images respectives de <math>A</math>, <math>B</math> et <math>C</math> par une inversion de centre <math>\Omega</math> de rapport non nul, alors <math>A'</math>, <math>B'</math> et <math>C'</math> sont alignés si et seulement si <math>\Omega</math>,<math>A</math>, <math>B</math> et <math>C</math> sont cocycliques, ce qui est la raison profonde de l'[[Théorème de Ptolémée|égalité]] et de l'[[inégalité de Ptolémée]].

{{Théorème|Les inversions de rapport non nul préservent les angles (orientés).|style=display:table}}

Ainsi par exemple deux droites ne passant pas par <math>\Omega</math> sont perpendiculaires si et seulement si leurs cercles images le sont (deux cercles étant dits perpendiculaires si leurs tangentes aux points d'intersection le sont).

=== Distances ===

Si <math>A'</math> et <math>B'</math> sont les images respectives de <math>A</math> et <math>B</math> par une inversion de centre <math>\Omega</math> de rapport <math>k</math> (<math>\ne0</math>), alors on a la relation entre les distances
<center><math>A'B'=|k|\,\frac{AB}{\Omega A\times\Omega B}</math>.</center>

{{Démonstration|contenu=
Soient <math>\overrightarrow u,\overrightarrow v</math> unitaires et <math>a,b>0</math> tels que <math>\overrightarrow{\Omega A}=a\overrightarrow u</math> et <math>\overrightarrow{\Omega B}=b\overrightarrow v</math>. Alors,
:<math>A'B'=\left\|\overrightarrow{\Omega B'}-\overrightarrow{\Omega A'}\right\|=\left\|\frac{k\overrightarrow v}b-\frac{k\overrightarrow u}a\right\|=\frac{|k|}{ab}\left\|a\overrightarrow v-b\overrightarrow u\right\|=\frac{|k|}{\Omega A\times\Omega B}AB</math>
car
:<math>\left\|a\overrightarrow v-b\overrightarrow u\right\|^2=a^2+b^2-2ab\langle\overrightarrow u,\overrightarrow v\rangle=\left\|b\overrightarrow v-a\overrightarrow u\right\|^2=AB^2</math>.
}}

== Dans le plan ==

=== Dans le [[plan affine|plan affine euclidien]] ===
[[Fichier:Inverseur Peaucellier.svg|vignette|upright=1.5|Inverseur de Peaucellier.]]

Dans le plan affine euclidien, l’inverse d’un point est [[Point constructible|constructible]] au compas lorsqu’on connait le [[#cerinv|cercle d'inversion]], ce qui permet de démontrer le :

{{Théorème|nom=<span id="morhetmascheroni">Théorème de [[Georg Mohr|Mohr]] et [[Lorenzo Mascheroni|Mascheroni]]</span>|Toute construction à la règle et au compas peut se faire uniquement au compas (à l’exception des tracés des portions de droites).|style=display:table}}

Signalons aussi l’existence de « machines à inversion », l’[[Dispositif de Peaucellier-Lipkin|inverseur de Peaucellier]], utilisé pour transformer un mouvement rectiligne en mouvement circulaire :

L'inverseur est un objet mécanique avec deux barres OP et OQ de longueur fixe <math>r_1</math> et 4 autres barres MP, MQ, M'P, M'Q de longueurs fixes <math>r_2</math> avec les points de pivots aux sommets du losange OMPQM'.

: Pour un point <math>O</math> du plan affine euclidien et un rapport <math>k=r_1^2-r_2^2</math>, avec <math>0 < r_2 < r_1</math>, on peut construire l’inverse géométrique, pour l’inversion de centre <math>O</math> et de rapport <math>k</math>, de tout point dans la couronne centrée en <math>O</math>, de rayon intérieur <math>r_1 - r_2</math>, et de rayon extérieur <math>r_1 + r_2</math> de la façon suivante :
:* Un point <math>M</math> dans la couronne étant donné, il existe deux points d’intersection <math>P</math> et <math>Q</math> du cercle de centre <math>O</math> et de rayon <math>r_1</math>, et du cercle de centre <math>M</math> et de rayon <math>r_2</math>
:* Puis on construit l’unique point <math>M'</math> tel que <math>PMQM'</math> soit un losange.
:* L’application qui à <math>M</math> fait correspondre <math>M'</math> est bien l’inversion cherchée.

