Voir la source de Lagrangien

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En [[physique]], le '''lagrangien''' d'un [[système dynamique]] est une [[fonction (mathématiques)|fonction]] des [[Variable (mathématiques)|variables]] dynamiques qui permettent d'écrire de manière concise les [[équations du mouvement]] du système. Son nom vient de [[Joseph-Louis Lagrange]], qui a établi les principes du procédé (à partir de [[1788 en science|1788]]). Auparavant, la mécanique dite [[Mécanique newtonienne|newtonienne]] était le formalisme dominant, basé sur le concept de [[Force (physique)|force]] ; le formalisme de Lagrange est basé sur les énergies ([[Énergie cinétique|cinétique]] et [[Énergie potentielle|potentielle]]) ; il facilite l'étude de la dynamique des systèmes soumis à des contraintes (voir par exemple le cas du [[Courbe brachistochrone|brachistochrone]]) ; pour les systèmes décrits par les équations de Newton, celles-ci se déduisent du formalisme lagrangien (voir infra). Au {{Siècle|XIX|Dix-neuvième}}, [[William Rowan Hamilton|W.R.Hamilton]] reformulera les équations de Lagrange, sous une forme qui s'avérera très adaptée à la [[mécanique quantique]]<ref name=":2" />. 

Le concept de lagrangien a pris une importance fondamentale en physique classique<ref name=":0">{{Ouvrage|prénom1=Lev Davidovič|nom1=Landau|prénom2=Evgenij Mihailovič|nom2=Lifšic|prénom3=Sergeï|nom3=Medvedev|titre=Théorie des champs|éditeur=Éd. Mir Ellipses|collection=Physique théorique|date=1994|isbn=978-2-7298-9403-0|consulté le=2023-10-19}}</ref> (voir la page [[équations de Lagrange]]) et quantique<ref name=":1">{{Ouvrage|prénom1=Jean-Pierre|nom1=Derendinger|titre=Théorie quantique des champs|éditeur=Presses Polytechniques et Universitaires Romandes|date=2001|isbn=978-2-88074-491-5|consulté le=2023-10-19}}</ref> (voir la page [[Lagrangien (théorie des champs)|lagrangien en théorie des champs]])  comme base du [[principe de moindre action]] ; le [[Théorème de Noether (physique)|théorème d'E. Noether]] établit le lien entre les symétries du lagrangien d'un système et les [[Grandeur physique|grandeurs physiques]] conservées<ref>{{Article|auteur1=Gérard Serra|auteur2=Marc Ménétrier|titre=Les théorèmes de Noether|périodique=Bulletin de l'Union des professeurs de physique et de chimie|volume=103|date=Mai 2009|lire en ligne=https://marchettibenjamin.files.wordpress.com/2019/05/article-bup_20415.pdf|format=pdf|pages=549-561}}</ref>.

== Les équations du mouvement ==
Considérons un [[système dynamique]] repéré par des paramètres de position {{mvar|q{{ind|i}}}} (aussi appelés [[coordonnées généralisées]]<ref name="Goldstein">{{ouvrage|auteur=Herbert Goldstein|titre=Mécanique classique|trad=A. et Ch.  Moubacher|préface=Théo Kahan |éditeur=P.U.F.|année=1964|chap=I. Vue d'ensemble sur les principes élémentaires|passage=13}}.</ref>). Au cours du temps, ces paramètres varient, leur vitesse de variation étant <math>\dot q_i = \frac{\mathrm dq_i}{\mathrm dt}</math>. L'ensemble des paramètres <math>\varphi_i</math> du système est constitué des {{mvar|q{{ind|i}}}}, des <math>\dot q_i</math> et du temps ''t''. Dans un grand nombre de situations, il est possible de définir une fonction <math>\mathcal L[\varphi_i]</math> telle que, si on pose :

<math display=block>p_i = \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot q_i}</math>

(la [[dérivée partielle]] étant calculée comme si les paramètres étaient indépendants entre eux), alors les [[équation du mouvement|équations du mouvement]] sont données par<ref name="Hakim">{{ouvrage|auteur=Rémi Hakim |titre= Mécanique |éditeur=Armand Colin|collection=Cursus|année=1995|isbn=2200215878|chap=6. Notions de mécanique analytique|passage=135}}</ref> :

<math display=block> \frac{\mathrm dp_i}{\mathrm dt} = \frac{\partial \mathcal L}{\partial q_i}</math>

Formellement, on constate que ces équations s'obtiennent par application du [[principe de moindre action]] (ou principe d'action extrémale), qui s'écrit :

<math display=block>\frac{\delta \mathcal{S}}{\delta \varphi_i} = 0 </math>

avec l'[[Action (physique)|action]] <math> \mathcal{S}[\varphi_i] = \int{\mathcal{L}[\varphi_i(s)]{}\,\mathrm d^ns}</math>.

Les équations du mouvement obtenues sont alors équivalentes aux [[équation d'Euler-Lagrange|équations d'Euler-Lagrange]] issues du principe précédent. Un système dynamique dont les équations du mouvement peuvent s'obtenir à partir d'un lagrangien est un ''système dynamique lagrangien''. C'est le cas de la version classique du [[modèle standard (physique des particules)|modèle standard]], des [[Lois du mouvement de Newton|équations de Newton]], des équations de la [[relativité générale]], et de problèmes purement mathématiques comme les [[équation des géodésiques|équations des géodésiques]] ou le [[problème de Plateau]].

