Voir la source de Jean-Marc Fontaine

{{Homonyme|Fontaine}}
{{Infobox Biographie2}}

'''Jean-Marc Fontaine''', né le {{date de naissance|13 mars 1944}} à [[Boulogne-Billancourt]] et mort le {{date de décès|29 janvier 2019}} à [[Paris]]<ref>{{Lien web|url=http://www.cnrs.fr/insmi/spip.php?article3066|titre=Décès de Jean-Marc Fontaine|site=cnrs.fr|date=30 janvier 2019|consulté le=31 janvier 2019}}</ref>, est un mathématicien français, spécialiste de [[géométrie algébrique]] et de [[théorie des nombres]].

== Biographie ==
Ancien élève de l'[[École polytechnique (France)|École polytechnique]], Jean-Marc Fontaine est  chercheur au [[Centre national de la recherche scientifique|CNRS]] entre 1965 et 1971 et soutient un doctorat d'État en 1972 sous la direction de [[Jean-Pierre Serre]]<ref>{{Lien web|langue=en|titre=Jean-Pierre Serre|url=https://www.genealogy.math.ndsu.nodak.edu/id.php?id=34222&fChrono=1|site=The Mathematics Genealogy Project|consulté le=2019-04-29}}.</ref>{{,}}<ref>{{ouvrage|auteur=Jean-Marc Fontaine|titre=Groupes de ramification et représentation d'Artin|éditeur=Thèses de l'université d'Orsay|date=1972|lire en ligne= http://www.numdam.org/item/BJHTUP11_1972__0014__P0_0.pdf}}.</ref>. 

Il est chargé d'enseignement en 1971-72 à l'[[université Paris VI]], puis enseigne de 1972 à 1988 à l'université de [[Grenoble]], d'abord comme [[Maître de conférences (France)|maître de conférences]], puis comme professeur. À partir de 1989, il est professeur à l’[[université Paris-Sud]] à Orsay, émérite depuis 2010.

Il est le fils du journaliste [[André Fontaine (journaliste)|André Fontaine]].

Il meurt d'un cancer de l'estomac le {{date-|29 janvier 2019}}, 6 jours après le décès de [[Jean-Pierre Wintenberger]], un de ses premiers doctorants.

== Travaux ==
{{Section rédaction à revoir|date=avril 2023}}
Jean-Marc Fontaine est un arithméticien avec des contributions principalement en [[géométrie arithmétique]] et, plus spécifiquement, en [[théorie de Hodge]] <math>p</math>-adique{{Quoi|date=27 avril 2023}}. Il a beaucoup étudié les représentations, sur des [[nombre p-adique|corps <math>p</math>-adiques]], des [[groupe de Galois absolu|groupes de Galois]] des [[Corps local|corps locaux]] ([[Extension finie|extensions finies]] de [[nombre p-adique|<math>\Q_p</math>]]) et globaux (extensions finies de <math>\Q</math>). On lui doit un programme (''programme de Fontaine'' ou ''théorie de Fontaine'') de classification des représentations du groupe de Galois d'un corps local et une description des représentations de ces groupes de Galois fournies par la [[Homologie et cohomologie|cohomologie]] des [[Variété algébrique|variétés algébriques]] sur les corps locaux ([[Conjecture|conjectures]] <math>\mathrm{C}_{\mathrm{cris}}</math>, <math>\mathrm{C}_{\mathrm{st}}</math>, <math>\mathrm{C}_{\mathrm{dR}}</math>) ou globaux (conjecture de Fontaine-Mazur). La théorie de Fontaine est l'outil le plus puissant dont on dispose pour étudier les propriétés fines des représentations des groupes de Galois des corps globaux<ref>{{article|lire en ligne=https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/item/10.5802/crmath.126.pdf|auteur= Jean-Pierre Serre|titre=La vie et l’œuvre de Jean-Marc Fontaine|périodique=Comptes Rendus. Mathématique|volume=358 |date=2020|numéro=9-10|pages=1045-1046}}.</ref>; elle intervient de manière cruciale dans tous les progrès en direction de la [[programme de Langlands|correspondance de Langlands]] (dans le sens Galois vers automorphe{{Pas clair|date=avril 2023}}, le plus difficile) depuis les travaux d'[[Andrew Wiles]] sur le [[dernier théorème de Fermat|théorème de Fermat]]{{Référence nécessaire|date=27 avril 2023}}. Plus récemment{{Quand|date=27 avril 2023}}, en collaboration avec [[Laurent Fargues]], il a donné un point de vue plus géométrique sur son programme, en en décrivant tous les objets en termes de fibrés sur une courbe aux propriétés surprenantes (la courbe de Fargues-Fontaine){{Référence nécessaire|date=27 avril 2023}}.

