Voir la source de Lemme de l'application continue

{{Lien vers article transformé en brouillon|article=Lemme de l'Application Continue|utilisateur=Harrieta171|brouillon=Utilisateur:GoldenKingdom3/Brouillon Lemme de l'Application Continue}}En [[mathématiques]], le '''lemme de l'application continue''' (ou '''LAC'''), également connu sous son appellation anglaise ''{{lang|en|Continuous Mapping Theorem}}'' (ou CMT), est un résultat fondamental en [[théorie des probabilités]] et en [[Statistique|statistiques]] asymptotiques. Il est particulièrement utile dans l’étude des différents types de [[Convergence de variables aléatoires|convergences des variables aléatoires]], en permettant d'étendre aisément la convergence d'une suite de variables à leurs transformations par une application continue.

== Énoncé général ==
Soient <math>(X_n)</math> une suite de variables aléatoires définies sur un [[espace probabilisé]] <math>(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})</math>, <math>X</math> une [[variable aléatoire]] et <math>g</math> une application continue sur le [[Support de fonction|support]] de la loi de <math>X</math>. Alors on a :
# Convergence en loi<ref name=":0">{{Ouvrage|langue=en|auteur1=Ron C. Mittelhammer|titre=Mathematical Statistics for Economics and Business|lieu=New York|éditeur=Springer|année=2013|pages totales=776|passage=238, 253|isbn=978-1-4614-5021-4|lire en ligne=https://link-springer-com.ezproxy.universite-paris-saclay.fr/book/10.1007/978-1-4614-5022-1|consulté le=14 mars 2025}}</ref> : Si <math>X_n\xrightarrow{\mathcal{L}} X</math>, alors : <math>g(X_n)\xrightarrow{\mathcal{L}} g(X)</math>.
# Convergence en probabilité : Si <math>X_n\xrightarrow{\mathbb{P}} X</math>, alors : <math>g(X_n)\xrightarrow{\mathbb{P}} g(X) </math>.
# Convergence presque sûre<ref name=":0" /> : Si <math>X_n\xrightarrow{p.s.} X</math>, alors : <math>g(X_n)\xrightarrow{p.s.} g(X)</math>.

'''Remarque importante :''' La réciproque est fausse en général. Le fait que <math>g(X_n)</math> converge vers <math>g(X)</math> (quel que soit le mode de convergence) n’implique pas nécessairement que <math>(X_n)</math> converge vers <math>X</math>.

=== Importance du lemme ===
Ce résultat est crucial puisqu'il établit que toute convergence d'une suite de variables aléatoires (en loi, en probabilité ou presque sûre) est préservée par l'application d'une [[Application continue|transformation continue]]. En pratique, cela simplifie considérablement l’étude des comportements asymptotiques dans des contextes variés tels que la [[statistique inférentielle]] (limites asymptotiques d'[[Estimateur (statistique)|estimateurs]] et de [[Test statistique|tests statistiques]]), la [[théorie des valeurs extrêmes]], ou encore l’[[Analyse fonctionnelle (mathématiques)|analyse fonctionnelle]] appliquée aux [[Processus stochastique|processus stochastiques]].

=== Théorème faux pour la convergence dans L² ===
En effet, si le lemme est performant pour les convergences en loi, en probabilité et presque sûre, il s'avère être faux pour la convergence dans <math>L^2</math> sans hypothèse supplémentaire sur <math>g</math> comme sa [[continuité uniforme]], son caractère borné ou son caractère lipschitzien.

Un contre-exemple possible est le suivant :
:on pose <math>X_n:=\begin{cases} 1 & \text{avec proba }1-1/n^2 \\ n & \text{avec proba }1/n^2 \end{cases}</math> pour <math>n\in\mathbb{N^*}</math> et <math>g:x\longmapsto x^2 \text{ continue sur } \R</math>.

On a bien <math>X_n \xrightarrow{L^2} X=1</math>, en revanche : <math>g(X_n) \xrightarrow{L^2} g(X)=X^2=1</math>.

== Preuve du LAC ==

=== Énoncé à démontrer ===
Soit <math>(X_n)</math> une suite de variables aléatoires définies sur un espace probabilisé <math>(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})</math>.

On suppose que : <math>X_n\xrightarrow{p.s.} X \text{, i.e. } \mathbb{P}(\lim_{n \to \infty}X_n=X)=1</math>.

On veut montrer que si <math>g:\R\longrightarrow\R</math> est une fonction continue sur le support de la loi de ''X'', alors : <math>g(X_n)\xrightarrow{p.s.} g(X)</math>.