== Lagrangien en mécanique classique ==

La mécanique lagrangienne fut historiquement une reformulation de la [[mécanique classique]] à l'aide du concept de lagrangien<ref name=":2">{{Ouvrage|prénom1=Roger|nom1=Penrose|prénom2=Céline|nom2=Laroche|titre=À la découverte des lois de l'univers: la prodigieuse histoire des mathématiques et de la physique|éditeur=O. Jacob|date=2007|isbn=978-2-7381-1840-0|consulté le=2023-10-19|titre chapitre=Ch. 20 - Lagrangiens et hamiltoniens}}</ref>. Dans ce contexte, le lagrangien est généralement défini<ref>{{Ouvrage|prénom1=Leonard|nom1=Susskind|prénom2=Art|nom2=Friedman|prénom3=André|nom3=Cabannes|prénom4=Benoît|nom4=Clenet|titre=Relativité restreinte et théorie classique des champs: le minimum théorique tout ce que vous avez besoin de savoir pour commencer à faire de la physique|éditeur=Presses polytechniques et universitaires romandes|collection=Le minimum théorique|date=2018|isbn=978-2-88915-218-6|consulté le=2023-10-19}}</ref> par la différence entre l'[[énergie cinétique]] ''E{{ind|c}}'' = ''T'' et l'[[énergie potentielle]] ''E{{ind|p}}'' = ''V''  :

<math display=block>\mathcal L= E_c - E_p = T - V</math>

Avec ce formalisme, l'équation de Lagrange s'écrit :

<math display=block>\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot q_k} = \frac{\partial \mathcal L}{\partial q_k}</math>

{{Démonstration|Considérons un système constitué de points matériels de masse {{mvar|m{{ind|i}}}}. Les positions <math>\vec r_i</math> de ces points sont fonction des paramètres de position {{mvar|q{{ind|k}}}}, ces derniers variant au cours du temps. Ces points sont soumis à des forces de liaison <math>\vec f_i</math> , la résultante des autres forces étant <math>\vec F_i</math>. S'il n'y a pas de frottement, le travail virtuel des forces de liaison lors d'un déplacement virtuel <math>\delta \vec r_i</math> est nul. La vitesse de chaque particule est donnée par :
<math display=block>\dot \vec r_i = \frac{\mathrm d\vec r_i}{\mathrm dt} = \sum_j \frac{\partial \vec r_i}{\partial q_j} \frac{\mathrm dq_j}{\mathrm dt} = \sum_j \frac{\partial \vec r_i}{\partial q_j} \dot q_j</math>
C'est une fonction de ''t'', des {{mvar|q{{ind|j}}}} et des <math>\dot q_j</math>. 

L'énergie cinétique du système est donnée par :
<math display=block>T = \frac{1}{2} \sum_i m_i {\dot \vec r_i}\,^2.</math>
On a, compte tenu de l'expression précédente de <math>\dot \vec r_i</math> :
<math display=block>\frac{\partial T}{\partial \dot q_k} = \sum_i m_i \left\langle \dot \vec r_i, \frac{\partial \dot \vec r_i}{\partial \dot q_k} \right\rangle = \sum_i m_i \left\langle \dot \vec r_i, \frac{\partial \vec r_i}{\partial q_k} \right\rangle</math>
où l'on a noté ⟨ , ⟩  le produit scalaire entre vecteurs. On a donc :
<math display=block>\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \frac{\partial T}{\partial \dot q_k} = \sum_i m_i \left\langle \ddot \vec r_i, \frac{\partial \vec r_i}{\partial q_k} \right\rangle + \sum_i m_i \left\langle \dot \vec r_i, \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \frac{\partial \vec r_i}{\partial q_k} \right\rangle = \sum_i m_i \left\langle \ddot \vec r_i, \frac{\partial \vec r_i}{\partial q_k} \right\rangle + \sum_i m_i \left\langle \dot \vec r_i, \sum_j \frac{\partial^2 \vec r_i}{\partial q_k \partial q_j} \dot q_j \right\rangle.</math>
Mais <math>\sum_j \frac{\partial^2 \vec r_i}{\partial q_k \partial q_j} \dot q_j</math> n'est autre que <math>\frac{\partial {}}{\partial q_k} \sum_j \frac{\partial \vec r_i}{\partial q_j} \dot q_j = \frac{\partial \dot \vec r_i}{\partial q_k}</math>. Donc :
<math display=block>\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \frac{\partial T}{\partial \dot q_k} = \sum_i m_i \left\langle \ddot \vec r_i, \frac{\partial  \vec r_i}{\partial q_k} \right\rangle + \sum_i m_i \left\langle \dot \vec r_i,\frac{\partial \dot \vec r_i}{\partial q_k} \right\rangle = \sum_i m_i \left\langle \ddot \vec r_i, \frac{\partial \vec r_i}{\partial q_k} \right\rangle + \frac{\partial T}{\partial q_k}</math>
donc :
<math display=block>\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \frac{\partial T}{\partial \dot q_k} - \frac{\partial T}{\partial q_k}= \sum_i m_i \left\langle \ddot \vec r_i, \frac{\partial \vec r_i}{\partial q_k} \right\rangle.</math>
L'application du principe fondamental de la dynamique donne, en tenant compte que, en ce qui concerne les forces de liaisons, <math>\left\langle \vec f_i, \frac{\partial \vec r_i}{\partial q_k} \right\rangle = 0</math> :
<math display=block>\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \frac{\partial T}{\partial \dot q_k} - \frac{\partial T}{\partial q_k}= \sum_i \left\langle \vec F_i, \frac{\partial \vec r_i}{\partial q_k} \right\rangle.</math>
Supposons que chaque force <math>\vec F_i</math> dérive d'un potentiel {{mvar|U{{ind|i}}}} fonction de <math>\vec r_i</math>, de sorte que <math>\vec F_i = - \vec \nabla U_i</math> (où <math>\vec \nabla</math> désigne le gradient). On a alors :
<math display=block> \left\langle \vec F_i, \frac{\partial \vec r_i}{\partial q_k}\right\rangle = - \left\langle \vec \nabla U_i, \frac{\partial \vec r_i}{\partial q_k} \right\rangle = - \frac{\partial U_i}{\partial q_k}</math>
et donc : 
<math display=block>\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \frac{\partial T}{\partial \dot q_k} - \frac{\partial T}{\partial q_k}= - \sum_i \frac{\partial U_i}{\partial q_k} = - \frac{\partial V}{\partial q_k}</math>
en prenant pour {{mvar|V}} la somme des {{mvar|U{{ind|i}}}}. La fonction {{mvar|V}} ne dépend que des {{mvar|q{{ind|k}}}} donc, si l'on pose <math>\mathcal L= T - V</math>, on obtient :
<math display=block>\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot q_k} = \frac{\partial \mathcal L}{\partial q_k}</math>
qui est bien l'équation de Lagrange annoncée.}}