Ses principales contributions{{Références nécessaires|date=27 avril 2023}} à son programme sont les suivantes :
* une classification<ref>Groupes <math>p</math>-divisibles sur les corps locaux. Astérisque 47-48 (1977).</ref> des groupes <math>p</math>-divisibles sur les corps locaux ;
* la théorie du « corps des normes »<ref>Le « corps des normes » de certaines extensions algébriques de corps locaux. C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A-B, 288 (1979) A367–A370, (avec [[Jean-Pierre Wintenberger]]).</ref> (en collaboration avec [[Jean-Pierre Wintenberger]]) qui fournit un lien entre le groupe de Galois absolu de <math>\mathbb{Q}_p</math>, corps des nombres <math>p</math>-adiques, et celui du corps <math>\mathbb{F}_p((T))</math>. Cette théorie est une précurseur de la théorie du basculement (''tilting'') de [[Peter Scholze]] et a donné naissance, quinze ans plus tard{{Quand|date=27 avril 2023}}, à la théorie des <math>(\varphi,\Gamma)</math>-modules ;
* la construction de l'anneau <math>B_{\mathrm{dR}}</math><ref>Sur certains types de représentations <math>p</math>-adiques du groupe de Galois d’un corps local; construction d’un anneau de Barsotti-Tate. Ann. of Math. 115 (1982) 529–577.</ref> des « périodes <math>p</math>-adiques » (contenant, en particulier, un <math>2i\pi</math> <math>p</math>-adique) et de ses sous-anneaux <math>B_{\mathrm{cris}}</math><ref>Cohomologie de de Rham, cohomologie cristalline et représentations <math>p</math>-adiques. In ''Algebraic geometry (Tokyo/Kyoto, 1982)'', Lecture Notes in Math. 1016, 86–108. Springer, 1983.</ref>, <math>B_{\mathrm{st}}</math><ref>Le corps des périodes <math>p</math>-adiques. Astérisque 223 (1994) 59–111. Périodes <math>p</math>-adiques (Bures-sur-Yvette, 1988).</ref> qui jouent le rôle, en théorie de Hodge <math>p</math>-adique (pour la comparaison entre les cohomologie de [[cohomologie cristalline|de Rham]] et [[cohomologie étale|étale]], conjectures <math>\mathrm{C}_{\mathrm{dR}}</math>, <math>\mathrm{C}_{\mathrm{cris}}</math>, <math>\mathrm{C}_{\mathrm{st}}</math> de Fontaine), du corps <math>\Complex</math> des nombres complexes en [[théorie de Hodge]] classique (pour la comparaison entre les cohomologies de [[cohomologie de De Rham|de Rham]] et [[homologie singulière|singulière]]) ;
* la hiérarchie<ref>Représentations <math>p</math>-adiques semi-stables. Astérisque 223 (1994) 113–184. Périodes <math>p</math>-adiques (Bures-sur-Yvette, 1988)</ref> « cristalline, semi-stable, de Rham » pour les représentations des groupes de Galois des corps locaux qui découle des propriétés des anneaux de périodes <math>p</math>-adiques, la description des représentations cristallines en « petits poids » (théorie de Fontaine-Laffaille<ref>Construction de représentations <math>p</math>-adiques. Ann. Sci. École Norm. Sup. 15 (1982) 547–608 (avec Guy Laffaille).</ref>), et la description conjecturale des représentations de de Rham (conjectures « faiblement admissible <math>\Rightarrow</math> admissible » et « de Rham <math>\Rightarrow</math> potentiellement semi-stable ») ;
* la preuve<ref><math>p</math>-adic periods and <math>p</math>-adic étale cohomology. In Current trends in arithmetical algebraic geometry (Arcata, Calif., 1985), Contemp. Math. 67, 179–207. Amer. Math. Soc., 1987. (avec [[William Messing]])</ref> (avec [[William Messing]]) de la conjecture <math>\mathrm{C}_{\mathrm{cris}}</math> dans « le cas Fontaine-Laffaille » (les conjectures <math>\mathrm{C}_{\mathrm{dR}}</math>, <math>\mathrm{C}_{\mathrm{cris}}</math>, <math>\mathrm{C}_{\mathrm{st}}</math> ont donné naissance à beaucoup de travaux, notamment de [[Gerd Faltings]]<ref>Crystalline cohomology and <math>p</math>-adic Galois representations, in Algebraic Analysis, Geometry and Number Theory, The Johns Hopkins Univ. Press (1989), 25–80.