=== Dans le [[plan complexe]] ===
Dans le plan complexe, une inversion particulière est celle par rapport au [[cercle unité]] ; en termes d’affixe complexe, elle est codée par l'application
<center><math>z \mapsto \frac{1}{\overline{z} }=\frac{z}{|z|^2}.</math></center>
On voit ainsi que cette inversion est composée de la [[Conjugué|conjugaison complexe]] et d’une [[Fonction homographique|homographie]].

C’est en fait un résultat général : un cercle d’inversion étant donné, on choisit trois points <math>z_1, z_2, z_3</math> sur ce cercle, puis l’unique homographie <math>f</math> qui envoie <math>z_1, z_2, z_3</math> respectivement sur <math>0, 1, \infty</math>. On vérifie alors que l’application <math>f^{-1} \circ c \circ f</math>, où <math>c</math> dénote la conjugaison complexe, est précisément l’inversion cherchée, et son écriture comme composée d’une homographie et de la conjugaison complexe découle de l’écriture de <math>f</math> et <math>f^{-1}</math> comme homographie.

On fait ensuite le lien avec le '''groupe circulaire''', qui est l’ensemble des transformations, définies en fait sur la [[droite projective]] complexe, et qui envoient les droites et les cercles sur des droites et des cercles ; en identifiant la droite projective complexe à la [[sphère de Riemann]], cette propriété de conservation s’exprime plus simplement : ce sont les cercles tracés sur cette sphère qui sont conservés. Il est clair que les inversions appartiennent au groupe circulaire ; et relativement simple de montrer qu’il en est de même pour les homographies. On peut montrer ensuite qu’en fait, le groupe circulaire est engendré par inversions et homographies.

== Géométrie anallagmatique ==
{{...}}
La '''géométrie anallagmatique''' est l'étude (au sens du [[programme d'Erlangen]]) de la géométrie dont le groupe d'invariants est le groupe circulaire{{refsou}} ; elle est aussi connue sous le nom de [[transformation de Möbius|géométrie de Möbius]], ou (dans l'espace) de [[géométrie conforme]].

==Notes et références ==
{{Références}}

== Voir aussi ==

=== Articles connexes ===
* [[Transformation de Möbius]]
* [[Inverseur de Hart]]

=== Liens externes ===
* {{Lien web|url=http://www.mathwebs.com/Classes/terminale/complexes/Exercices/exo2_inversion_theoreme_sept_cercles.htm|titre=Inversion et ses propriétés sur Math Web, avec la démonstration du théorème des 7 cercles, du théorème de Ptolémée et de l'inverseur de Hart}}
* [http://www.bibmath.net/dico/index.php?action=affiche&quoi=./i/inversion.html Inversion sur BibM@th]
* [http://www.debart.fr/ts/inversion_cercles.html Inversion de Cercles] avec [[GeoGebra]]
* {{Lien web|url=http://xavier.hubaut.info/coursmath/com/invers.htm|titre=Une transformation non linéaire ?|site=Mathématiques du secondaire|auteur=Xavier Hubaut}}
* {{Lien web|url=http://xavier.hubaut.info/coursmath/com/cycles.htm|titre=Cercles et droites|site=Mathématiques du secondaire|auteur=Xavier Hubaut}}
* {{Lien web|url=http://images.math.cnrs.fr/Sur-l-inversion-conique.html|titre=Sur l'inversion conique|auteur=Hamza Khelif|site=[[Images des mathématiques]]|mois=juin|année=2016}}
*[http://www.mathcurve.com/courbes2d/inverse/inverse.shtml Inversion d'une courbe] sur MathCurve.

=== Bibliographie ===
* {{Ouvrage|auteur1=[[Michèle Audin]]|titre=Géométrie|éditeur=[[EDP Sciences]]|année=2006|numéro d'édition=3|pages totales=428|isbn=978-2-7598-0180-0|lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=n1EdG4fcor0C}}
* {{Berger2}} ([[Référence:Géométrie (Berger)#Nathan (Tome 1)|Tome 1)]]
* Jean-Denis Eiden, ''Géométrie analytique classique'', Calvage & Mounet, 2009 {{ISBN|978-2-91-635208-4}}
* ''Petite encyclopédie de mathématique'', [[Didier (maison d'édition)|Didier]]
* Jean Fresnel, ''Méthodes modernes en géométrie''
* D. Lehmann et [[Rudolf Bkouche]], ''Initiation à la géométrie'', [[PUF]], 1988 {{ISBN|978-2-13-040160-5}}

{{Portail|géométrie}}

[[Catégorie:Transformation géométrique]]