=== Non-unicité du lagrangien ===

Pour un lagrangien <math>L=L(q_i, \dot{q}_i, t)</math> donné, s'il est possible de le réécrire comme <math>L=L'+\frac{\mathrm dF(q_i, t)}{\mathrm dt}</math> où {{mvar|F}} est une [[Continuité (mathématiques)|fonction continue]] et différentiable quelconque des coordonnées généralisées du système, alors  <math>L'</math> satisfait aussi les équations d'Euler-Lagrange.

{{Démonstration|titre=Démonstration|contenu=
Soit un lagrangien <math>L=L(q_i, \dot{q}_i, t)</math>. On suppose que l'on peut le réécrire comme <math>L = L'+\frac{\mathrm dF}{\mathrm dt}</math> où <math>F=F(q_i, t)</math> est une fonction quelconque des coordonnées généralisées et du temps (une telle fonction peut survenir en effectuant une transformation des coordonnées du système par exemple). Dans ce cas, on a :

<math display=block>
\begin{align}
0 &=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}\right)-\frac{\partial L}{\partial q_i}\\
  &= \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left(\frac{\partial L'}{\partial\dot q_i}\right) - \frac{\partial L'}{\partial q_i} + \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left(\frac{\partial}{\partial \dot q_i}\frac{\mathrm dF}{\mathrm dt}\right) - \frac{\partial}{\partial q_i}\frac{\mathrm dF}{\mathrm dt}.\end{align}
</math>

On peut réécrire la dérivée totale de {{mvar|F}} comme :

<math display=block>
\begin{align}
\frac{\mathrm dF}{\mathrm dt} &= \sum_k\frac{\partial F}{\partial q_k}\frac{\mathrm dq_k}{\mathrm dt} + \frac{\partial F}{\partial t}\\
  &= \sum_k\frac{\partial F}{\partial q_k}\dot q_k + \frac{\partial F}{\partial t}\\
\end{align}
</math>

Donc <math>\frac{\partial}{\partial\dot q_i}\frac{\mathrm dF}{\mathrm dt} =\frac{\partial F}{\partial q_i}</math>. On insère ceci dans l'équation d'Euler-Lagrange plus haut :

<math display=block>
\begin{align}
0 &= \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left(\frac{\partial L'}{\partial\dot{q}_i}\right) - \frac{\partial L'}{\partial q_i} + \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\frac{\partial F}{\partial q_i} - \frac{\partial}{\partial q_i}\frac{\mathrm dF}{\mathrm dt}\\
&=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left(\frac{\partial L'}{\partial\dot{q}_i}\right) - \frac{\partial L'}{\partial q_i}
\end{align}
</math>

et ainsi, on voit que le lagrangien <math>L'</math> satisfait aussi les équations d'Euler-Lagrange.
}}

Cette propriété de transformation du lagrangien démontre que le lagrangien d'un système n'est jamais unique, car on peut toujours ajouter un terme de la forme <math>\frac{\mathrm dF}{\mathrm dt}</math> à un lagrangien tout en conservant les équations du mouvement.

=== Un exemple en coordonnées cartésiennes ===

''La [[dérivée]] temporelle d'une variable est indiquée par un point porté au-dessus de celle-ci. Ainsi si <math>\vec{x}</math> est la position, <math>\vec{v}=\dot{\vec{x}}</math> désigne la vitesse et <math>\vec{a}=\dot{\vec{v}}=\ddot{\vec{x}}</math> l'accélération.''

Le lagrangien d'une particule de masse ''m'' non [[relativiste]] dans un [[espace euclidien]] à trois dimensions, soumise à un [[Potentiel newtonien|potentiel]] {{math|''E<sub>p</sub>''}} s'écrit :

<math display="block">L(\vec{x}, \dot{\vec{x}}) \ = \ E_c - E_p \ = \ \frac{1}{2} \ m \ {\vec{v}}^2 \ - \ V(\vec{x}) \ = \ \frac{1}{2} \ m \ \dot{\vec{x}}^2 \ - \ V(\vec{x})</math>

ou encore 
<math display=block>L(\vec{x}, \dot{\vec{x}}) \ = \ \frac{\vec{p}\,^2}{2m} \ \ - \ V(\vec{x})</math>
où ''p'' est la [[quantité de mouvement]] : 
<math display=block>\vec{p} \ = \ m \ {\vec{v}} \ = \ m \ \dot{\vec{x}}</math> 