</ref>{{,}}<ref>Almost étale extensions, Astérisque 279 (2002), 185–270.</ref>, [[Kazuya Kato]]<ref>Semistable reduction and <math>p</math>-adic étale cohomology, Astérisque 223 (1994), 269–293.</ref>, Takeshi Tsuji<ref><math>p</math>-adic étale cohomology and crystalline cohomology in the semi-stable reduction case, Invent. math. 137 (1999), 233–411.</ref>, [[Wiesława Nizioł]]<ref>Crystalline Conjecture via K-theory, Ann. Sci. École Norm. Sup. 31 (1998), 659–681.</ref>{{,}}<ref>Semistable Conjecture via K-theory, Duke Math. J. 141 (2008), 151–178.</ref>{{,}}<ref>Syntomic complexes and <math>p</math>-adic nearby cycles, Invent. math. 208 (2017), 1–108 (avec [[Pierre Colmez]]).</ref>, [[Alexander Beilinson]]<ref><math>p</math>-adic periods and derived de Rham cohomology, J. Amer. Math. Soc. 25 (2012), 715–738.</ref>{{,}}<ref>On the crystalline period map, Cambridge J. Math. 1 (2013), 1–51.</ref> et [[Peter Scholze]]<ref><math>p</math>-adic Hodge theory for rigid-analytic varieties, [[Forum of Mathematics]], Pi, 1, e1, 2013.</ref>, et sont maintenant des théorèmes);
* la théorie des <math>(\varphi,\Gamma)</math>-modules<ref>Représentations <math>p</math>-adiques des corps locaux. I. In The Grothendieck Festschrift, Vol. II, Progr. Math. 87, 249–309. Birkhäuser, 1990.</ref> qui fournit une description de toutes les représentations du groupe de Galois des corps locaux sur un corps <math>p</math>-adique, et son application à la [[cohomologie galoisienne]] de ces représentations ;
* la conjecture de Fontaine-Mazur<ref>Geometric Galois representations. In Elliptic curves, modular forms, & Fermat’s last theorem (Hong Kong, 1993), Ser. Number Theory, I, 41–78. Int. Press, 1995 (avec [[Barry Mazur]]).</ref> donnant un critère nécessaire et suffisant, en termes de la hiérarchie « cristalline, semi-stable, de Rham » pour qu'une représentation du groupe de Galois d'un [[corps global]] provienne de la géométrie ;
* la preuve<ref>Construction des représentations <math>p</math>-adiques semi-stables. Invent. Math., 140 (2000) 1–43 (avec [[Pierre Colmez]]).</ref> (avec [[Pierre Colmez]]) de la conjecture « faiblement admissible <math>\Rightarrow</math> admissible » (la conjecture « de Rham <math>\Rightarrow</math> potentiellement semi-stable » a été prouvée par une combinaison de résultats de Laurent Berger<ref>Représentations <math>p</math>-adiques et équations différentielles, Invent. math. 148 (2002), 219–284.</ref> et de [[Yves André]]<ref>Filtrations de type Hasse-Arf et monodromie <math>p</math>-adique, Invent. math. 148 (2002), 285–317.</ref>, [[Zoghman Mebkhout]]<ref>Analogue <math>p</math>-adique du théorème de Turritin et le théorème de la monodromie <math>p</math>-adique, Invent. math. 148 (2002), 319–351.</ref> ou [[Kiran Kedlaya]]<ref>A <math>p</math>-adic monodromy theorem, Ann. of Math. 160 (2004), 93–184.</ref>) ;
* la théorie<ref>Presque <math>\mathbb{C}_p</math>-représentations. Doc. Math., (Extra Vol. 2003) 285–385. Kazuya Kato’s fiftieth birthday.</ref> des « presque <math>\mathbb{C}_p</math>-représentations » (représentations du groupe de Galois absolu d'un corps local sur des <math>\mathbb{Q}_p</math>-espaces de Banach qui ne diffèrent de <math>\mathbb{C}_p^d</math>que par un <math>\mathbb{Q}_p</math>-espace de dimension finie -- <math>\mathbb{C}_p</math> est le complété de la clôture algébrique de <math>\mathbb{Q}_p</math>) ;
* la construction (avec [[Laurent Fargues]]) de la courbe de Fargues-Fontaine<ref>Courbe et fibrés vectoriels en théorie de Hodge <math>p</math>-adique. Astérisque 406 (2018) 51–382 (avec Laurent Fargues).</ref> et classification de ses fibrés vectoriels dont on tire des preuves « géométriques » des conjectures « faiblement admissible <math>\Rightarrow</math> admissible » et « de Rham <math>\Rightarrow</math> potentiellement semi-stable ».

