Voir la source de Lemme de Neyman-Pearson

{{voir homonymes|Pearson}}
{{ébauche|mathématiques}}
{{Infobox Méthode scientifique}}
En [[statistique]], selon le [[Lemme (mathématiques)|'''lemme''']] '''de Neyman-Pearson''', lorsque l'on veut effectuer un [[test d'hypothèse]] entre deux hypothèses ''H''<sub>0</sub> : ''θ'' = ''θ''<sub>0</sub> et ''H''<sub>1</sub> : ''θ'' = ''θ''<sub>1</sub>, pour un échantillon <math>\mathbf{x}=(X_1,\ldots,X_n)</math>, alors le test du rapport de [[Fonction de vraisemblance|vraisemblance]], qui rejette ''H''<sub>0</sub> en faveur de ''H''<sub>1</sub> lorsque <math>\frac{\mathcal L(\mathbf x,\theta_0)}{\mathcal L(\mathbf x,\theta_1)}\le k_\alpha</math>, où <math>k_\alpha</math> est tel que

:<math>P\left(\frac{ \mathcal{L}( \textbf{x},\theta _{0})}{ \mathcal{L} (\textbf{x},\theta _{1})} \leq k_\alpha\bigg|H_0\right)=\alpha</math>, est le test le plus [[Puissance statistique|puissant]] de niveau <math>\alpha</math>.

Ce [[Lemme (mathématiques)|lemme]] est nommé d'après [[Jerzy Neyman]] et [[Egon Sharpe Pearson]] dans un article publié en 1933<ref>{{article|nom=Neyman|prénom=J.|nom2=Pearson|prénom2=E. S.|date=1933-02-16|titre=IX. On the problem of the most efficient tests of statistical hypotheses|url=http://rsta.royalsocietypublishing.org/content/231/694-706/289|journal=Phil. Trans. R. Soc. Lond. A|langue=en|volume=231|numéro=694-706|pages=289–337|doi=10.1098/rsta.1933.0009|issn=0264-3952}}</ref>.

En pratique, la plupart du temps, le rapport de [[Fonction de vraisemblance|vraisemblance]] lui-même n'est pas explicitement utilisé dans le test. En effet, le [[test du rapport de vraisemblance]] ci-dessus est souvent équivalent à un test de la forme <math>T\le t_\alpha</math> pour une statistique <math>T</math> plus simple, et le test est effectué sous cette forme-ci.

== Démonstration ==
{{Travail inédit|date=mars 2019}}
'''Théorème :''' La région de rejet <math>R_0</math> optimale est définie par l'ensemble des points <math>\mathbf{x}=(x_1,\ldots,x_n) \in \mathbb{R}^{n} </math> tels que

:<math>\frac{ \mathcal{L}( \textbf{x},\theta _{0})}{ \mathcal{L} (\textbf{x},\theta _{1})} \leq k_\alpha </math>

où la constante <math>k_\alpha</math> est telle que <math>P(\mathbf{x} \in R_0 | \theta_0) = \alpha </math>. À noter qu'on a les relations suivantes :

:<math>P\left(\textbf{D}_n \in R_{0} | \theta_{0} \right) = \alpha = \int_{R_0} \! \mathcal{L}(\mathbf{x};\theta_{0})\  d\mathbf{x}</math>
:<math>P\left(\textbf{D}_n \in R_{0} | \theta_{1} \right) = 1 - \beta = \int_{R_0} \! \mathcal{L}(\mathbf{x};\theta_{1})\  d\mathbf{x}</math>


où <math>D_n = (x'_1, \ldots, x'_n )</math> est l'échantillon.