Appliquons les équations d'Euler-Lagrange en [[coordonnées cartésiennes]] :
<math display=block>\frac{\mathrm d~}{\mathrm dt} \ \left( \, \frac{\partial L}{\partial \dot{x}_i} \, \right) \ - \ \frac{\partial L}{\partial x_i} \ = \ 0</math>
où l'indice ''i'' désigne l'une des 3 variables spatiales : {{math|''x''{{ind|1}} {{=}} ''x''}}, {{math|''x''{{ind|2}} {{=}} ''y''}} et {{math|''x''{{ind|3}} {{=}} ''z''}}. Les dérivées respectives de <math>L(\vec{x}, \dot{\vec{x}})</math> donnent alors :

<math display=block> \frac{\partial L}{\partial x_i} \ = \ - \ \frac{\partial V}{\partial x_i} </math>

<math display=block> \frac{\partial L}{\partial \dot{x}_i} \ = \ \frac{\partial ~}{\partial \dot{x}_i} \, \left( \, \frac{1}{2} \ m \ \dot{\vec{x}}^2 \, \right) \ = \ m \, \dot{x}_i </math>

<math display=block>\frac{\mathrm d~}{\mathrm dt} \ \left( \, \frac{\partial L}{\partial \dot{x}_i} \, \right) \ = \ m \, \ddot{x}_i </math>

donc on obtient explicitement pour chaque axe spatial {{ind|''i''}} :

<math display=block> m \, \ddot{x}_i \ + \ \frac{\partial V}{\partial x_i} \ = \ 0</math>

Dans un [[référentiel galiléen]] et lorsque la force dérive du potentiel ''V''

<math display="block">\vec{F}_{\text{resultante}} \ = \ - \ \vec{\nabla} V(\vec{x})</math>
on retrouve bien la [[Lois du mouvement de Newton#Deuxième loi de Newton ou principe fondamental de la dynamique|deuxième loi de Newton]] :

<math display="block">m \ \vec{a} \ = m \ \ddot{\vec{x}} \ = \ \vec{F}_{\text{resultante}}.</math>

=== En coordonnées sphériques ===

Soit un espace à trois dimensions en [[coordonnées sphériques]] <math>(r,\theta,\varphi)</math>, et le lagrangien :

<math display="block">L = \frac{m}{2}\left( \dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2 +r^2\sin^2(\theta) \, \dot{\varphi}^2 \right)-V(r, \theta, \varphi).</math>

Les équations d'Euler-Lagrange s'écrivent alors :
<math display=block>\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left( \frac{\delta(L)}{\delta(\dot{r})} \right) - \frac{\delta(L)}{\delta(r)} = 0</math>
<math display=block>\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left( \frac{\delta(L)}{\delta(\dot{\theta})} \right) - \frac{\delta(L)}{\delta(\theta)} = 0</math>
<math display=block>\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left( \frac{\delta(L)}{\delta(\dot{\varphi})} \right) - \frac{\delta(L)}{\delta(\varphi)} = 0.</math>

Soit ici :

<math display="block">m\, \ddot{r}-m\,r \left( \dot{\theta}^2+\sin^2(\theta)\,\dot{\varphi}^2\right) + V_r' =0,</math>

<math display="block">\left( m \, r^2 \, \ddot{\theta} \right) + 2 \, m \, r \, \dot{r}\dot{\theta} -m \, r^2\sin(\theta)\cos(\theta) \, \dot{\varphi}^2 + V_{\theta}'=0,</math>

<math display="block">m \left(r^2\sin^2(\theta) \, \ddot{\varphi} + 2 \, r \, \dot{r} \sin^2(\theta) \, \dot{\varphi} + 2\, r^2 \cos(\theta) \sin(\theta) \, \dot{\theta} \, \dot{\varphi} \right)+ V_{\varphi}' =0.</math>

Ici l'ensemble des paramètres <math>s_i</math> se réduit au temps <math>t</math>, et les variables dynamiques <math>\varphi_i(s)</math> sont les trajectoires <math>\vec x(t)</math> des particules.

== Lagrangien dans la théorie des champs ==
=== Notation ===
L'[[Intégration (mathématiques)|intégrale]] du lagrangien sur le temps est l'[[Action (physique)|action]], notée <math>S</math>. Dans la théorie des [[Champ (physique)|champs]], on distingue parfois le lagrangien <math>L</math>, dont l'intégrale sur le temps est l'action :
: <math display=block>S = \int{L \,\mathrm dt}</math>

de la densité lagrangienne <math>\mathcal{L}</math>, qu'on intègre sur tout l'[[espace-temps]] pour obtenir l'action :
: <math display=block>S [\varphi_i] = \int{\mathcal{L} [\varphi_i (x)]\,\mathrm d^4x}.</math>

Le lagrangien est ainsi l'intégrale spatiale de la densité lagrangienne. Cependant, on appelle souvent <math>\mathcal{L}</math> simplement le lagrangien, surtout dans l'usage moderne. C'est plus simple dans les [[Théorie de la relativité|théories relativistes]] où l'espace est défini localement. Ces deux types de lagrangiens peuvent être vus comme des cas particuliers d'une formule plus générale, selon qu'on introduit la variable spatiale <math>\vec x</math> dans les indices <math>i</math> ou dans les paramètres <math>s</math> pour écrire <math>\varphi_i(s)</math>. Les [[mécanique quantique|théories quantiques]] des champs en [[physique des particules]], comme l'[[électrodynamique quantique]], sont généralement écrites en termes de densités de lagrangiens <math>\mathcal{L}</math>, ces termes se transformant facilement pour donner les règles permettant d'évaluer les [[Diagramme de Feynman|diagrammes de Feynman]].