Comme applications de son programme{{Référence nécessaire|date=27 avril 2023}}, il a aussi :
* prouvé<ref>Il n’y a pas de variété abélienne sur <math>\mathbb{Z}</math>. Invent. Math. 81 (1985) 515–538.</ref> une conjecture de [[Igor Chafarevitch|Shafarevich]] selon laquelle il n'y a pas de [[variété abélienne]] définie sur <math>\mathbb{Q}</math> avec bonne réduction modulo tout [[nombre premier]] (i.e., pas de schéma abélien sur <math>\mathbb{Z}</math>) ;
* reformulé et étendu<ref>Autour des conjectures de Bloch et Kato: cohomologie galoisienne et valeurs de fonctions L. In Motives (Seattle, WA, 1991), Proc. Sympos. Pure Math. 55, 599–706. Amer. Math. Soc., 1994 (avec [[Bernadette Perrin-Riou]]).</ref> (avec [[Bernadette Perrin-Riou]]) les conjectures de [[Alexander Beilinson|Beilinson]] et de [[Spencer Bloch|Bloch]] et [[Kazuya Kato|Kato]] sur les valeurs des fonctions <math>L</math> aux entiers.

== Honneurs et distinctions ==
En 1975, il est chargé d'un ''[[cours Peccot]]'' au Collège de France<ref>[http://annuaire-cdf.revues.org/226#tocto2n8 ''Liste des chargés de cours Peccot''], Annuaire du Collège de France.</ref>. En 1984, Jean-Marc Fontaine reçoit le [[prix Petit d'Ormoy, Carrière, Thébault]] de l'Académie des sciences. Depuis 2002, il est membre de l'Académie des sciences. En 2002 aussi, il est lauréat du [[Prix Gay-Lussac Humboldt]]. Il était conférencier invité aux [[Congrès international des mathématiciens]] à Varsovie en 1983 (''Représentations p-adique'') et à Pékin en 2002 (''Analyse p-adique et représentations galoisiennes'').

Parmi ses anciens doctorants, il y a [[Christophe Breuil]] (1996), [[Pierre Colmez]] (1988), Guy Laffaille (1984) et [[Jean-Pierre Wintenberger]] (1984).

== Publications ==
* ''Groupes p-divisibles sur les corps locaux''. Astérisque, vol. 47/48, [[Société mathématique de France|Société Mathématique de France]], 1977.
* Éditeur de : ''Périodes p-adiques''. Astérisque, vol .223, 1994.
* Éditeur, avec [[Pierre Berthelot (mathématicien)|Pierre Berthelot]], [[Luc Illusie]], [[Kazuya Kato]], [[Michael Rapoport]], de : ''Cohomologies <math>p</math>-adiques et applications arithmétiques''. Astérisque vol. 278/279, 2002.
* ''Courbes et fibrés vectoriels en théorie de Hodge p-adique'' avec [[Laurent Fargues]]. Astérisque, vol. 406, Société Mathématique de France, 2018.

== Notes et références ==
{{Références}}
{{Traduction/Référence|de|Jean-Marc Fontaine|134426423|type=note}}

== Liens externes ==
{{autres projets|Commons=Category:Jean-Marc Fontaine}}
{{liens}}
* {{Article|langue=fr|auteur1=[[Pierre Colmez|P. Colmez]], [[Jean-Pierre Serre|J.-P. Serre]], [[Luc Illusie|L. Illusie]], Y. Ouyang, [[Laurent Fargues|L. Fargues]], M. Kisin|titre=Hommages à Jean-Marc Fontaine et Jean-Pierre Wintenberger|périodique=[[Gazette des mathématiciens]]|tome=162|date=octobre 2019|pages=14 et suivantes|lire en ligne=https://smf.emath.fr/sites/default/files/2019-10/Hommages-FontaineWintenberger_compressed__sample.pdf|consulté le=7 décembre 2019}}.

{{Portail|mathématiques|France}}

{{DEFAULTSORT:Fontaine, Jean-Marc}}
[[Catégorie:Mathématicien français du XXe siècle]]
[[Catégorie:Mathématicien français du XXIe siècle]]
[[Catégorie:Théoricien des nombres]]
[[Catégorie:Géométrie algébrique]]
[[Catégorie:Membre de l'Académie des sciences (France)]]
[[Catégorie:Membre ou ex-membre du laboratoire de mathématiques d'Orsay]]
[[Catégorie:Lauréat de l'Académie des sciences (France)]]
[[Catégorie:Naissance à Boulogne-Billancourt]]
[[Catégorie:Naissance en mars 1944]]
[[Catégorie:Décès en janvier 2019]]
[[Catégorie:Décès dans le 12e arrondissement de Paris]]
[[Catégorie:Décès à 74 ans]]