Seule la preuve du LAC sur la convergence presque sûre suffit, car elle implique la convergence en probabilités, qui elle-même implique la convergence en loi<ref>{{Lien web |langue=fr |titre=Convergence des variables aléatoires |url=https://www.bibmath.net/dico/index.php?action=affiche&quoi=./c/convergproba.html |accès url=libre |site=Bibmath |consulté le=14 mars 2025}}</ref>.

=== Preuve ===
Par définition de la convergence presque sûre, il existe un ensemble de probabilité totale <math>A\subset\Omega \text{ (i.e. }\mathbb{P}(A)=1)</math> tel que : <math>\forall\omega\in A, X_n(\omega)\xrightarrow[n\to\infty]{} X(\omega) </math>.

Soit <math>g:\R\longrightarrow\R</math> une application continue sur le support de la loi de <math>X </math>.

Puisque <math>g</math> est continue, on sait que la convergence simple implique la convergence après application d'une fonction continue : <math>\forall\omega\in A, (X_n(\omega)\xrightarrow[n\to\infty]{} X(\omega)) \Longrightarrow (g(X_n(\omega))\xrightarrow[n\to\infty]{} g(X(\omega)))</math>.

Autrement dit : <math>\forall\omega\in A, \lim_{n \to \infty}g(X_n(\omega))=g(X(\omega))</math>.

Mais comme <math>\mathbb{P}(A)=1</math>, cela signifie précisément que : <math>g(X_n)\xrightarrow{p.s.} g(X)</math>.

Ainsi, on a bien : <math>(X_n\xrightarrow{p.s.} X)\Longrightarrow(g(X_n)\xrightarrow{p.s.} g(X)) </math> et ce résultat clôture la preuve. CQFD

== Applications ==
Le Lemme de l'Application Continue possède de nombreuses applications pratiques, particulièrement en statistique mathématique et en probabilités appliquées.

=== Loi des grands nombres et convergence fonctionnelle ===
La combinaison du lemme avec la [[loi des grands nombres]] (LGN) offre un outil puissant en statistiques. En effet, la LGN assure la convergence presque sûre ou en probabilité des [[Moyenne empirique|moyennes empiriques]] vers leurs [[Espérance mathématique|espérances]], tandis que le lemme de l'application continue permet immédiatement d'étendre cette convergence aux fonctions continues de ces moyennes. Ce mécanisme constitue la base d'un grand nombre de preuves asymptotiques en statistique mathématique, facilitant l’obtention des résultats de convergence des estimateurs couramment employés.

=== Estimateurs par la méthode des moments ===
{{article détaillé|Méthode des moments (statistiques)}}
Les Estimateurs par la méthode des moments (EMM) reposent souvent sur des moyennes empiriques calculées à partir d’échantillons aléatoires. Grâce à la LGN, ces moyennes empiriques convergent presque sûrement ou en probabilité vers l'espérance mathématique. Le lemme de l'application continue permet alors d'assurer que toute fonction continue appliquée à ces moyennes convergera également vers cette fonction appliquée aux moments théoriques. Ainsi, le lemme est central dans la justification théorique des EMM en statistiques inférentielles.

=== Estimateurs du maximum de vraisemblance ===
{{article détaillé|Maximum de vraisemblance}}
Les estimateurs du maximum de vraisemblance (EMV) sont largement utilisés en raison de leurs propriétés asymptotiques optimales. Typiquement, les EMV se définissent comme le point maximisant une fonction de vraisemblance. Lorsque l'on établit la convergence d'une suite d'estimateurs vers la vraie valeur du paramètre (en probabilité ou presque sûrement), le lemme de l'application continue permet alors d'en déduire facilement les propriétés asymptotiques des EMV.

== Notes et références ==
{{Références}}

== Bibliographie ==
* {{Ouvrage|langue=en|auteur1=Evarist Giné|auteur2=Richard Nickl|titre=Mathematical Foundations of Infinite-Dimensional Statistical Models|éditeur=Cambridge University Press|année=2015|pages totales=705|isbn=9781107337862|lire en ligne=https://www.cambridge.org/core/books/mathematical-foundations-of-infinitedimensional-statistical-models/C9731BF27A4CDBDB297404EBF1B7820E|consulté le=14 mars 2025}}
* {{Ouvrage|langue=en|auteur1=Jean Jacod|auteur2=Philip Protter|titre=Probability Essentials|lieu=Berlin|éditeur=Springer|année=2004|pages totales=247|passage=146-147|isbn=978-3-540-43871-7|lire en ligne=https://link-springer-com.ezproxy.universite-paris-saclay.fr/book/10.1007/978-3-642-55682-1|consulté le=15 mars 2025}}{{Portail|mathématiques}}{{CLEFDETRI:Lemme de l'Application Continue}}

[[Catégorie:Variable aléatoire]]