=== Équations d'Euler-Lagrange ===

Les équations d'Euler-Lagrange en théorie des champs s'écrivent <math>\forall i</math> :

<math display=block>
0 = \partial_\mu\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\varphi_i)}\right) - \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\varphi_i}.
</math>

=== Non-unicité de la densité lagrangienne en théorie des champs classique ===

Comme pour la non-unicité du lagrangien, la densité lagrangienne en théorie des champs n'est pas unique. En effet, soit une densité lagrangienne <math>\mathcal{L}</math> alors, si on peut la réécrire comme <math>\mathcal{L}=\mathcal{L}' + \partial_\mu F^\mu</math> où <math>F^\mu = F^\mu[\varphi, x]</math> est un quadrivecteur qui dépend uniquement des champs (et non de leurs dérivées) et du vecteur d'espace-temps, alors <math>\mathcal{L}'</math> satisfait les mêmes équations d'Euler-Lagrange que <math>\mathcal L</math>.

{{Démonstration|titre=Démonstration|contenu=
En partant des équations d'Euler-Lagrange de la densité lagrangienne originale, on a pour tout <math>i</math> :

<math display=block>
\begin{align}
0 &= \partial_\mu\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\varphi_i)}\right) - \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\varphi_i}\\
&= \partial_\mu\left(\frac{\partial\mathcal{L}'}{\partial(\partial_\mu\varphi_i)}\right) - \frac{\partial\mathcal{L}'}{\partial\varphi_i} + \partial_\mu\left[\frac{\partial}{\partial(\partial_\mu\varphi_i)}\partial_\nu F^\nu\right] - \frac{\partial}{\partial\varphi_i}\partial_\nu F^\nu\end{align}</math>

On peut réécrire la quadridivergence du vecteur <math>F^\nu</math> comme :
<math display=block>
\begin{align}
\partial_\mu F^\mu[\varphi_i, x] &= \sum_i\frac{\partial F^\mu}{\partial\varphi_i}\partial_\mu\varphi_i\\
\rightarrow \frac{\partial}{\partial(\partial_\mu\varphi_i)}\partial_\nu F^\nu &= \frac{\partial F^\nu}{\partial\varphi_i}.
\end{align}</math>

Ainsi, en insérant cette identité dans l'équation du haut on obtient :
<math display=block>
\begin{align}
0 &= \partial_\mu\left(\frac{\partial\mathcal{L}'}{\partial(\partial_\mu\varphi_i)}\right) - \frac{\partial\mathcal{L}'}{\partial\varphi_i} + \partial_\mu\left[\frac{\partial F^\mu}{\partial\varphi_i}\right] - \frac{\partial}{\partial\varphi_i}\partial_\nu F^\nu\\
&= \partial_\mu\left(\frac{\partial\mathcal{L}'}{\partial(\partial_\mu\varphi_i)}\right) - \frac{\partial\mathcal{L}'}{\partial\varphi_i}
\end{align}</math>

et ainsi, la densité lagrangienne <math>\mathcal L'</math> satisfait les mêmes équations d'Euler-Lagrange que la densité <math>\mathcal L</math>.
}}

=== Lagrangien d'une particule chargée ===
En général, en mécanique classique lagrangienne, le lagrangien vaut<ref name=":0" /> :
<math display=block> L = T - V </math>
Où ''T'' est l'énergie cinétique et ''V'' l'énergie potentielle.

Étant donné une particule chargée électriquement de masse ''m'' et [[Charge électrique|charge]] ''q'', et de vitesse <math>\vec{v}</math> dans un champ électromagnétique de [[potentiel électrique|potentiel scalaire]] <math>\phi</math>, et de [[Potentiel vecteur du champ magnétique|potentiel vecteur]] <math>\vec{A}</math>, l'énergie cinétique de la particule est :
<math display=block> T = {1 \over 2} m \vec v\cdot \vec v</math>
et son énergie potentielle est :
<math display=block> V = q\phi - q \vec v\cdot \vec A.</math>

Le lagrangien électromagnétique est alors (voir ref<ref name=":0" />, chapitre 3) :
<math display=block> L = {1 \over 2} m \vec v\cdot \vec v- q\phi + q \vec v\cdot \vec A.</math>

{{Démonstration|titre=Démonstration|déroulante=oui|contenu=
Cet encart explique comment on peut établir l'expression du lagrangien. 

Le lagrangien électromagnétique se construit à partir de l'expression de la [[force de Lorentz]] qui est, rappelons-le, une force non conservative. Si elle ne dérive pas d'un potentiel classique, elle dérive en revanche d'un potentiel dit généralisé au sens des [[équations de Lagrange]]. Son énergie potentielle V satisfait en effet l'équation suivante :
<math display=block>\vec F=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\frac{\partial V(\vec r ,\vec v,t)}{\partial\vec v} -\frac{\partial V(\vec r,\vec v,t)}{\partial \vec r }\quad(*).</math>

La force de Lorentz a pour expression : 
<math display=block>\vec F =q(\vec E +\vec v \times \vec B).</math>

D'après [[Équations de Maxwell#Introduction du potentiel électrique|Maxwell]] : 
:<math>\vec E=-\vec\nabla\phi-\frac{\partial\vec A}{\partial t}</math>

donc : <math>\vec F=q(-\vec\nabla\phi - \frac{\partial\vec A}{\partial t}+\vec v \times (\vec\nabla\times\vec A))</math>.