'''Démonstration :'''

Montrons tout d'abord que lorsque <math>f_\mathcal{X}(.;\theta)</math> est une densité bornée, il existe toujours une constante <math>k</math> telle que
:<math>P\left(\frac{ \mathcal{L}( \textbf{x},\theta _{0})}{ \mathcal{L} (\textbf{x},\theta _{1})} > k\bigg|H_0\right)=\alpha</math>.
:En effet, lorsque <math>k=0</math>, cette probabilité vaut 1. D'autre part, cette probabilité décroit monotonément et continument vers zéro, lorsque <math>k\rightarrow \infty</math>. Par conséquent, il doit exister une valeur finie de <math>k</math>, appelée <math>k_\alpha</math>, qui satisfait l'égalité, <math>\forall \alpha \in ]0;1[</math>.
:Désignons alors par <math>R_0</math>, le sous-ensemble de <math>\mathbb{R}^{n}</math> suivant,
:<math>R_0 \triangleq \lbrace\mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n} \bigg|\frac{ \mathcal{L}
( \textbf{x},\theta _{0})}{ \mathcal{L} (\textbf{x},\theta _{1})} \leq k_\alpha \rbrace </math>,
:et soit <math>R</math> une autre partie de <math>\mathbb{R}^{n}</math>, telle que <math>P(\mathbf{x} \in R| \theta_0) \leq \alpha</math>. 
Montrons que <math>P(\mathbf{x} \in R_0 | \theta_1 )  > P(\mathbf{x} \in R | \theta_1)</math>:

<math>\begin{align}
P(\mathbf{x} \in R_0 | \theta_1 ) - P(\mathbf{x} \in R | \theta_1) & =
\int_{R_0} \! \mathcal{L}(\mathbf{x};\theta_{1})\  d\mathbf{x} - \int_{R} \! \mathcal{L}(\mathbf{x};\theta_{1})\  d\mathbf{x} \\
& =
\int_{R_0 \backslash R} \! \mathcal{L}(\mathbf{x};\theta_{1})\  d\mathbf{x} - \int_{R \backslash R_0} \! \mathcal{L}(\mathbf{x};\theta_{1})\  d\mathbf{x}
\end{align}</math>

<math>\text{Or } \mathcal{L}(\mathbf{x};\theta_{1}) \geq k_{\alpha} \mathcal{L}(\mathbf{x};\theta_{0}) \text{ sur } R_0 \text{ et } \mathcal{L}(\mathbf{x};\theta_{1}) < k_{\alpha} \mathcal{L}(\mathbf{x};\theta_{0}) \text{ en dehors}</math>

<math>\begin{align}
P(\mathbf{x} \in R_0 | \theta_1 ) - P(\mathbf{x} \in R | \theta_1) & \geq k_{\alpha} (
\int_{R_0 \backslash R} \! \mathcal{L}(\mathbf{x};\theta_{0})\  d\mathbf{x} - \int_{R \backslash R_0} \! \mathcal{L}(\mathbf{x};\theta_{0})\  d\mathbf{x}
) \\
& \geq k_{\alpha} ( \int_{R_0} \! \mathcal{L}(\mathbf{x};\theta_{0})\  d\mathbf{x} - \int_{R} \! \mathcal{L}(\mathbf{x};\theta_{0})\  d\mathbf{x}) \\
\end{align}</math>

La première intégrale vaut <math>\alpha </math> par construction, la deuxième est majorée par <math>\alpha </math>, on obtient:

<math>P(\mathbf{x} \in R_0 | \theta_1 ) - P(\mathbf{x} \in R | \theta_1) \geq 0</math> ce qui conclut.

== Notes et références ==
{{Références|taille=|groupe=}}

== Liens externes ==
* [http://cnx.org/content/m11548/latest/ cnx.org -- Neyman-Pearson criterion]
* {{lien web |titre=Eléments de Statistiques |url=http://www.montefiore.ulg.ac.be/~lwh/Stats/ |site=ulg.ac.be |consulté le=27-02-2024}}

== Voir aussi ==

* [[Puissance statistique]]
* [[Test F]]
{{Portail|probabilités}}

[[Catégorie:Lemme de mathématiques|Neyman-Pearson]]
[[Catégorie:Statistiques]]