Or d'après la formule de Gibbs :
<math>\vec v\times (\vec\nabla\times\vec A)=\vec\nabla(\vec v\cdot\vec A)-(\vec v\cdot\vec\nabla)\vec A</math>
<math display=block>\Rightarrow   \vec{F}=q[-\vec\nabla\phi - \frac{\partial\vec A}{\partial t}+\vec\nabla(\vec v\cdot\vec A)-(\vec v\cdot\vec\nabla)\vec A]</math>
<math display=block>=-q\left[\frac{\partial\vec A}{\partial t}+(\vec v\cdot\vec\nabla)\vec A\right]+q[-\vec\nabla\phi +\vec\nabla(\vec v\cdot\vec A)]=-q\left[\frac{\partial\vec A}{\partial t}+(\vec v\cdot\vec\nabla)\vec A\right]+q\vec\nabla[-\phi +(\vec v\cdot\vec A)]</math>
<math display=block>=-q\left[\frac{\partial\vec A}{\partial t}+(\vec v\cdot\vec\nabla)\vec A\right]-\frac{\partial}{\partial\vec r}q[\phi -(\vec v\cdot\vec A)].</math>

Posons : <math> V'=q[\phi -(\vec v\cdot\vec A)] \quad \Rightarrow \quad \vec F=-q\left[\frac{\partial\vec A}{\partial t}+(\vec v\cdot\vec\nabla)\vec A\right]-\frac{\partial V'}{\partial\vec r}</math>.

Déterminons <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\frac{\partial V'}{\partial\vec v}</math> :
:<math>\frac{\partial V'}{\partial\vec v} =-q\vec A \Rightarrow\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\frac{\partial V'}{\partial\vec v} =-q\frac{\mathrm d\vec A}{\mathrm dt}</math>.

Or : <math>\mathrm d\vec A= \frac{\partial\vec A}{\partial t}\,\mathrm dt + \frac{\partial\vec A}{\partial x}\,\mathrm dx+ \frac{\partial\vec A}{\partial y}\,\mathrm dy+ \frac{\partial\vec A}{\partial z}\,\mathrm dz \quad \Rightarrow \quad\frac{\mathrm d\vec A}{\mathrm dt}=\frac{\partial\vec A}{\partial t} + \frac{\partial\vec A}{\partial x}\dot x+ \frac{\partial\vec A}{\partial y}\dot y+ \frac{\partial\vec A}{\partial z}\dot z</math>
<math display=block>\Rightarrow\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\frac{\partial V'}{\partial\vec v}=-q\frac{\mathrm d\vec A}{\mathrm dt}=-q \frac{\partial\vec A}{\partial t} -q\left[+ \frac{\partial\vec A}{\partial x}\dot x+ \frac{\partial\vec A}{\partial y}\dot y+ \frac{\partial\vec A}{\partial z}\dot z\right].</math>

On peut remarquer au passage : 
<math display=block>\frac{\partial\vec A}{\partial x}\dot x+ \frac{\partial\vec A}{\partial y}\dot y+ \frac{\partial\vec A}{\partial z}\dot z=\begin{pmatrix}{}  \dot x\frac{\partial A_x}{\partial x}+ \dot y\frac{\partial A_{x}}{\partial y}+\dot z \frac{\partial A_{x}}{\partial z} \\  \dot x\frac{\partial A_{y}}{\partial x}+ \dot y\frac{\partial A_y}{\partial y}+\dot z \frac{\partial A_{y}}{\partial z} \\  \dot x\frac{\partial A_{z}}{\partial x}+ \dot y\frac{\partial A_{z}}{\partial y}+\dot z \frac{\partial A_z}{\partial z}  \end{pmatrix} = ( \dot x\frac{\partial }{\partial x}+ \dot y\frac{\partial }{\partial y}+\dot z \frac{\partial }{\partial z})\begin{pmatrix}{} A_x\\ A_y\\ A_z\end{pmatrix}=\left[ \begin{pmatrix}{} \dot x \\ \dot y \\ \dot z \end{pmatrix}\cdot  \begin{pmatrix}{} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \\ \frac{\partial}{\partial z} \end{pmatrix}\right] \begin{pmatrix}{}A_x\\ A_y\\ A_z\end{pmatrix} </math>

donc : <math>\frac{\mathrm d\vec A}{\mathrm dt}=\frac{\partial\vec A}{\partial t}+(\vec v\cdot\vec\nabla)\vec A</math>
<math>\Rightarrow\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\frac{\partial V'}{\partial\vec v} =-q\frac{\mathrm d\vec A}{\mathrm dt}=-q\left[ \frac{\partial\vec A}{\partial t}+(\vec v\cdot\vec\nabla)\vec A\right]\Rightarrow\vec F=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\frac{\partial}{\partial\vec v}q[\phi -(\vec v\cdot\vec A)]- \frac{\partial}{\partial\vec r}q[\phi -(\vec v\cdot\vec A)]  </math>.
<math display=block> V'=q[\phi -(\vec v\cdot\vec A)]</math> satisfait l'équation de Lagrange (*) vue supra. <math>V'</math> est donc l'énergie potentielle relative à la [[force de Lorentz]] dont le lagrangien est <math> \quad L=\frac{1}{2}m\vec {v}^2 - q[\phi -(\vec v\cdot\vec A)] </math>.}}

{{Démonstration|titre=Autre démonstration|déroulante=oui|contenu=
Cet encart propose de vérifier que le lagrangien 
<math display=block> L = {1 \over 2} m \vec{v} \cdot \vec{v}  - q\phi + q \vec{v} \cdot \vec{A}</math>

donne bien le principe fondamental de la dynamique pour une particule de masse ''m'' et de charge électrique ''q'' soumise  à la force de Lorentz. Il constitue donc la démonstration dans le sens contraire de la précédente.

On écrit  explicitement <math> L  </math> en coordonnées cartésiennes indicées <math> x_1, x_2, x_3. </math>

On a donc :
<math display=block> L = \frac12m \sum_{i=1}^3 \dot{x_i}^2 + q \sum_{i=1}^3 \dot{x_i} A_i - q \phi,  </math>
avec <math> A_i =A_i(x_1(t),x_2(t),x_3(t),t) </math> composante n°''i'' du potentiel vecteur <math> \vec{A}</math> et 
<math> \phi = \phi(x_1(t),x_2(t),x_3(t),t).</math>

On évalue les équations de Lagrange pour la composante {{numéro|1}} :
<math display=block> \frac{\partial L}{\partial x_1} = q \sum_{i=1}^3 \dot{x_i} \frac{\partial A_i}{\partial x_1} - q \frac{\partial  \phi}{\partial x_1}\qquad\text{et}\qquad\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x_1}} =\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left (m \dot{x_1} + q A_1\right) = m\frac{\mathrm d^2x_1}{\mathrm dt^2} + q\frac{\mathrm d A_1}{\mathrm dt}.</math>
Or la dérivée totale par rapport au temps  de <math>A_1</math> est égale à sa dérivée particulaire :
<math display=block>\frac{\mathrm d A_1}{\mathrm dt}=\frac{\partial  A_1}{\partial t} + \sum_{i=1}^3 \dot{x_i}\frac{\partial A_1}{\partial x_i}.</math>
D'où l'expression de l'équation du mouvement pour la composante n°1 :
<math display=block>  m\frac{\mathrm d^2x_1}{\mathrm dt^2}+q\frac{\mathrm d A_1}{\mathrm dt}= q \sum_{i=1}^3 \dot{x_i} \frac{\partial A_i}{\partial x_1} - q \frac{\partial  \phi}{\partial x_1}    </math>
<math display=block>  m\frac{\mathrm d^2x_1}{\mathrm dt^2}+q\frac{\partial  A_1}{\partial t}+ q\sum_{i=1}^3 \dot{x_i}\frac{\partial A_1}{\partial x_i} = q \sum_{i=1}^3 \dot{x_i} \frac{\partial A_i}{\partial x_1} - q \frac{\partial  \phi}{\partial x_1}    </math>
En simplifiant, il reste :
<math display=block>  m\frac{\mathrm d^2x_1}{\mathrm dt^2}=   - q\frac{\partial  A_1}{\partial t} - q \frac{\partial  \phi}{\partial x_1} +
q \dot{x_2} \left( \frac{\partial A_2}{\partial x_1} - \frac{\partial A_1}{\partial x_2} \right)+ 
q \dot{x_3} \left( \frac{\partial A_3}{\partial x_1} - \frac{\partial A_1}{\partial x_3} \right).   </math>
Avec <math> \vec B =\vec\nabla \times \vec A </math> et <math>\vec E = - \frac{\partial\vec A}{\partial t}-\vec \nabla\phi</math>, on reconnait à droite de l'égalité l'expression de la première composante de la force de Lorentz. On procède de même pour les autres composantes}}

=== Lagrangien du champ électromagnétique ===
On se place dans l'[[espace de Minkowski]] <math>\mathcal M</math> de la [[relativité restreinte]]. En présence de termes sources <math> J^\mu=(\rho c , \vec{j})</math>, la densité lagrangienne du champ électromagnétique est donnée par 
<math display=block> \mathcal L = -\frac{1}{4\mu_0} F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} + J^\mu A_\mu </math>
où <math>F_{\mu \nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu</math> est le [[Tenseur électromagnétique|tenseur de Maxwell]], et <math> A_\mu</math> est le [[quadrivecteur potentiel]]. Le premier terme est lié à la [[densité d'énergie]] du champ dans l'espace, et est [[Invariance de Lorentz|l'invariant de Lorentz]] le plus simple du tenseur <math>F_{\mu \nu}</math>.  

=== Exemples de densité lagrangiennes en théorie quantique des champs ===

==== Le lagrangien de Dirac ====
La densité lagrangienne pour un {{Lien|fr=Champ fermionique#Champ de Dirac|lang=en|trad=Fermionic field#Dirac fields|texte=champ de Dirac}} est<ref name=":1" /> :
<math display="block"> \mathcal L= \bar \psi \left( i \,\hbar \, c \not\!D - m \, c^2 \right) \psi </math>
où <math>\psi</math> est un [[spineur]], <math> \bar \psi = \psi^\dagger \gamma^0 </math> est son [[adjoint de Dirac]], <math>D</math> est la [[Dérivée covariante|dérivée covariante de jauge]], et <math>\not\!D</math> est la [[:en:Feynman_slash_notation|notation de Feynman]] pour <math> \gamma^\sigma D_\sigma </math>.

==== Le lagrangien de l'électrodynamique quantique ====
La densité lagrangienne en [[électrodynamique quantique]]<ref>{{Ouvrage|prénom1=Claude|nom1=Cohen-Tannoudji|prénom2=Jacques|nom2=Dupont-Roc|prénom3=Gilbert|nom3=Grynberg|titre=Photons et atomes: introduction à l'électrodynamique quantique|éditeur=EDP sciences CNRS éd|collection=Savoirs actuels|date=2001|isbn=978-2-86883-535-2|consulté le=2023-10-19}}</ref> (QED) est :
<math display=block> \mathcal{L}_{\mathrm{QED}} = \bar \psi (i \hbar c\not\!D - mc^2) \psi - {1 \over 4\mu_0} F_{\mu \nu} F^{\mu \nu}</math>
où <math>F^{\mu \nu}</math> est le [[tenseur électromagnétique]].

==== Le lagrangien de la chromodynamique quantique ====
En [[chromodynamique quantique]] (QCD), la densité lagrangienne est<ref>{{en}} http://www.fuw.edu.pl/~dobaczew/maub-42w/node9.html.</ref>{{,}}<ref>{{en}} {{pdf}} http://smallsystems.isn-oldenburg.de/Docs/THEO3/publications/semiclassical.qcd.prep.pdf.</ref> :
<math display=block> \mathcal{L}_{\mathrm{QCD}} = \sum_n \bar \psi_n (i \hbar c\not\!D - m_n c^2) \psi_n - {1\over 4} G^\alpha {}_{\mu\nu} G_\alpha {}^{\mu\nu} </math>
où <math>D</math> est la [[Dérivée covariante|dérivée covariante de jauge]] en QCD, et <math> G^\alpha {}_{\mu\nu} </math> est le [[tenseur]] de la force du champ du [[gluon]].

== Formalisme mathématique ==
Soit <math>M</math> une [[variété (géométrie)|variété]] de dimension <math>n</math>, et une variété de destination <math>T</math>. Soit <math>\mathcal{C}</math> l'ensemble des fonctions <math>\mathcal{C}^\infty</math> de <math>M</math> dans <math>T</math>, appelé [[espace de configuration]].

Avant tout donnons quelques exemples :
* en mécanique classique, dans le [[mécanique hamiltonienne|formalisme d'Hamilton]], <math>M</math> est la variété de dimension 1 <math>\mathbb{R}</math>, qui représente le temps, et l'espace de destination est le [[fibré]] cotangent de l'espace des positions généralisées<ref name=":2" /> ;
* dans la théorie des champs, <math>M</math> est la variété espace-temps et l'espace de destination est l'ensemble des valeurs possibles des champs en chaque point. Si, par exemple, il y a <math>m</math> [[champ scalaire|champs scalaires]] [[nombre réel|réels]] φ<sub>1</sub>,...,φ<sub>m</sub>, alors la variété de destination est <math>\R^m</math>. Si l'on a un [[champ de vecteurs]] réels, la variété de destination  est [[isomorphisme|isomorphe]] à <math>\R^n</math>. Il y a en fait une manière plus élégante d'utiliser le [[fibré tangent]], mais on s'en tiendra à cette version.

Supposons maintenant qu'il existe une fonctionnelle <math>S:\mathcal C\to\R</math>, qu'on appelle l'action physique. C'est une application vers <math>\R</math>, et non vers <math>\Complex</math>, pour des raisons physiques.

Pour que l'action soit locale, nous avons besoin de restrictions supplémentaires. Si <math>\varphi\in\mathcal{C},</math> on impose que ''S''[''φ''] soit l'intégrale sur ''M'' d'une fonction de φ, de ses dérivées et des positions qu'on appelle le lagrangien <math>\mathcal{L}(\varphi,\partial\varphi,\partial^2\varphi, \dots, x)</math>. En d'autres termes,

<math display="block">\forall\varphi\in\mathcal{C} \; , \; S[\varphi]\equiv\int_M d^nx \mathcal{L}(\varphi(x),\partial\varphi(x),\partial^2\varphi(x), \dots, x).</math>

La plupart du temps, on impose que le lagrangien dépende uniquement de la valeur des champs, de leurs dérivées premières, mais pas des dérivées d'ordre supérieur. C'est en fait seulement par commodité, et ce n'est pas vrai en général. Nous le supposons cependant dans le reste de cet article.

Fixons des [[Condition aux limites|conditions aux limites]], essentiellement la donnée de φ aux frontières si M est [[Compacité (mathématiques)|compact]], ou une [[Limite (mathématiques)|limite]] pour φ quand x tend vers l'infini (ce qui est pratique lors d'intégrations par parties). Le sous-espace de <math>\mathcal{C}</math> des fonctions φ telles que toutes les [[dérivée fonctionnelle|dérivées fonctionnelles]] de l'action S en φ soient 0 et que φ satisfasse aux conditions aux limites est l'espace des solutions physiques.

La solution est donnée par les '''équations d'Euler-Lagrange''' (en utilisant les conditions aux limites) :

<math display=block>\frac{\delta}{\delta\varphi}S=-\partial_\mu
 \left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\varphi)}\right)+ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\varphi}=0.</math>

On retrouve la dérivée fonctionnelle par rapport à φ de l'action dans le membre de gauche.

== Notes et références ==
{{Références}}

== Voir aussi ==
=== Bibliographie ===
* [[Francis Halbwachs]] et [[Jean-Marie Souriau]], « Mécanique analytique », ''[[Encyclopedia Universalis]]'', 1989, {{t.|14}}, {{p.|764-767}}

=== Articles connexes ===
{{colonnes|nombre=3|taille=20|
* [[Mécanique hamiltonienne]]
* [[Théorème de Noether (physique)]]
* [[Action (physique)]]
* [[Principe de moindre action]]
* [[Opérateur hamiltonien]] : la [[transformation de Legendre|transformée de Legendre]] de l'opérateur lagrangien 
* [[Hamiltonien en théorie des champs]]
}}

{{Portail|physique}}

[[Catégorie:Physique théorique]]
[[Catégorie:Analyse à plusieurs variables]]
[[Catégorie:Mécanique]]
[[Catégorie:Géométrie symplectique]]